一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知非零向量與共線，下列說法正確的是（ ）
A. 與共線B. 與不共線
C. 若，則D. 若，則是一個單位向量
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量共線，向量相等及單位向量的定義分別判斷各選項.
【詳解】當(dāng)，，，四點在一條直線上時，與共線，否則與可能不共線，所以AB選項錯誤；
若，無法確定向量方向，不能確定向量相等，C選項錯誤；
根據(jù)單位向量定義可知若，則是一個單位向量，D選項正確；
故選：D.
2. 已知復(fù)數(shù)滿足（虛數(shù)單位），則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算即可.
【詳解】．
故選：B．
3. 下列命題中，正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量是具有大小和方向的量以及零向量的含義，一一判斷各選項，即得答案.
【詳解】對于A，若，但方向不一定相同，故不一定成立，A錯誤；
對于B，若，即的模相等，方向相同，則，B正確；
對于C，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比較大小，
即，不能得出，C錯誤；
對于D，若，則，D錯誤，
故選：B
4. 在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由余弦定理得到，由同角三角函數(shù)關(guān)系得到，由三角形面積公式求出答案.
【詳解】因為，，，所以，
因為，所以，所以.
故選：A
5. 在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則（ ）
A. 或B. 或3C. 或3D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理求得，由可得或，分別求即得.
【詳解】由題意及正弦定理，得，解得.
又，故，于是或，均符合題意.
當(dāng)時，，由正弦定理，得，解得；
當(dāng)時，，此時是等腰三角形，.
故選：A
6. 已知向量滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求，結(jié)合向量的夾角公式可求答案.
【詳解】由模長公式，
由夾角公式.
故選：A
7. 已知OB是平行四邊形OABC的一條對角線，為坐標原點，，若點滿足，則點的坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的線性運算和坐標運算，即可求解.
【詳解】
由向量的減法得：，則，，
設(shè)，則，，
由，得，解得，
所以.
故選：A.
8. 已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點在第三象限，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由實部與虛部均小于0列不等式組求解.
【詳解】因為，
在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，
，解得.
故選：A.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，選對但選不全的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知向量，若，則實數(shù)m的值可以為（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)向量垂直列出方程，求出實數(shù)m的值.
【詳解】因為，所以，
解得或0或．
故選：ABC
10. 有下面四個命題，真命題的是（ ）
A.
B. 若，且，則
C. ，則
D. 兩個虛數(shù)不能比較大小
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的乘方，直接計算和判斷各個選項即可.
【詳解】對于A，因為，所以，，故A正確；對于B，兩個虛數(shù)不能比較大小，故B錯；對于C，當(dāng)，時，，故C錯；按照復(fù)數(shù)的定義，兩個虛數(shù)不能比較大小，D正確.
故選：AD
11. 已知 的內(nèi)角 所對的邊分別為 ， 下列四個命題中， 正確的命題是（ ）
A. 在中，若，則
B. 若，則是等腰三角形
C. 若在線段 上，且，則的面積為8
D. 若 ，動點在所在平面內(nèi)且 ，則 動點的軌跡的長度為
【答案】ACD
【解析】
【詳解】利用正弦定理結(jié)合三角形中大邊對大角，可判斷A；化簡條件得到，求得或，可判定B；設(shè)，在中，利用余弦定理求得，得到，求得和，結(jié)合面積公式，可判定C；根據(jù)題意得到點在以為弦的一個圓上，結(jié)合正弦定理和圓的性質(zhì)，以及弧長公式，可判定D．
【分析】對于A中，，由正弦定理可得，所以，故A正確；
對于B中，由，
可得，
整理得，
由正弦定理得，可得，
因為，可得或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；
對于C，由在線段上，且，，，，
則，設(shè)，
在中，利用余弦定理，
整理得，解得或（舍去），
所以，
在中，可得，則，
所以的面積為，故C正確；
對于D，在中，因為，，
則點在以為弦的一個圓上，
由正弦定理可得外接圓的直徑為，即，
當(dāng)點在外部時，如圖所示，
因為，可得，所以，
所以的長度為，
同理，當(dāng)點在內(nèi)部時，可得對應(yīng)的弧長也是，
所以動點的軌跡的長度為，故D正確．
故選：ACD.
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知，則________
【答案】
【解析】
【分析】對于坐標法表示向量,向量的模為,代入計算即可
【詳解】由題,
故答案為：
【點睛】本題考查向量的模,屬于基礎(chǔ)題
13. 已知向量是單位向量，且夾角為，則_______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量的模的性質(zhì)和數(shù)量積的定義求解即可.
【詳解】由已知，，
所以，
所以，
故答案為：.
14. 已知，，則在方向上的投影的坐標為____.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出，，再根據(jù)投影的定義計算可得.
【詳解】因為，，
所以，，
所以在方向上的投影的坐標為.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟.
15. 如圖，某人從點A出發(fā)，向西走了200m后到達點B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到達點C，最后向東走了200m后到達點D，發(fā)現(xiàn)點D在點B的正北方．
（1）作出，，，；
（2）求的模．
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用給定條件確定點的位置，再標注向量即可.
（2）利用兩點間距離公式結(jié)合向量模的定義求解模長即可.
【小問1詳解】
根據(jù)題意可知，點在坐標系中的坐標為．
因為點在點的正北方，點在點的正西方，
所以，．
又，，所以，
即兩點在坐標系中的坐標分別為，．
作出，，，如圖所示．
【小問2詳解】
由兩點間距離公式得，
則．
16. 已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理、兩角和的正弦公式可得，由此即可得解；
（2）由正弦定理得，再由余弦定理即可求解.
【小問1詳解】
由正弦定理邊化角可得，
即，
所以，因為，
所以，又，解得；
【小問2詳解】
若，則，這里是三角形外接圓的半徑，
解得，
由余弦定理可得.
17. 已知向量，．
（1）若，求實數(shù)的值
（2）求與的夾角；
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用向量垂直數(shù)量積為0，即可求；
（2）利用數(shù)量積的夾角公式結(jié)合條件即得.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，
∴，則，
∴．
小問2詳解】
∵，，
∴，，
∴；
又∵，、
∴.
18. ．已知中是直角，，點是的中點，為上一點．
（1）設(shè)，，當(dāng)，請用來表示，.
（2）當(dāng)時，判斷是否垂直.若成立，給出證明，若不成立，說明理由.
【答案】（1），；（2）不垂直，理由見解析.
【解析】
【分析】（1）直接利用平面向量的線性運算求解；
（2）求出，，再求出，又，即得證.
【詳解】解：（1），
因為，所以.
（2）與不垂直.證明如下：
由可得，，
，又因為，所以，
，
所以與不垂直.
19. 在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，滿足．
（1）求角的大??；
（2）若，求周長的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知結(jié)合余弦定理即可求解；
（2）由已知結(jié)合余弦定理可得，然后利用基本不等式即可求解的最小值，即可求解.
【小問1詳解】
因為，所以，
由余弦定理得，
因，所以；
【小問2詳解】
因為，所以，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以周長的最小值為.

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