一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡的相應位置上．
1．已知向量滿足，則（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
2．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若則邊（ ）
A．1B．C．D．
3．在中，點D在邊AB上，．記，則（ ）
A．B．C．D．
4．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，則三角形是（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形
5．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的值為（ ）
A．2B．C．4D．
6．小明同學學以致用，欲測量學校教學樓的高度，他采用了如圖所示的方式來進行測量，小明同學在運動場上選取相距20米的C，D兩觀測點，且C，D與教學樓底部B在同一水平面上，在C，D兩觀測點處測得教學樓頂部A的仰角分別為，并測得，則教學樓AB的高度是（ ）
A．20米B．米C．米D．25米
7．中，D為BC的中點，，則AD的長為（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，正方形ABCD的邊長為2，圓A半徑為1，點P在圓A上運動，則的取值范圍是（ ）
A ．B．C．D．
二、多選題本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知平面向量，則（ ）
A．B．
C．在上的投影向量的模為D．與的夾角為鈍角
10．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，以下判斷正確的是（ ）
A．若，則的面積為B．若，則
C．若，則D．若有兩解，則
11．的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，且．若D是外一點，，則下列說法中正確（ ）
A．B．
C．四邊形ABCD面積有最小值D．四邊形ABCD面積有最大值
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12．已知向量，則向量在向量上的投影向量為______（用坐標表示）
13．定義：，兩個向量的叉乘的模．若點，O為坐標原點，則______．
14．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的平分線交AC于點D，且，則的最小值＝______．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（13分）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
（1）求C的值；
（2）若，求的面積．
16．（15分）已知平面向量．
（1）若，且，求的坐標；
（2）若與的夾角為銳角．求實數(shù)的取值范圍．
17．（15分）中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．
（1）求角A的大?。?br>（2）若，求的取值范圍
18．（17分）第31屆世界大學生夏季運動會將于2022年6月在成都舉行，需規(guī)劃公路自行車比賽賽道，該賽道的平面示意圖為五邊形ABCDE（如圖），根據(jù)自行車比寒的需要，需預留出AC，AD兩條服務車道（不考慮寬度），DC，CB，BA，AE，ED為賽道，已知，，______（注：km為千米）
請從①；②這兩個條件中任選一個，補充在題干中，然后解答補充完整的問題．
（1）求服務通道AD的長；
（2）在（1）的條件下，求折線賽道AED的最大值（即最大）
19．（17分）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，AD為BC邊上的中線，已知且，．
（1）求b；
（2）設點E，F(xiàn)分別為邊AB，AC上的動點，線段EF交AD于，且的面積為面積的一半，求向量的最小值．
《2025年3月第一次月考試題》參考答案
3．B 【詳解】因為BD＝2DA，所以，
因為，所以
，故選：B
5．C 【分析】利用正弦定理可求得所求代數(shù)式的值．
【詳解】設的外接圓半徑為r，由正弦定理可得
，
因此，．故選：C．
7．C【詳解】如圖，以邊AB，AC為鄰邊做平行四邊形ABEC，
因AD為邊BC的中線，則由平行四邊形性質(zhì)知A，D，E共線，且，
在平行四邊形ABEC中，，
在中，由余弦定理得：
，
所以．
8．C 【詳解】設AP與BD的夾角為，則，
，
因為，所以，
9．AC 【詳解】A：由題意可得，故A正確；
B：因為，
所以，故B錯誤；
C：在上的投影向量的模為，故C正確；
D：與的夾角的余弦為，所以夾角不是鈍角，故D錯誤；
10．ACD 【詳解】A：若，則，故A正確；
B：若，由正弦定理得，
即，解得，故錯誤；
C：若，由余弦定理得，
即，整理得，由解得，故C正確；
D：由正弦定理得，則，
由得，若有兩個解，則且，
所以，即，解得，故D正確．故選：ACD
11．ABD 【詳解】在中，因為，
所以，
即，
又，所以，
在中，因為，則，
所以，則，故AB正確；
在中，，在中，
，四邊形ABCD面積
，
其中（為銳角），又，所以，因為函數(shù)在上遞增，在上遞減，
所以四邊形ABCD面積有最大值，無最小值，故 C 錯誤，D 正確．
12．【答案】
13． 【詳解】解：因為，所以，
所以，
因為，所以，
所以
故答案為：
14．
【詳解】，由正弦定理得，
因為，所以，故，如圖所示，
則的面積為，
即
．
當且僅當時取等號．
所以，的最小值為．
15．【答案］（1） （2）
【詳解】（1）因為，
由正弦定理得，，
又，所以，
又，所以，故，所以．
（2）由余弦定理得，所以，
故．
16．（1）或 （2）
【詳解】（1）設，
因為，所以，因為，所以，解得，所以或；
（2），
因為與的夾角為銳角，所以，
解得且，即．
17．（1） （2）
【詳解】（1）因為，
由正弦定理得，整理得，
所以，且，故．
（2）因為，可得，
則
，
因為，所以，則
所以，即．
18．【答案】（1） （2）．
【詳解】（1）解：若選擇條件①，
在中，由正弦定理得：，即，
解得；
若選擇條件②，
在中，由余弦定理得：
即
解得；
在中，由余弦定理得，
即
解得或（舍去）服務通道AD的長為
（2）在中，由余弦定理得：，
，即，
，
（當且僅當時取等號）
折線賽道AED的最大值為．
19．（1）4 （2） （3）2
【詳解】（1），
由正弦定理得由余弦定理得
，整理得又，∴．
（2）設，
的面積為面積的一半，
，
即設，則，
又E，G，F(xiàn)共線，所以設，則，
，解得，
，
又，
，
又，則，
當時，的最小值為2．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
B
B
C
A
C
C
AC
ACD
ABD

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