1. 理解同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念.
2. 結(jié)合圖形識(shí)別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角.
3. 從復(fù)雜圖形分解為基本圖形的過程中，體會(huì)化繁為簡、化難為易的化歸思想.
直線 AB 和 EF 相交，能形成具有什么關(guān)系的角？
前面我們研究了一條直線與另一條直線相交的情形，接下來，我們進(jìn)一步研究同一平面內(nèi)一條直線與兩條直線分別相交的情形．
如圖，直線AB，CD與EF相交（也可以說兩條直線AB，CD被第三條直線EF所截）， 構(gòu)成八個(gè)角.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了有公共頂點(diǎn)的角的關(guān)系，下面我們看那些沒有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角的關(guān)系．
先看圖中的∠1和∠5，這兩個(gè)角分別 在直線AB，CD的同一側(cè)（上方），并且都在直線EF的同側(cè)（右側(cè)），具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角叫作同位角.
(1) ∠2和∠6是同位角嗎？(2) 圖中還有沒有其他同位角？
(1) ∠2和∠6是同位角.(2) ∠3和∠7 ，∠4和∠8是同位角.
再看∠3和∠5，這兩個(gè)角都在直線AB，CD 之間，并且分別在直線EF的兩側(cè)（∠3在直線EF的左側(cè)，∠5在直線EF的右側(cè)），具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角叫作內(nèi)錯(cuò)角．∠3和∠6雖然也都在直線AB，CD之間，但是它們?cè)谥本€EF的同一旁（左側(cè)），具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角叫作同旁內(nèi)角.
圖中還有沒有其他內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角？
內(nèi)錯(cuò)角：∠4 和∠6.
同旁內(nèi)角：∠4 和∠5.
例3 如圖，直線DE，BC 被直線AB所截.（1）∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4各是什么位置關(guān)系的角？
解：（1）∠1和∠2是內(nèi)錯(cuò)角， ∠1和∠3是同旁內(nèi)角， ∠1和∠4是同位角.
（2）如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等嗎？∠1和∠3互補(bǔ)嗎？為什么？
解：（2）如果∠1=∠4，又由對(duì)頂角相等，可得∠2=∠4，因此∠1=∠2.因?yàn)椤?和∠3互補(bǔ)，所以∠4+∠3=180°.又因?yàn)椤?=∠4，所以∠1+∠3=180°，即∠1和∠3互補(bǔ).
1. 分別指出下列圖中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角.
2. 如圖，∠B與哪個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角？與哪個(gè)角是同旁內(nèi)角？它們分別是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？對(duì)∠C進(jìn)行同樣的討論.
∠B與∠DAB是內(nèi)錯(cuò)角；∠B與∠C，∠BAE，∠BAC 是同旁內(nèi)角.∠C與∠EAC是內(nèi)錯(cuò)角，∠C與∠DAC，∠BAC，∠B是同旁內(nèi)角.
A. 同位角B. 內(nèi)錯(cuò)角C. 同旁內(nèi)角D. 鄰補(bǔ)角
2. 如圖，下列說法中，不正確的是( )
A. B. C. D.
4.下列手勢(shì)表示的角分別是__________________________.
同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角
6. 如圖所示，把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子變彎了，它真的彎了嗎？其實(shí)沒有，這是光的折射現(xiàn)象，光從空氣中射入水中，光的傳播方向發(fā)生了改變.
12. 觀察下面表格，并閱讀相關(guān)文字：
（3）利用（2）中的結(jié)論，解決下列問題：三條直線兩兩相交（不交于同一點(diǎn)），可構(gòu)成同位角的對(duì)數(shù)是( )
A. 12對(duì)B. 8對(duì)C. 6對(duì)D. 4對(duì)
1. 如圖，直線 AB，CD，EF 相交于點(diǎn) O.（1）寫出∠AOC，∠BOE 的鄰補(bǔ)角；（2）寫出∠DOA，∠EOC 的對(duì)頂角；（3）如果∠AOC = 50°，求∠BOD，∠COB的度數(shù).
解：（1）∠AOC 的鄰補(bǔ)角是 ∠AOD、∠COB；∠BOE 的鄰補(bǔ)角是 ∠AOE、∠BOF；（2）∠DOA 的對(duì)頂角是 ∠BOC；∠EOC 的對(duì)頂角是 ∠DOF；
（3）因?yàn)椤螧OD 與∠AOC 是對(duì)頂角，所以∠BOD =∠AOC = 50°.因?yàn)椤螩OB 與∠AOC 互為鄰補(bǔ)角，所以∠COB +∠AOC = 180°.則∠COB = 180°-∠AOC = 180°-50°= 130°.
2. 如圖，在一張半透明的紙上畫一條直線 l ，在 l 上任取一點(diǎn) P，在 l 外任取一點(diǎn) Q，折出過點(diǎn)P 且與 l 垂直的直線.這樣的直線能折出幾條？為什么？過點(diǎn) Q 呢？
解：過點(diǎn) P 且與 l 垂直的直線只能折出一條，因?yàn)檫^一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.過點(diǎn) Q 且與 l 垂直的直線也只能折出一條， 理由同上.
3. 如圖，直線 AB，CD 相交于點(diǎn) O，EO ⊥ AB，垂足為 O，∠EOC = 35°.求∠AOD 的度數(shù).
解：因?yàn)镋O⊥AB，所以∠AOE = 90°，所以∠AOC +∠EOC =∠AOE = 90°，
所以∠AOC = 90°-∠EOC = 90°-35°= 55°，又因?yàn)椤螦OC +∠AOD = 180°，所以∠AOD = 180°-∠AOC = 125°.
4. 如圖，畫 AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分別為E，F(xiàn).
解：AE 和 CF 如圖中虛線所示.
5. 如圖，直線 AB，CD 相交于點(diǎn) O，OA 平分∠EOC.（1）若∠EOC = 70°，求∠BOD 的度數(shù)；（2）若∠EOC∶∠EOD = 2∶3，求∠BOD 的度數(shù).
（2）因?yàn)椤螮OC∶∠EOD = 2∶3，又因?yàn)椤螮OC +∠EOD = 180°，所以∠EOC = 180°× = 72°，因?yàn)?OA 平分∠EOC，所以∠AOC = ∠EOC =36°，所以∠BOD =∠AOC = 36°.
6. 如圖，這是李明同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)后留下的腳印，他的跳遠(yuǎn)成績是多少（比例尺為1∶160）？
解：經(jīng)測(cè)量起跳線到右腳后跟的距離為 2.5 cm，設(shè)李明實(shí)際跳了 x cm，依題意，得2.5∶x = 1∶160，x = 400.因?yàn)?400 cm = 4 m.所以李明的跳遠(yuǎn)成績是 4 m.
7.如圖，∠1 和∠2，∠3 和∠4 各是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？它們各是什么位置關(guān)系的角？
解：（1）∠1 和∠2 是直線 AB、CD 被直線BD 所截形成的，是內(nèi)錯(cuò)角；∠3 和∠4 是直線 AD、BC 被直線 BD 所截形成的，是內(nèi)錯(cuò)角.
（2）∠1 和∠2 是直線 AB、CD 被直線 BC 所截形成的，是同旁內(nèi)角；∠3 和∠4 是直線 AD、BC 被直線 AE 所截形成的，是同位角.
8. 如圖，AB⊥l ，CB⊥l ，B 為垂足，那么A，B，C 三點(diǎn)在同一條直線上嗎？請(qǐng)說明理由.
解：A、B、C 三點(diǎn)在同一條直線上. 因?yàn)檫^一點(diǎn) B 有且只有一條直線與 l 垂直.
9.直線 AB，CD 相交于點(diǎn) O.（1）OE，OF 分別是∠AOC，∠BOD 的平分線. 畫出這個(gè)圖形.（2）射線 OE，OF 在同一條直線上嗎？為什么？
（2）射線 OE、OF 在同一條直線上.理由如下：由角的平分線定義可知∠COE = ∠AOC，∠DOF = ∠DOB.由對(duì)頂角相等，可得∠AOC =∠DOB，所以∠COE =∠DOF.
由平角的定義，可知∠COD = 180°，即∠EOC +∠EOD = 180°.所以∠DOF + ∠EOD = 180°，即∠EOF = 180°，所以射線 OE、OF 在同一條直線上.

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7.1.3 兩條直線被第三條直線所截

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年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)（2024）

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