一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡的相應(yīng)位置上．
1. 已知向量，滿足，，，則（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，即，
即，所以，解得.
故選：C
2. 的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若則邊（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理解出的即可.
【詳解】在中，由正弦定理可得，.
故選：B
3. 在中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA.記，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合向量的加減法運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，?br>所以
，
故選：B
4. 在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，，則三角形是（ ）
A. 銳角三角形B. 直角三角形C. 鈍角三角形D. 等腰三角形
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合正弦定理和余弦定理，判斷出三角形的形狀.
【詳解】根據(jù)正弦定理可知，所以，由于，所以，所以三角形是直角三角形.
故選：B
【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理判斷三角形的形狀，屬于基礎(chǔ)題.
5. 的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理可求得所求代數(shù)式值.
【詳解】設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理可得，
因此，.
故選：C.
6. 小明同學(xué)學(xué)以致用，欲測量學(xué)校教學(xué)樓的高度，他采用了如圖所示的方式來進(jìn)行測量，小明同學(xué)在運(yùn)動(dòng)場上選取相距20米的C，D兩觀測點(diǎn)，且C，D與教學(xué)樓底部B在同一水平面上，在C，D兩觀測點(diǎn)處測得教學(xué)樓頂部A的仰角分別為，，并測得，則教學(xué)樓AB的高度是（ ）
A. 20米B. 米C. 米D. 25米
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)仰角可得，，在三角形利用余弦定理即可求解.
【詳解】設(shè)教學(xué)樓的高度為，
在直角三角形中，因，所以，
在直角三角形中，因?yàn)椋裕?br>所以，
在中，由余弦定理可得，
代入數(shù)值可得解得或（舍），
故選:A.
7. 中，D為BC的中點(diǎn)，，則AD的長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由條件可得，然后結(jié)合向量的模長公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可得，，
則
，
則，即AD的長為.
故選：C
8. 如圖，正方形的邊長為2，圓半徑為1，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的加法可得，再由向量數(shù)量積的運(yùn)算即可得解.
【詳解】設(shè)與的夾角為，則，
，
因?yàn)椋?br>所以，
故選：C
二、多選題本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知平面向量，則（ ）
A. B.
C. 在上的投影向量的模為D. 與的夾角為鈍角
【答案】AC
【解析】
【分析】由模長的計(jì)算可得A正確；由向量垂直的坐標(biāo)表示可得B錯(cuò)誤；由投影向量的模的計(jì)算可得C正確；由向量的夾角公式可得D錯(cuò)誤.
【詳解】A：由題意可得，故A正確；
B：因?yàn)椋?br>所以，故B錯(cuò)誤；
C：在上的投影向量的模為，故C正確；
D：與的夾角的余弦為，所以夾角不是鈍角，故D錯(cuò)誤；
故選：AC.
10. 在中，角所對(duì)的邊分別為，，，以下判斷正確的是（ ）
A. 若，則的面積為B. 若，則
C. 若，則D. 若有兩解，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可判斷A；根據(jù)正弦定理計(jì)算即可判斷B；根據(jù)余弦定理計(jì)算即可判斷C；根據(jù)正弦定理和且即可判斷D.
【詳解】A：若，則，故A正確；
B：若，由正弦定理得，
即，解得，故B錯(cuò)誤；
C：若，由余弦定理得，
即，整理得，由解得，故C正確；
D：由正弦定理得，則，
由得，若有兩個(gè)解，則且，
所以，即，解得，故D正確.
故選：ACD
11. 的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，且.若D是外一點(diǎn)，DC＝1，AD＝2，則下列說法中正確（ ）
A. B.
C. 四邊形ABCD面積有最小值D. 四邊形ABCD面積有最大值
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用正弦定理化邊為角，結(jié)合兩角和的正弦定理可求出角，進(jìn)而求出，即可判斷AB；先求出的關(guān)系，再在中，利用余弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合三角函數(shù)即可判斷CD.
【詳解】在中，因?yàn)椋?br>所以，
即，
又，所以，
在中，因?yàn)?，則，
所以，則，故AB正確；
在中，，
中，，
四邊形ABCD面積
，其中（為銳角），
又，
所以，
因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，在上遞減，
所以四邊形ABCD面積有最大值，無最小值，故C錯(cuò)誤，D正確.

故選：ABD.
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分
12. 已知向量，，則向量在向量上的投影向量為__________（用坐標(biāo)表示）．
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量的定義結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得向量在向量上的投影向量.
【詳解】向量在向量上的投影向量為
.
故答案為：.
13. 定義：，兩個(gè)向量的叉乘的模．若點(diǎn)、，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則______．
【答案】
【解析】
【分析】依題意首先求出、根據(jù)，求出，再根據(jù)所給定義計(jì)算可得；
【詳解】解：因?yàn)?、，所以、?br>所以，，，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以
故答案為：
14. 在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知的平分線交AC于點(diǎn)D，且，則的最小值＝______．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)題意求出角的大小，再結(jié)合角平分線的長度得到的關(guān)系，再結(jié)合基本不等式求出的最小值
【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得?br>因?yàn)?，所以，故?br>如圖所示，則的面積為，
即即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，的最小值為．
故答案為：．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15. 在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．
（1）求的值；
（2）若，，求的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式求出，即可得解；
（2）利用余弦定理求出，再由面積公式計(jì)算可得
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>由正弦定理得，，
又，所以，
又，所以，故，所以.
【小問2詳解】
由余弦定理得，所以，
故．
16. 已知平面向量，.
（1）若，且，求的坐標(biāo)；
（2）若與的夾角為銳角.求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)出，利用平行關(guān)系和模長列出方程組，求出，得到答案；
（2）寫出，根據(jù)與的夾角為銳角，得到方程和不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍..
【小問1詳解】
設(shè)，，
因?yàn)?，所?x＝－y，因?yàn)?，所以?br>解得或，所以或；
【小問2詳解】
，，
因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，，
解得且，即.
17. 中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．
（1）求角A的大??；
（2）若，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意利用正、余弦定理分析運(yùn)算；
（2）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，在結(jié)合三角恒等變換及余弦函數(shù)分析運(yùn)算.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>由正弦定理得，整理得，
所以，
且，故.
【小問2詳解】
因?yàn)椋傻茫?br>則
，
因?yàn)?，所以，則
所以，即．
18. 第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2022年6月在成都舉行，需規(guī)劃公路自行車比賽賽道，該賽道的平面示意圖為五邊形ABCDE（如圖），根據(jù)自行車比賽的需要，需預(yù)留出AC，AD兩條服務(wù)車道（不考慮寬度），DC，CB，BA，AE，ED為賽道，已知，，，，______．（注：km為千米）
請(qǐng)從①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在題干中，然后解答補(bǔ)充完整的問題．
（1）求服務(wù)通道AD的長；
（2）在（1）的條件下，求折線賽道AED的最大值（即最大）．
注：如果選擇兩個(gè)條件解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）選擇條件①由正弦定理得，選擇條件②由余弦定理得，再結(jié)合余弦定理可得AD的長；
（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合均值不等式即可求角線段和最大值．
【小問1詳解】
解：若選擇條件①，
在△ABC中，由正弦定理得：，即，
解得；
若選擇條件②，
在△ABC中，由余弦定理得：
即
解得；
在△ACD中，由余弦定理得，
即
解得或（舍去）∴服務(wù)通道AD的長為．
【小問2詳解】
在△ADE中，由余弦定理得：，
∴，即，
∵，
∴，∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）
∴折線賽道AED的最大值為．
19. 如圖，設(shè) 中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，AD為BC邊上的中線，已知c＝1且2csinAcsB＝asinA﹣bsinBbsinC，cs∠BAD．
（1）求b邊的長度；
（2）設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，線段EF交AD于G，且的面積為面積的一半，求的最小值.
【答案】（1）4 （2）2
【解析】
【分析】（1）根據(jù)2csinAcsB＝asinA﹣bsinBbsinC，利用正弦定理和余弦定理化簡求解；
（2）設(shè) 利用D為中點(diǎn)，得到，兩邊平方，設(shè)，結(jié)合，求得，進(jìn)而得到，
再根據(jù)的面積為面積的一半，得到，然后利用E，G，F(xiàn)共線和基本定理，利用數(shù)量積運(yùn)算求解.
【小問1詳解】
解：因?yàn)?csinAcsB＝asinA﹣bsinBbsinC，
所以，
所以，
化簡得：4c＝b，又c＝1，
所以b＝4．
小問2詳解】
設(shè)，
因?yàn)镈為中點(diǎn)，所以，設(shè)，
則，
所以，而，
所以，
即，解得或，
因?yàn)?，所以，?br>所以，
因?yàn)榈拿娣e為面積的一半，
所以，即，
設(shè)，
則，
又E，G，F(xiàn)共線，設(shè)，
則，
所以：，解得：，
所以：，又，
所以,
，
又xy＝2，
化簡得： ，
又y≤4，所以，
所以，當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立．

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