考點(diǎn)一：直線(xiàn)的方向向量
空間直線(xiàn)的方向用一個(gè)與該直線(xiàn)平行的非零向量來(lái)表示，該向量稱(chēng)為這條直線(xiàn)的一個(gè)方向向量。直線(xiàn)在空間中的位置， 由它經(jīng)過(guò)的空間一點(diǎn)及它的一個(gè)方向向量完全確定。
考點(diǎn)二：平面的法向量
如果表示向量的有向線(xiàn)段所在直線(xiàn)垂直于平面，則稱(chēng)這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量．
注意：
①法向量一定是非零向量；
②一個(gè)平面的所有法向量都互相平行；
③向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有．
考點(diǎn)三：平面的法向量的求法
第一步：寫(xiě)出平面內(nèi)兩個(gè)不平行的向量= (x1，y1，z1)， = (x2，y2，z2)，
第二步：設(shè)平面的法向量為，根據(jù)法向量與平面內(nèi)直線(xiàn)垂直建立關(guān)于x、y、z的方程；
第三步：解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量．（一般令一個(gè)值求出兩外兩個(gè)即可）
考點(diǎn)四：用空間向量判定直線(xiàn)、平面間的位置關(guān)系
①直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系：不重合的兩條直線(xiàn)a，b的方向向量分別為 ，．
1.若∥，即=λ，則a∥b． 2.若⊥，即· = 0，則a⊥b
②直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系： 直線(xiàn)L的方向向量為，平面α的法向量為，且L⊥α．
1.若∥，即 =λ，則 L⊥ α 2.若⊥，即· = 0，則a ∥ α．
③平面與平面的位置關(guān)系：平面α的法向量為 ，平面β的法向量為．
1.若∥，即=λ，則α∥β 2.若⊥，即 ·= 0，則α⊥β
考點(diǎn)五：用空間向量方法求空間角
①求異面直線(xiàn)所成的角
兩條異面直線(xiàn)所成角的求法：設(shè)直線(xiàn)a，b的方向向量為，，其夾角為θ，則cs φ＝|cs θ|＝(其中φ為異面直線(xiàn)a，b所成的角)．
②求直線(xiàn)和平面所成的角
設(shè)直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，直線(xiàn)與平面所成的角為，與的角為，
則有．
③二面角的求法
若分別為面的法向量，
則二面角的平面角為的夾角或它們的補(bǔ)角，
考點(diǎn)六：用空間向量方法求點(diǎn)到平面的距離
A為平面α外一點(diǎn)(如圖)， 為平面α的法向量，過(guò)A作平面α的斜線(xiàn)AB及垂線(xiàn)AH．

典型例題
題型一：平面的法向量判斷及求法
【例1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在直三棱柱中，以下向量可以作為平面ABC法向量的是( )
A．B．C．D．
【例2】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，四棱柱的底面是正方形，為底面中心，平面，．平面的法向量為（ ）
A．B．C．D．
【例3】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列向量中，能作為平面的法向量的是（ ）．
A．（1，，4）B．（，1，）
C．（2，，1）D．（1，2，）
【例4】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，有正方體，給出下列結(jié)論：
①直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為；
②直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為；
③平面的一個(gè)法向量為；
④平面的一個(gè)法向量為．
其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【例5】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）放置于空間直角坐標(biāo)系中的棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，H是底面中心，平面ABC，寫(xiě)出：
（1）直線(xiàn)BC的一個(gè)方向向量___________；
（2）點(diǎn)OD的一個(gè)方向向量___________；
（3）平面BHD的一個(gè)法向量___________；
（4）的重心坐標(biāo)___________.
【題型專(zhuān)練】
1．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)空間三點(diǎn)，，的平面的一個(gè)法向量是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知三點(diǎn)、、，則平面的法向量可以是______．（寫(xiě)出一個(gè)即可）
3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知三點(diǎn)、、，則平面的法向量可以是______．（寫(xiě)出一個(gè)即可）
4．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）若點(diǎn)，，，則平面ABC的一個(gè)法向量______．
5．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求下列平面的一個(gè)法向量：
(1)平面ABCD； (2)平面； (3)平面．
題型二：利用空間向量研究平行垂直問(wèn)題
【例1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線(xiàn)的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則（ ）
A．B．C．D．
【例2】（2022·江蘇·徐州市王杰中學(xué)高二階段練習(xí)）已知平面的法向量為，若直線(xiàn)平面，則直線(xiàn)的方向向量可以為（ ）.
A．（8，6，4）B．
C．D．
【例3】（2022·廣東·廣州奧林匹克中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．// B． C．//平面 D．平面
【例4】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
【例5】（2022·福建寧德·高二期中）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點(diǎn)M在棱PD上，點(diǎn)N為BC中點(diǎn).
若，證明：直線(xiàn)平面PAB：
【例6】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是正方形和正方形的中心．求證：
(1)平面；
(2)平面；
(3)平面平面．
【題型專(zhuān)練】
1．（2022·寧夏·石嘴山市第一中學(xué)高二期末（理））平面的法向量為，平面的法向量為，則下列命題正確的是（ ）
A．，平行B．，垂直
C．，重合D．，相交不垂直
2．（2022·四川成都·高二期中（理））若直線(xiàn)l的方向向量，平面的法向量，則（ ）
A．B．C．D．或
3．（2022·湖南·高三階段練習(xí)）若直線(xiàn)的方向向量，平面的法向量，且直線(xiàn)平面，則實(shí)數(shù)的值是______.
4．（2022·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)高二期末（理））設(shè)分別是平面的法向量，若，則實(shí)數(shù)的值是________．
5.（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為，、分別為和上的點(diǎn)，，則與平面的位置關(guān)系是______．
6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體中，棱長(zhǎng)為2a，M是棱的中點(diǎn).求證：平面.
7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體中，、分別為、的中點(diǎn)．
(1)用向量法證明平面平面；
(2)用向量法證明平面．
8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知長(zhǎng)方體中，，判斷滿(mǎn)足下列條件的點(diǎn)M，N是否存在：.
9．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，，、分別、的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求證：平面.
10．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：A1E⊥BD；
（2）若平面A1BD⊥平面EBD，試確定E點(diǎn)的位置．
題型三：異面直線(xiàn)所成的角
【例1】（2022·河南·商丘市第一高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱AD，的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)EF與所成角的余弦值為（ ）．
A．B．C．D．
【例2】（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）在正方體中，若M是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，P為棱上任意一點(diǎn)，則異面直線(xiàn)OP與AM所成角的大小為（ ）
A．B．C．D．與P點(diǎn)位置無(wú)關(guān)
【例3】（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））將正方形沿對(duì)角線(xiàn)折起，使得平面平面，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【例4】（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)（理））在矩形ABCD中，O為BD中點(diǎn)且，將平面ABD沿對(duì)角線(xiàn)BD翻折至二面角為90°，則直線(xiàn)AO與CD所成角余弦值為（ ）
A．B．
C．D．
【例5】（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，是以AD為斜邊的等腰直角三角形，平面PAD，E是線(xiàn)段PD上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若線(xiàn)段AB上存在點(diǎn)F（不含端點(diǎn)），使得異面直線(xiàn)PA和EF所成的角的大小為30°，則線(xiàn)段AF長(zhǎng)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【題型專(zhuān)練】
1．（2022·江蘇·東臺(tái)創(chuàng)新高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M，N分別為和的中點(diǎn)，那么直線(xiàn)AM與CN夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
2.（2021·內(nèi)蒙古·赤峰二中高二階段練習(xí)（理））在直三棱柱中，，，分別是的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與所成角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測(cè)）已知直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，為的中點(diǎn)，則與所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測(cè)（理））在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·河南安陽(yáng)·高一階段練習(xí)）已知在四棱柱中，底面為正方形，側(cè)棱底面.若，，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試（理））如圖，在正方體中，M為線(xiàn)段的中點(diǎn)，N為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的正弦值的最小值為（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，是棱長(zhǎng)為的正方體，、分別是下底面的棱、的中點(diǎn)，是上底面的棱上的一點(diǎn)，，過(guò)、、的平面交上底面于，在上，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為_(kāi)__________．
8．（2022·江蘇·高二階段練習(xí)）如圖，四棱雉的底面為直角梯形，∥，，，，平面．
(1)求異面直線(xiàn)與所成的角的余弦值；
(2)求出點(diǎn)A在平面上的投影M的坐標(biāo)．
題型四：直線(xiàn)與平面所成角（線(xiàn)面角）
【例1】（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）如圖，在正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，面，則與平面所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
【例2】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））在四棱錐中，底面．
(1)證明：；
(2)求PD與平面所成的角的正弦值．
【例3】（2022·遼寧沈陽(yáng)·高一期末）如圖，在正方體中，點(diǎn)P在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線(xiàn)平面
B．三棱錐的體積為定值
C．異面直線(xiàn)與所成角的取值范圍是
D．直線(xiàn)與平面所成角的正弦值的最大值為
【例4】（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，三棱臺(tái)中，，，．
(1)證明：；
(2)求直線(xiàn)與平面所成的角．
【例5】（2020·山東新高考卷）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線(xiàn)為l．
（1）證明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．
【例6】（2022·北京市十一學(xué)校高三階段練習(xí)）圖1是直角梯形，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，并且，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖2.
(1)求證：平面平面；
(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為？若存在，求出直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.
【題型專(zhuān)練】
1.（2022·全國(guó)甲（理）） 在四棱錐中，底面．
（1）證明：；
（2）求PD與平面所成的角的正弦值．
2.（2022·全國(guó)乙（理）） 如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面平面；
（2）設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．
3．（2022·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐中，底面為等腰梯形，，，，是斜邊為的等腰直角三角形．
(1)若時(shí)，求證：平面平面；
(2)若時(shí)，求直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值．
4.（2020·北京卷）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．
5．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．
6．（2022北京卷真題）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線(xiàn)AB與平面BMN所成角的正弦值．
條件①：；
條件②：．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
7．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．
8．（2022·河南省杞縣高中模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為菱形，且，平面ABCD，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱PC上一點(diǎn)．
(1)求證：平面平面PAD；
(2)若G為PD的中點(diǎn)，，是否存在點(diǎn)F，使得直線(xiàn)EG與平面AEF所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
題型六：利用空間向量求二面角
【例1】（2022·新高考Ⅰ卷） 如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．
（1）求A到平面的距離；
（2）設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．
【例2】（2020·新課標(biāo)Ⅰ）如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，P為上一點(diǎn)，．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【例3】（2022·廣東·廣州奧林匹克中學(xué)高二階段練習(xí)）在四棱錐中，底面為直角梯形，，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，.
(1)證明：平面平面；
(2)若與所成角為，求平面和平面所成角的余弦值.
【例4】（2022·新高考Ⅱ卷） 如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．

【例5】（2022·福建·三明一中模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形為菱形，，將沿折起，得到三棱錐，點(diǎn)M，N分別為和的重心．
(1)證明：∥平面；
(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值．
【題型專(zhuān)練】
1.（2020·新課標(biāo)Ⅲ）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)E、F分別在棱上，且，．
（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
2.（2022·青海玉樹(shù)·高三階段練習(xí)（理））如圖，在多面體ABCDFE中，平面平面ABEF，四邊形ABCD是矩形，四邊形ABEF為等腰梯形，且，，．
(1)求證：；
(2)求二面角的余弦值．
3．【2019年高考全國(guó)Ⅲ卷】圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.
（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.
4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在四棱錐中，，，，，，平面平面.
(1)證明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
5．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，在平面的投影為邊的中點(diǎn)..，，，，．
(1)求證： 平面 ；
(2)點(diǎn)為線(xiàn)段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
6．（2022·山東聊城·三模）已知四邊形ABCD為平行四邊形，E為CD的中點(diǎn)，AB=4，為等邊三角形，將三角形ADE沿AE折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且平面平面ABCE.
(1)求證：；
(2)試判斷在線(xiàn)段PB上是否存在點(diǎn)F，使得平面AEF與平面AEP的夾角為45°.若存在，試確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
題型六：距離問(wèn)題
【例1】（2022·福建省連城縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知平面的法向量為，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為（ ）
A．B．C．D．
【例2】（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學(xué)科研訓(xùn)處高二期中）將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線(xiàn)折成直二面角，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_____．
【例3】（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）長(zhǎng)方體中，，，為的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與之間的距離是（ ）
A．B．C．D．
【例4】（2022·福建·廈門(mén)一中高二階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則到直線(xiàn)的距離為_(kāi)_________．
【題型專(zhuān)練】
1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，是正四棱錐，是正方體，其中，．
(1)求該幾何體的表面積；
(2)求點(diǎn)到平面PAD的距離．
2．（2022·江西南昌·高二期中（理））如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段上，點(diǎn)Р到直線(xiàn)的距離的最小值為_(kāi)______.
3．（2022·全國(guó)·高二期末）如圖，在正方體中，AB＝1，M，N分別是棱AB，的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)，EN間的距離為_(kāi)_____.
4．（2022·江蘇·南京師大附中高二期末）在矩形ABCD中，，點(diǎn)E是線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折起到△PBE位置（如圖），點(diǎn)F是線(xiàn)段CP的中點(diǎn)．
(1)求證：DF∥平面PBE：
(2)若二面角的大小為，求點(diǎn)A到平面PCD的距離．

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

1.4 空間向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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