一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．某校高一年級(jí)個(gè)班參加藝術(shù)節(jié)合唱比賽，通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，抽得個(gè)班的比賽得分如下：，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
3．安排4名大學(xué)生到兩家公司實(shí)習(xí)，每名大學(xué)生只去一家公司，每家公司至少安排1名大學(xué)生，則大學(xué)生甲?乙到同一家公司實(shí)習(xí)的概率為（ ）
A．B．C．D．
4．已知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，離心率為.若，則（ ）
A．5B．7C．21D．25
5．設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
6．若函數(shù)有唯一極值點(diǎn)，則下列關(guān)系式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
7．若，則（ ）
A．B．C．D．
8．已知實(shí)數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，令，則（ ）
A．的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是
B．的對(duì)稱(chēng)軸方程為
C．在上的值域?yàn)?br>D．的單調(diào)遞減區(qū)間為
10．已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．
B．若滿足，則
C．若，且，則
D．若滿足，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線
11．若函數(shù)，則（ ）
A．的極大值點(diǎn)為2
B．有且僅有2個(gè)零點(diǎn)
C．點(diǎn)是的對(duì)稱(chēng)中心
D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．已知，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，若，則 .
13．甲?乙兩位同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽，采用五局三勝制（當(dāng)一人贏得三局時(shí)，該同學(xué)獲勝，比賽結(jié)束）.根據(jù)以往比賽成績(jī)，每局比賽中甲獲勝的概率都是，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.若甲以獲勝的概率不低于甲以獲勝的概率，則的取值范圍為 .
14．如圖，為的邊上一點(diǎn)，，則的最小值為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．某項(xiàng)考核，設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答該問(wèn)題者則考核過(guò)關(guān)，否則即被淘汰.已知甲?乙?丙三人參與考核，考核結(jié)果互不影響，甲過(guò)關(guān)的概率為，乙過(guò)關(guān)的概率為，丙過(guò)關(guān)的概率為.
(1)若三人中有兩人過(guò)關(guān)，求丙過(guò)關(guān)的概率；
(2)記甲?乙?丙三人中過(guò)關(guān)的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
16．已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，.
17．如圖，矩形中，為的中點(diǎn)，將沿折起，使平面平面，且點(diǎn)滿足，且.
(1)求直線與平面所成角的正切值；
(2)求幾何體的體積.
18．拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，斜率分別為的直線均過(guò)點(diǎn)，且分別與交于和（其中在第一象限），分別為的中點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，的角平分線與交于點(diǎn).
(1)求直線的斜率（用表示）；
(2)證明：的面積大于.
19．定義：在一個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱(chēng)為該數(shù)列的一次“和擴(kuò)充”，例如：數(shù)列1，3，5經(jīng)過(guò)第一次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列；第二次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列.設(shè)數(shù)列經(jīng)過(guò)次“和擴(kuò)充”后得到的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，所有項(xiàng)的和為.
(1)若已知數(shù)列，求；
(2)求不等式的解集；
(3)是否存在不全為0的數(shù)列，使得數(shù)列為等差數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案
1．【答案】C
【分析】根據(jù)題意寫(xiě)出集合的元素，再根據(jù)集合交運(yùn)算即可求解.
【詳解】即，
解得，
由題意得，
則.
故選.
2．【答案】A
【分析】將比賽得分從小到大重新排列，結(jié)合百分位數(shù)定義求其分位數(shù).
【詳解】將比賽得分從小到大重新排列：，
因?yàn)椋?br>所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是第個(gè)數(shù)93.
故選A.
3．【答案】D
【分析】4名大學(xué)生分兩組，每組至少一人，有兩種情形，分別為3，1人或2，2人；共有種實(shí)習(xí)方案，其中甲，乙到同一家實(shí)習(xí)的情況有種，則可得到甲?乙到同一家實(shí)習(xí)的概率.
【詳解】4名大學(xué)生分兩組，每組至少一人，有兩種情形，分別為3，1人或2，2人,
即共有種實(shí)習(xí)方案，
其中甲，乙到同一家實(shí)習(xí)的情況有種，
故大學(xué)生甲?乙到同一家實(shí)習(xí)的概率為.
故選D.
4．【答案】B
【分析】根據(jù)離心率及，得到a,b的兩個(gè)關(guān)系式，解方程即可求解.
【詳解】因?yàn)殡x心率，解得
因?yàn)榉謩e為的左?右頂點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，
則.
所以，
因?yàn)?，
所以，
將代入
解得.
故選B.
5．【答案】C
【分析】先將，構(gòu)造函數(shù)，研究單調(diào)性，進(jìn)而比較大小即可.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，可得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
，
由，故，即.
故選C.
6．【答案】C
【分析】由，令，討論判別式，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布、極值點(diǎn)定義研究各項(xiàng)正誤.
【詳解】由，，得，
令，
若，此時(shí)單調(diào)，不存在極值點(diǎn)，所以，即，
由于有唯一極值點(diǎn)，故有正根，負(fù)根各一個(gè)，則，故，
結(jié)合選項(xiàng)一定成立.
故選C.
7．【答案】C
【分析】首先正切化為正弦和余弦，再利用輔助角和二倍角公式化解得到，再利用角的變換表示，最后利用三角函數(shù)二倍角公式，即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，
，
.
故選C.
8．【答案】A
【分析】由實(shí)數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得的最小值為，得，即可得到的取值范圍.
【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，
所以，
所以，
構(gòu)造函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，
所以的最小值為，
所以.
故選A.
9．【答案】ABD
【分析】觀察圖象確定的最小值，周期求，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性可得函數(shù)過(guò)點(diǎn)由此可求，通過(guò)三角恒等變換求，驗(yàn)證是否為的對(duì)稱(chēng)中心判斷A，求的對(duì)稱(chēng)軸判斷B，由條件求的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)判斷C，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間判斷D.
【詳解】由題圖可得函數(shù)的最小值為，，
又，，，所以，
結(jié)合對(duì)稱(chēng)性可得函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，
所以，解得，又，所以，
所以，
所以，
所以.
對(duì)于A，當(dāng)，，所以是的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故A正確；
對(duì)于B，令，，可得，，故的對(duì)稱(chēng)軸方程為，，故B正確；
對(duì)于C，時(shí)，，所以，故在上的值域?yàn)?，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，令，解得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故D正確.
故選ABD.
10．【答案】AC
【分析】首先設(shè)復(fù)數(shù)和，利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算公式和模的運(yùn)算公式，即可判斷A；利用列舉法判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，即可判斷C，結(jié)合復(fù)數(shù)相減的模的幾何意義，即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)，則，，
，，
所以，故A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，令，
因?yàn)椋曰颍?br>，
因?yàn)?，所以，因?yàn)榛?，所以，所以，故C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，令，因?yàn)?，所以，
由雙曲線定義可得在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支，故D錯(cuò)誤.
故選AC.
11．【答案】BCD
【分析】對(duì)于A，直接求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與極值的關(guān)系即可判斷；對(duì)于B，結(jié)合極值與0的大小關(guān)系即可判斷；對(duì)于C，直接驗(yàn)算即可；對(duì)于D，由C選項(xiàng)結(jié)論即可驗(yàn)算.
【詳解】
對(duì)于A，由題意知.
令，解得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；
令，解得，所以在上單調(diào)遞減.
所以在處有極大值.所以的極大值點(diǎn)為0，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，又因?yàn)闃O小值，極大值，故有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，故B正確；
對(duì)于C，，對(duì)稱(chēng)中心為，故C正確；
對(duì)于D，由C選項(xiàng)，所以.故D正確.
故選BCD.
【關(guān)鍵點(diǎn)撥】判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵在于得出點(diǎn)是的對(duì)稱(chēng)中心，由此即可順利得解.
12．【答案】
【分析】由向量的線性運(yùn)算可得，再代入，即可求得.
【詳解】
由題意，，
所以
.
故答案為：.
13．【答案】
【分析】分別求得甲以獲勝的概率，甲以獲勝的概率為，列出不等式即可求得.
【詳解】甲以獲勝的概率，甲以獲勝的概率為，
由題意，，即，解得，
所以的取值范圍為.
故答案為：.
14．【答案】
【分析】建立如圖所示坐標(biāo)系，法一：由兩點(diǎn)間距離公式表示出，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果；法二：由兩點(diǎn)間距離公式表示出，然后結(jié)合基本不等式求出結(jié)果.
【詳解】以為軸，以為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)
，
法一：，當(dāng)時(shí)，.
法二：，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故.
故答案為：.
15．【答案】(1)；
(2)分布列見(jiàn)解析，.
【分析】（1）由題意可知，這是一個(gè)條件概率，先求有兩人過(guò)關(guān)的概率，再利用條件概率求解即可.
（2）根據(jù)題意的所有可能取值為，根據(jù)題意，逐一求出相應(yīng)的概率即可得到分布列，再求數(shù)學(xué)期望即可.
【詳解】（1）記甲?乙?丙三人過(guò)關(guān)分別為事件，記三人中恰有兩人過(guò)關(guān)為事件
則
，
又
，
所以，
故若有兩人過(guò)關(guān)，丙過(guò)關(guān)的概率為.
（2）由題意可知，的所有可能取值為，
則，
，
，
所以的分布列為
故，
即的數(shù)學(xué)期望為.
16．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；
(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)得，對(duì)分和來(lái)討論的單調(diào)性即可；
（2）要證，只需證，結(jié)合（1）的結(jié)論得，即證恒成立. 令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可得證.
【詳解】（1），定義域?yàn)椋?br>則，
①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.
綜上，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）當(dāng)時(shí)，要證，只需證，
由（1）得，，
即證恒成立.
令，則
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
的最大值為，即.
恒成立，原命題得證.
17．【答案】(1)；
(2)2.
【分析】（1）先由面面垂直的性質(zhì)得到平面，進(jìn)而證明兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，找到平面的一個(gè)法向量，代入線面角公式求出正弦值，再由同角三角函數(shù)關(guān)系求出余弦和正切即可；
（2）由圖形關(guān)系可得，再分別求出四棱錐與三棱錐的體積即可；
【詳解】（1）取中點(diǎn)中點(diǎn)，連接，
由題易得，
，
平面平面，平面平面面，
∴平面，
又為中點(diǎn)，則在矩形中，四邊形為正方形，
，
兩兩垂直，且.
以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，.
，平面的一個(gè)法向量為.
.
，則，
，則直線與平面所成角的正切值為.
（2）.
.
，
.
所求幾何體的體積為2.
18．【答案】(1)；
(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用設(shè)而不求法求點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可得的坐標(biāo)，由此可求直線的斜率；
（2）設(shè)直線的傾斜角分別為，求直線，的方程，分別在，條件下求，再求的面積，并證明結(jié)論.
【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為，
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立得，
由已知方程的判別式，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
則，，
所以
故中點(diǎn)的坐標(biāo)為，
同理可得，
故.
（2）設(shè)直線的傾斜角分別為，
則有，
的傾斜角為，斜率為，
故FQ：，
當(dāng)時(shí)，，
故.
，
即，
當(dāng)，且時(shí)，
令可得，，
所以，
，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
此時(shí)，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
記點(diǎn)到的距離為，
當(dāng)時(shí)，由于，
故，故，又，
故此時(shí)的面積；
當(dāng)時(shí)，，又，
故此時(shí)的面積；
綜上所述，的面積大于.
【方法總結(jié)】（1）直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類(lèi)似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；
（2）有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．
19．【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，理由見(jiàn)解析.
【分析】（1）由已知，可得第二次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列，即可得到；
（2）由已知，數(shù)列第次“和擴(kuò)充”后增加的項(xiàng)數(shù)為，可得，可得是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，可得，則，可解得.
（3）由已知，可得，進(jìn)而可得，從而得到結(jié)論.
【詳解】（1）第一次“和擴(kuò)充”：3，7，4，9，5；
第二次“和擴(kuò)充”：3，10，7，11，4，13，9，14，5；
故.
（2）數(shù)列經(jīng)每一次“和擴(kuò)充”后是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中增加一項(xiàng)，
數(shù)列經(jīng)過(guò)次“和擴(kuò)充”后得到的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，
則經(jīng)第次“和擴(kuò)充”后增加的項(xiàng)數(shù)為，
所以，
所以，
其中數(shù)列經(jīng)過(guò)1次“和擴(kuò)充”后，得到，.
故，，
故是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，
所以，故，
又，則，即，解得.
（3）因?yàn)椋?br>，
依次類(lèi)推，，
故
，
若使為等差數(shù)列，則，
所以存在不全為0的數(shù)列，使得數(shù)列為等差數(shù)列.
【思路導(dǎo)引】小問(wèn)（2），推出是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，進(jìn)而求解；小問(wèn)（3），推出，利用累加法求和得到，得到結(jié)論.0
1
2
3

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