第4講   空間向量的應(yīng)用 新課標(biāo)要求①能用向量語(yǔ)言指述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量。②能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角以及垂直與平行關(guān)系。③能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的判定定理。④能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問(wèn)題和簡(jiǎn)單夾角問(wèn)題，并能描述解決這一類(lèi)問(wèn)題的程序，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用。知識(shí)梳理1．空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個(gè)定點(diǎn)以及一個(gè)向量確定，這個(gè)向量叫做直線的方向向量．2．若直線l垂直于平面α，取直線l的方向向量a，則a⊥α，則a叫做平面α的法向量．3.(1)線線垂直：設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，則l⊥m?a⊥b?a·b＝0.(2)線面垂直：設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為u，則l⊥α?a∥u?a＝ku，k∈R.(3)面面垂直：若平面α的法向量為u，平面β的法向量為ν，則α⊥β?u⊥ν?u·ν＝0.4．設(shè)兩異面直線所成的角為θ，它們的方向向量分別為a，b，則cos θ＝.5．設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.6．設(shè)二面角α－l－β的平面角為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則|cos θ|＝.名師導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)1    直線的方向向量與平面的法向量【例1-1】（焦作期末）若點(diǎn)，在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量為   A.  B.  C.  D. 【例1-2】（廣州期末）設(shè)是直線l的方向向量，是平面的法向量，則   A.  B.  C. 或 D. 或【變式訓(xùn)練1-1】（沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則能使的是   A.  B.
C.  D. 【變式訓(xùn)練1-2】（東陽(yáng)市模擬）已知，，分別是平面，，的法向量，則，，三個(gè)平面中互相垂直的有    A. 3對(duì) B. 2對(duì) C. 1對(duì) D. 0對(duì)知識(shí)點(diǎn)2    用空間向量研究直線、平面的平行關(guān)系【例2-1】（浙江模擬）已知在正四棱柱中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為的中點(diǎn)．求證：．   【例2-2】（柯城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，，平面ABCD，且，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)．
 求證：平面AEC．    【例2-3】（金華期末）如圖，已知棱長(zhǎng)為4的正方體中，M，N，E，F分別是棱，，，的中點(diǎn)，求證：平面平面EFBD．

   【變式訓(xùn)練2-1】（宿遷期末）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)P在棱上，且，點(diǎn)S在棱上，且，點(diǎn)Q、R分別是棱、AE的中點(diǎn)．求證：．    【變式訓(xùn)練2-2】（朝陽(yáng)區(qū)期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F分別是，的中點(diǎn)，求證：平面ADE；平面平面F.   知識(shí)點(diǎn)3    用空間向量研究直線、平面的垂直關(guān)系【例3-1】（揚(yáng)州期末）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，底面ABCD，且，M為PC的中點(diǎn)．求證：    【例3-2】（上城區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，在正方體中，E，F分別是，DC的中點(diǎn)，求證：平面F.   【例3-3】（點(diǎn)軍區(qū)校級(jí)月考）如圖，在五面體ABCDEF中，平面ABCD，，，M為EC的中點(diǎn)，求證：平面平面CDE．  【變式訓(xùn)練3-1】（三明模擬）已知空間四邊形ABCD中，，，求證：．    【變式訓(xùn)練3-2】（鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形且，，底面ABCD，E是AD的中點(diǎn)，F在PC上．F在何處時(shí)，平面PBC？
   【變式訓(xùn)練3-3】（未央?yún)^(qū)校級(jí)月考）在四面體ABCD中，平面BCD，，，，E，F分別是AC，AD的中點(diǎn)，求證：平面平面ABC．   知識(shí)點(diǎn)4    用空間向量研究空間中的距離問(wèn)題【例4-1】（海淀區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，平面ABCD，且，E，F分別為AB，BC的中點(diǎn)．
求點(diǎn)D到平面PEF的距離；求直線AC到平面PEF的距離．   【變式訓(xùn)練4-1】（房山區(qū)期末）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，．
求點(diǎn)D到平面PBC的距離；求點(diǎn)A到平面PBC的距離．    知識(shí)點(diǎn)5    用空間向量研究空間中的夾角問(wèn)題【例5-1】（寶山區(qū)校級(jí)期末）如圖，ABCD為矩形，AB＝2，AD＝4，PA⊥面ABCD，PA＝3，求異面直線PB與AC所成角的余弦值．     【例5-2】（常州期末）已知在正三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，求AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值．     【例5-3】（漳州三模）已知，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝.求二面角A－PB－C的余弦值．    【變式訓(xùn)練5-1】（沭陽(yáng)縣期中）如圖，在正四棱柱中，，，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)．
求異面直線與DM所成角的余弦值求直線與平面所成角的正弦值求平面與平面ABCD所成角的正弦值．    名師導(dǎo)練A組-[應(yīng)知應(yīng)會(huì)]1. （楊浦區(qū)校級(jí)期中）若直線l的方向向量為0，，平面的法向量為0，，則A.  B.  C.  D. l與斜交2. （安徽模擬）已知，，，則向量與向量的夾角為   A.  B.  C.  D. 3. （閔行區(qū)校級(jí)模擬）已知四邊形ABCD是直角梯形，，平面ABCD，，則SC與平面ABCD所成的角的余弦值為A.  B.  C.  D. 4. （貴陽(yáng)模擬）在正方體中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為和AC上的點(diǎn)，，則MN與平面的位置關(guān)系是A. 垂直 B. 相交 C. 平行 D. 不能確定5. （溫州期末） 如圖，在長(zhǎng)方體中，，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在棱上，且平面，則AP的長(zhǎng)為 A.
B.
C. 1
D. 與AB的長(zhǎng)有關(guān) 6. （鼓樓區(qū)校級(jí)模擬） 二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB，已知，，，，則該二面角的大小為A.  B.  C.  D. 7. （和平區(qū)校級(jí)二模）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)P是棱AB上的動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)可以運(yùn)動(dòng)到端點(diǎn)A和B，設(shè)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，平面與平面所成的最小角為，則    A.
B.
C.
D.  8. （多選）（東陽(yáng)市模擬）已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果，2，，2，，下列結(jié)論正確的有        A.  B.
C. 是平面ABCD的一個(gè)法向量 D. 9. （江蘇模擬）已知，，若，，且平面ABC，則y，等于________．10. （南通模擬）已知正三棱柱的各條棱長(zhǎng)都相等，M是側(cè)棱的中點(diǎn)，則向量與所成角的大小是          ．11. （清江浦區(qū)校級(jí)模擬）在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD是正方形，且，G為的重心，則PG與底面ABCD所成角的正弦值為          ．12. （沭陽(yáng)縣期中）在四棱錐中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱底面ABCD，，E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)N在面PAC內(nèi)，且平面PAC，則點(diǎn)N到AB的距離為__________13.（濱海新區(qū)模擬）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，，，底面ABCD，，則二面角的余弦值為________．
     14. （浦東新區(qū)校級(jí)月考）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)，求異面直線CE與BD所成的角．     15. （江寧區(qū)校級(jí)月考）如圖，四邊形ABCD是正方形，平面ABCD，，，，F為PD的中點(diǎn)．
求證：；
求證：平面PEC．


   16. （臨泉縣校級(jí)月考）正方體中，E，F分別是，CD的中點(diǎn)．
求證：平面平面；
在AE上求一點(diǎn)M，使得平面DAE．        17. （興寧區(qū)校級(jí)期末）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，且，平面ABCD．
求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；在棱PD上是否存在一點(diǎn)E使得？若存在，求AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．    18. （沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)是2，側(cè)棱長(zhǎng)是，D是AC的中點(diǎn)．
求二面角的大?。?/span>在線段上是否存在一點(diǎn)E，使得平面平面若存在，求出AE的長(zhǎng)若不存在，說(shuō)明理由．   B組-[素養(yǎng)提升]1. （齊齊哈爾期末）如圖，在圓錐SO中，A，B是上的動(dòng)點(diǎn)，是的直徑，M，N是SB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，記二面角，的平面角分別為，，若，則的最大值是    
 
A.  B.  C.  D. 2. （如皋市期末）如圖，在長(zhǎng)方體中，E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD上一點(diǎn)，，，，動(dòng)點(diǎn)P在上底面上，且滿足三棱錐的體積等于1，則直線CP與所成角的正切值的最小值為________．
 

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