中考數(shù)學(xué)三輪沖刺《二次函數(shù)壓軸題》強(qiáng)化練習(xí)九1.已知，拋物線y＝mx2＋x﹣4m與x軸交于點(diǎn)A(﹣4，0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)D(n，0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，且有﹣4＜n＜0，過點(diǎn)D作直線l⊥x軸，且與直線AC交于點(diǎn)M，與拋物線交于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NP⊥AC于點(diǎn)P．點(diǎn)E在第三象限內(nèi)，且有OE＝OD．(1)求m的值和直線AC的解析式．(2)若點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，AD＋CD取得最小值時(shí)，求此時(shí)n的值．(3)若△ADM的周長與△MNP的周長的比為5：6時(shí)，求AE＋CE的最小值．      2.拋物線y＝x2﹣(m＋3)x＋3m與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(不與點(diǎn)O重合)．(1)若點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，且△OBC為等腰直角三角形．①求拋物線的解析式；②在拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使得點(diǎn)O為△BCD的外心，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．(2)點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣9，將直線PC向下平移n(1≤n≤4)個(gè)單位長度得到直線P′C′，若直線P′C′與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求△ABC面積的取值范圍．      3.把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖(1)擺放(點(diǎn)C與E重合)，點(diǎn)B、C(E)、F在同一條直線上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如圖(2)，△DEF從圖(1)的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng)，在△DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P停止移動(dòng)，△DEF也隨之停止移動(dòng)．DE與AC交于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(s)．(1)用含t的代數(shù)式表示線段AP和AQ的長，并寫出t的取值范圍；(2)連接PE，設(shè)四邊形APEQ的面積為y(cm2)，試探究y的最大值；(3)當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是等腰三角形．       4.如圖，拋物線y＝﹣x2＋x＋4與坐標(biāo)軸分別交于A，B，C三點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為m．(1)A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)為 　   　，　  　，　   　．(2)連接AP，交線段BC于點(diǎn)D，①當(dāng)CP與x軸平行時(shí)，求的值；②當(dāng)CP與x軸不平行時(shí)，求的最大值；(3)連接CP，是否存在點(diǎn)P，使得∠BCO＋2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．      5.拋物線：y＝﹣x2＋bx＋c與y軸的交點(diǎn)C(0，3)，與x軸的交點(diǎn)分別為E、G兩點(diǎn)，對(duì)稱軸方程為x＝1．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，過點(diǎn)C作y軸的垂線交拋物線于另一點(diǎn)D，F(xiàn)為拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，P為線段OC上一動(dòng)點(diǎn)．若PD⊥PF，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)如圖1，如果一個(gè)圓經(jīng)過點(diǎn)O、點(diǎn)G、點(diǎn)C三點(diǎn)，并交于拋物線對(duì)稱軸右側(cè)x軸的上方于點(diǎn)H，求∠OHG的度數(shù)；(4)如圖2，將拋物線向下平移2個(gè)單位長度得到新拋物線L，點(diǎn)B是頂點(diǎn)．直線y＝kx﹣k＋4(k＜0)與拋物線L交于點(diǎn)M、N．與對(duì)稱軸交于點(diǎn)G，若△BMN的面積等于2，求k的值．      6.如圖1，拋物線y＝ax2＋2x＋c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1，0)、C(0，3)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)P(x，y)在第一象限的拋物線上，AP交直線BC于點(diǎn)D．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，4)時(shí)，求四邊形BOCP的面積；(3)點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)的值最大且△APQ是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；(4)如圖2，作CG⊥CP，CG交x軸于點(diǎn)G(n，0)，點(diǎn)H在射線CP上，且CH＝CG，過GH的中點(diǎn)K作KI∥y軸，交拋物線于點(diǎn)I，連接IH，以IH為邊作出如圖所示正方形HIMN，當(dāng)頂點(diǎn)M恰好落在y軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)．      7.已知拋物線y＝ax2﹣(3a﹣1)x﹣2(a為常數(shù)且a≠0)與y軸交于點(diǎn)A．(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為 　   　；對(duì)稱軸為 　   　(用含a的代數(shù)式表示)；(2)無論a取何值，拋物線都過定點(diǎn)B(與點(diǎn)A不重合)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 　   　；(3)若a＜0，且自變量x滿足﹣1≤x≤3時(shí)，圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，求拋物線的表達(dá)式；(4)將點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的函數(shù)圖象記作圖象M(包含點(diǎn)A、B)，若將M在直線y＝﹣2下方的部分保持不變，上方的部分沿直線y＝﹣2進(jìn)行翻折，可以得到新的函數(shù)圖象M1，若圖象M1上僅存在兩個(gè)點(diǎn)到直線y＝﹣6的距離為2，求a的值．      8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x＋4與x軸、y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)B為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P為直線AB上一點(diǎn)，過P作PQ∥BC交x軸于點(diǎn)Q，當(dāng)四邊形BCPQ為菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出B點(diǎn)坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，且點(diǎn)B在線段OC上時(shí)，將拋物線y＝﹣x2＋bx＋c向上平移m個(gè)單位，平移后的拋物線與直線AB交于點(diǎn)D(點(diǎn)D在第二象限)，點(diǎn)N為x軸上一點(diǎn)，若∠DNB＝90°，且符合條件的點(diǎn)N恰好有2個(gè)，求m的取值范圍．      
0.中考數(shù)學(xué)三輪沖刺《二次函數(shù)壓軸題》強(qiáng)化練習(xí)九（含答案）答案解析  一         、綜合題1.解：(1)∵拋物線y＝mx2＋x﹣4m與x軸交于點(diǎn)A(﹣4，0)，∴m(﹣4)2＋×(﹣4)﹣4m＝0，解得：m＝，∴拋物線解析式為y＝x2＋x﹣3，令x＝0，得y＝﹣3，∴C(0，﹣3)，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋b，∵A(﹣4，0)，C(0，﹣3)，∴，解得：，∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣3.(2)∵A(﹣4，0)，D(n，0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，且有﹣4＜n＜0，∴AD＝n﹣(﹣4)＝n＋4，在x軸上方作射線AM，使∠MAO＝30°，過點(diǎn)D作DK⊥AM于K，∴∠AKD＝90°，∴DK＝AD，∠ADK＝60°，當(dāng)C、D、K在同一條直線上時(shí)，CD＋DK最小，即AD＋CD取得最小值時(shí)，∠CDO＝∠ADK＝60°，∵OD＝﹣n，∠COD＝90°，∴＝tan∠CDO＝tan60°，∴n＝﹣．(3)∵DM⊥x軸，NP⊥AC，∴∠ADM＝∠NPM＝90°，∵∠AMD＝∠NMP，∴△AMD∽△NMP，∵△ADM的周長與△MNP的周長的比為5：6，∴＝，∵＝sin∠DAM＝＝，∴＝，∴DN＝3DM，∵DM＝n＋3，DN＝﹣n2﹣n＋3，∴﹣n2﹣n＋3＝3(n＋3)，解得：n1＝﹣2，n2＝﹣4(舍去)，∴D(﹣2，0)，∴OD＝2，如圖2中，在y軸上 取一點(diǎn)R，使得OR＝，連接AR，在AR上取一點(diǎn)E使得OE＝OD＝2．∵OE＝2，OROC＝×3＝4，∴OE2＝OROC，∴＝，∵∠COE＝∠ROE，∴△ROE∽△EOC，∴＝＝，∴RE＝CE，∴當(dāng)A、R、E共線時(shí)，AE＋CE＝AE＋ER＝AR，此時(shí)AE＋CE最小，∴AE＋CE的最小值＝AR＝． 2.解：(1)①令y＝0，則x2﹣(m＋3)x＋3m＝0，解得x＝3或x＝m，∴A(m，0)，B(3，0)，令x＝0，則y＝3m，∴C(0，3m)，∵△OBC為等腰直角三角形，∴﹣3m＝3解得m＝﹣1，∴y＝x2﹣2x﹣3；②存在一點(diǎn)D，使得點(diǎn)O為△BCD的外心，理由如下：∵點(diǎn)O為△BCD的外心，∴OB＝OC＝OD＝3，設(shè)D(t，t2﹣2t﹣3)，∴3＝，解得t＝，∴D(，)或(，)；(2)∵y＝x2﹣(m＋3)x＋3m，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝，∵點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣9，∴P(，﹣9)，設(shè)直線PC的解析式為y＝kx＋b，∴，解得，∴y＝﹣6x＋3m，∴平移后的直線P'C'的解析式為y＝﹣6x＋3m﹣n，聯(lián)立方程組，整理得，x2﹣(m﹣3)x＋n＝0，∵直線P′C′與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，∴Δ＝(m﹣3)2﹣4n＝0，∴n＝，∵1≤n≤4，∴1≤≤4，∴﹣1≤m≤1或5≤m≤7，∵A(m，0)，B(3，0)，∴AB＝3﹣m，∴S△ABC＝×(3﹣m)×(﹣3m)＝(m﹣)2﹣，當(dāng)﹣1≤m≤1時(shí)，0＜S△ABC≤6；5≤m≤7時(shí)，15≤S△ABC≤42． 3. (1)解：AP=2t∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，∴∠CQE=45°=∠DEF，∴CQ=CE=t，∴AQ=8﹣t，t的取值范圍是：0≤t≤5；(2)過點(diǎn)P作PG⊥x軸于G，可求得AB=10，SinB=，PB=10﹣2t，EB=6﹣t，∴PG=PBSinB=(10﹣2t)∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE==∴當(dāng)(在0≤t≤5內(nèi))，y有最大值，y最大值=(cm2) (3)若AP=AQ，則有2t=8﹣t解得：t=(s)若AP=PQ，如圖①：過點(diǎn)P作PH⊥AC，則AH=QH=，PH∥BC∴△APH∽△ABC，∴，即，解得：(s)若AQ=PQ，如圖②：過點(diǎn)Q作QI⊥AB，則AI=PI=AP=t∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A，∴△AQI∽△ABC∴即，解得：(s)綜上所述，當(dāng)或或時(shí)，△APQ是等腰三角形． 4.解：(1)令x＝0，則y＝4，∴C(0，4)；令y＝0，則﹣x2＋x＋4＝0，∴x＝﹣2或x＝3，∴A(﹣2，0)，B(3，0)．故答案為：(﹣2，0)；(3，0)；(0，4)．(2)①∵CP∥x軸，C(0，4)，∴P(1，4)，∴CP＝1，AB＝5，∵CP∥x軸，∴＝＝．②如圖，過點(diǎn)P作PQ∥AB交BC于點(diǎn)Q，∴直線BC的解析式為：y＝﹣x＋4．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P(m，﹣m2＋m＋4)，Q(m2﹣m，﹣m2＋m＋4)．∴PQ＝m﹣(m2﹣m)＝﹣m2＋m，∵PQ∥AB，∴＝＝＝﹣ (m﹣)2＋，∴當(dāng)m＝時(shí)，的最大值為．另解：分別過點(diǎn)P，A作y軸的平行線，交直線BC于兩點(diǎn)，仿照以上解法即可求解．(3)假設(shè)存在點(diǎn)P使得∠BCO＋2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．過點(diǎn)C作CF∥x軸交拋物線于點(diǎn)F，∵∠BCO＋2∠PCB＝90°，∠BCO＋∠BCF＋∠MCF＝90°，∴∠MCF＝∠BCP，延長CP交x軸于點(diǎn)M，∵CF∥x軸，∴∠PCF＝∠BMC，∴∠BCP＝∠BMC，∴△CBM為等腰三角形，∵BC＝5，∴BM＝5，OM＝8，∴M(8，0)，∴直線CM的解析式為：y＝﹣x＋4，令﹣x2＋x＋4＝﹣x＋4，解得x＝或x＝0(舍)，∴存在點(diǎn)P滿足題意，此時(shí)m＝． 5.解：(1)將C(0，3)代入y＝﹣x2＋bx＋c可得c＝3，∵對(duì)稱軸是直線x＝1，∴x＝1，解得b＝2，∴二次函數(shù)解析式為y＝﹣x2＋2x＋3；(2)∵y＝﹣x2＋2x＋3與y軸的交點(diǎn)C(0，3)，對(duì)稱軸方程為x＝1．CD⊥y軸，∴D(2，3)，∵對(duì)稱軸與x軸相較于點(diǎn)F，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0，a)，∵CD⊥y軸，OF⊥y軸，∴∠DCF＝∠POF＝90°∴∠OFP＋∠OPF＝90°，∵PD⊥PF，∴∠DPF＝90°，∴∠CPD＋∠OPF＝90°，∴∠OFP＝∠CPD，∴△CDP∽△OPF，∴，∴，解得：a1＝1，a2＝2，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，1)或(0，2)；(3)如圖：連接CG，∵y＝﹣x2＋2x＋3，令y＝0，則﹣x2＋2x＋3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴G(3，0)，E(﹣1，0)，∴OG＝OC，∵OC⊥OG，∴△COG為等腰直角三角形，∴∠OCG＝45°，∵點(diǎn)O、點(diǎn)G、點(diǎn)C、點(diǎn)H四點(diǎn)共圓，∴∠OHG＝∠OCG＝45°；(4)∵將拋物線向下平移2個(gè)單位長度得到拋物線L，∴拋物線L的解析式為y＝﹣x2＋2x＋3﹣2＝﹣x2＋2x＋1＝﹣(x﹣1)2＋2，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，聯(lián)立，即kx﹣k＋4＝﹣x2＋2x＋1，∴x2＋(k﹣2)x＋3﹣k＝0，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)為N(x1，y1)，M(x2，y2)，則x1＋x2＝2﹣k，x1x2＝3﹣k，S△BMN＝S△BGN﹣S△BGM＝＝BG＝＝BG＝2，把x＝1代入y＝kx﹣k＋4，得；y＝4，∴G(1，4)，∵B(1，2)，∴BG＝4﹣2＝2，∴，解得：k＝±4，∵k＜0，∴k＝﹣4． 6.解：(1)由題意得，，∴，∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2＋2x＋3；(2)當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2＋2x＋3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴B(3，0)，∵PC2＋BC2＝[1＋(4﹣3)2]＋(32＋32)＝20，PB2＝[(3﹣1)2＋42]＝20，∴PC2＋BC2＝PB2，∴∠PCB＝90°，∴S△PBC＝3，∵S△BOC＝，∴S四邊形BOCP＝S△PBC＋S△BOC＝3＋＝；(3)如圖1，作PE∥AB交BC的延長線于E，設(shè)P(m，﹣m2＋2m＋3)，∵B(3，0)，C(0，3)，∴直線BC的解析式為：y＝﹣x＋3，由﹣x＋3＝﹣m2＋2m＋3得，x＝m2﹣2m，∴PE＝m﹣(m2﹣2m)＝﹣m2＋3m，∵PE∥AB，∴△PDE∽△ADB，∴＝＝＝﹣ (m﹣)2＋，∴當(dāng)m＝時(shí)，()最大＝，當(dāng)m＝時(shí)，y＝﹣()2＋2×＋3＝，∴P(，)，設(shè)Q(n，﹣n2＋2n＋3)，如圖2，當(dāng)∠PAQ＝90°時(shí)，過點(diǎn)A作y軸平行線AF，作PF⊥AF于F，作QG⊥AF于G，則△AFP∽△GQA，∴＝，∴＝，∴n＝，如圖3，當(dāng)∠AQP＝90°時(shí)，過QN⊥AB于N，作PM⊥QN于M，可得△ANQ∽△QMP，∴＝，∴＝，可得n1＝1，n2＝，如圖4，當(dāng)∠APQ＝90°時(shí)，作PT⊥AB于T，作QR⊥PT于R，同理可得：＝，∴n＝，綜上所述：點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為：或1或或；(4)如圖5，作GL∥y軸，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于T，作HW⊥IK于點(diǎn)W，則△GLC≌△CRH，△ITM≌△HWI．∴RH＝OG＝﹣n，CR＝GL＝OC＝3，MT＝IW，∴G(n，0)，H(3，3＋n)，∴K(，)，∴I(，﹣()2＋n＋3＋3)，∵TM＝IW，∴＝()2＋n＋6﹣(3＋n)，∴(n＋3)2＋2(n＋3)﹣12＝0，∴n1＝﹣4＋，n2＝﹣4﹣(舍去)，∴G(﹣4＋，0)． 7.解：(1)令x＝0，則y＝﹣2，∴A(0，﹣2)；拋物線y＝ax2﹣(3a﹣1)x﹣2的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝，故答案為：(0，﹣2)；x＝；(2)∵拋物線y＝ax2﹣(3a﹣1)x﹣2＝ax2﹣3ax＋x﹣2＝(x2﹣3x)a＋x﹣2，又無論a取何值，拋物線都過定點(diǎn)B(與點(diǎn)A不重合)，∴x2﹣3x＝0，∴x＝3，∵當(dāng)x＝3時(shí)，y＝x﹣2＝1，∴B(3，1)，故答案為：(3，1)；(3)∵a＜0，∴拋物線y＝ax2﹣(3a﹣1)x﹣2開口方向向下．由(1)知：拋物線y＝ax2﹣(3a﹣1)x﹣2的對(duì)稱軸為直線x＝，①若≤﹣1，則a≥，與a＜0矛盾，不合題意；②若﹣1＜＜3，則a＜﹣，此時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)為圖象最高點(diǎn)，即當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)y的值為2，∴a×﹣(3a﹣1)×﹣2＝0，解得：a＝﹣1或a＝﹣(不合題意，舍去)．∴a＝﹣1；③若≥3，則﹣≤a＜0，此時(shí)，點(diǎn)(3，2)是滿足﹣1≤x≤3時(shí)，圖象的最高點(diǎn)，∵9a﹣3(3a﹣1)﹣2＝1≠2，∴此種情況不存在，綜上，滿足條件的拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2＋4x﹣2；(4)∵B(3，1)，∴將點(diǎn)B沿直線y＝﹣2進(jìn)行翻折后得到的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為B′(3，﹣5)，∴點(diǎn)B′到直線y＝﹣6的距離為1．①當(dāng)a＞0時(shí)，∵圖象M1上僅存在兩個(gè)點(diǎn)到直線y＝﹣6的距離為2，∴此時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣4，∴＝﹣4，解得：a＝，∴a＝或；②當(dāng)a＜0時(shí)，∵點(diǎn)B′到直線y＝﹣6的距離為1，∴圖象M1上僅存在一個(gè)點(diǎn)到直線y＝﹣6的距離為2，綜上，若圖象M1上僅存在兩個(gè)點(diǎn)到直線y＝﹣6的距離為2，a的值為或． 8.解：(1)由題意得，A(3，0)，C(0，4)，∴，∴，∴拋物線解析式為；(2)如圖1，設(shè)B(0，a)，∴PQ＝BC＝BQ＝4﹣a，∵A(3，0)，∴直線AB的解析式是：y＝﹣，由﹣＝4﹣a得，x＝，∴OQ＝，∵四邊形BCPQ是菱形，∴PB⊥CQ，∵∠ABO＝∠PBC，∴∠OCQ＝∠BAO，∴△AOB∽△COQ，∴＝，∴＝，∴a1＝，a2＝﹣6，∴B1(0,)，B2(0，﹣6)；(3)如圖2，由(2)知，B(0，)，∴直線AB的解析式是：y＝﹣x+，∴設(shè)D(a，﹣﹣a+)，∴BD2＝(a2＋a2)＝a2，∵∠DNB＝90°，且符合條件的點(diǎn)N恰好有2個(gè)，以BD為直徑的圓與x軸相交，設(shè)圓心為I，則I(，﹣)，作IJ⊥OA于J，∴IJ＜BD，∴(﹣)2＜，∴a1＜，a2＞ (舍去)，當(dāng)a＝時(shí)，y＝﹣×＝，設(shè)平移后的拋物線為：將D點(diǎn)坐標(biāo)代入平移后解析式得，﹣×()2＋4＋m＝解得：m＝，∴m＞．  

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