中考數(shù)學(xué)三輪沖刺《二次函數(shù)壓軸題》強(qiáng)化練習(xí)十三1.我們規(guī)定：在正方形ABCD中，以正方形的一個(gè)頂點(diǎn)A為頂點(diǎn)，且過(guò)對(duì)角頂點(diǎn)C的拋物線，稱為這個(gè)正方形的以A為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線．(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)C在y軸正半軸上．①如圖1，正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，求以O(shè)為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線；②如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為a，其以O(shè)為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線的解析式為y＝x2，求a的值；(2)如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，2)，正方形的四條對(duì)角拋物線在正方形ABCD內(nèi)分別交于點(diǎn)M、P、N、Q，直接寫出四邊形MPNQ的形狀和四邊形MPNQ的對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo)．       2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣2，0)，B(0，)，C(1，0)，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，頂點(diǎn)坐標(biāo)為D．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在第二象限內(nèi)，若平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使得以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)若M為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接ME，求MB＋ME的最小值．      3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣bx＋c交x軸于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)，與y軸于交于點(diǎn)C(0，﹣2)．(1)求此拋物線的解析式；(2)在拋物線上取點(diǎn)D，若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為5，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及∠ADB的度數(shù)；(3)在(2)的條件下，設(shè)拋物線對(duì)稱軸l交x軸于點(diǎn)H，△ABD的外接圓圓心為M(如圖1)，①求點(diǎn)M的坐標(biāo)及⊙M的半徑；②過(guò)點(diǎn)B作⊙M的切線交于點(diǎn)P(如圖2)，設(shè)Q為⊙M上一動(dòng)點(diǎn)，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．      4.如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，BC⊥x軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)A(﹣1，0)，C(2，0)，AC＝BC．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)E是拋物線AB之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A，B重合)，求S△ABE的最大值以及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)根據(jù)問(wèn)題(2)的條件，判斷是否存在點(diǎn)E使得△ABE為直角三角形，如果存在，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，說(shuō)明理由．      5.如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，OA=2，OC=6，連接AC和BC．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)△ACD的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為　   　．(3)點(diǎn)E是第四象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接CE和BE．求△BCE面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；(4)若點(diǎn)M是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．      6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AB在x軸上，且AB=3，BC=2，直線y=x-2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)G．(1)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；(2)求頂點(diǎn)在直線y=x-2上且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D的拋物線的解析式；(3)將(2)中的拋物線沿直線y=x-2平移，平移后的拋物線交y軸于點(diǎn)F，頂點(diǎn)為點(diǎn)E．平移后是否存在這樣的拋物線，使△EFG為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)明理由．       7.如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣1，0)，B(4，0)，與y軸交于點(diǎn)C(0，4).(1)求此拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)P(2，n)在此拋物線上，AP交y軸于點(diǎn)E，連接BE，BP，請(qǐng)判斷△BEP的形狀，并說(shuō)明理由；(3)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，在線段BC上是否存在點(diǎn)Q，使得△DBQ成為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.       8.如圖，拋物線y＝ax2＋bx﹣3與x軸交于A(﹣2，0)和B(4，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P為直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合)，PM⊥BC于點(diǎn)M，PD⊥AB于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)N，當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)為何值時(shí)，PM＋PN的值最大？(3)點(diǎn)P在第四象限的拋物線上移動(dòng)，以PC為邊作正方形CPEF、當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)E時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．      
0.中考數(shù)學(xué)三輪沖刺《二次函數(shù)壓軸題》強(qiáng)化練習(xí)十三（含答案）答案解析  一         、綜合題1.解：(1)①如圖1中，設(shè)O為頂點(diǎn)的拋物線的解析式為y＝ax2，∵過(guò)B(2，2)，∴2＝4a，∴a＝，∴所求的拋物線的解析式為y＝x2．②如圖2中，設(shè)B(a，a)．則有a＝a2，解得a＝4或0(舍棄)，∴B(4，4)，∴OA＝4，∴正方形的邊長(zhǎng)為4．(2)如圖3中，結(jié)論：四邊形MPNQ是菱形，對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(5，4)．理由：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，A(3，2)，∴B(7，2)，C(7，6)，D(3，6)，∴以A為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線為y＝(x﹣3)2＋2，以B為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線為y＝(x﹣7)2＋2，以C為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線為y＝﹣(x﹣7)2＋6，以D為頂點(diǎn)的對(duì)角拋物線為y＝﹣(x﹣3)2＋6，由可得M(5，3)，由可得N(5，5)，由可得P(3＋2，4)，由可得Q(7﹣2，4)，∴PM＝，PN＝，QN＝，QM＝，∴PM＝PN＝QN＝QM，∴四邊形MPNQ是菱形，對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(5，4)． 2.解：(1)將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得，解得，故拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2﹣x＋；(2)由函數(shù)的表達(dá)式知，函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝﹣，故設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，m)．∵C(1，0)，B(0，)，∴BC2＝1＋3＝4，直線BC的表達(dá)式為y＝﹣x＋，①以C為圓心BC為半徑畫弧與對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)CP＝BC，則(＋1)2＋m2＝4，解得m＝±，即此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(﹣，)或P2(﹣，﹣)(舍去)；②以B為圓心BC為半徑畫弧與對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)BP＝BC，則()2＋(m﹣)2＝4，解得m1＝＋或m2＝﹣，即此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P3(﹣，＋)或P4(﹣，﹣)(舍去)；③線段BC的垂直平分線與對(duì)稱軸有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)CP＝BP，則(＋1)2＋m2＝()2＋(﹣m)2，解得m＝，即此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P5(﹣，)；故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣，)或(﹣，＋)或(﹣，)；當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(﹣，)時(shí)，∵BC∥PQ，故直線PQ的表達(dá)式為y＝﹣x＋t，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入上式得：＝﹣×(﹣)＋t，解得t＝-，故直線PQ的表達(dá)式為y＝﹣x＋-，則設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x，y)，其中y＝﹣x＋-，由菱形的性質(zhì)知，BP的中點(diǎn)即為CQ的中點(diǎn)，由中點(diǎn)公式得：(x﹣)＝(0＋1)，解得x＝﹣，當(dāng)x＝﹣時(shí)，y＝﹣x＋-＝+，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣，+)，同理可得，點(diǎn)P(﹣，＋)或(﹣，)時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為(，)或(，)，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣，+)或(，)或(，)；(3)如圖，連接BC，作EH⊥BC于H，交OB于M，此時(shí)BM＋ME最?。?/span>理由：∵OC＝1，OB＝，∴tan∠CBO＝，∴∠CBO＝30°，∴MH＝BM，∴BM＋ME＝MH＋EM＝EH，∴此時(shí)BM＋ME最短，在Rt△CEH中，∵∠CHE＝90°，CE＝，∠HCE＝60°，∴EH＝，∴BM＋ME的最小值為． 3.解：(1)c＝﹣2，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：解b＝，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2；(2)當(dāng)x＝5時(shí)，y＝x2﹣x﹣2＝3，故D的坐標(biāo)為(5，3)，令y＝0，則x＝4(舍去)或﹣1，故點(diǎn)A(﹣1，0)，如圖①，連接BD，作BN⊥AD于N，∵A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，﹣2)，∴AD＝3，BD＝，AB＝5，∵S△ABD＝＝，∴BN＝，∴sin∠BDN＝，∴∠BDN＝45°；∴∠ADB＝∠BDN＝45°；(3)①如圖②，連接MA，MB，∵∠ADB＝45°，∴∠AMB＝2∠ADB＝90°，∵MA＝MB，MH⊥AB，∴AH＝BH＝HM＝，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)⊙M的半徑為；②如圖③，連接MQ，MB，∵過(guò)點(diǎn)B作⊙M的切線交1于點(diǎn)P，∴∠MBP＝90°，∵∠MBO＝45°，∴∠PBH＝45°，∴PH＝HB＝2.5，∵＝，＝，∵∠HMQ＝∠QMP，∴△HMQ∽△QMP，∴＝，∴在點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的值不變，其值為． 4.解：(1)∵點(diǎn)A(﹣1，0)，C(2，0)，∴AC＝3，OC＝2，∵AC＝BC＝3，∴B(2，3)，把A(﹣1，0)和B(2，3)代入二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c中得：，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為：y＝﹣x2＋2x＋3；(2)∵直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1，0)，B(2，3)，設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋b′，∴，解得：，∴直線AB的解析式為：y＝x＋1，如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF∥y軸交線段AB于點(diǎn)F，∴設(shè)點(diǎn)E(t，﹣t2＋2t＋3)，則F(t，t＋1)，∴EF＝﹣t2＋2t＋3﹣(t＋1)＝﹣(t﹣)2＋，∴當(dāng)t＝時(shí)，EF的最大值為，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，)，∴此時(shí)S△ABE最大，S△ABE＝?EF?(xB?xA)＝××(2＋1)＝．(3)在問(wèn)題(2)的條件下，存在點(diǎn)E使得△ABE為直角三角形；設(shè)E(m，﹣m2＋2m＋3)，①當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線，與AB之間的拋物線無(wú)交點(diǎn)，故不可能存在點(diǎn)E使得△ABE為以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，②當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，如下圖，此時(shí)∠EBA＝90°，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CB，交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵BC⊥x軸于點(diǎn)C，且AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝45°，∴∠EBG＝45°，∴△BEG是等腰直角三角形，EG＝BG，∵EG的長(zhǎng)為點(diǎn)E與直線BC的距離，即2﹣m，且BG＝CG﹣BC＝﹣m2＋2m＋3﹣3＝﹣m2＋2m，∴2﹣m＝＝﹣m2＋2m，解得m＝1或m＝2(舍)，∴E(1，4)；③如下圖，此時(shí)∠AEB＝90°，作EM∥x軸，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥x軸交ME的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∴∠BEM＋∠AEN＝90°，∵在Rt△AEN中，∠EAN＋∠AEN＝90°，∴∠BEM＝∠EAN，∴△AEN∽△BEM，∴BM：EN＝EM：AN，∴(﹣m2＋2m)：(m＋1)＝(2﹣m)：(﹣m2＋2m＋3)，即﹣m(2﹣m)(m＋1)(m﹣3)＝(2﹣m)(m＋1)，∵2﹣m≠0，m＋1≠0，∴m2﹣3m＋1＝0，解得m＝或m＝(舍)．∴E(，)綜上，根據(jù)問(wèn)題(2)的條件，存在點(diǎn)E(1，4)或(，)使得△ABE為直角三角形． 5.解：(1)∵OA=2，OC=6∴A(﹣2，0)，C(0，﹣6)∵拋物線y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A、C∴   解得：∴拋物線解析式為y=x2﹣x﹣6(2)∵當(dāng)y=0時(shí)，x2﹣x﹣6=0，解得：x1=﹣2，x2=3∴B(3，0)，拋物線對(duì)稱軸為直線x=∵點(diǎn)D在直線x=上，點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=對(duì)稱∴xD=，AD=BD∴當(dāng)點(diǎn)B、D、C在同一直線上時(shí)，C△ACD=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC最小設(shè)直線BC解析式為y=kx﹣6∴3k﹣6=0，解得：k=2∴直線BC：y=2x﹣6∴yD=2×﹣6=﹣5∴D(，﹣5)故答案為：(，﹣5)(3)過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，交直線BC與點(diǎn)F設(shè)E(t，t2﹣t﹣6)(0＜t＜3)，則F(t，2t﹣6)∴EF=2t﹣6﹣(t2﹣t﹣6)=﹣t2+3t∴S△BCE=S△BEF+S△CEF=EF?BG+EF?OG=EF(BG+OG)=EF?OB=×3(﹣t2+3t)=﹣(t﹣)2+∴當(dāng)t=時(shí)，△BCE面積最大 ∴yE=()2﹣﹣6=﹣5∴點(diǎn)E坐標(biāo)為(，﹣5)時(shí)，△BCE面積最大，最大值為3．(4)存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．∵A(﹣2，0)，C(0，﹣6)∴AC=2①若AC為菱形的邊長(zhǎng)，如圖3，則MN∥AC且，MN=AC=2∴N1(﹣2，2)，N2(﹣2，﹣2)，N3(2，0)②若AC為菱形的對(duì)角線，如圖4，則AN4∥CM4，AN4=CN4設(shè)N4(﹣2，n)∴﹣n=解得：n=﹣∴N4(﹣2，﹣)綜上所述，點(diǎn)N坐標(biāo)為(﹣2，2)，(﹣2，﹣2)，(2，0)，(﹣2，﹣)． 6.解：(1)令y=2，2=y=x-2，解得x=4，則OA=4﹣3=1，∴C(4，2)，D(1，2)；(2)由二次函數(shù)對(duì)稱性得，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為=2.5，令x=，則y=×﹣2=，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣)2﹣，把點(diǎn)D(1，2)代入得，a=，∴解析式為y=(x﹣)2﹣；(3)設(shè)頂點(diǎn)E在直線上運(yùn)動(dòng)的橫坐標(biāo)為m，則E(m，m﹣2)(m＞0)∴可設(shè)解析式為y=(x﹣m)2﹣m﹣2，①當(dāng)FG=EG時(shí)，F(xiàn)G=EG=2m，則F(0，2m﹣2)，代入解析式得：m2﹣m﹣2=2m﹣2，得m=0(舍去)，m=﹣，此時(shí)所求的解析式為：y=(x﹣﹣)2﹣3﹣；②當(dāng)GE=EF時(shí)，F(xiàn)G=2m，則F(0，2m﹣2)，代入解析式得：m2﹣m﹣2=2m﹣2，解得m=0(舍去)，m=，此時(shí)所求的解析式為：y=(x﹣)2﹣；③當(dāng)FG=FE時(shí)，不存在． 7.解：(1)∵拋物線上A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c得，，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2＋3x＋4. (2)結(jié)論：△BEP為等腰直角三角形，理由如下：∵點(diǎn)P(2，n)在此拋物線上，∴n＝﹣4＋6＋4＝6，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，6).設(shè)直線AP解析式為y＝kx＋b，把A、P兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，解得，，∴直線AP的解析式為y＝2x＋2，(令x＝0可得y＝2，則E點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2).∵B(4，0)，P(2，6)，∴BP＝2，BE＝2，EP＝2，∴BE2＋EP2＝20＋20＝40＝BP2，且BE＝EP，∴△BEP為等腰直角三角形.   (3)存在.∵y＝﹣x2＋3x＋4＝﹣(x﹣)2＋，∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，∵OB＝OC＝4，∴BC＝4，∠ABC＝45°.   以下分兩種情況：①若BQ＝DQ，BQ1⊥DQ1，∠BDQ＝45°，如圖，過(guò)點(diǎn)Q1作Q1M⊥OB，垂足為M，∵BQ1＝DQ1，BD＝4﹣＝，∴BM＝Q1M＝，OM＝4﹣＝，∴Q1的坐標(biāo)為Q1(，).    ②若DQ2＝BD＝，DQ2⊥BD，易得BC所在的直線解析式為y＝﹣x＋4，代入x＝，得y＝﹣＋4＝，∴DQ2＝BD＝，∴△BDQ2是等腰直角三角形，所以Q2的坐標(biāo)為Q2(，)，綜上所述，Q的坐標(biāo)為Q1(，)或Q2(，).8.解：(1)依題意得：，解得：，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣3；(2)設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋m，∴，解得：，∴y＝x﹣3．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(n，n2﹣n﹣3)，N點(diǎn)的坐標(biāo)為(n，n﹣3)，∴PN＝﹣n2﹣n，∵PM⊥BC，PD⊥AB，∴∠PMN＝∠PDB，∵∠PNM＝∠BND，∴∠MPN＝∠OBC，∵OB＝4，OC＝3，∴BC＝5，∴PM＝PNcos∠MPN＝PNcos∠OBC＝PN，∴PM＋PN＝PN＝﹣n＝﹣．即當(dāng)n＝2時(shí)，PM＋PN的值最大，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，﹣3)．(3)過(guò)點(diǎn)P作PK⊥y軸于K，交拋物線的對(duì)稱軸于G，如圖，∵四邊形PEFC為正方形，∴PE＝PC，∠EPC＝90°∵∠PGE＝∠PKC＝90°，∴∠PEG＝∠CPK，∴△PEG≌△CPK(AAS)，∴CK＝PG，設(shè)P(x，x2﹣x﹣3)，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，則G(1，x2﹣x﹣3)，K(0，x2﹣x﹣3)，∴PG＝|1﹣x|，CK＝|x2﹣x﹣3＋3|＝|x2﹣x|，∴|1﹣x|＝|x2﹣x|，解方程1﹣x＝x2﹣x得，x1＝，x2＝﹣2(舍去)；解方程x﹣1＝x2﹣x得，x1＝，x2＝﹣4(舍去)；∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(，﹣)或(，﹣)．  

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中考數(shù)學(xué)三輪沖刺《二次函數(shù)壓軸題》強(qiáng)化練習(xí)九（含答案）

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中考數(shù)學(xué)三輪沖刺《二次函數(shù)壓軸題》強(qiáng)化練習(xí)八（含答案）

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