1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標系中，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，過A，C兩點的拋物線與x軸的另一個交點為點，點P是拋物線位于第四象限圖象上的動點，過點P分別作x軸和y軸的平行線，分別交直線于點E，點F．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點D是x軸上的任意一點，若是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點D的坐標；
(3)當時，求點P的坐標；
(4)在（3）的條件下，若點N是y軸上的一個動點，過點N作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M，連接，則的最小值為______．
2．（2023·浙江·中考真題）已知點和在二次函數(shù)是常數(shù)，的圖像上．
(1)當時，求和的值；
(2)若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點且點A不在坐標軸上，當時，求的取值范圍；
(3)求證：．
3．（2024·四川廣元·中考真題）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線F：經(jīng)過點，與y軸交于點．
(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)在直線上方拋物線上有一動點C，連接交于點D，求的最大值及此時點C的坐標；
(3)作拋物線F關于直線上一點的對稱圖象，拋物線F與只有一個公共點E（點E在y軸右側），G為直線上一點，H為拋物線對稱軸上一點，若以B，E，G，H為頂點的四邊形是平行四邊形，求G點坐標．
4．（2023·浙江杭州·中考真題）設二次函數(shù)，（，是實數(shù)）．已知函數(shù)值和自變量的部分對應取值如下表所示：
(1)若，求二次函數(shù)的表達式；
(2)寫出一個符合條件的的取值范圍，使得隨的增大而減?。?br>(3)若在m、n、p這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，求的取值范圍．
5．（2023·湖南常德·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，頂點為D．O為坐標原點，．

(1)求二次函數(shù)的表達式；
(2)求四邊形的面積；
(3)P是拋物線上的一點，且在第一象限內，若，求P點的坐標．
6．（2024·四川達州·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．點是拋物線的頂點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖2，連接，，直線交拋物線的對稱軸于點，若點是直線上方拋物線上一點，且，求點的坐標；
(3)若點是拋物線對稱軸上位于點上方的一動點，是否存在以點，，為頂點的三角形是等腰三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
7．（2023·山東東營·中考真題）如圖，拋物線過點，，矩形的邊在線段上（點B在點A的左側），點C，D在拋物線上，設，當時，．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)當t為何值時，矩形的周長有最大值？最大值是多少？
(3)保持時的矩形不動，向右平移拋物線，當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G，H，且直線平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離．
8．（2023·內蒙古通遼·中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點．

(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式；
(2)P是拋物線上一動點（不與點A，B，C重合），作軸，垂足為D，連接．
①如圖，若點P在第三象限，且，求點P的坐標；
②直線交直線于點E，當點E關于直線的對稱點落在y軸上時，請直接寫出四邊形的周長．
9．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線：與軸交于A，B兩點（點在點的左側），其頂點為，是拋物線第四象限上一點．
(1)求線段的長；
(2)當時，若的面積與的面積相等，求的值；
(3)延長交軸于點，當時，將沿方向平移得到．將拋物線平移得到拋物線，使得點，都落在拋物線上．試判斷拋物線與是否交于某個定點．若是，求出該定點坐標；若不是，請說明理由．
10．（2024·四川德陽·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點．
(1)求拋物線的解析式；
(2)當時，求的函數(shù)值的取值范圍；
(3)將拋物線的頂點向下平移個單位長度得到點，點為拋物線的對稱軸上一動點，求的最小值．
11．（2024·四川遂寧·中考真題）二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點，與軸交于點，為拋物線上的兩點．
(1)求二次函數(shù)的表達式；
(2)當兩點關于拋物線對稱軸對稱，是以點為直角頂點的直角三角形時，求點的坐標；
(3)設的橫坐標為，的橫坐標為，試探究：的面積是否存在最小值，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．
12．（2023·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與坐標軸分別相交于點A，B，三點，其對稱軸為．

(1)求該拋物線的解析式；
(2)點是該拋物線上位于第一象限的一個動點，直線分別與軸，直線交于點，．
①當時，求的長；
②若，，的面積分別為，，，且滿足，求點的坐標．
13．（2023·全國·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點．點，在此拋物線上，其橫坐標分別為，連接，．

(1)求此拋物線的解析式．
(2)當點與此拋物線的頂點重合時，求的值．
(3)當?shù)倪吪c軸平行時，求點與點的縱坐標的差．
(4)設此拋物線在點與點之間部分（包括點和點）的最高點與最低點的縱坐標的差為，在點與點之間部分（包括點和點）的最高點與最低點的縱坐標的差為．當時，直接寫出的值．
14．（2023·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，其中，．

(1)求該拋物線的表達式；
(2)點是直線下方拋物線上一動點，過點作于點，求的最大值及此時點的坐標；
(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移個單位，點為點的對應點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點．寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點的坐標，并把求其中一個點的坐標的過程寫出來．
15．（2023·四川涼山·中考真題）如圖，已知拋物線與軸交于和兩點，與軸交于點．直線過拋物線的頂點．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)若直線與拋物線交于點，與直線交于點．
①當取得最大值時，求的值和的最大值；
②當是等腰三角形時，求點的坐標．
16．（2024·江蘇連云港·中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線（a、b為常數(shù)，）．

(1)若拋物線與軸交于、兩點，求拋物線對應的函數(shù)表達式；
(2)如圖，當時，過點、分別作軸的平行線，交拋物線于點M、N，連接．求證：平分；
(3)當，時，過直線上一點作軸的平行線，交拋物線于點．若的最大值為4，求的值．
17．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖①，二次函數(shù)的圖象與開口向下的二次函數(shù)圖象均過點，．
(1)求圖象對應的函數(shù)表達式；
(2)若圖象過點，點P位于第一象限，且在圖象上，直線l過點P且與x軸平行，與圖象的另一個交點為Q（Q在P左側），直線l與圖象的交點為M，N（N在M左側）．當時，求點P的坐標；
(3)如圖②，D，E分別為二次函數(shù)圖象，的頂點，連接，過點A作．交圖象于點F，連接EF，當時，求圖象對應的函數(shù)表達式．
18．（2023·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點，直線與拋物線交于B，C兩點．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；
(2)若是以為腰的等腰三角形，求點B的坐標；
(3)過點作y軸的垂線，交直線AB于點D，交直線AC于點E．試探究：是否存在常數(shù)m，使得始終成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．
19．（2023·湖南·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，其中，．

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；
(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點，使得？若存在，請求出點坐標；若不存在，請說明理由；
(3)點是對稱軸上一點，且點的縱坐標為，當是銳角三角形時，求的取值范圍．
20．（2024·湖南·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，點，是此二次函數(shù)的圖像上的兩個動點．
(1)求此二次函數(shù)的表達式；
(2)如圖1，此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點B，點P在直線的上方，過點P作軸于點C，交AB于點D，連接．若，求證的值為定值；
(3)如圖2，點P在第二象限，，若點M在直線上，且橫坐標為，過點M作軸于點N，求線段長度的最大值．
答案
1．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本題主要考查了求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合等知識點，掌握數(shù)形結合思想成為解題的關鍵．
（1）先根據(jù)題意確定點A、C的坐標，然后運用待定系數(shù)法求解即可；
（2）分三種情況分別畫出圖形，然后根據(jù)等腰三角形的定義以及坐標與圖形即可解答；
（3）先證明可得，設，則,可得，即，求得可得m的值，進而求得點P的坐標；
（4）如圖：將線段向右平移單位得到,即四邊形是平行四邊形，可得,即，作關于對稱軸的點,則，由兩點間的距離公式可得，再根據(jù)三角形的三邊關系可得即可解答．
【詳解】（1）解：∵直線與x軸交于點A，與y軸交于點C，
∴當時，，即；當時，，即；
∵，
∴設拋物線的解析式為，
把代入可得：，解得：，
∴，
∴拋物線的解析式為：．
（2）解：∵，，
∴,
∴，
如圖：當，
∴,即；
如圖：當，
∴,即；
如圖：當，
∴,即；
綜上，點D的坐標為．
（3）解：如圖：∵軸，
∴，
∵軸，
∴，
∵，
∴,
∴,
∵設，則,
∴，
∴，解得：（負值舍去），
當時，，
∴．
（4）解： ∵拋物線的解析式為：，
∴拋物線的對稱軸為：直線，
如圖：將線段向右平移單位得到,
∴四邊形是平行四邊形，
∴,即,
作關于對稱軸的點,則
∴,
∵，
∴的最小值為．
故答案為．
2．【答案】(1)；(2)；(3)見解析
【分析】（1）由可得圖像過點和，然后代入解析式解方程組即可解答；
（2）先確定函數(shù)圖像的對稱軸為直線，則拋物線過點，即，然后再結合即可解答；
（3）根據(jù)圖像的對稱性得，即，頂點坐標為；將點和分別代入表達式并進行運算可得；則，進而得到，然后化簡變形即可證明結論．
【詳解】（1）解：當時，圖像過點和，
∴，解得，
∴，
∴．
（2）解：∵函數(shù)圖像過點和，
∴函數(shù)圖像的對稱軸為直線．
∵圖像過點，
∴根據(jù)圖像的對稱性得．
∵，
∴．
（3）解：∵圖像過點和，
∴根據(jù)圖像的對稱性得．
∴，頂點坐標為．
將點和分別代人表達式可得
①②得，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
3．【答案】(1)；
(2)最大值為，C的坐標為；
(3)點G的坐標為，，．
【分析】（1）本題考查了待定系數(shù)法解拋物線分析式，根據(jù)題意將點坐標分別代入拋物線解析式，解方程即可；
（2）根據(jù)題意證明，再設的解析式為，求出的解析式，再設，則，再表示出利用最值即可得到本題答案；
（3）根據(jù)題意求出，再分情況討論當為對角線時，當為邊時繼而得到本題答案．
【詳解】（1）解：，代入，
得：，解得：，
∴拋物線的函數(shù)表達式為．
（2）解：如圖1，過點C作x軸的垂線交于點M．
∴軸，
∴，
∴，
設的解析式為，
把，代入解析式得，
解得：，
∴．
設，則，
∴，
∵，，
∴當時，最大，最大值為．
∴的最大值為，此時點C的坐標為．
（3）解：由中心對稱可知，拋物線F與的公共點E為直線與拋物線F的右交點，
∴，
∴（舍），，
∴．
∵拋物線F：的頂點坐標為，
∴拋物線的頂點坐標為，
∴拋物線的對稱軸為直線．
如圖2，當為對角線時，由題知，
∴，
∴．
如圖3，當為邊時，由題知，
∴，
∴．
如圖4，由題知，
∴，
∴，
綜上：點G的坐標為，，．
4．【答案】(1)；(2)當時，則時，隨的增大而減??；當時，則時，隨的增大而減??；(3)
【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可．
（2）利用拋物線的對稱性質求得拋物線的對稱軸為直線；再根據(jù)拋物線的增減性求解即可．
（3）先把代入，得，從而得，再求出，，，從而得，然后m、n、p這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，得，求解即可．
【詳解】（1）解：把，代入，得
，解得：，
∴．
（2）解：∵，在圖象上，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∴當時，則時，隨的增大而減小，
當時，則時，隨的增大而減?。?br>（3）解：把代入，得
，
∴
∴
把代入得，，
把代入得，，
把代入得，，
∴，
∵m、n、p這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，
∴，解得：．
5．【答案】(1)；(2)30；(3)
【分析】（1）用兩點式設出二次函數(shù)的解析式，然后求得C點的坐標，并將其代入二次函數(shù)的解析式，求得a的值，再將a代入解析式中即可．
（2）先將二次函數(shù)變形為頂點式，求得頂點坐標，然后利用矩形、三角形的面積公式即可求得答案．
（3）根據(jù)各點的坐標的關系及同角三角函數(shù)相等的結論可以求得相關聯(lián)的函數(shù)解析式，最后聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，求得點P的坐標．
【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點．
∴設二次函數(shù)的表達式為
∵，
∴，即的坐標為
則，得
∴二次函數(shù)的表達式為；
（2）
∴頂點的坐標為
過作于，作于，
四邊形的面積
；

（3）如圖，是拋物線上的一點，且在第一象限，當時，
連接，過作交于，過作于，

∵，則為等腰直角三角形，．
由勾股定理得：，
∵，
∴，
即，
∴
由，得，
∴．
∴是等腰直角三角形
∴
∴的坐標為
所以過的直線的解析式為
令
解得，或
所以直線與拋物線的兩個交點為
即所求的坐標為
6．【答案】(1)
(2)或；
(3)或或或
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；
（2）先求得的坐標，根據(jù)勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，進而根據(jù)得出，連接，設交軸于點，則得出是等腰直角三角形，進而得出，則點與點重合時符合題意，，過點作交拋物線于點，得出直線的解析式為，聯(lián)立拋物線解析式，即可求解；
（3）勾股定理求得，根據(jù)等腰三角形的性質，分類討論解方程，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點和點，
∴
解得：
∴拋物線的解析式為；
（2）由，當時，，則
∵，則，對稱軸為直線
設直線的解析式為，代入，
∴
解得：
∴直線的解析式為，
當時，，則
∴
∴
∴是等腰三角形，
∴
連接，設交軸于點，則
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又
∴
∴
∴點與點重合時符合題意，
如圖所示，過點作交拋物線于點，
設直線的解析式為，將代入得，
解得：
∴直線的解析式為
聯(lián)立
解得：，
∴
綜上所述，或；
（3）解：∵，，
∴
∵點是拋物線對稱軸上位于點上方的一動點，設其中
∴，
①當時，，解得：或
②當時，，解得：
③當時，，解得：或（舍去）
綜上所述，或或或．
7．【答案】(1)；(2)當時，矩形的周長有最大值，最大值為；(3)4
【分析】（1）設拋物線的函數(shù)表達式為，求出點C的坐標，將點C的坐標代入即可求出該拋物線的函數(shù)表達式；
（2）由拋物線的對稱性得，則，再得出，根據(jù)矩形的周長公式，列出矩形周長的表達式，并將其化為頂點式，即可求解；
（3）連接A，相交于點P，連接，取的中點Q，連接，根據(jù)矩形的性質和平移的性質推出四邊形是平行四邊形，則，．求出時，點A的坐標為，則，即可得出結論．
【詳解】（1）解：設拋物線的函數(shù)表達式為．
∵當時，，
∴點C的坐標為．
將點C坐標代入表達式，得，
解得．
∴拋物線的函數(shù)表達式為．
（2）解：由拋物線的對稱性得：，
∴．
當時，．
∴矩形的周長為
．
∵，
∴當時，矩形的周長有最大值，最大值為．
（3）解：連接，相交于點P，連接，取的中點Q，連接．

∵直線平分矩形的面積，
∴直線過點P．．
由平移的性質可知，四邊形是平行四邊形，
∴．
∵四邊形是矩形，
∴P是的中點．
∴．
當時，點A的坐標為，
∴．
∴拋物線平移的距離是4．
8．【答案】(1)；(2)①②或
【分析】（1）將A，C兩點坐標代入拋物線的解析式，從而求得a，c，進而求得結果；
（2）①設，過點作于點，求出，根據(jù)列出方程求出的值即可；②可推出四邊形是菱形，從而得出，分別表示出和，從而列出方程，進一步求得結果．
【詳解】（1）∵拋物線與x軸交于點，與y軸交于點，
∴把，代入得，
，
解得，，
∴拋物線的函數(shù)解析式為；
（2）①設，過點作于點，如圖，

∴
∵
∴
∵軸，
∴
又
∴四邊形是矩形，
∴
∴
∵
∴
∴（不合題意，舍去）
∴
∴；
②設，
對于，當時，
解得，
∴
∵
由勾股定理得，
當點在第三象限時，如圖，過點作軸于點，

則四邊形是矩形，
∵點與點關于對稱，
∴
∵軸，
∴
∴
∴
∴
∴四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是菱形，
∵
∴
∴
∴
∴
設直線的解析式為，
把代入得，，
解得，，
∴直線的解析式為，
∴，
∴,
又且
∴
解得，（舍去）
∴
∴四邊形的周長；
當點在第二象限時，如圖，

同理可得：
解得，（舍去）
∴
∴四邊形的周長；
綜上，四邊形的周長為或．
9．【答案】(1)
(2)
(3)拋物線與交于定點
【分析】（1）根據(jù)題意可得，整理得，即可知則有；
（2）由題意得拋物線：，則設，可求得，結合題意可得直線解析式為，設直線與拋物線對稱軸交于點E，則，即可求得，進一步解得點，過D作于點H，則，即可求得；
（3）設可求得直線解析式為，過點D作，可得，結合題意得設拋物線解析式為，由于過點，可求得拋物線解析式為，根據(jù)解得，即可判斷拋物線與交于定點．
【詳解】（1）解：∵拋物線：與軸交于A，B兩點，
∴，整理得，解得
∴
則；
（2）當時，拋物線：，
則
設，則，
設直線解析式為，
∵點D在直線上，
∴，解得，
則直線解析式為，
設直線與拋物線對稱軸交于點E，則，
∴，
∵的面積與的面積相等，
∴，解得，
∴點，
過點D作于點H，則，
則；
（3）設直線解析式為，
則，解得，
那么直線解析式為，
過點D作，如圖，
則，
∵，
∴，
∵將沿方向平移得到，
∴
由題意知拋物線平移得到拋物線，設拋物線解析式為，
∵點，都落在拋物線上
∴，
解得，
則拋物線解析式為
∵
整理得，解得，
∴拋物線與交于定點．
10．【答案】(1)
(2)
(3)的最小值為：
【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式即可；
（2）求解的對稱軸為直線，而，再利用二次函數(shù)的性質可得答案；
（3）求解，，可得，求解直線為，及，證明在直線上，如圖，過作于，連接，過作于，可得，，證明，可得，可得，再進一步求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為：；
（2）解：∵的對稱軸為直線，而，
∴函數(shù)最小值為：，
當時，，
當時，，
∴函數(shù)值的范圍為：；
（3）解：∵，
當時，，
∴，
當時，
解得：，，
∴，
∴，
設直線為，
∴，
∴，
∴直線為，
∵拋物線的頂點向下平移個單位長度得到點，而頂點為，
∴，
∴在直線上，
如圖，過作于，連接，過作于，
∵，，
∴，，
∵對稱軸與軸平行，
∴，
∴，
∴，
由拋物線的對稱性可得：，，
∴，
當三點共線時取等號，
∴，
∴，
∴，
即的最小值為：．
11.【答案】(1)
(2)
(3)存在，最小值為
【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，已知兩點坐標表示兩點距離，二次函數(shù)最值，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關鍵．
（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）可求，設，由，得，則
，解得，（舍去），故；
（3）分當點P、Q在x軸下方，且點Q在點P上方時，當點P、Q在x軸下方，且點P在點Q上方時，當點P、Q都在x軸上方或者一個在x軸上方，一個在x軸下方，得到這個面積是關于m的二次函數(shù)，進而求最值即可．
【詳解】（1）解：把，代入得，
，解得，
∴二次函數(shù)的表達式為；
（2）解：如圖：
由得拋物線對稱軸為直線，
∵兩點關于拋物線對軸對稱，
∴，
設，
∵，
∴，
∴
，
整理得，，
解得，（舍去），
∴，
∴；
（3）存在，理由：
當點P、Q在x軸下方，且點Q在點P上方時，
設點，則點，設直線交軸于點，
設直線表達式為：，
代入，
得：，
解得：，
∴直線的表達式為：，
令，得
則，
則，
則
，
即存在最小值為；
當點P、Q在x軸下方，且點P在點Q上方時，
同上可求直線表達式為：，
令，得
則，
則，
則
即存在最小值為；
當點P、Q都在x軸上方或者一個在x軸上方，一個在x軸下方同理可求，
即存在最小值為，
綜上所述，的面積是否存在最小值，且為．
12．【答案】(1)；(2)①；②
【分析】（1）根據(jù)拋物線對稱軸為，可得，求得，再將代入拋物線，根據(jù)待定系數(shù)法求得，即可解答；
（2）①求出點，點的坐標，即可得到直線的解析式為，設，則，求得的解析式，列方程求出點的坐標，最后根據(jù)列方程，即可求出的長；
②過分別作的垂線段，交于點，過點D作的垂線段，交于點I，根據(jù)，可得，即，證明，設，得到直線的解析式，求出點D的坐標，即可得到點的坐標，將點E的坐標代入解方程，即可解答．
【詳解】（1）解：根據(jù)拋物線的對稱軸為，
得，
解得，
將代入拋物線可得，
拋物線的解析式為；
（2）解：當時，得，
解得，，
，，
設的解析式為，將，代入，
得，
解得，
的解析式為，
設，則，
設的解析式為，將，代入，
得，
解得，
的解析式為，
聯(lián)立方程，
解得，
根據(jù)，得，
解得，，
經(jīng)檢驗，，是方程的解，
點是該拋物線上位于第一象限的一個動點，
在軸正半軸，
，
即的長為；
②解：如圖，過分別作的垂線段，交于點，過點D作的垂線段，交于點I，

，
，
，
設，則，
，
，
，
，
，
，
，即點D的橫坐標為，
，
設的解析式為，將，，
代入得，
解得，
的解析式為，
，即，
，
四邊形是矩形，
，
，即，
將代入，
得，
解得，（舍去），
．
13.【答案】(1)；(2)；(3)點與點的縱坐標的差為或；(4)或
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）化為頂點式，求得頂點坐標，進而根據(jù)點的橫坐標為，即可求解；
（3）分軸時，軸時分別根據(jù)拋物線的對稱性求得的橫坐標與的橫坐標，進而代入拋物線解析式，求得縱坐標，即可求解；
（4）分四種情況討論，①如圖所示，當都在對稱軸的左側時，當在對稱軸兩側時，當點在的右側時，當?shù)目v坐標小于時，分別求得，根據(jù)建立方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點．
∴
∴拋物線解析式為；
（2）解：∵，
頂點坐標為，
∵點與此拋物線的頂點重合，點的橫坐標為
∴，
解得：；
（3）①軸時，點關于對稱軸對稱，
，
∴，則，，
∴，
∴點與點的縱坐標的差為；
②當軸時，則關于直線對稱，
∴，
則
∴，；
∴點與點的縱坐標的差為；
綜上所述，點與點的縱坐標的差為或；
（4）①如圖所示，當都在對稱軸的左側時，

則
∴
∵，即
∴；
∵
∴
解得：或（舍去）；
②當在對稱軸兩側或其中一點在對稱軸上時，

則，即，
則，
∴，
解得：（舍去）或（舍去）；
③當點在的右側且在直線上方時，即，

，
∴
解得：或（舍去）；
④當在直線上或下方時，即，
，
，
，
解得：（舍去）或（舍去）
綜上所述，或．
14．【答案】(1)；(2)取得最大值為，；(3)點的坐標為或或
【分析】（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；
（2）直線的解析式為，過點作軸于點，交于點，設，則，則，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求解；
（3）根據(jù)平移的性質得出，對稱軸為直線，點向右平移5個單位得到，，勾股定理分別表示出，進而分類討論即可求解．
【詳解】（1）解：將點，．代入得，
解得：，
∴拋物線解析式為：，
（2）∵與軸交于點，，
當時，
解得：，
∴,
∵．
設直線的解析式為，
∴
解得：
∴直線的解析式為，
如圖所示，過點作軸于點，交于點，

設，則，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴當時，取得最大值為，，
∴；
（3）∵拋物線
將該拋物線向右平移個單位，得到，對稱軸為直線，
點向右平移5個單位得到
∵平移后的拋物線與軸交于點，令，則，
∴,
∴
∵為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點．
則點的橫坐標為，
設，
∴，，
當時，，
解得：或，
當時，，
解得：
綜上所述，點的坐標為或或．
14．【答案】(1)；(2)取得最大值為，；(3)點的坐標為或或
【分析】（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；
（2）直線的解析式為，過點作軸于點，交于點，設，則，則，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求解；
（3）根據(jù)平移的性質得出，對稱軸為直線，點向右平移5個單位得到，，勾股定理分別表示出，進而分類討論即可求解．
【詳解】（1）解：將點，．代入得，
解得：，
∴拋物線解析式為：，
（2）∵與軸交于點，，
當時，
解得：，
∴,
∵．
設直線的解析式為，
∴
解得：
∴直線的解析式為，
如圖所示，過點作軸于點，交于點，

設，則，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴當時，取得最大值為，，
∴；
（3）∵拋物線
將該拋物線向右平移個單位，得到，對稱軸為直線，
點向右平移5個單位得到
∵平移后的拋物線與軸交于點，令，則，
∴,
∴
∵為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點．
則點的橫坐標為，
設，
∴，，
當時，，
解得：或，
當時，，
解得：
綜上所述，點的坐標為或或．
16．【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）連接，根據(jù)題意，求得，，進而求出，，利用勾股定理求出，求出，從而得到，結合平行線的性質即可證明結論；
（3）設，則，，求出當時，，得到點在的上方，設，故，其對稱軸為，分為和兩種情況討論即可．
【詳解】（1）解：分別將，代入，
得，
解得．
函數(shù)表達式為；
（2）解：連接，
，
．
當時，，即點，當時，，即點．
，，
，，，
在中，．
，
，
．
，
．
．
平分．
（3）解：設，則，．
當時，．
令，
解得，．
，
，
點在的上方（如圖1）．

設，
故，
其對稱軸為，且．
①當時，即．
由圖2可知：

當時，取得最大值．
解得或（舍去）．
②當時，得，
由圖3可知：

當時，取得最大值．
解得（舍去）．
綜上所述，的值為．
17．【答案】(1)
(2)點P的坐標為
(3)
【分析】（1）運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）可求對應的函數(shù)表達式為：，其對稱軸為直線．作直線，交直線l于點H．（如答圖①）由二次函數(shù)的對稱性得，， ，由，得到，設，則點P的橫坐標為，點M的橫坐標為，，，故有，解得，（舍去），故點P的坐標為；
（3）連接，交x軸于點G，過點F作于點I，過點F作軸于點J，（如答圖②），則四邊形為矩形，設對應的函數(shù)表達式為，可求，，則，，，而，則．設，則，，，即，可得，故，則，則①，由點F在上，得到，化簡得②，由①，②可得，解得，因此，故的函數(shù)表達式為．
【詳解】（1）解：（1）將，代入，得，
，
解得：
對應的函數(shù)表達式為：；
（2）解：設對應的函數(shù)表達式為，將點代入
得：，
解得：．
對應的函數(shù)表達式為：，其對稱軸為直線．
又圖象的對稱軸也為直線，
作直線，交直線l于點H（如答圖①）
由二次函數(shù)的對稱性得，，
∴．
又，而
．
設，則點P的橫坐標為，點M的橫坐標為．
將代入，得，
將代入，得．
，，
即，解得，（舍去）．
點P的坐標為；
（3）解：連接，交x軸于點G，過點F作于點I，過點F作軸于點J．（如答圖②）
，軸，軸，
四邊形為矩形，
，．
設對應的函數(shù)表達式為，
點D，E分別為二次函數(shù)圖象，的頂點，
將分別代入，
得，
∴，，
，，．
在中，．
，
．
又，
．
．
設，則，．
，
．
，
．
，
．
又，
，
①
點F在上，
，
即．
，
②
由①，②可得．
解得（舍去），，
．
的函數(shù)表達式為．
18．【答案】(1)；(2)點B的坐標為或或；(3)存在，m的值為2或
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設，分和兩種情況，分別根據(jù)等腰三角形性質和兩點坐標距離公式列方程求解即可；
（3）先根據(jù)題意畫出圖形，設拋物線與直線的交點坐標為，，聯(lián)立拋物線和直線解析式，根據(jù)根與系數(shù)關系得到，，利用待定系數(shù)法分別求得直線、的表達式為得到， ，過E作軸于Q，過D作軸于N，證明得到，整理可得到，進而求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點，
∴，解得，
∴拋物線的函數(shù)表達式為；
（2）解：設，
根據(jù)題意，是以為腰的等腰三角形，有兩種情況：
當時，點B和點P關于y軸對稱，

∵，∴；
當時，則，
∴，
整理，得，
解得，，
當時，，則，
當時，，則，
綜上，滿足題意的點B的坐標為或或；
（3）解：存在常數(shù)m，使得．
根據(jù)題意，畫出圖形如下圖，

設拋物線與直線的交點坐標為，，
由得，
∴，；
設直線的表達式為，
則，解得，
∴直線的表達式為，
令，由得，
∴，
同理，可得直線的表達式為，則，
過E作軸于Q，過D作軸于N，
則，，，，
若，則，
∴，
∴，
∴，
∴，
則，
整理，得，
即，
將，代入，得，
即，則或，
解得，，
綜上，存在常數(shù)m，使得，m的值為2或．
19【答案】(1)；(2)或或；(3)或
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)，可得到的距離等于到的距離，進而作出兩條的平行線，求得解析式，聯(lián)立拋物線即可求解；
（3）根據(jù)題意，求得當是直角三角形時的的值，進而觀察圖象，即可求解，分和兩種情況討論，分別計算即可求解．
【詳解】（1）解：將點，代入，得
解得：
∴拋物線解析式為；
（2）∵，
頂點坐標為，
當時，
解得：
∴，則
∵，則
∴是等腰直角三角形，
∵
∴到的距離等于到的距離，
∵，，設直線的解析式為
∴
解得：
∴直線的解析式為，
如圖所示，過點作的平行線，交拋物線于點，

設的解析式為，將點代入得，
解得：
∴直線的解析式為，
解得：或
∴，
∵
∴
∴是等腰直角三角形，且，
如圖所示，延長至，使得，過點作的平行線，交軸于點，則，則符合題意的點在直線上，
∵是等腰直角三角形，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
設直線的解析式為
∴
解得：
∴直線的解析式為
聯(lián)立
解得：或
∴或
綜上所述，或或；
（3）①當時，如圖所示，過點作交于點，
當點與點重合時，是直角三角形，
當時，是直角三角形，

設交于點，
∵直線的解析式為，
則，
∴,
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
設，則
∵
∴
解得：（舍去）或
∴
∵是銳角三角形
∴；
當時，如圖所示，
同理可得
即∴
解得：或（舍去）
由（2）可得時，

∴
綜上所述，當是銳角三角形時，或．
20．【答案】(1)
(2)為定值3，證明見解析
(3)
【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出直線的解析式，，則，，表示出，，代入即可求解；
（3）設，則，求出直線的解析式，把代入即可求出線段長度的最大值．
【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，
∴，
∴，
∴；
（2）當時，，
∴，
∴，
設直線的解析式為，
∴，
∴，
∴，
設，則，，
∴，．
∴，
∴的值為定值；
（3）設，則，
設直線的解析式為，
∴，
∴，
∴，
當時，
，
∴當時，線段長度的最大值．
…
0
1
2
3
…
…
1
1
…

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