中考數(shù)學(xué)三輪沖刺《二次函數(shù)壓軸題》強(qiáng)化練習(xí)七1.如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A，且其頂點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)拋物線的對(duì)稱軸上存在定點(diǎn)F，使得拋物線y＝ax2＋bx＋c上的任意一點(diǎn)G到定點(diǎn)F的距離與點(diǎn)G到直線y＝﹣2的距離總相等．①證明上述結(jié)論并求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；②過點(diǎn)F的直線l與拋物線y＝ax2＋bx＋c交于M，N兩點(diǎn)．證明：當(dāng)直線l繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)，＋是定值，并求出該定值；(3)點(diǎn)C(3，m)是該拋物線上的一點(diǎn)，在x軸，y軸上分別找點(diǎn)P，Q，使四邊形PQBC周長(zhǎng)最小，直接寫出P，Q的坐標(biāo)．      2.如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋2與直線AB相交于A(﹣1，0)，B(3，2)，與x軸交于另一點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)在y上是否存在一點(diǎn)E，使四邊形ABCE為矩形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)以C為圓心，1為半徑作⊙O，D為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，求DA＋DB的最小值.      3.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，下表給出了這條拋物線上部分點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)值：x…﹣10123…y…03430…(1)求出這條拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)PQ是拋物線對(duì)稱軸上長(zhǎng)為1的一條動(dòng)線段(點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方)，求AQ＋QP＋PC的最小值；(3)如圖2，點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥x軸，垂足為F，△ABD的外接圓與DF相交于點(diǎn)E．試問：線段EF的長(zhǎng)是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．      4.如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=﹣1，且拋物線經(jīng)過A(1，0)，C(0，3)兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)B．(1)若直線y=mx+n經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．      5.如圖，經(jīng)過點(diǎn)A(0，－4)的拋物線y=x2＋bx＋c與x軸相交于點(diǎn)B(－0，0)和C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)將拋物線y=x2＋bx＋c向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度、再向左平移m(m＞0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新拋物線．若新拋物線的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，求m的取值范圍；(3)設(shè)點(diǎn)M在y軸上，∠OMB＋∠OAB=∠ACB，求AM的長(zhǎng)．       6.如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，AC＝4，以AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，若C(0，2)．(1)請(qǐng)直接寫出A、B的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式；(3)l為拋物線對(duì)稱軸，P是直線l右側(cè)拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為D，E是l上的點(diǎn)．要使以P、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等，求滿足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)E的坐標(biāo)．      7.如圖，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c與x軸交于A(1，0)，B(﹣3，0)兩點(diǎn)，C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，P是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．(1)求該拋物線的解析式；(2)在(1)中拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)M，使得△MAC是以AM為底的等腰三角形；求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．(3)設(shè)(1)中的拋物線頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)E，過拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P作x軸的垂線交線段BC于點(diǎn)Q，使得D、E、P、Q四點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．      8.已知拋物線y=﹣x2＋bx＋c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(﹣4，0)，B(1，0)．(1)求拋物線的解析式；(2)已知點(diǎn)P在拋物線上，連接PC，PB，若△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)已知點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)F在拋物線上，是否存在以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．      
0.中考數(shù)學(xué)三輪沖刺《二次函數(shù)壓軸題》強(qiáng)化練習(xí)七（含答案）答案解析  一         、綜合題1.解：(1)∵頂點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)，∴B(2，﹣1)，∴A(4，0)，將點(diǎn)O、點(diǎn)A、點(diǎn)B代入拋物線y＝ax2＋bx＋c，得到，解得，∴y＝x2﹣x；(2)①設(shè)F(2，m)，G(x，y)，∴G點(diǎn)到直線y＝﹣2的距離為|y＋2|，∴(y＋2)2＝y(tǒng)2＋4y＋4，∵y＝x2﹣x，∴(y＋2)2＝y(tǒng)2＋4y＋4＝y(tǒng)2＋x2﹣4x＋4＝y(tǒng)2＋(x﹣2)2，∴G到直線y＝﹣2的距離與點(diǎn)(2，0)和G點(diǎn)的距離相等，∴拋物線上的任意一點(diǎn)G到定點(diǎn)F的距離與點(diǎn)G到直線y＝﹣2的距離總相等；∵G到定點(diǎn)F的距離與點(diǎn)G到直線y＝﹣2的距離相等，∴(x﹣2)2＋(m﹣x2﹣x＋2)2＝(x2﹣x＋2)2，整理得，m(m﹣x2＋2x)＝0，∵距離總相等，∴m＝0，∴F(2，0)；②設(shè)過點(diǎn)F的直線解析式為y＝kx﹣2k，M(xM，yM)，N(xN，yN)，聯(lián)立，整理得x2﹣(4＋4k)x＋8k＝0，∴xM＋xN＝4＋4k，xMxN＝8k，∴yM＋yN＝4k2，yMyN＝﹣4k2，∵M到F點(diǎn)與M點(diǎn)到y(tǒng)＝﹣2的距離相等，N到F點(diǎn)與N點(diǎn)到y(tǒng)＝﹣2的距離相等，∴＋＝＋＝＝＝1，∴＋＝1是定值；(3)作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，作C點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接C'B'交x軸、y軸分別于點(diǎn)P、Q，∵BQ＝B'Q，CP＝C'P，∴四邊形PQBC周長(zhǎng)＝BQ＋PQ＋PC＋BC＝B'Q＋PQ＋C'P＋CB＝C'B'＋CB，∵點(diǎn)C(3，m)是該拋物線上的一點(diǎn)∴C(3，﹣)，∵B(2，﹣1)，∴B'(﹣2，﹣1)，C'(3，)，∴直線B'C'的解析為y＝x﹣，∴Q(0，﹣)，P(，0)． 2.解：(1)把A(﹣1，0)、B(3，2)代入y＝ax2＋bx＋2，得，解得，∴拋物線的解析式為y＝-x2＋x＋2．(2)存在．如圖1，作AE⊥AB交y軸于點(diǎn)E，連結(jié)CE；作BF⊥x軸于點(diǎn)F，則F(3，0)．當(dāng)y＝0時(shí)，由-x2＋x＋2＝0，得x1＝1，x2＝4，∴C(4，0)，∴CF＝AO＝1，AF＝3﹣(﹣1)＝4；又∵BF＝2，∴，∵∠BFC＝∠AFB＝90°，∴△BFC∽△AFB，∴∠CBF＝∠BAF，∴∠ABC＝∠CBF＋∠ABF＝∠BAF＋∠ABF＝90°，∴BC∥AE，∵∠BCF＝90°﹣∠BAC＝∠EAO，∠BFC＝∠EOA＝90°，∴△BCF≌△EAO(ASA)，∴BC＝EA，∴四邊形ABCE是矩形；∵OE＝FB＝2，∴E(0，﹣2)．(3)如圖2，作FL⊥BC于點(diǎn)L，連結(jié)AL、CD.由(2)得∠BFC＝90°，BF＝2，CF＝1，∴CF＝CD，CB＝．∵∠FLC＝∠BFC＝90°，∠FCL＝∠BCF(公共角)，∴△FCL∽△BCF，∴＝，∴＝，∵∠DCL＝∠BCD(公共角)，∴△DCL∽△BCD，∴＝，∴LD＝DB；∵DA＋LD≥AL，∴當(dāng)DA＋LD＝AL，即點(diǎn)D落在線段AL上時(shí)，DA＋DB＝DA＋LD＝AL最?。?/span>∵CL＝CF＝，∴BL＝，∴BL2＝()2＝，又∵AB2＝22＋42＝20，∴AL＝＝＝，DA＋DB的最小值為． 3.解：(1)根據(jù)表格可得出A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)，設(shè)拋物線解析式為y＝a(x＋1)(x﹣3)，將C(0，3)代入，得：3＝a(0＋1)(0﹣3)，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣(x＋1)(x﹣3)＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4，∴該拋物線解析式為y＝﹣x2＋2x＋3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1，4)；(2)如圖1，將點(diǎn)C沿y軸向下平移1個(gè)單位得C′(0，2)，連接BC′交拋物線對(duì)稱軸x＝1于點(diǎn)Q′，過點(diǎn)C作CP′∥BC′，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P′，連接AQ′，∵A、B關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∴AQ′＝BQ′，∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，∴四邊形CC′Q′P′是平行四邊形，∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，在Rt△BOC′中，BC′＝，∴AQ′＋Q′P′＋P′C＝BQ′＋C′Q′＋Q′P′＝BC′＋Q′P′＝＋1，此時(shí)，C′、Q′、B三點(diǎn)共線，BQ′＋C′Q′的值最小，∴AQ＋QP＋PC的最小值為＋1；(3)線段EF的長(zhǎng)為定值1.如圖2，連接BE，設(shè)D(t，﹣t2＋2t＋3)，且t＞3，∵EF⊥x軸，∴DF＝﹣(﹣t2＋2t＋3)＝t2﹣2t﹣3，∵F(t，0)，∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣(﹣1)＝t＋1，∵四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形，∴∠DAF＋∠BED＝180°，∵∠BEF＋∠BED＝180°，∴∠DAF＝∠BEF，∵∠AFD＝∠EFB＝90°，∴△AFD∽△EFB，∴＝，∴＝，∴EF＝＝＝1，∴線段EF的長(zhǎng)為定值1． 4.解：(1)依題意得：，解之得：，∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3∵對(duì)稱軸為x=﹣1，且拋物線經(jīng)過A(1，0)，∴把B(﹣3，0)、C(0，3)分別代入直線y=mx+n，得，解之得：，∴直線y=mx+n的解析式為y=x+3；(2)設(shè)直線BC與對(duì)稱軸x=﹣1的交點(diǎn)為M，則此時(shí)MA+MC的值最?。?/span>把x=﹣1代入直線y=x+3得，y=2，∴M(﹣1，2)，即當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時(shí)M的坐標(biāo)為(﹣1，2)；(3)設(shè)P(﹣1，t)，又∵B(﹣3，0)，C(0，3)，∴BC2=18，PB2=(﹣1+3)2+t2=4+t2，PC2=(﹣1)2+(t﹣3)2=t2﹣6t+10，①若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；②若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=，t2=；綜上所述P的坐標(biāo)為(﹣1，﹣2)或(﹣1，4)或(﹣1，) 或(﹣1，)． 5.解：(1)將A(0，﹣4)、B(﹣2，0)代入拋物線y=x2+bx+c中，得：解得：b=﹣1 c=﹣4   ∴拋物線的解析式：y=x2﹣x﹣4．(2)由題意，新拋物線的解析式可表示為：y=(x+m)2﹣(x+m)﹣4+7/2 ，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)P：(1﹣m，﹣1)；由(1)的拋物線解析式可得：C(4，0)；那么直線AB：y=﹣2x﹣4；直線AC：y=x﹣4；當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上時(shí)，﹣2(1﹣m)﹣4=﹣1，解得：m=5 2 ；當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上時(shí)，(1﹣m)﹣4=﹣1，解得：m=﹣2；∴當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時(shí)，﹣2＜m＜5/2 ；又∵m＞0，∴符合條件的m的取值范圍：0＜m＜5/2 ．(3)由A(0，﹣4)、B(4，0)得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；如圖，在OA上取ON=OB=2，則∠ONB=∠ACB=45°；∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠ONB=∠OMB；如圖，在△ABN、△AM1B中，∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=AN?AM1；易得：AB2=(﹣2)2+42=20，AN=OA﹣ON=4﹣2=2；∴AM1=20÷2=10，OM1=AM1﹣OA=10﹣4=6；而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，∴OM1=OM2=6，AM2=OM2﹣OA=6﹣4=2．綜上，AM的長(zhǎng)為6或2． 6.解：(1)∵C(0，2)，∴OC＝2，在Rt△AOC中，OA＝2，∴OB＝AB﹣OA＝8﹣2＝6，∴A(﹣2，0)，B(6，0)；(2)設(shè)y＝a(x＋2)(x﹣6)，把C(0，2)代入得：2＝a(0＋2)(0﹣6)，解得：a＝﹣，∴y＝﹣(x＋2)(x﹣6)＝﹣x2＋x＋2，∴該拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2＋x＋2；(3)在△BOC中，BC＝＝4，∵y＝﹣x2＋x＋2＝﹣(x﹣2)2＋，∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝2，設(shè)P(m，﹣m2＋m＋2)(m＞2)，E(2，n)，①當(dāng)△PDE≌△ACB時(shí)，如圖1，∵∠PDE＝∠ACB＝90°，∴PD＝AC＝4，DE＝BC＝4，∴m﹣2＝4，解得：m＝6，∴P(6，0)，D(2，0)，∴|n﹣0|＝4，解得：n＝±4，∴E(2，4)或(2，﹣4)，②當(dāng)△PDE≌△BCA時(shí)，如圖2，∵∠PDE＝∠ACB＝90°，∴PD＝BC＝4，DE＝AC＝4，∴m﹣2＝4，解得：m＝4＋2，∴P(4＋2，﹣)，D(2，﹣)，∴|n﹣(﹣)|＝4，解得：n＝4﹣或﹣4﹣，∴E(2，4﹣)或(2，﹣4﹣)；綜上所述，P(6，0)，E(2，4)或(2，﹣4)；或P(4＋2，﹣)，E(2，4﹣)或(2，﹣4﹣)． 7.解：(1)將A(1，0)，B(﹣3，0)代入y＝﹣x2＋bx＋c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣2x＋3；(2)∵y＝﹣x2﹣2x＋3＝﹣(x＋1)2＋4，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，令x＝0，則y＝3，∴C(0，3)，設(shè)M(﹣1，m)，∵△MAC是以AM為底的等腰三角形，∴CM＝CA，∴1＋(m﹣3)2＝1＋9，解得m＝0或m＝6(舍)，∴M(﹣1，0)；(3)存在P點(diǎn)，使得D、E、P、Q四點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形，理由如下：由(2)知D(﹣1，4)，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，∴，解得，∴y＝x＋3，∴E(﹣1，2)，設(shè)P(t，﹣t2﹣2t＋3)，Q(t，t＋3)(﹣3≤t≤0)，①當(dāng)DE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，，∴t＝﹣1，∴P(﹣1，4)(舍)；②當(dāng)DP為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，4﹣t2﹣2t＋3＝2＋t＋3，解得t＝(舍)；③當(dāng)DQ為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，4＋t＋3＝2﹣t2﹣2t＋3，解得t＝﹣1(舍)或t＝﹣2，∴P(﹣2，3)；綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2，3)． 8.解：(1)拋物線的解析式為y=﹣(x＋4)(x﹣1)，即y=﹣x2﹣x＋2；(2)存在．當(dāng)x=0，y=﹣x2﹣x＋2=2，則C(0，2)，∴OC=2，∵A(﹣4，0)，B(1，0)，∴OA=4，OB=1，AB=5，當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，∵AC2=42＋22=20，BC2=22＋12=5，AB2=52=25∴AC2＋BC2=AB2∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，△PBC是以BC為直角邊的直角三角形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣4，0)；當(dāng)∠PBC=90°時(shí)，PB∥AC，如圖1，設(shè)直線AC的解析式為y=mx＋n，把A(﹣4，0)，C(0，2)代入得，解得，∴直線AC的解析式為y=x＋2，∵BP∥AC，∴直線BP的解析式為y=x＋p，把B(1，0)代入得＋p=0，解得p=﹣，∴直線BP的解析式為y=x﹣，解方程組得或，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣5，﹣3)；綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣4，0)，P2(﹣5，﹣3)；(3)存在點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為(m，0)，F(xiàn)(n，﹣n2﹣n＋2)①當(dāng)AC為邊，CF1∥AE1，易知CF1=3，此時(shí)E1坐標(biāo)(﹣7，0)，②當(dāng)AC為邊時(shí)，AC∥EF，易知點(diǎn)F縱坐標(biāo)為﹣2，∴﹣n2﹣n＋2=﹣2，解得n=，得到F2(，﹣2)，F(xiàn)3(，﹣2)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到： =或=，解得m=或，此時(shí)E2(，0)，E3(，0)，③當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，AE4=CF1=3，此時(shí)E4(﹣1，0)，綜上所述滿足條件的點(diǎn)E為(﹣7，0)或(﹣1，0)或(，﹣2)或(，﹣2)．  

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