1.已知a=1,2，b=?2,t，若a//b，則實數(shù)t的值為( )
A. ?4B. ?1C. 2D. 4
2.已知tanα?π4=2，則tanα的值為( )
A. 3B. 1C. ?3D. ?1
3.在平行四邊形ABCD中，M為BC的中點，設AB=a，DM=b，則AC=( )
A. 2b?aB. a?2bC. 3a?2bD. 3a+2b
4.已知O為直線AB外一點，且OP=xOA+yOB，若A，B，P三點共線，則x2+y2的最小值為( )
A. 12B. 22C. 1D. 2
5.已知α，β均為銳角，csα=35，sinα?β=513，則sinβ=( )
A. 1665B. 413C. 3365D. 6365
6.在?ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60 °，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P，則cs∠MPN=( )
A. 77B. 147C. 714D. 1414
7.如圖，在長方形ABCD中，AB=4，AD=3，點P在AD上，且AP=2，點M，N分別是邊AB，CD上的動點，滿足PM⊥PN，則?MPN的最小值為( )
A. 1B. 2C. 2 2D. 4
8.已知?ABC的重心為G，過點G的直線分別與邊AB，AC交于點M，N，若AM=λAB，AN=μAC，則1λ+1μ的值為( )
A. 2B. 3C. 4D. 不確定
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列說法正確的有( )
A. 起點相同的單位向量均相等
B. 若向量a⊥b，則a?b=0
C. 若向量a//b，b//c，則a、c不一定平行
D. 任意兩向量a、b均有a?b≤a?b
10.已知函數(shù)fx=sinωx+φω>0,φ0)圖象的一個對稱中心到相鄰對稱軸的距離為π4，且f0+fπ6=3．
(1)求fx的解析式；
(2)將函數(shù)fx的圖象向左平移π12個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到函數(shù)gx的圖象，若gx1gx2=9，且x1,x2∈?2π,2π，求2x1?x2的最大值；
(3)記函數(shù)fx在區(qū)間t,t+π4上的最大值為Mt，最小值為mt，設函數(shù)Ht=Mt?mt，求函數(shù)Ht在區(qū)間π12,5π12上的值域．
19.(本小題17分)
對于一組向量a1，a2，a3，…，an，(n∈N且n≥3)，令Sn=a1+a2+a3???+an，如果存在app∈1,2,3,???,n，使得ap≥Sn?ap，那么稱ap是該向量組的“長向量”．
(1)設an=n,x+2n，n∈N且n>0，若a3是向量組a1，a2，a3的“長向量”，求實數(shù)x的取值范圍；
(2)若an=sinnπ2,csnπ2，n∈N且n>0，向量組a1，a2，a3，…，a7是否存在“長向量”?給出你的結論并說明理由；
(3)已知a1，a2，a3均是向量組a1，a2，a3的“長向量”，其中a1=sinx,csx，a2=2csx,2sinx.設在平面直角坐標系中有一點列P1，P2，P3，…，Pn滿足，P1為坐標原點，P2為a3的位置向量的終點，且P2k+1與P2k關于點P1對稱，P2k+2與P2k+1(k∈N且k>0)關于點P2對稱，求P1013P1014的最小值．
參考答案
1.A
2.C
3.C
4.A
5.C
6.C
7.B
8.B
9.BCD
10.AC
11.ACD
12.?45,35
13.?79
14.4,1 ；1,?2
15.解：(1)因為2a?b?a+2b=2a2+3a?b?2b2=4+3a?b?8=2，
所以a?b=2；
(2)因為csθ=a?ba?b=2 2×2= 22，
又θ∈0,π，所以θ=π4；
(3)因為a?2b2=a2?4a?b+4b2=2?8+16=10，
所以a?2 b= 10．

16.解：1)fx=sin4x+2 3sinxcsx?cs4x
= 3sin2x+sin2x+cs2xsin2x?cs2x= 3sin2x?cs2x=2sin2x?π6，
所以fx的最小正周期T=2π2=π，
令2kπ?π2≤2x?π6≤2kπ+π2，解得kπ?π6≤x≤kπ+π3，
所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ?π6,kπ+π3，k∈Z；
(2)當x∈0,π2時，2x?π6∈?π6,5π6，
所以當2x?π6=π2，即x=π3時，fx取得最大值2，
故fx的最大值為2，取得最大值時x的集合為π3．

17.解：(1)tan70°cs10° 3tan20°?1
=sin70°cs70°cs10° 3sin20°cs20°?1
=sin70°cs70°cs10° 3sin20°?cs20°cs20°
=sin70°cs70°cs10°?2sin10°cs20°
=?sin70°cs70°sin20°cs20°=?1；
(2)將sinα?sinβ=12兩邊平方可得，sin2α?2sinαsinβ+sin2β=14，
csα+csβ=13兩邊平方可得，cs2α+2csαcsβ+cs2β=19，
兩式相加可得，2+2csαcsβ?sinαsinβ=1336，
即2+2csα+β=1336，
解得csα+β=?5972．

18.解：(1)由題意可知，函數(shù)fx的最小正周期為T=4×π4=π，所以ω=2πT=2，
所以fx= 3sin2x+acs2x，所以f0=a,fπ6= 3sinπ3+acsπ3=32+12a，
故f0+fπ6=32+32a=3，
解得a=1，
所以fx= 3sin2x+cs2x=2sin2x+π6；
(2)將函數(shù)fx的圖象向左平移π12個單位長度，
可得y=2sin2x+π12+π6=2sin2x+π3的圖象，
再向上平移1個單位長度，得到gx=2sin2x+π3+1的圖象，
所以?1≤gx≤3，
又x1,x2∈?2π,2π，所以當gx1gx2=9時，gx1=3,gx2=3，
又x1,x2∈?2π,2π，所以2x+π3∈?11π3,13π3，
要使2x1?x2最大，則2x1+π3最大，2x2+π3最?。?br>所以當2x1+π3=5π2最大，2x2+π3=?7π2最小時，
即x1=13π12,x2=?23π12,2x1?x2取得最大值，
最大值為2x1?x2=49π12；
(3)因為t∈π12,5π12，所以2t+π6∈π3,π,2t+π4+π6=2t+2π3∈5π6,3π2，
當t∈π12,π6時，fx在t,π6上單調(diào)遞增，在π6,t+π4上單調(diào)遞減，
所以Mt=2,mt=2sin2t+π2+π6=2cs2t+π6，
此時Ht=2?2cs2t+π6,t∈π12,π6；
又t∈π12,π6，所以2t+π6∈π3,π2，所以cs2t+π6∈0,12,
所以Ht的取值范圍為1,2；
當t∈π6,5π12時，fx在t,t+π4上單調(diào)遞減，
所以Mt=2sin2t+π6，mt=2sin2t+π2+π6=2cs2t+π6，
此時Ht=2sin2t+π6?2cs2t+π6=2 2sin2t?π12；
又t∈π6,5π12，所以2t?π12∈π4,3π4，所以sin2t?π12∈ 22,1，
所以Ht的取值范圍為2,2 2，
綜上，函數(shù)Ht的值域為1,2 2．

19.解：(1)由題意可得：a3≥a1+a2，則 9+x+62≥ 9+2x+62，解得：?4≤x≤0；
(2)存在“長向量”，且“長向量”為a2，a6，理由如下：
由題意可得an= sin2nπ2+cs2nπ2=1，
若存在“長向量”ap，只需使Sn?ap≤1，
又S7=a1+a2+a3+???+a7=1+0?1+0+1+0?1,0?1+0+1+0?1+0=0,?1，
故只需使Sn?ap= sin2pπ2+cspπ2+12= sin2pπ2+cs2pπ2+2cspπ2+1
= 2+2cspπ2≤1，即0≤2+2cspπ2≤1，即?1≤cspπ2≤?12，
當p=2或6時，符合要求，故存在“長向量”，且“長向量”為a2，a6；
(3)由題意，得a1≥a2+a3，a12≥a2+a32，即a12≥a2+a32，
即a12≥a22+a32+2a2?a3，同理a22≥a12+a32+2a1?a3，
a32≥a12+a22+2a1?a2，
三式相加并化簡，得：0≥a12+a22+a32+2a1?a2+2a1?a3+2a2?a3，
即a1+a2+a32≤0，a1+a2+a3≤0，所以a1+a2+a3=0，
設a3=u,v，由a1+a2+a3=0得：u=?sinx?2csxv=?csx?2sinx,
設Pnxn,yn，則依題意得：x2k+1,y2k+1=2x1,y1?x2k,y2kx2k+2,y2k+2=2x2,y2?x2k+1,y2k+1,
得x2k+2,y2k+2=2x2,y2?x1,y1+x2k,y2k，
故x2k+2,y2k+2=2kx2,y2?x1,y1+x2,y2，
x2k+1,y2k+1=?2kx2,y2?x1,y1+x2,y2，
所以P2k+1P2k+2=x2k+2?x2k+1,y2k+2?y2k+1=4kx2,y2?x1,y1=4kP1P2，
P1P22=?sinx?2csx2+?csx?2sinx2=5+8sinxcsx=5+4sin2x≥1，
當且僅當x=tπ?π4t∈Z時等號成立，
故P1013P1014min=4×10122=2024．

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