題型目錄一覽
一、知識點梳理
1.集合的有關(guān)概念
1．集合元素的三個特性：確定性、無序性、互異性．
2．集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法．
3．元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為∈；不屬于，記為?．
4．五個特定的集合及其關(guān)系圖：N*或N＋表示正整數(shù)集，N表示非負整數(shù)集(或自然數(shù)集)，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集．
2.集合間的基本關(guān)系
(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素，都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集.記作A?B(或B?A).
(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且xA，就稱集合A是集合B的真子集，記作AB.
(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.
(4)空集的性質(zhì)：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本運算
【常用結(jié)論】
（1）若有限集中有個元素，則的子集有個，真子集有個，非空子集有個，非空真子集有個．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
二、題型分類精講
題型一 集合的含義與表示
策略方法 解決與集合中的元素有關(guān)問題的一般思路
【典例1】已知集合，，，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【典例2】已知集合，則集合中元素的個數(shù)是（ ）
A．1B．3C．6D．9
【題型訓(xùn)練】
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集，集合M滿足，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·北京海淀·?？寄M預(yù)測）設(shè)集合，若，則實數(shù)m=（ ）
A．0B．C．0或D．0或1
3．（2023春·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知集合，，若，則實數(shù)x的取值集合為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，則集合B中所含元素個數(shù)為（ ）
A．20B．21C．22D．23
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，，則的元素個數(shù)是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，則集合中元素的個數(shù)是（ ）
A．1B．3C．6D．9
填空題
7．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)集合，，，則中的元素個數(shù)為______．
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）含有3個實數(shù)的集合既可表示成，又可表示成，則 _____．
9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，則用列舉法表示集合為______．
10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，則的元素個數(shù)是______.
題型二 集合間的基本關(guān)系
策略方法 判斷集合關(guān)系的三種方法
【典例1】已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】已知全集，，則集合B的真子集個數(shù)為（ ）
A．63個B．64個C．127個D．128個
【題型訓(xùn)練】
1．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知集合滿足，那么這樣的集合M的個數(shù)為（ ）
A．6B．7C．8D．9
2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校校考一模）已知集合，若，則實數(shù)的取值集合為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·山東濟南·一模）已知集合，，若，則a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·天津河?xùn)|·一模）已知集合，，，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）設(shè)，，則（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知集合，，則的非空子集個數(shù)為（ ）
A．7B．8C．15D．16
7．（2023·廣西桂林·?？寄M預(yù)測）設(shè)集合，則集合的真子集的個數(shù)為（ ）個
A．3B．4C．7D．15
8．（2022秋·四川·高三四川省岳池中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合，，則滿足的集合的個數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，，則實數(shù)a的值是________
10．（2022·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合，若，則實數(shù)a的取值組成的集合是___________．
11．（2022秋·上海青浦·高三上海市青浦高級中學(xué)?？计谥校┮阎?，，若，則的取值集合為_______
12．（2022秋·上海嘉定·高三?？计谥校┮阎希?，集合，則集合C的子集的個數(shù)為____________．
13．（2022秋·河南安陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）集合且的所有非空真子集的個數(shù)為__________.
題型三 集合的基本運算
策略方法 集合運算三步驟
【典例1】已知集合，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【典例2】已知集合，，且，，則（ ）
A．B．C．D．
【題型訓(xùn)練】
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集，集合M滿足，則（ ）
A．B．C．D．
4．（湖北省宜昌市協(xié)作體2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
5．（西藏拉薩市2023屆高三一模數(shù)學(xué)（理）試題）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知集合，，則中的元素個數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（2023·北京朝陽·統(tǒng)考一模）已知集合，集合，則（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·浙江杭州·高二浙江大學(xué)附屬中學(xué)期中）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
9．（2023春·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知全集，，則（ ）
A．B．C．D．
10．（2023春·湖南·高二瀏陽一中校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)集合，，則（ ）．
A．B．C．D．
11．（2023春·湖南·高二臨澧縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A．B．C．D．
12．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考期中）設(shè)集合，，能正確表示圖中陰影部分的集合是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）已知集合，則下列Venn圖中陰影部分可以表示集合的是（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023·貴州·校聯(lián)考二模）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
15．（2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）已知，，則__________．
16．（2023·上海松江·統(tǒng)考二模）已知集合，，則______．
17．（2023·高三課時練習(xí)）設(shè)集合，，則______.
18．（2023·全國·高三對口高考）已知集合，，則___________．
19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，則____________.
20．（2021秋·上海金山·高三上海市金山中學(xué)?？计谥校┮阎螦＝{y|y＝2x}，全集U＝R，則________．
21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，則________．
22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，則______
23．（2022秋·廣東湛江·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，已知集合，則圖中的陰影部分表示的集合為___________.
24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）建黨百年之際，影片《》《長津湖》《革命者》都已陸續(xù)上映，截止年月底，《長津湖》票房收入已超億元，某市文化調(diào)查機構(gòu)，在至少觀看了這三部影片中的其中一部影片的市民中隨機抽取了人進行調(diào)查，得知其中觀看了《》的有人，觀看了《長津湖》的有人，觀看了《革命者》的有人，數(shù)據(jù)如圖，則圖中___________；___________；___________.
25．（2022秋·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校舉辦運動會，比賽項目包括田徑、游泳、球類，經(jīng)統(tǒng)計高一年級有人參加田徑比賽，有人參加游泳比賽，有人參加球類比賽.參加球類比賽的同學(xué)中有人參加田徑比賽，有人參加游泳比賽；同時參加田徑比賽和游泳比賽的有人；同時參加三項比賽的有人.則高一年級參加比賽的同學(xué)有___________.
題型四 集合的新定義
策略方法 解決與集合的新定義有關(guān)問題的一般思路
1.集合的新定義題核心在于讀懂題意。讀懂里邊的數(shù)學(xué)知識，一般情況下，它所涉及到的知識和方法并不難，難在轉(zhuǎn)化。
2.集合的新定義題，主要是在題干中定義“新的概念，新的計算公式，新的運算法則，新的定理”，要根據(jù)這些新定義去解決問題，有時為了有助于理解，還可以用類比的方法進行理解。
【典例1】1．若，，定義且（ ）
A．或B．或
C．D．
【題型訓(xùn)練】
1．（2023春·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合的全集為，定義一種運算，，若全集，，，則（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023春·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）若一個位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的次方和等于這個數(shù)本身，則稱這個數(shù)是自戀數(shù)，已知所有一位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合，集合，則真子集個數(shù)為（ ）
A．3B．4C．7D．8
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義，集合，，則（ ）
A．B．
C．或D．或
4．（2023·全國·本溪高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）對于集合A，B，定義集合且，已知集合，，，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）對于集合，定義，且．若，，將集合中的元素從小到大排列得到數(shù)列，則（ ）
A．55B．76C．110D．113
6．（2023·北京·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知集合滿足：①，②，必有，③集合中所有元素之和為，則集合中元素個數(shù)最多為（ ）
A．11B．10C．9D．8
7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義集合運算，若集合，則（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合X是實數(shù)集R的子集，如果點滿足：對任意，都存在，使得，稱為集合X的聚點，則在下列集合中：①；②；③；④，以0為聚點的集合有（ ）個.
A．1B．2C．3D．0
二、多選題
9．（2023·河南安陽·安陽一中?？寄M預(yù)測）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機一直延續(xù)到19世紀直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)史稱戴德金分割，并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認為“無理”的時代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱為戴德金分割試判斷下列選項中，可能成立的是（ ）
A．是一個戴德金分割
B．M沒有最大元素，N有一個最小元素
C．M有一個最大元素，N有一個最小元素
D．M沒有最大元素，N也沒有最小元素
10．（2023秋·福建龍巖·高三校聯(lián)考期末）設(shè)數(shù)集滿足下列兩個條件：（1）；（2），若則. 則下論斷正確的是（ ）
A．中必有一個為0
B．a(chǎn)，b，c，d中必有一個為1
C．若且，則
D．，使得
11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)兩個集合中一個集合為另一個集合的子集時，稱這兩個集合構(gòu)成“全食”；當(dāng)兩個集合有公共元素，但互不為對方子集時，稱這兩個集合成“偏食”.對于集合，，若與構(gòu)成“全食”或“偏食”，則實數(shù)的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）非空集合G關(guān)于運算滿足：（1）對任意a，，都有；（2）存在，使得對一切，都有，則稱G關(guān)于運算為“融洽集”.現(xiàn)給出下列集合和運算，其中G關(guān)于運算為“融洽集”的是（ ）
A．，為實數(shù)的乘法B．，為整數(shù)的加法
C．，為整數(shù)的乘法D．，為多項式的加法
三、填空題
13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對于非空集合，其所有元素的幾何平均數(shù)記為，即．若非空數(shù)集滿足下列兩個條件：①?A；②，則稱為的一個“保均值真子集”，據(jù)此，集合的“保均值真子集”有__個．
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若集合中任意兩個元素的和差積商的運算結(jié)果都在中，則稱是封閉集合.下列集合：（1） （2） （3）（4）中.封閉集合的個數(shù)為_____.
15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）給定數(shù)集 ，若對于任意、，有，且，則稱集合為閉集合，則下列所有正確命題的序號是______：
①集合是閉集合；
②正整數(shù)集是閉集合；
③集合是閉集合；
④若集合、為閉集合，則為閉集合．
16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合 ， 設(shè) 整除或整除， 令 表示集合所含元素的個數(shù)，則_____.
集合的含義及其表示
集合間的基本關(guān)系
集合的交并補運算及圖的應(yīng)用
集合新定義問題
集合的并集
集合的交集
集合的補集
符號表示
A∪B
A∩B
若全集為U，則集合A的補集為CUA
圖形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x ?A}
2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
第01講 集合（精講）
題型目錄一覽
一、知識點梳理
1.集合的有關(guān)概念
1．集合元素的三個特性：確定性、無序性、互異性．
2．集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法．
3．元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為∈；不屬于，記為?．
4．五個特定的集合及其關(guān)系圖：N*或N＋表示正整數(shù)集，N表示非負整數(shù)集(或自然數(shù)集)，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集．
2.集合間的基本關(guān)系
(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素，都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集.記作A?B(或B?A).
(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且xA，就稱集合A是集合B的真子集，記作AB.
(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.
(4)空集的性質(zhì)：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本運算
【常用結(jié)論】
（1）若有限集中有個元素，則的子集有個，真子集有個，非空子集有個，非空真子集有個．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
二、題型分類精講
題型一 集合的含義與表示
策略方法 解決與集合中的元素有關(guān)問題的一般思路
【典例1】已知集合，，，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】由題設(shè)知，討論、求a值，結(jié)合集合的性質(zhì)確定a值即可.
【詳解】由知：，
當(dāng)，即，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；
當(dāng)，即或，
若，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；
若，則，，滿足要求.
綜上，.故選：A
【典例2】已知集合，則集合中元素的個數(shù)是（ ）
A．1B．3C．6D．9
【分析】根據(jù)，采用列舉法表示集合B 即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，
所以集合B中共有6個元素，故選：C.
【題型訓(xùn)練】
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集，集合M滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先寫出集合,然后逐項驗證即可
【詳解】由題知,對比選項知，正確,錯誤
故選:
2．（2023·北京海淀·?？寄M預(yù)測）設(shè)集合，若，則實數(shù)m=（ ）
A．0B．C．0或D．0或1
【答案】C
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分別討論和兩種情況，求解并檢驗集合的互異性，可得到答案.
【詳解】設(shè)集合，若，
，或，
當(dāng)時，，此時；
當(dāng)時，，此時；
所以或.
故選：C
3．（2023春·河南新鄉(xiāng)·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知集合，，若，則實數(shù)x的取值集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)集合元素的唯一性分類討論即可.
【詳解】因為，所以.
當(dāng)時，，得；
當(dāng)時，則.
故實數(shù)x的取值集合為.
故選：B
4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，則集合B中所含元素個數(shù)為（ ）
A．20B．21C．22D．23
【答案】B
【分析】根據(jù)的值分類討論，即可求出集合B中所含元素個數(shù)．
【詳解】當(dāng)時，有，6個元素；
當(dāng)時，有，5個元素；
當(dāng)時，有，4個元素；
當(dāng)時，有，3個元素；
當(dāng)時，有，2個元素；
當(dāng)時，有，1個元素，
綜上，一共有21個元素．
故選：B．
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，，則的元素個數(shù)是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】C
【分析】聯(lián)立求出交點坐標，從而得到答案.
【詳解】聯(lián)立，即，解得：或，
即，
故的元素個數(shù)為3.
故選：C
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，則集合中元素的個數(shù)是（ ）
A．1B．3C．6D．9
【答案】C
【分析】根據(jù)，采用列舉法表示集合B 即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，
所以集合B中共有6個元素，
故選：C.
二、填空題
7．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)集合，，，則中的元素個數(shù)為______．
【答案】4
【分析】求出所有的值，根據(jù)集合元素的互異性可判斷個數(shù).
【詳解】因為集合中的元素，，，所以當(dāng)時，，2，3，此時，6，7．當(dāng)時，，2，3，此時，7，8．
根據(jù)集合元素的互異性可知，，6，7，8．即，共有4個元素．
故答案為：4．
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）含有3個實數(shù)的集合既可表示成，又可表示成，則 _____．
【答案】1
【分析】根據(jù)集合相等，則元素完全相同，分析參數(shù)，列出等式，即可求得結(jié)果.
【詳解】因為，
顯然，故，則；
此時兩集合分別是，
則，解得或.
當(dāng)時，不滿足互異性，故舍去；
當(dāng)時，滿足題意.
所以
故答案為：.
9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，則用列舉法表示集合為______．
【答案】
【分析】根據(jù)題意可得，則，對代入檢驗，注意集合的元素為坐標．
【詳解】∵，則可得，則
又∵，則當(dāng)成立，當(dāng)成立，
∴
故答案為：．
10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，則的元素個數(shù)是______.
【答案】0
【分析】分析集合與中的元素，可知，進而得解.
【詳解】因為中的元素是有序?qū)崝?shù)對，
而中的元素是實數(shù)，所以兩個集合沒有公共元素，即，
所以的元素個數(shù)為0.
故答案為：0
題型二 集合間的基本關(guān)系
策略方法 判斷集合關(guān)系的三種方法
【典例1】已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先解出集合,再根據(jù)列不等式直接求解.
【詳解】集合，.
要使，只需，解得：.故選：A
【典例2】已知全集，，則集合B的真子集個數(shù)為（ ）
A．63個B．64個C．127個D．128個
【分析】根據(jù)補集關(guān)系，先得到與集合B互補的結(jié)論，再計算出集合B元素個數(shù)n，最后根據(jù)集合真子集個數(shù)為個即可.
【詳解】根據(jù)可得，
，，
，故合B的真子集個數(shù)為故選:C
【題型訓(xùn)練】
1．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知集合滿足，那么這樣的集合M的個數(shù)為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系一一列舉出來即可.
【詳解】因為，
所以集合可以為：，
共8個，
故選：C.
2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？家荒＃┮阎?，若，則實數(shù)的取值集合為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】化簡集合，根據(jù)，求實數(shù)的可能取值，由此可得結(jié)果.
【詳解】集合，
又，，
所以，故實數(shù)a的取值集合為，
故選：C.
3．（2023·山東濟南·一模）已知集合，，若，則a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)定義域求出，由得到a的取值范圍.
【詳解】由題意得，解得，故，
因為，所以.
故選：A
4．（2023·天津河?xùn)|·一模）已知集合，，，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題設(shè)知，討論、求a值，結(jié)合集合的性質(zhì)確定a值即可.
【詳解】由知：，
當(dāng)，即，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；
當(dāng)，即或，
若，則，與集合中元素互異性有矛盾，不符合；
若，則，，滿足要求.
綜上，.
故選：A
5．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）設(shè)，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分別分析兩個集合中的元素所代表的意思即可判斷選項.
【詳解】解：因為，因為，
所以集合是由所有奇數(shù)的一半組成，
而集合是由所有整數(shù)的一半組成，故.
故選：B
6．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知集合，，則的非空子集個數(shù)為（ ）
A．7B．8C．15D．16
【答案】A
【分析】根據(jù)交集的運算和子集的定義求解.
【詳解】因為，又，
所以，
所以的元素個數(shù)為3，其非空子集有7個．
故選:A．
7．（2023·廣西桂林·?？寄M預(yù)測）設(shè)集合，則集合的真子集的個數(shù)為（ ）個
A．3B．4C．7D．15
【答案】A
【分析】通過解方程組，結(jié)合集合交集的定義、真子集個數(shù)公式進行求解即可.
【詳解】由，或，所以，
因此集合的真子集的個數(shù)為，
故選：A
8．（2022秋·四川·高三四川省岳池中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合，，則滿足的集合的個數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】聯(lián)立方程組確定，進而確定其子集的個數(shù).
【詳解】由，解得，即，
共個元素，
又，
即為的子集，
所以的個數(shù)為個，
故選：C.
二、填空題
9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，，則實數(shù)a的值是________
【答案】
【分析】根據(jù)，列出元素之間的關(guān)系，即可求解實數(shù)的值.
【詳解】因為，且，
所以，，
因為，，
所以，解得.
當(dāng)時，，滿足要求.
所以.
故答案為：.
10．（2022·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合，若，則實數(shù)a的取值組成的集合是___________．
【答案】
【分析】先確定集合中的元素，然后結(jié)合子集的概念，分，兩種情況討論即可得出結(jié)果．
【詳解】集合，，
當(dāng)，即時，顯然滿足條件；
當(dāng)時，即，則，
因為，所以或，即或，解得或，
綜上，實數(shù)a的取值組成的集合是．
故答案為：．
11．（2022秋·上海青浦·高三上海市青浦高級中學(xué)?？计谥校┮阎?，，若，則的取值集合為_______
【答案】
【分析】由題意可知，分、兩種情況討論，分析出方程的解的情況，綜合可求得實數(shù)的值.
【詳解】因為，則.
①若，則，符合題意；
②若，則，則或，解得或.
綜上所述，實數(shù)的取值集合為.
故答案為：.
12．（2022秋·上海嘉定·高三?？计谥校┮阎希?，集合，則集合C的子集的個數(shù)為____________．
【答案】16
【分析】分別求出函數(shù)的值域、定義域化簡集合A，B，再利用交集的定義求出集合C即可作答.
【詳解】集合，，
則集合，
所以集合C的子集的個數(shù)為．
故答案為：16
13．（2022秋·河南安陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）集合且的所有非空真子集的個數(shù)為__________.
【答案】14
【分析】化簡集合，然后根據(jù)子集的概念即得.
【詳解】因為且，
所以該集合的所有非空真子集的個數(shù)為．
故答案為：14.
題型三 集合的基本運算
策略方法 集合運算三步驟
【典例1】已知集合，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【分析】先化簡集合A、B，再去求即可解決.
【詳解】
則故選：C
【典例2】已知集合，，且，，則（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根據(jù)集合與集合的交集和并集運算結(jié)果，確定集合與集合中元素，再根據(jù)元素與集合的關(guān)系求解參數(shù)即可.
【詳解】，，得，解得.
故.又因為，所以得.
代入得，解得：，綜上可得：.故選：C.
【題型訓(xùn)練】
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【詳解】[方法一]：直接法
因為，故，故選：B.
[方法二]：【最優(yōu)解】代入排除法
代入集合，可得，不滿足，排除A、D；
代入集合，可得，不滿足，排除C.
故選：B.
【整體點評】方法一：直接解不等式，利用交集運算求出，是通性通法；
方法二：根據(jù)選擇題特征，利用特殊值代入驗證，是該題的最優(yōu)解．
2．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用并集的定義可得正確的選項.
【詳解】，
故選：D.
3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)全集，集合M滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先寫出集合,然后逐項驗證即可
【詳解】由題知,對比選項知，正確,錯誤
故選:
4．（湖北省宜昌市協(xié)作體2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解一元二次不等式化簡集合B，然后利用交集概念運算即可.
【詳解】因為，
又，所以.
故選：C.
5．（西藏拉薩市2023屆高三一模數(shù)學(xué)（理）試題）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先化簡集合A，進而利用交集定義求得.
【詳解】由題意知，又，
所以.
故選：D.
6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知集合，，則中的元素個數(shù)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】應(yīng)用并運算求，即可得元素個數(shù).
【詳解】由題設(shè)，所以，故其中元素共有4個.
故選：B
7．（2023·北京朝陽·統(tǒng)考一模）已知集合，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化簡，再由集合并集的運算即可得解.
【詳解】由題意，，
所以.
故選：C.
8．（2023春·浙江杭州·高二浙江大學(xué)附屬中學(xué)期中）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及絕對值不等式化簡集合，再根據(jù)集合并集的定義求解即可.
【詳解】由解得，所以，
由可得，解得，所以，
所以，
故選：C
9．（2023春·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知全集，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解不等式求出集合，再求補集可得答案.
【詳解】因為，
所以．
故選：C.
10．（2023春·湖南·高二瀏陽一中校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)集合，，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解不等式，求出，從而得到補集和交集.
【詳解】∵，
又，
∴，
∴.
故選：A．
11．（2023春·湖南·高二臨澧縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)集合的交并補運算即可求解.
【詳解】全集為U，集合，，,圖中陰影部分表示是去掉的部分，故表示的集合是．
故選：D．
12．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考期中）設(shè)集合，，能正確表示圖中陰影部分的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求得集合，結(jié)合題意及集合的運算，即可求解.
【詳解】由題意，集合，
根據(jù)圖中陰影部分表示集合中元素除去集合中的元素，即為.
故選：B.
13．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）已知集合，則下列Venn圖中陰影部分可以表示集合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，結(jié)合四個選項的Venn圖逐一判斷即可.
【詳解】，
選項A中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意；
選項B中Venn圖中陰影部分表示，符合題意；
選項C中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意；
選項D中Venn圖中陰影部分表示，不符合題意，
故選：B
14．（2023·貴州·校聯(lián)考二模）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題知圖中陰影部分表示的集合為，，再根據(jù)集合運算求解即可.
【詳解】解：由圖可得，圖中陰影部分表示的集合為，
因為，所以，
因為，所以或，
所以.
故選：B.
二、填空題
15．（2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）已知，，則__________．
【答案】
【分析】解不等式，再求交集.
【詳解】等價于，解得，即.
則.
故答案為：
16．（2023·上海松江·統(tǒng)考二模）已知集合，，則______．
【答案】
【分析】根據(jù)先解不等式求集合，再應(yīng)用交集的概念進行運算即可.
【詳解】因為，,
所以.
故答案為:.
17．（2023·高三課時練習(xí)）設(shè)集合，，則______.
【答案】
【分析】化簡集合，然后根據(jù)并集的定義運算即得.
【詳解】由題可知，
由，可得，解得，
所以，
所以.
故答案為：.
18．（2023·全國·高三對口高考）已知集合，，則___________．
【答案】
【分析】先求解B集合，再計算
【詳解】，．
19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，則____________.
【答案】
【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式可得集合，進而可得其補集.
【詳解】由，解不等式，且，所以，
故，，
故答案為：.
20．（2021秋·上海金山·高三上海市金山中學(xué)?？计谥校┮阎螦＝{y|y＝2x}，全集U＝R，則________．
【答案】
【分析】利用補集運算即得.
【詳解】因為，
所以.
故答案為：.
21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，則________．
【答案】
【分析】分別求出集合，再根據(jù)交并補的運算法則計算即可.
【詳解】由集合解得，由集合解得，所以，所以.
故答案為：
22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合，，則______
【答案】
【分析】由題意分別求出集合，然后求即可.
【詳解】由，
故，
故答案為：.
23．（2022秋·廣東湛江·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，已知集合，則圖中的陰影部分表示的集合為___________.
【答案】
【分析】解指數(shù)不等式求得集合B，結(jié)合圖象即可求解.
【詳解】因為，即，解得
所以，，
所以圖中陰影部分表示的集合為
故答案為：.
24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）建黨百年之際，影片《》《長津湖》《革命者》都已陸續(xù)上映，截止年月底，《長津湖》票房收入已超億元，某市文化調(diào)查機構(gòu)，在至少觀看了這三部影片中的其中一部影片的市民中隨機抽取了人進行調(diào)查，得知其中觀看了《》的有人，觀看了《長津湖》的有人，觀看了《革命者》的有人，數(shù)據(jù)如圖，則圖中___________；___________；___________.
【答案】
【分析】根據(jù)韋恩圖，結(jié)合看每部電影的人數(shù)可構(gòu)造方程組求得結(jié)果.
【詳解】由題意得：，解得：.
故答案為：；；.
25．（2022秋·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校舉辦運動會，比賽項目包括田徑、游泳、球類，經(jīng)統(tǒng)計高一年級有人參加田徑比賽，有人參加游泳比賽，有人參加球類比賽.參加球類比賽的同學(xué)中有人參加田徑比賽，有人參加游泳比賽；同時參加田徑比賽和游泳比賽的有人；同時參加三項比賽的有人.則高一年級參加比賽的同學(xué)有___________.
【答案】
【分析】設(shè)集合、、分別指參加田徑、游泳、球類比賽的學(xué)生構(gòu)成的集合，作出韋恩圖，確定參加各類比賽的學(xué)生人數(shù)，即可得解.
【詳解】設(shè)集合、、分別指參加田徑、游泳、球類比賽的學(xué)生構(gòu)成的集合，
由圖可知，高一年級參加比賽的同學(xué)人數(shù)為.
故答案為：.
題型四 集合的新定義
策略方法 解決與集合的新定義有關(guān)問題的一般思路
1.集合的新定義題核心在于讀懂題意。讀懂里邊的數(shù)學(xué)知識，一般情況下，它所涉及到的知識和方法并不難，難在轉(zhuǎn)化。
2.集合的新定義題，主要是在題干中定義“新的概念，新的計算公式，新的運算法則，新的定理”，要根據(jù)這些新定義去解決問題，有時為了有助于理解，還可以用類比的方法進行理解。
【典例1】若，，定義且（ ）
A．或B．或
C．D．
【分析】求出和，根據(jù)新定義可得結(jié)論．
【詳解】，，
，，
所以或．故選：B．
【題型訓(xùn)練】
1．（2023春·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)集合的全集為，定義一種運算，，若全集，，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】解不等式求得集合M，求得，根據(jù)集合運算新定義，即可求得答案.
【詳解】由題意得，或，
則，
故選：C
2．（2023春·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）若一個位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的次方和等于這個數(shù)本身，則稱這個數(shù)是自戀數(shù)，已知所有一位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合，集合，則真子集個數(shù)為（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】C
【分析】根據(jù)題中定義，結(jié)合集合交集的定義、真子集個數(shù)公式進行求解即可.
【詳解】由題中定義可知，而，
所以，因此真子集個數(shù)為，
故選：C
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義，集合，，則（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】求出集合A中元素范圍，再根據(jù)的定義求解即可.
【詳解】，
由已知表示除去集合B中那些在集合A中的元素之后構(gòu)成的集合，
或.
故選：D.
4．（2023·全國·本溪高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）對于集合A，B，定義集合且，已知集合，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】結(jié)合新定義可知，求得，進而根據(jù)補集的定義求解即可.
【詳解】結(jié)合新定義可知，又，
所以．
故選：A
5．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）對于集合，定義，且．若，，將集合中的元素從小到大排列得到數(shù)列，則（ ）
A．55B．76C．110D．113
【答案】C
【分析】根據(jù)集合的特征列出集合與的前若干項，找出集合中元素的特征，進而即可求解.
【詳解】因為，
所以，所以．相當(dāng)于集合中除去形式的數(shù)，其前45項包含了15個這樣的數(shù)，所以．
則，
故選：C.
6．（2023·北京·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知集合滿足：①，②，必有，③集合中所有元素之和為，則集合中元素個數(shù)最多為（ ）
A．11B．10C．9D．8
【答案】B
【分析】根據(jù)集合滿足的條件①②可知要使得集合中元素盡可能多，則相鄰的兩個自然數(shù)最少差為，故先考慮集合中元素是由公差為的等差數(shù)列構(gòu)成，判斷集合元素的個數(shù)的最多情況，再對部分元素進行調(diào)整即可得答案.
【詳解】對于條件①，②，必有，
若集合中所有的元素是由公差為的等差數(shù)列構(gòu)成，例如，集合中有個元素，
又則該集合滿足條件①②，不符合條件③，故符合條件③的集合中元素個數(shù)最多不能超過10個，
故若要集合滿足：①，②，必有，③集合中所有元素之和為，最多有10個元素，
例如.
故選：B.
7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義集合運算，若集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意可得，從而可得或，或，再根據(jù)新定義得，再代入驗證即可得答案.
【詳解】解：因為，
所以或
所以或，
或
所以或，
，
代入驗證，
故.
故選：D.
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合X是實數(shù)集R的子集，如果點滿足：對任意，都存在，使得，稱為集合X的聚點，則在下列集合中：①；②；③；④，以0為聚點的集合有（ ）個.
A．1B．2C．3D．0
【答案】B
【分析】根據(jù)集合聚點的定義，逐一分析每個集合中元素的性質(zhì)，并判斷是否滿足集合聚點的定義，從而得到答案.
【詳解】對于①集合，對任意的，都存在 （實際上任意比α小得數(shù)都可以），
使得 ，∴0是集合的聚點；
對于②，對于某個實數(shù)，比如，
此時對任意的，都有，
也就是說不可能，從而0不是的聚點；
對于③，對任意的，都存在，即，
使 ，故0是集合的聚點；
對于④，，故隨著n的增大而增大，
故的最小值為，故當(dāng)時，即不存在，使得，
故0不是的聚點；
故以0為聚點的集合有2個，
故選：B
二、多選題
9．（2023·河南安陽·安陽一中?？寄M預(yù)測）由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機一直延續(xù)到19世紀直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)史稱戴德金分割，并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認為“無理”的時代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足，，M中的每一個元素都小于N中的每一個元素，則稱為戴德金分割試判斷下列選項中，可能成立的是（ ）
A．是一個戴德金分割
B．M沒有最大元素，N有一個最小元素
C．M有一個最大元素，N有一個最小元素
D．M沒有最大元素，N也沒有最小元素
【答案】BD
【分析】根據(jù)戴德金分割的定義,舉例或舉反例一一判斷每個選項，可得答案.
【詳解】對于A，因為，，故A錯誤；
對于B，若，則滿足戴德金分割，
此時M沒有最大元素，N有一個最小元素0，故B正確；
對于C，若M有一個最大元素，設(shè)為a，N有一個最小元素，設(shè)為b，則，
則，而內(nèi)也有有理數(shù)，
則，故C錯誤；
對于D，若，，
則滿足戴德金分割，此時M沒有最大元素，N也沒有最小元素，故D正確，
故選：BD
10．（2023秋·福建龍巖·高三校聯(lián)考期末）設(shè)數(shù)集滿足下列兩個條件：（1）；（2），若則. 則下論斷正確的是（ ）
A．中必有一個為0
B．a(chǎn)，b，c，d中必有一個為1
C．若且，則
D．，使得
【答案】BCD
【分析】根據(jù)（1）（2）得到，，A錯誤，B正確；再分，，兩種情況，經(jīng)過推理得到C正確；在C選項的分析基礎(chǔ)上，得到若，此時求出，，使得，若，推理出中至少有2個相同，這與集合中元素的互異性矛盾，得到D正確.
【詳解】由（1）得：數(shù)集中必有1或0，
由（2）得：，故，A錯誤，B正確；
由（1）知：，故等于中的一個，
不妨設(shè)，因為，所以，故，
下面證明C正確，
因為，若，則，由（1）知：，滿足要求，
同理若，則，滿足要求，若，則，滿足要求，
若，因為，
若，則，滿足要求，
若，則中某個等于1，不妨設(shè)，由得，
由（1）知：，又因為，，所以，，故，
同理可得，所以相乘得，解得：，
因為，所以，故取，滿足要求，
綜上：若且，則，C正確；
下面證明D正確；
由（1）知：，故等于中的一個，
不妨設(shè)，因為，所以，故，
若，則，因為中某個等于1，不妨設(shè)，由得，
根據(jù)C選項的分析可知：，，，
則，故，故，，若，，
此時，，使得，D正確；
若，則，，由（1）知：，
若，則，不可能，
若，則，不可能，
若，則，不可能，
所以，故，同理可得：，
因為的平方根有且只有2個，
所以中至少有2個相同，這與集合中元素的互異性矛盾，
故不存在即的情況，
故，使得，D正確.
故選：BCD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：集合新定義問題，命題新穎，且存在知識點交叉，常常會和函數(shù)的性質(zhì)，包括單調(diào)性，值域等進行結(jié)合，很好的考慮了知識遷移，綜合運用能力，對于此類問題，一定要解讀出題干中的信息，正確理解問題的本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來進行解決.
11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)兩個集合中一個集合為另一個集合的子集時，稱這兩個集合構(gòu)成“全食”；當(dāng)兩個集合有公共元素，但互不為對方子集時，稱這兩個集合成“偏食”.對于集合，，若與構(gòu)成“全食”或“偏食”，則實數(shù)的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】對分三種情況討論，再結(jié)合“全食”或“偏食”的概念分析得解.
【詳解】當(dāng)時，，,所以與構(gòu)成“全食”；
當(dāng)時，，如果，與構(gòu)成“全食”；如果，，此時與構(gòu)成 “偏食”；
當(dāng)時，如果則，，，所以與構(gòu)成“全食”；如果則，，所以選項A錯誤；
故選：BCD
12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）非空集合G關(guān)于運算滿足：（1）對任意a，，都有；（2）存在，使得對一切，都有，則稱G關(guān)于運算為“融洽集”.現(xiàn)給出下列集合和運算，其中G關(guān)于運算為“融洽集”的是（ ）
A．，為實數(shù)的乘法B．，為整數(shù)的加法
C．，為整數(shù)的乘法D．，為多項式的加法
【答案】AB
【分析】根據(jù)是關(guān)于運算⊕為“融洽集”的定義，逐一分析四個集合及運算是否滿足定義，可得答案．
【詳解】對于，，為實數(shù)的乘法滿足（1），且存在滿足（2），故是關(guān)于運算⊕的融洽集，正確，
對于，非負整數(shù)，為整數(shù)的加法滿足（1），且存在滿足（2），故是關(guān)于運算⊕的融洽集，正確，
對于，偶數(shù)，為整數(shù)的乘法，若存在滿足（2），則為奇數(shù)，與已知矛盾，故不是關(guān)于運算⊕的融洽集，錯誤，
對于，，為多項式的加法．兩個二次三項式的和不一定是二次三項式，不滿足（1），故不是關(guān)于運算⊕的融洽集，錯誤，
故選：．
三、填空題
13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對于非空集合，其所有元素的幾何平均數(shù)記為，即．若非空數(shù)集滿足下列兩個條件：①?A；②，則稱為的一個“保均值真子集”，據(jù)此，集合的“保均值真子集”有__個．
【答案】
【分析】求出，由此利用列舉法能求出集合的“保均值真子集”的個數(shù)．
【詳解】因為集合，則，
所以，集合的“保均值真子集”有：、、、、
，，共個.
故答案為：.
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若集合中任意兩個元素的和差積商的運算結(jié)果都在中，則稱是封閉集合.下列集合：（1） （2） （3）（4）中.封閉集合的個數(shù)為_____.
【答案】2
【分析】由題意結(jié)合封閉集合的定義逐一考查所給的集合是否滿足題中的定義即可確定封閉集合的個數(shù).
【詳解】兩個實數(shù)的和差積商仍然是實數(shù)，故是一個封閉集合；
兩個有理數(shù)的和差積商仍然是有理數(shù)，故是一個封閉集合；
兩個無理數(shù)的積商不一定是無理數(shù)，例如，而 ，故不是封閉集合；
令，注意到，而，故 不是封閉集合；
綜上可得，封閉集合的個數(shù)為2.
故答案為：2.
15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）給定數(shù)集 ，若對于任意、，有，且，則稱集合為閉集合，則下列所有正確命題的序號是______：
①集合是閉集合；
②正整數(shù)集是閉集合；
③集合是閉集合；
④若集合、為閉集合，則為閉集合．
【答案】③
【分析】新定義，利用新定義的運算驗證選項，判斷是否滿足閉集合.
【詳解】對于①，，，所以錯誤；
對于②，因為正整數(shù)減正整數(shù)可能不為正整數(shù)，所以錯誤，
對于③，當(dāng)時，設(shè)，
則，所以集合是閉集合，所以正確；
對于④, 設(shè)，
由③可知，集合為閉集合，，而，故不為閉集合，所以錯誤．
故答案為：③.
16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合 ， 設(shè) 整除 或 整除 ， 令 表示集合 所含元素的個數(shù)， 則 _____.
【答案】
【分析】根據(jù)的定義進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】表示集合所含元素的個數(shù)，
其中，，
整除的有共個.
整除的：
（1）整除的有個；
（2）整除的有個；
（3）整除的有個.
重復(fù)的有共個.
所以.
故答案為：
集合的含義及其表示
集合間的基本關(guān)系
集合的交并補運算及圖的應(yīng)用
集合新定義問題
集合的并集
集合的交集
集合的補集
符號表示
A∪B
A∩B
若全集為U，則集合A的補集為CUA
圖形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x ?A}

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