A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．如圖所示，平行六面體中，，，若線段，則（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
2．如圖所示，在平行六面體中，，，則（ ）
A．2B．C．D．1
3．已知向量，，是兩兩垂直的單位向量，且，則（ ）．
A．15B．3C．D．5
4．如圖所示，在平行六面體中，各棱長均為2，，，則向量的長度為（ ）
A．B．
C．D．
5．如圖，空間四邊形的每條邊和對角線長都等于，點，，分別是，，的中點，則（ ）
A．B．C．D．
6．已知正四面體的棱長為，點，分別是，的中點，則的值為（ ）
A．B．C．D．
7．已知平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，，，則（ ）
A．B．3C．D．2
8．棱長為1的正四面體ABCD中，點E，F(xiàn)分別是線段BC，AD上的點，且滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．設(shè)，，是任意的非零空間向量，且它們互不共線，給出下列命題，其中正確的是
A．B．
C．一定不與垂直D．
10．在四棱柱中，底面是邊長為1的正方形，，則下列選項正確的是（ ）
A．B．
C．若，則D．若直線與交于點O，則
三、填空題
11．如圖，已知平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長為3，且，則__.
12．平行六面體，，，，則______
四、解答題
13．如圖所示，在平行六面體中，，，，.
(1)求；
(2)求線段的長.
14．如圖，三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都等于1，．
（1）設(shè)，，，用向量表示，
（2）求出的長度；
B能力提升
1．如圖，四棱錐中，底面為矩形且平面，連接與，下面各組向量中，數(shù)量積不一定為零的是（ ）
A．與B．與
C．與D．與
2．如圖所示，平行六面體中，，，，則線段的長度為（ ）．
A．B．C．2D．
3．（多選）四面體中，各棱長均為，點分別是的中點，則下列向量的數(shù)量積等于的是（ ）
A．B．
C．D．
4．空間四邊形各邊及對角線長均為，，，分別是，，的中點，則_____.
5．如圖，是平行四邊形，，.如圖，把平行四邊形沿對角線折起，使與成角，求的長.
C綜合素養(yǎng)
1．設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足，，，則是（ ）
A．銳角三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．不確定
2．設(shè)，，，是空間不共面的四個點，且滿足，，，則的形狀是（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形
3．平面上有四個互異點A、B、C、D，已知（，則△ABC的形狀是
A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．無法確定
4．已知點是棱長為2的正方體的底面上一點（包括邊界），則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
1.1.2空間向量的數(shù)量積運算（精練）
A夯實基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)
A夯實基礎(chǔ)
一、單選題
1．如圖所示，平行六面體中，，，若線段，則（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
∵，∴
，∴，，
故選：C.
2．如圖所示，在平行六面體中，，，則（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】A
由題意，，兩邊平方可得
；
所以.
故選：A.
3．已知向量，，是兩兩垂直的單位向量，且，則（ ）．
A．15B．3C．D．5
【答案】B
向量，，是兩兩垂直的單位向量，且，，
.
故選：B
4．如圖所示，在平行六面體中，各棱長均為2，，，則向量的長度為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
，
故選：A
5．如圖，空間四邊形的每條邊和對角線長都等于，點，，分別是，，的中點，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
依題意，分別是的中點，
所以，
三角形是等邊三角形，且邊長為.
所以.
故選：B
6．已知正四面體的棱長為，點，分別是，的中點，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
因為E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，
所以，，
又因為正四面體ABCD的棱長都為1，
所以，
故
．
故選：C．
7．已知平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，，，則（ ）
A．B．3C．D．2
【答案】B
設(shè)，由題意得：，，
.
故選：B.
8．棱長為1的正四面體ABCD中，點E，F(xiàn)分別是線段BC，AD上的點，且滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由已知，
因為，，
所以，
，
．
故選：D．
二、多選題
9．設(shè)，，是任意的非零空間向量，且它們互不共線，給出下列命題，其中正確的是
A．B．
C．一定不與垂直D．
【答案】BD
是表示與向量共線的向量，而是表示與向量共線的向量，錯誤，
，是兩個不共線的向量，根據(jù)三角形任意兩邊之差小于第三邊可得，正確，
可能成立，錯誤，
向量的運算滿足平方差公式，，正確，
故選：．
10．在四棱柱中，底面是邊長為1的正方形，，則下列選項正確的是（ ）
A．B．
C．若，則D．若直線與交于點O，則
【答案】AB
對A，由題意，，A正確；
對B，，B正確；
對C，，
則，C錯誤；
對D，由題意可知，，
則
，D錯誤.
故選：AB.
三、填空題
11．如圖，已知平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長為3，且，則__.
【答案】
平行六面體中，，
..
故答案為：．
12．平行六面體，，，，則______
【答案】
由題設(shè)，可得如下示意圖，
∴，
∴，則.
故答案為：
四、解答題
13．如圖所示，在平行六面體中，，，，.
(1)求；
(2)求線段的長.
【答案】(1)(2)
(1)解：由題意可得，，
，
所以；
(2)解：所以線段的長為.
14．如圖，三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都等于1，．
（1）設(shè)，，，用向量表示，
（2）求出的長度；
【答案】（1）；（2）．
（1）.
（2）因為，同理可得，
所以
.
B能力提升
1．如圖，四棱錐中，底面為矩形且平面，連接與，下面各組向量中，數(shù)量積不一定為零的是（ ）
A．與B．與
C．與D．與
【答案】C
對于A,因為平面，平面,所以,因為底面為矩形，所以,,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故A不正確；
對于B, 因為平面，平面,所以,因為底面為矩形，所以,,平面,所以平面，
平面,所以,即，所以，故B不正確；
對于C，因為底面為矩形，所以與不垂直，所以與不一定垂直，所以與不一定垂直，所以與的數(shù)量積不一定為0，故C正確．
對于D,因為平面，平面,所以,因為底面為矩形，所以,,平面,所以平面，
平面,所以,即，所以，故D不正確.
故選：C.
2．如圖所示，平行六面體中，，，，則線段的長度為（ ）．
A．B．C．2D．
【答案】C
解：根據(jù)題意，取向量為基底，
則，
所以
，所以
所以線段的長度為為
故選：C
3．（多選）四面體中，各棱長均為，點分別是的中點，則下列向量的數(shù)量積等于的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
依題意，四面體ABCD是正四面體，
對于A，，，A不是；
對于B，，，B是；
對于C，因是的中點，則，而，，C不是；
對于D，因是的中點，則，，D是.
故選：BD
4．空間四邊形各邊及對角線長均為，，，分別是，，的中點，則_____.
【答案】##0.5
如圖，,
，
所以
,
因為向量的模相等，夾角相等，所以，,
及
答案為：
5．如圖，是平行四邊形，，.如圖，把平行四邊形沿對角線折起，使與成角，求的長.
【答案】或.
，四邊形為平行四邊形，，
，；
與成角，或；
；
當時，，解得：；
當時，，解得：；
的長為或.
C綜合素養(yǎng)
1．設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足，，，則是（ ）
A．銳角三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．不確定
【答案】A
，，
為銳角，
同理：，，D和C都為銳角，
∴為銳角三角形.
故選：A.
2．設(shè)，，，是空間不共面的四個點，且滿足，，，則的形狀是（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
，則，所以是銳角，同理，都是銳角，故是銳角三角形．故選．
3．平面上有四個互異點A、B、C、D，已知（，則△ABC的形狀是
A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．無法確定
【答案】C
即△ABC為等腰三角形，選C.
4．已知點是棱長為2的正方體的底面上一點（包括邊界），則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
由題設(shè)，，，
∴，
又，，
∴，而在面上一點（包括邊界），
∴，故.
故選：B

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1.1 空間向量及其運算

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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