中考數(shù)學(xué)三輪沖刺《二次函數(shù)壓軸題》強(qiáng)化練習(xí)六1.已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A(﹣2，0)、B(6，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，﹣3)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上，連接AP交BC于點(diǎn)M，當(dāng)最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及的最大值；(3)在(2)的條件下，過點(diǎn)P作x軸的垂線l，在l上是否存在點(diǎn)D，使△BCD是直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．      2.拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,﹣4)．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)P(m,n)在第一象限的拋物線上，且m＋n＝9，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；在線段PA上確定一點(diǎn)M，使DM平分四邊形ACDP的面積，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OQ、AQ，設(shè)AOQ的外心為H，當(dāng)sin∠OQA的值最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)．      3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax2+2xa+c經(jīng)過A(﹣4，0)，B(0，4)兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)C，直線y=x+5與x軸交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)E．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是第二象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EP，過點(diǎn)E作EP的垂線l，在l上截取線段EF，使EF=EP，且點(diǎn)F在第一象限，過點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線段FM的長(zhǎng)度為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量t的取值范圍)；(3)在(2)的條件下，過點(diǎn)E作EH⊥ED交MF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接DH，點(diǎn)G為DH的中點(diǎn)，當(dāng)直線PG經(jīng)過AC的中點(diǎn)Q時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．      4.如圖1．拋物線y=﹣x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，已知點(diǎn)B(4，0)．(1)若C(0，3)，求拋物線的解析式．(2)在(1)的條件下，P(﹣2，m)為該拋物線上一點(diǎn)，Q是x軸上一點(diǎn)求PQ＋BQ的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．(3)如圖2．過點(diǎn)A作BC的平行線，交y軸與點(diǎn)D，交拋物線于另一點(diǎn)E．若DE＝7AD，求c的值．      5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形OABC是平行四邊形，點(diǎn)A(4，0)，∠AOC＝60°，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，連接OD，將線段OD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OE．給出如下定義：如果拋物線y＝ax2＋bx(a≠0)同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)A，E，則稱拋物線y＝ax2＋bx(a≠0)為關(guān)于點(diǎn)A，E的“伴隨拋物線”．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為 　  　，此時(shí)關(guān)于點(diǎn)A，E的“伴隨拋物線”的解析式為 　        　；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接CE．①當(dāng)CE取最小值時(shí)，求關(guān)于點(diǎn)A，E的“伴隨拋物線”的解析式；②若關(guān)于點(diǎn)A，E的“伴隨拋物線”y＝ax2＋bx(a≠0)存在，直接寫出a的取值范圍．      6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)、B(4，0)，C(0，2)三點(diǎn)，直線y=kx+t經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作y軸的平行線，與直線BC相交于點(diǎn)E.(1)求直線和拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)D在直線BC下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，使線段DE的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，若使O、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)D的坐標(biāo).      7.已知，如圖1，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，AB⊥y軸于點(diǎn)A，AB=2，AO=4，OC=5，點(diǎn)D是線段AO上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD、BD.(1)求出拋物線的解析式；(2)如圖2，拋物線的對(duì)稱軸分別交BD、CD于點(diǎn)E、F，當(dāng)△DEF為等腰三角形時(shí)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)當(dāng)∠BDC的度數(shù)最大時(shí)，請(qǐng)直接寫出OD的長(zhǎng).      8.拋物線y＝x2﹣2x＋m的頂點(diǎn)A在x軸上，與y軸交于點(diǎn)B．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，直線CD∥AB交拋物線于C，D兩點(diǎn)，若，求△COD的面積；(3)如圖2，P為拋物線對(duì)稱軸上頂點(diǎn)下方的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線交拋物線于點(diǎn)E，F(xiàn)，交x軸于點(diǎn)M，求的值．      
0.中考數(shù)學(xué)三輪沖刺《二次函數(shù)壓軸題》強(qiáng)化練習(xí)六（含答案）答案解析  一         、綜合題1.解：(1)將點(diǎn)A(﹣2，0)、B(6，0)、C(0，﹣3)代入y＝ax2＋bx＋c，得，解得，∴y＝x2﹣x﹣3；(2)如圖1，過點(diǎn)A作AE⊥x軸交直線BC于點(diǎn)E，過P作PF⊥x軸交直線BC于點(diǎn)F，∴PF∥AE，∴＝，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋d，∴，∴，∴y＝x﹣3，設(shè)P(t，t2﹣t﹣3)，則F(t，t﹣3)，∴PF＝t﹣3﹣t2＋t＋3＝﹣t2＋t，∵A(﹣2，0)，∴E(﹣2，﹣4)，∴AE＝4，∴＝＝＝﹣t2＋t＝﹣(t﹣3)2＋，∴當(dāng)t＝3時(shí)，有最大值，∴P(3，﹣)；(3)∵P(3，﹣)，D點(diǎn)在l上，如圖2，當(dāng)∠CBD＝90°時(shí)，過點(diǎn)B作GH⊥x軸，過點(diǎn)D作DG⊥y軸，DG與GH交于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作CH⊥y軸，CH與GH交于點(diǎn)H，∴∠DBG＋∠GDB＝90°，∠DBG＋∠CBH＝90°，∴∠GDB＝∠CBH，∴△DBG∽△BCH，∴＝，即＝，∴BG＝6，∴D(3，6)；如圖3，當(dāng)∠BCD＝90°時(shí)，過點(diǎn)D作DK⊥y軸交于點(diǎn)K，∵∠KCD＋∠OCB＝90°，∠KCD＋∠CDK＝90°，∴∠CDK＝∠OCB，∴△OBC∽△KCD，∴＝，即＝，∴KC＝6，∴D(3，﹣9)；如圖4，當(dāng)∠BDC＝90°時(shí)，線段BC的中點(diǎn)T(3，﹣)，BC＝3，設(shè)D(3，m)，∵DT＝BC，∴|m＋|＝，∴m＝﹣或m＝﹣﹣，∴D(3，﹣)或D(3，﹣﹣)；綜上所述：△BCD是直角三角形時(shí)，D點(diǎn)坐標(biāo)為(3，6)或(3，﹣9)或(3，﹣﹣)或(3，﹣)． 2.解：(1)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，將代入，解得，；(2)點(diǎn)，則，而，解得：或4，點(diǎn)在第一象限的拋物線上，點(diǎn)；頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．直線的解析式為，，，點(diǎn)，，直線的解析式為，，，，，點(diǎn)在線段上，平分四邊形的面積，設(shè)，，，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，；(3)如圖，作的外心，作軸，則，，在的垂直平分線上運(yùn)動(dòng)，依題意，當(dāng)最大時(shí)，即最大時(shí)，是的外心，，即當(dāng)最大時(shí)，最大，，，則當(dāng)取得最小值時(shí)，最大，，即當(dāng)直線時(shí)，取得最小值，此時(shí)，，在中，，，，根據(jù)對(duì)稱性，則存在，，綜上所述，，或，． 3.解：(1)把A(﹣4，0)，B(0，4)代入y=ax2+2xa+c得，解得，所以拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+4；(2)如圖1，分別過P、F向y軸作垂線，垂足分別為A′、B′，過P作PN⊥x軸，垂足為N，由直線DE的解析式為：y=x+5，則E(0，5)，∴OE=5，∵∠PEO+∠OEF=90°，∠PEO+∠EPA′=90°，∴∠EPA′=∠OEF，∵PE=EF，∠EA′P=∠EB′F=90°，∴△PEA′≌△EFB′，∴PA′=EB′=﹣t，則d=FM=OB′=OE﹣EB′=5﹣(﹣t)=5+；(3)如圖2，由直線DE的解析式為：y=x+5，∵EH⊥ED，∴直線EH的解析式為：y=﹣x+5，∴FB′=A′E=5﹣(﹣t2﹣t+4)=t2+t+1，∴F(t2+t+1，5+t)，∴點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為：t2+t+1，y=﹣t2﹣t﹣1+5=﹣t2﹣t+4，∴H(t2+t+1，﹣t2﹣t+4)，∵G是DH的中點(diǎn)，∴G(，)，∴G(t2+t﹣2，﹣t2﹣t+2)，∴PH∥x軸，∵DG=GH，∴PG=GQ，∴=t2+t﹣2，t=±，∵P在第二象限，∴t＜0，∴t=﹣，∴F(4﹣，5﹣)． 4.解：(1)把B(4，0)，C(0，3)代入y＝﹣x2＋bx＋c，得，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2＋x＋3．(2)∵P(﹣2，m)為該拋物線y＝﹣x2＋x＋3上一點(diǎn)，∴m＝﹣×(﹣2)2＋×(﹣2)＋3＝﹣，∴P(﹣2，﹣)，如圖1，過點(diǎn)Q作QH⊥BC于點(diǎn)H，作PH′⊥BC于點(diǎn)H′，PH′交x軸于點(diǎn)Q′，交y軸于點(diǎn)G，連接PQ，則∠BHQ＝∠BOC＝90°，∵B(4，0)，C(0，3)，∴OB＝4，OC＝3，∴BC＝5，∵∠QBH＝∠CBO，∴△BQH∽△BCO，∴＝＝，∴QH＝BQ，∴PQ＋BQ＝PQ＋QH，當(dāng)P、Q、H在同一條直線上，且PH⊥BC時(shí)，PQ＋QH最小，即PQ＋BQ＝PH′為最小值，過點(diǎn)P作PK⊥y軸于點(diǎn)K，則∠PKG＝∠CH′G＝90°，PK＝2，CK＝3﹣(﹣)＝，∵∠PGK＝∠CGH′，∴△PGK∽△CGH′，∴∠GPK＝∠GCH′，∴tan∠GPK＝tan∠GCH′＝tan∠BCO＝＝，∴＝，∴GK＝×2＝，∴G(0，﹣)，設(shè)直線PG的解析式為y＝kx＋d，則，解得：，∴直線PG的解析式為y＝x﹣，令y＝0，得x﹣＝0，解得：x＝，∴Q(，0)，∵cos∠GPK＝cos∠BCO＝，∴＝cos∠GPK＝，∴PG＝PK＝，∵CG＝3﹣(﹣)＝，sin∠GCH′＝sin∠BCO＝＝，∴GH′＝CGsin∠GCH′＝×＝，∴PH′＝PG＋GH′＝＋＝，故的最小值為，此時(shí)Q(，0)，(3)把B(4，0)代入y＝﹣x2＋bx＋c，得0＝﹣×42＋4b＋c，∴b＝3﹣c，∴y＝﹣x2＋(3﹣c)x＋c，令y＝0，得﹣x2＋(3﹣c)x＋c＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣c，∴A(﹣c，0)，∴OA＝c，∵C(0，c)，∴OC＝c，設(shè)E(t，﹣t2＋bt＋c)，過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖2，則EF＝﹣[﹣t2＋(3﹣c)t＋c]＝t2＋(c﹣3)t﹣c，AF＝t﹣(﹣c)＝t＋c，∵AE∥BC，∴∠EAF＝∠CBO，∵∠AOD＝∠BOC＝90°，∴△ADO∽△BCO，∴＝，即＝，∴OD＝c2，∵EF∥OD，∴△ADO∽△AEF，∴＝＝，∵DE＝7AD，∴＝＝＝，∴＝＝，∴AF＝8OA，EF＝8OD，∴，解得： (舍去)或，故c的值為2． 5.解：(1)如圖，連接CE，過點(diǎn)E作E′作x軸的垂線于點(diǎn)E′，過點(diǎn)C作CC′⊥x軸于點(diǎn)C′，∴CC′＝，∵∠AOC＝60°，∴OC＝2，由旋轉(zhuǎn)可知，OE＝OC＝2，∠EOC＝60°，∴△COE是等邊三角形，∴∠EOE′＝60°，∴OE′＝1，EE′＝，∴E(﹣1，)．將A(4，0)，E(﹣1，)代入拋物線y＝ax2＋bx(a≠0)，∴，解得．∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣；故答案為：(﹣1，)；y＝x2﹣；(2)①由旋轉(zhuǎn)可知，點(diǎn)E在線段C′B′上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)C作CE⊥C′B′于點(diǎn)E，點(diǎn)E即為所求，過點(diǎn)E作y軸的垂線，過點(diǎn)C′作x軸的垂線，交EM于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，由題意可知，CC′＝2，由旋轉(zhuǎn)可知，△OBC≌△OB′C′，∴C′B′＝CB＝OA＝4，∠OCB＝∠OC′′＝120°，∵∠OC′C＝60°，∴∠B′C′C＝60°，CC′＝OC＝2，∴C′E＝1，CE＝，∴ME＝，C′M＝，∴E(﹣，)．將A(4，0)，E(﹣，)代入拋物線y＝ax2＋bx(a≠0)，∴，解得．∴關(guān)于點(diǎn)A，E的“伴隨拋物線”的解析式為：y＝x2﹣．②如圖，過點(diǎn)B′作x軸的平行線，交MN于點(diǎn)P，∴B′P＝2，PC′＝2，∴B′(1，3)，將B′(1，3)，A(4，0)代入拋物線的解析式y(tǒng)＝ax2＋bx(a≠0)，∴，解得．∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2＋4．結(jié)合圖象可知，a的取值范圍為：＜a＜；﹣＜a＜0． 6.解：(1)把點(diǎn)B(4，0)，C(0，2)代入直線y=kx+t，得：，解得，∴y=﹣x+2；把點(diǎn)A(1，0)、B(4，0)，C(0，2)代入y=ax2+bx+c，得：，解得，∴y=x2﹣x+2；(2)設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為(m， m2﹣m+2)，E點(diǎn)的坐標(biāo)為(m，﹣ m+2)，∴DE=(﹣m+2)﹣(m2﹣m+2)=﹣m2+2m=﹣(m﹣2)2+2，∴當(dāng)m=2時(shí)，DE的長(zhǎng)最大，為2，當(dāng)m=2時(shí)， m2﹣m+2=﹣1，∴D(2，﹣1)；(3)①當(dāng)D在E下方時(shí)，如(2)中，DE=﹣m2+2m，OC=2，OC∥DE，∴當(dāng)DE=OC時(shí)，四邊形OCED為平行四邊形，則﹣m2+2m=2，解得m=2，此時(shí)D(2，﹣1)；②當(dāng)D在E上方時(shí)，DE=(m2﹣m+2)﹣(﹣m+2)=m2﹣2m，令m2﹣2m=2，解得m=2±2，∴此時(shí)D(2+2，3﹣)或(2﹣2，3+)，綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)是(2，﹣1)或(2+2，3﹣)或(2﹣2，3+)時(shí)，都可以使O、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形. 7.解：(1)∵AB⊥y軸于點(diǎn)A，AB=2，AO=4，OC=5，∴A(0，4)，B(2，4)，C(5，0)，∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，∴，∴，∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+4；(2)如圖，過點(diǎn)B作BG⊥OC于G，交CD于H，∴點(diǎn)H，G的橫坐標(biāo)為2，∵EF⊥OC，∴EF∥BH，∵△DEF是等腰三角形，∴△BDH是等腰三角形，設(shè)D(0，5m)(0≤m≤)，∵C(5，0)，∴直線CD的解析式為y=﹣mx+5m，∴H(2，3m)，∴BH=4﹣3m，∴BH2=9m2﹣24m+16，DH2=4+(5m﹣3m)2=4+4m2，BD2=4+(5m﹣4)2=25m2﹣40m+20，當(dāng)BD=DH時(shí)，25m2﹣40m+20=4+4m2，∴m=(舍)或m=，∴5m=，∴D(0，)，當(dāng)BD=BH時(shí)，25m2﹣40m+20=9m2﹣24m+16，∴m=，∴D(0，)，當(dāng)BH=DH時(shí)，9m2﹣24m+16=4+4m2，∴m=或m=(舍)，∴D(0，12﹣2)，即：當(dāng)△DEF為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，)或(0，)或(0，12﹣2)；(3)如圖1，過點(diǎn)B作BG⊥OC于G，交CD于H，∴四邊形OABG是矩形，點(diǎn)H，G的橫坐標(biāo)為2，∴∠OAB=∠ABG=90°，∴OG=2，∵OC=5，∴CG=3，∵B(2，4)，∴BG=4，過點(diǎn)B作BQ⊥CD，∴∠BQD=90°，∴要∠BDC最大，∴∠DBQ最小，即：BD⊥BC時(shí)，∠DBQ最小，∴∠DBC=90°=∠ABG，∴∠ABD=∠CBG，∵∠BGC=∠BAD=90°，∴△ABD∽△GBC，∴，∴，∴AD=，∴OD﹣OA﹣AD=. 8.解：(1)∵拋物線y＝x2﹣2x＋m＝(x﹣1)2＋m﹣1的頂點(diǎn)A(1，m﹣1)在x軸上，∴m﹣1＝0，∴m＝1，∴該拋物線的解析式為y＝x2﹣2x＋1；(2)∵y＝x2﹣2x＋1＝(x﹣1)2，∴頂點(diǎn)A(1，0)，令x＝0，得y＝1，∴B(0，1)，在Rt△AOB中，AB＝，設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋b，則，解得：，∴直線AB的解析式為y＝﹣x＋1，∵CD∥AB，∴設(shè)直線CD的解析式為y＝﹣x＋d，C(xC，yC)，D(xD，yD)，則x2﹣2x＋1＝﹣x＋d，整理得：x2﹣x＋1﹣d＝0，∴xC＋xD＝1，xCxD＝1﹣d，yC＝﹣xC＋d，yD＝﹣xD＋d，∴yC﹣yD＝(﹣xC＋d)﹣(﹣xD＋d)＝xD﹣xC，∵，∴CD＝3AB＝3，∴CD2＝(3)2＝18，∴(xC﹣xD)2＋(yC﹣yD)2＝18，即(xC﹣xD)2＋(xD﹣xC)2＝18，∴(xC﹣xD)2＝9，∴(xC＋xD)2﹣4xCxD＝9，即1﹣4(1﹣d)＝9，解得：d＝3，∴x2﹣x﹣2＝0，解得：x＝2或﹣1，∴C(2，1)，D(﹣1，4)，設(shè)直線CD：y＝﹣x＋3交y軸于點(diǎn)K，令x＝0，則y＝3，∴K(0，3)，∴OK＝3，∴S△COD＝OK×|xC﹣xD|＝×3×3＝；(3)如圖2，過點(diǎn)E作EG∥x軸交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FH∥x軸交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)H，則AM∥EG∥FH，∴＝，＝，設(shè)直線PM的解析式為y＝kx＋n，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝k＋n，∴P(1，k＋n)，當(dāng)y＝0時(shí)，kx＋n＝0，解得：x＝﹣，∴M(﹣，0)，∴AM＝|1﹣(﹣)|＝||，由x2﹣2x＋1＝kx＋n，整理得：x2﹣(k＋2)x＋1﹣n＝0，則xE＋xF＝k＋2，xExF＝1﹣n，∵EG＝|xE﹣1|，F(xiàn)H＝|xF﹣1|，∴＋＝＋＝，當(dāng)k＜0時(shí)，點(diǎn)E、F、M均在對(duì)稱軸直線x＝1左側(cè)，∴EG＝|xE﹣1|＝1﹣xE，F(xiàn)H＝|xF﹣1|＝1﹣xF，AM＝||＝，∴＋＝＝＝＝，∴＋＝AM×(＋)＝×＝1；當(dāng)k＞0時(shí)，點(diǎn)E、F、M均在對(duì)稱軸直線x＝1右側(cè)，∴EG＝|xE﹣1|＝xE﹣1，F(xiàn)H＝|xF﹣1|＝xF﹣1，AM＝||＝﹣，∴＋＝＝＝＝﹣，∴＋＝AM×(＋)＝﹣×(﹣)＝1；綜上所述，的值為1．  

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中考數(shù)學(xué)三輪沖刺《二次函數(shù)壓軸題》強(qiáng)化練習(xí)八（含答案）

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