山東省煙臺市招遠(yuǎn)市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．本試題滿分150分，考試時間為120分鐘．
2．答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號填涂在答題卡上．
3．使用答題紙時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰．超出答題區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有，一項符合題目要求．
1. 已知，，若，則實數(shù)的值為（）
A. B. C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由向量共線基本定理求解即可.
【詳解】因為，所以，則，解得.
故選：A
2. 已知，則的值為（）
A 3B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用兩角和的正切公式即可.
【詳解】
故選：C
3. 在平行四邊形ABCD中，M為BC的中點，設(shè)，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，作出幾何圖形，再利用向量線性運(yùn)算求解即得.
【詳解】在中，M為BC的中點，，，
所以.
故選：C
4. 已知為直線外一點，且，若，，三點共線，則的最小值為（）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，，三點共線，可得，結(jié)合基本不等式即可求.
【詳解】因為，，三點共線，
所以存在非零實數(shù)，使得，
所以，
所以，
所以，
所以.
當(dāng)時等號成立，所以的最小值為
故選：A
5. 已知，均為銳角，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及配湊法即可求解.
【詳解】因為，
又因為，均為銳角，則，所以，，
所以，
故選：C
6. 在中，已知，，，，邊上的兩條中線，相交于點，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量法求得余弦值.
【詳解】
因為，，，
由余弦定理得，
所以，
所以為直角三角形，且，
以為原點，建立如圖直角坐標(biāo)系：
所以，
所以，
所以.
故選：C
7. 如圖，在長方形中，，，點在上，且，點，分別是邊，上的動點，滿足，則的最小值為（）
A. 1B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】通過設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理建立PM與PN的關(guān)系，再結(jié)合三角形面積公式，根據(jù)均值不等式求出面積的最小值.
【詳解】設(shè)，因為四邊形是長方形，，，.
在中，根據(jù)勾股定理，可得.
因為，，所以，
又因為，則，所以（兩角分別相等的兩個三角形相似）.
由可得，已知，，
則，那么，所以.
在中，根據(jù)勾股定理，可得.
因為，所以.
根據(jù)均值不等式，對于，，
有：
,（當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立）.
因為，，所以，那么.
所以面積的最小值為.
故選：B.
8. 已知的重心為，過點的直線分別與邊，交于點，，若，，則的值為（）
A. 2B. 3C. 4D. 不確定
【答案】B
【解析】
【分析】將用作為基底表示，根據(jù)三點共線即可求.
【詳解】
因為，，
所以，，
因為的重心為，
所以，
又因為三點共線，
所以，
所以.
故選：B
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列說法正確的有（）
A. 起點相同的單位向量均相等
B. 若向量，則
C. 若向量，，則、不一定平行
D. 任意兩向量、均有
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)相等向量的概念可判斷A選項；根據(jù)向量垂直的等價條件可判斷B選項；根據(jù)共線向量的概念可判斷C選項；利用平面向量數(shù)量積的定義可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，起點相同的單位向量的方向不一定相同，故這些向量不一定相等，A錯；
對于B選項，若向量，則，B對；
對于C選項，向量，，若，則、不一定平行；
若，若、中至少有一個為零向量，則、平行，
若、均為非零向量，可設(shè)，，則，則、平行，
綜上所述，若向量，，則、不一定平行，C對；
對于D選項，若、中至少有一個零向量，則，
若、都為非零向量，設(shè)這兩個向量的夾角為，則，則，
所以，，
綜上所述，，D對.
故選：BCD.
10. 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則下列說法正確的是（）
A. 若的最小正周期為，則
B. 若的圖象關(guān)于點中心對稱，則
C. 若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是
D. 若方程在上恰有兩個不同的實數(shù)解，則的取值范圍是
【答案】AC
【解析】
【分析】將點的坐標(biāo)代入解析式，求得的值，根據(jù)周期公式可判斷選項A，根據(jù)已知點可求得的值，可判斷B，根據(jù)的取值范圍得到的取值范圍，再依據(jù)單調(diào)遞增區(qū)間可判斷選項C，根據(jù)零點個數(shù)以及整體代入法可求得選項D.
【詳解】因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
所以，而，所以，即，
選項A，的最小正周期是，則，A正確；
選項B，圖象關(guān)于點中心對稱，
則（因為），B錯誤；
選項C，時，，
則，，解得，C正確；
選項D，時，，
方程在上恰有兩個不同的實數(shù)解，
即方程在上恰有兩個不同的實數(shù)解，
則，解得，D錯誤．
故選：AC．
11. 已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）
A. 的圖象關(guān)于軸對稱
B. 是周期為的周期函數(shù)
C. 的值域為
D. 不等式的解集為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對于AB對稱性與周期性的判定按定義進(jìn)行判斷，不正確時舉反例即可；對CD需要把函數(shù)化成一角一函數(shù)研究，結(jié)合對稱性和周期性簡化推算過程.
【詳解】對于A：由題意函數(shù)的定義域為R，且，
故的圖象關(guān)于軸對稱，所以A正確；
對于B：因為，，所以，故B錯誤；
對于C：當(dāng)時，
則，此時值域為；
當(dāng)時，，
此時值域為，故C正確；
對于D：由
，
則是的一個周期，當(dāng)時，，
所以由，解得，
則，
又由的圖象關(guān)于軸對稱可知當(dāng)時，
的解為，
所以不等式的解為.故D正確.
故選：ACD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：研究三角函數(shù)問題要充分利用它的對稱性和周期性簡化問題的探究，如根據(jù)對稱性只研究一半，根據(jù)周期性只研究一個周期，其余情況根據(jù)對稱性和周期性得出結(jié)論.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 與向量方向相反的單位向量為_____．
【答案】
【解析】
【分析】由相反向量及單位向量的定義可得.
【詳解】向量方向相反的單位向量.
故答案為：.
13. 若，則_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用平方關(guān)系化簡，即可求出，結(jié)合誘導(dǎo)公式和倍角公式即可求值.
【詳解】因為，
所以，
解得或（舍），
所以.
故答案為：
14. 已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點．已知點，點，把點繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點，則點的坐標(biāo)為_____，向量在向量上的投影向量為_____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】空：根據(jù)已知條件，確定向量逆時針旋轉(zhuǎn)的角，根據(jù)公式確定坐標(biāo)，再根據(jù)點坐標(biāo)，求出點的坐標(biāo)；空：根據(jù)投影向量的計算公式結(jié)合、坐標(biāo)即可求解.
【詳解】空：由題意得，把點繞點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點，
則點繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點，
則，
，設(shè)，又因為，
所以，解得，所以.
空：向量在向量上的投影向量為，
因為，，
所以.
故答案為：；
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知向量，滿足，，．
（1）求；
（2）求與的夾角的值；
（3）求．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可直接構(gòu)造方程求出；
（2）利用夾角公式即可求；
（3）由向量數(shù)量積運(yùn)算律可求得，進(jìn)而可得結(jié)果.
【小問1詳解】
因為，
所以；
【小問2詳解】
因為，
又，所以；
【小問3詳解】
因為，
所以．
16. 已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)時，求的最大值及取得最大值時的集合．
【答案】（1）最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為，
（2）最大值為2，取得最大值時的集合為
【解析】
【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性即可得解；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【小問1詳解】
，
所以的最小正周期，
令，解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；
【小問2詳解】
當(dāng)時，，
所以當(dāng)，即時，取得最大值2，
故的最大值為2，取得最大值時的集合為．
17. 求值：
（1）；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先對原式進(jìn)行切化弦化簡，利用三角函數(shù)差角公式逐步變形，最終得出結(jié)果；
（2）將兩式平方相加即可求.
【小問1詳解】
；
【小問2詳解】
將兩邊平方可得，，
兩邊平方可得，，
兩式相加可得，，
即，
解得．
18. 已知函數(shù)圖象的一個對稱中心到相鄰對稱軸的距離為，且．
（1）求的解析式；
（2）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若，且，求的最大值；
（3）記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，設(shè)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意可得到周期，即可求得的值，再根據(jù)函數(shù)值可求得的值，最后根據(jù)輔助角公式可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)三角形變換得到變換后的解析式，再根據(jù)最值得到的值，即可求得結(jié)果；
（3）根據(jù)的取值范圍，分情況得到的取值范圍，整體法求得最值，得到的表達(dá)式，即可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，所以，
所以，所以，
故，
解得，
所以；
【小問2詳解】
將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，
可得的圖象，
再向上平移1個單位長度，得到的圖象，
所以，
又，所以當(dāng)時，，
又，所以，
要使最大，則最大，最小．
所以當(dāng)最大，最小時，
即取得最大值，
最大值；
【小問3詳解】
因為，所以，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
此時；
又，所以，所以，
所以的取值范圍為；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，
所以，，
此時；
又，所以，所以，
所以的取值范圍為，
綜上，函數(shù)的值域為．
【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖形變化以及最值，關(guān)鍵點有；
（1）根據(jù)對稱中心以及對稱軸得到周期，根據(jù)周期公式得到參數(shù)；
（2）輔助角公式是將含有多個三角函數(shù)名稱的解析式轉(zhuǎn)化為只含有一個三角函數(shù)名稱的解析式；
（3）對于三角函數(shù)的題，最常用的方法就是整體代入討論法.
19. 對于一組向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“長向量”．
（1）設(shè)，且，若是向量組，，的“長向量”，求實數(shù)x的取值范圍；
（2）若，且，向量組，，，…，是否存在“長向量”?給出你結(jié)論并說明理由；
（3）已知，，均是向量組，，的“長向量”，其中，．設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中有一點列，，，…，滿足，為坐標(biāo)原點，為的位置向量的終點，且與關(guān)于點對稱，與（且）關(guān)于點對稱，求的最小值．
【答案】（1）
（2）存在，理由見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“長向量”的定義，列不等式，求的取值范圍即可得；
（2）由題意可得，亦可得，故只需使，計入計算即可得；
（3）首先由，，均是向量組，，的“長向量”，變形得到，設(shè),由條件列式，變形為，轉(zhuǎn)化為求的最小值.
【小問1詳解】
由題意可得：，則，解得：；
【小問2詳解】
存在“長向量”，且“長向量”為，，理由如下：
由題意可得，
若存在“長向量”，只需使，
又，
故只需使
，即，即，
當(dāng)或時，符合要求，故存在“長向量”，且“長向量”為，；
【小問3詳解】
由題意，得，，即，
即，同理，
，
三式相加并化簡，得：，
即，，所以，
設(shè)，由得：，
設(shè)，則依題意得：，
得，
故，
，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
故.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是理解題意，理解“長向量”的定義，前兩問均是利用定義解題，第三問注意轉(zhuǎn)化關(guān)系，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為.

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