?《平行四邊形》全章復(fù)習(xí)與鞏固（培優(yōu)篇）
（模擬與真題專練）
一、單選題
1．（2019·貴州·道真自治縣隆興中學(xué)三模）如圖，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 為邊 BC 上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC于 F，M 為 EF 中點(diǎn)，則 AM 的最小值為（ ）

A．1 B．1.3 C．1.2 D．1.5
2．（2019·山東臺(tái)兒莊·二模）如圖，△ABC的周長(zhǎng)為19，點(diǎn)D，E在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為N，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為M，若BC=7，則MN的長(zhǎng)度為（　?。?br />
A． B．2 C． D．3
3．（2019·山東棗莊·二模）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD，分別交BC、BD于點(diǎn)E、P，連接OE，∠ADC=60°，AB=BC=1，則下列結(jié)論：
①∠CAD=30°②BD=③S平行四邊形ABCD=AB?AC④OE=AD⑤S△APO=，正確的個(gè)數(shù)是（　?。?br />
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2019·江蘇蘇州·中考模擬）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E、F分別在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，則CF長(zhǎng)為（ ）

A．2 B．3 C． D．
5．（2019·江蘇丹陽(yáng)·中考模擬）將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，恰好得到菱形AECF，若AB=3，則菱形AECF的面積為（　　　　）

A．1 B．2 C．2 D．4
6．（2019·湖北·華中師大一附中美聯(lián)實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B、D重合)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF給出下列五個(gè)結(jié)論：①AP＝EF；②AP⊥EF；③僅有當(dāng)∠DAP＝45°或67.5°時(shí)，△APD是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP：⑤PD＝EC．其中有正確有(　　)個(gè)．

A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2019·陜西岐山·一模）如圖，在菱形ABCD中，兩對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC=8，BD=6，當(dāng)△OPD是以PD為底的等腰三角形時(shí)，CP的長(zhǎng)為（　　）

A．2 B． C． D．
8．（2019·陜西商南·二模）如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將沿直線BE折疊后得到 ，延長(zhǎng)BG交CD于點(diǎn)F，若 則FD的長(zhǎng)為( )

A．1 B．2 C． D．
9．（2019·陜西·一模）如圖，在中，，平分，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作，分別交、于點(diǎn)E、F，若，則的長(zhǎng)為（ ）

A．10 B．8 C．7 D．6
10．（2019·廣東·廣州大學(xué)附屬中學(xué)一模）如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E、F分別是AB、AD上任意的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且AE=DF，連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG與BD相交于點(diǎn)H．給出如下幾個(gè)結(jié)論：
①∠ADE=∠DBF；②△DAE≌△BDG；③若AF=2DF，則BG=6GF；④CG與BD一定不垂直；⑤∠BGE=60°．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（　?。?br />
A．5 B．4 C．3 D．2


二、填空題
11．（2020·遼寧葫蘆島·中考真題）一張菱形紙片的邊長(zhǎng)為，高等于邊長(zhǎng)的一半，將菱形紙片沿直線折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，直線交直線于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_(kāi)___________．
12．（2020·湖南張家界·中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，將其繞頂點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度到位置，使得點(diǎn)B落在對(duì)角線上，則陰影部分的面積是______．

13．（2020·云南·中考真題）已知四邊形是矩形，點(diǎn)是矩形的邊上的點(diǎn)，且．若，，則的長(zhǎng)是___．
14．（2019·山東泰山·二模）如圖，∠MAN=90°，點(diǎn)C在邊AM上，AC=4，點(diǎn)B為邊AN上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC，△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱，點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交A′B所在直線于點(diǎn)F，連接A′E．當(dāng)△A′EF為直角三角形時(shí)，AB的長(zhǎng)為_(kāi)____．

15．（2019·廣西金城江·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P滿足S△PAB=S矩形ABCD，則點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之和PA+PB的最小值為_(kāi)_____．

16．（2019·山東棗莊·模擬預(yù)測(cè)）在正方形中，=6，連接,,是正方形邊上或?qū)蔷€上一點(diǎn)，若=2，則的長(zhǎng)為_(kāi)___________ .
17．（2019·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知∠MON＝30°，B為OM上一點(diǎn)，BA⊥ON于A，四邊形ABCD為正方形，P為射線BM上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CP，將CP繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得CE，連結(jié)BE，若AB＝4，則BE的最小值為_(kāi)____．

18．（2019·云南寧洱·中考模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊CO、OA分別在x軸、y軸上，點(diǎn)E在邊BC上，將該矩形沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在邊OC上的F處．若OA＝8，CF＝4，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是_____．

19．（2019·北京順義·二模）如圖,在□ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，過(guò)BC的中點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，則△DEF的面積是 .


20．（2019·內(nèi)蒙古通遼·中考模擬）如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)M是邊BA延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC，H為垂足，則有以下結(jié)論：①點(diǎn)M位置變化，使得∠DHC=60°時(shí)，2BE=DM；②無(wú)論點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到何處，都有DM=HM；③無(wú)論點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到何處，∠CHM一定大于135°．其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)____．

21．（2019·江蘇常州·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，AE=2，點(diǎn)F在AD上，將△AEF沿EF折疊，當(dāng)折疊后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在BC的垂直平分線上時(shí)，折痕EF的長(zhǎng)為_(kāi)____．

22．（2019·廣東南山·三模）如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE、BE、DE．過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線交DE于點(diǎn)P．若AE=AP=1，PB=．下列結(jié)論：①△APD≌△AEB；②點(diǎn)B到直線AE的距離為；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ．

23．（2019·重慶渝中·三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，將ΔEBF沿EF所在直線折疊得到ΔEB' F，連接B' D，則B' D的最小值是_____．

24．（2019·北京·清華附中一模）如圖，在正方形ABCD和正方形DEFG中，點(diǎn)G在CD上，DE＝2，將正方形DEFG繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到正方形DE'F'G'，此時(shí)點(diǎn)G'在AC上，連接CE'，則CE'+CG'＝_____．


三、解答題
25．（2019·四川·雅安中學(xué)一模）如圖，在口ABCD中，分別以邊BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC=BF，CD=DE，∠CBF＝∠CDE，連接AF，AE.
（1）求證：△ABF≌△EDA；
（2）延長(zhǎng)AB與CF相交于G，若AF⊥AE，求證BF⊥BC．



26．（2019·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）在菱形中，,點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊向右側(cè)作等邊，點(diǎn)的位置隨點(diǎn)的位置變化而變化.
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在菱形內(nèi)部或邊上時(shí)，連接，與的數(shù)量關(guān)系是 ，與的位置關(guān)系是 ；
（2）當(dāng)點(diǎn)在菱形外部時(shí)，(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，
請(qǐng)說(shuō)明理由(選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說(shuō)理).
(3) 如圖4，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，若 , ,求四邊形的面積.




27．（2019·山東安丘·一模）如圖1，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，且PA=PE，PE交CD于F
（1）證明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度數(shù)；
（3）如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，當(dāng)∠ABC=120°時(shí)，連接CE，試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．






28．（2019·遼寧·丹東市第五中學(xué)二模）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF，連接CF，
（1）觀察猜想
如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，
①BC與CF的位置關(guān)系為：　 ?。?br /> ②BC，CD，CF之間的數(shù)量關(guān)系為：　 ??；（將結(jié)論直接寫在橫線上）
（2）數(shù)學(xué)思考
如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明．
（3）拓展延伸
如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)BA交CF于點(diǎn)G，連接GE，若已知AB=2，CD=BC，請(qǐng)求出GE的長(zhǎng)．


















參考答案
1．C
【分析】
首先證明四邊形AEPF為矩形，可得AM=AP，最后利用垂線段最短確定AP的位置，利用面積相等求出AP的長(zhǎng)，即可得AM.
【詳解】
在△ABC中，因?yàn)锳B2+AC2=BC2，
所以△ABC為直角三角形，∠A=90°，
又因?yàn)镻E⊥AB，PF⊥AC，
故四邊形AEPF為矩形，
因?yàn)镸?為?EF?中點(diǎn)，
所以M?也是?AP中點(diǎn)，即AM=AP，
故當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP有最小值，此時(shí)AM最小，
由SΔABC=12×AB×AC=12×BC×AP，可得AP=，
AM=AP=
故本題正確答案為C.
【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的判定和性質(zhì),確定出AP⊥BC時(shí)AM最小是解題關(guān)鍵.
2．C
【分析】
證明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根據(jù)題意求出DE，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．
【詳解】
解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，
在△BNA和△BNE中，
，
∴△BNA≌△BNE，
∴BA=BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴點(diǎn)N是AE中點(diǎn)，點(diǎn)M是AD中點(diǎn)（三線合一），
∴MN是△ADE的中位線，
∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，
∴DE=BE+CD-BC=5，
∴MN=DE=．
故選C．
【點(diǎn)撥】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
3．D
【分析】
①先根據(jù)角平分線和平行得：∠BAE=∠BEA，則AB=BE=1，由有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形得：△ABE是等邊三角形，由外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得：∠ACE=30°，最后由平行線的性質(zhì)可作判斷；
②先根據(jù)三角形中位線定理得：OE=AB=，OE∥AB，根據(jù)勾股定理計(jì)算OC=和OD的長(zhǎng)，可得BD的長(zhǎng)；
③因?yàn)椤螧AC=90°，根據(jù)平行四邊形的面積公式可作判斷；
④根據(jù)三角形中位線定理可作判斷；
⑤根據(jù)同高三角形面積的比等于對(duì)應(yīng)底邊的比可得：S△AOE=S△EOC=OE?OC=，，代入可得結(jié)論．
【詳解】
①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=1，
∴△ABE是等邊三角形，
∴AE=BE=1，
∵BC=2，
∴EC=1，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①正確；
②∵BE=EC，OA=OC，
∴OE=AB=，OE∥AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，
Rt△EOC中，OC=，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，
Rt△OCD中，OD=，
∴BD=2OD=，故②正確；
③由②知：∠BAC=90°，
∴S?ABCD=AB?AC，
故③正確；
④由②知：OE是△ABC的中位線，
又AB=BC，BC=AD，
∴OE=AB=AD，故④正確；
⑤∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC=，
∴S△AOE=S△EOC=OE?OC=××，
∵OE∥AB，
∴，
∴，
∴S△AOP= S△AOE==，故⑤正確；
本題正確的有：①②③④⑤，5個(gè)，
故選D．
【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)、三角形面積和平行四邊形面積的計(jì)算；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明△ABE是等邊三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，并熟練掌握同高三角形面積的關(guān)系．
4．A
【分析】
如圖，延長(zhǎng)FD到G，使DG=BE，連接CG、EF，證△GCF≌△ECF，得到GF=EF，再利用勾股定理計(jì)算即可.
【詳解】
解：如圖，延長(zhǎng)FD到G，使DG=BE，連接CG、EF
∵四邊形ABCD為正方形，在△BCE與△DCG中，∵CB=CD，∠CBE=∠CDG，BE=DG，∴△BCE≌△DCG（SAS）
∴CG=CE，∠DCG=∠BCE
∴∠GCF=45°
在△GCF與△ECF中
∵GC=EC，∠GCF=∠ECF，CF=CF
∴△GCF≌△ECF（SAS）
∴GF=EF
∵CE=，CB=6
∴BE===3
∴AE=3，設(shè)AF=x，則DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x
∴EF==
∴
∴x=4，即AF=4
∴GF=5
∴DF=2
∴CF===
故選A．

【點(diǎn)撥】本題考查1．全等三角形的判定與性質(zhì)；2．勾股定理；3．正方形的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

5．C
【分析】
根據(jù)菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通過(guò)折疊的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形勾股定理求得BC的長(zhǎng)，則利用菱形的面積公式即可求解．
【詳解】
解：∵四邊形AECF是菱形，AB=3，
∴假設(shè)BE=x，則AE=3﹣x，CE=3﹣x，
∵四邊形AECF是菱形，
∴∠FCO=∠ECO，
∵∠ECO=∠ECB，
∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°，
2BE=CE，
∴CE=2x，
∴2x=3﹣x，
解得：x=1，
∴CE=2，利用勾股定理得出：
BC2+BE2=EC2，
BC===，
又∵AE=AB﹣BE=3﹣1=2，
則菱形的面積是：AEBC=2．
故選C．

【點(diǎn)撥】本題考查折疊問(wèn)題以及勾股定理．解題過(guò)程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．
6．D
【分析】
過(guò)P作PG⊥AB于點(diǎn)G，根據(jù)正方形對(duì)角線的性質(zhì)及題中的已知條件，證明△AGP≌△FPE后即可證明①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基礎(chǔ)上，根據(jù)正方形的對(duì)角線平分對(duì)角的性質(zhì)，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得DP=EC，得出⑤正確，即可得出結(jié)論．
【詳解】
過(guò)P作PG⊥AB于點(diǎn)G，如圖所示：

∵點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，
∴GP=EP，
在△GPB中，∠GBP=45°，
∴∠GPB=45°，
∴GB=GP，
同理：PE=BE，
∵AB=BC=GF，
∴AG=AB-GB，F(xiàn)P=GF-GP=AB-GB，
∴AG=PF，
在△AGP和△FPE中，
，
∴△AGP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，①正確，∠PFE=∠GAP，
∴∠PFE=∠BAP，④正確；
延長(zhǎng)AP到EF上于一點(diǎn)H，
∴∠PAG=∠PFH，
∵∠APG=∠FPH，
∴∠PHF=∠PGA=90°，
∴AP⊥EF，②正確，
∵點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，∠ADP=45°，
∴當(dāng)∠PAD=45°或67.5°時(shí)，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，故③正確．
∵GF∥BC，
∴∠DPF=∠DBC，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC，
∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，
∴DP=EC，
即PD=EC，⑤正確．
∴其中正確結(jié)論的序號(hào)是①②③④⑤，共有5個(gè)．
故選D．
【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，垂直的判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．本題難度較大，綜合性較強(qiáng)，在解答時(shí)要認(rèn)真審題．
7．C
【解析】
【分析】
過(guò)O作OE⊥CD于E．根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分得出OB，OC的長(zhǎng)，AC⊥BD，再利用勾股定理列式求出CD，然后根據(jù)三角形的面積公式求出OE．在Rt△OED中，利用勾股定理求出ED．根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出PE ，利用CP=CD-PD即可得出結(jié)論．
【詳解】
過(guò)O作OE⊥CD于E．
∵菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∴OBBD6=3，OA=OCAC8=4，AC⊥BD，由勾股定理得：CD5．
∵OC×OD=CD×OE，∴12=5OE，∴OE=2.4．在Rt△ODE中，DE===1.8．
∵OD=OP，∴PE=ED=1.8，∴CP=CD-PD=5-1.8-1.8=1.4=．

故選C．
【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，求出OE的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
8．B
【分析】
根據(jù)點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)以及翻折的性質(zhì)可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”證明△EDF和△EGF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可證得DF=GF；設(shè)FD=x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【詳解】
解：∵E是AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE，
∵△ABE沿BE折疊后得到△GBE，
∴AE=EG，AB=BG，
∴ED=EG，
∵在矩形ABCD中，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠EGF=90°，
連接EF，

∵在Rt△EDF和Rt△EGF中，
，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），
∴DF=FG，
設(shè)DF=x，則BF=3+x，CF=3-x，
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即（2）2+（3-x）2=（3+x）2，
解得：x=2，
即DF=2；
故選B．
【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，翻折變換的性質(zhì)；熟記矩形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．
9．D
【分析】
延長(zhǎng)、交于點(diǎn)G，根據(jù)三線合一性質(zhì)推出是等腰三角形，從而可得D是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，再利用中位線定理即可得.
【詳解】
如圖，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)G
∵平分，于點(diǎn)D

∴
，D是的中點(diǎn)
∵
E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，是的中位線，是的中位線
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的判定定理與性質(zhì)、中位線定理，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造等腰三角形是解題關(guān)鍵.錯(cuò)因分析：容易題.失分原因是對(duì)特殊三角形的性質(zhì)及三角形的重要線段掌握不到位.
10．C
【分析】
①先證明△ABD為等邊三角形，根據(jù)“SAS”證明△AED≌△DFB，利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；
②先證明△ABD為等邊三角形，根據(jù)“SAS”證明△AED≌△DFB；
③過(guò)點(diǎn)F作FP∥AE于P點(diǎn)，根據(jù)題意有FP：AE=DF：DA=1：3，則FP：BE=1：6=FG：BG，即BG=6GF；
④因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別是AB、AD上任意的點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且AE=DF，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD中點(diǎn)時(shí)，CG⊥BD；
⑤∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°
【詳解】
解：①∵ABCD為菱形，∴AB=AD．
∵AB=BD，∴△ABD為等邊三角形，∴∠A=∠BDF=60°．
又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，∴∠ADE=∠DBF，故本選項(xiàng)正確；
②∵ABCD為菱形，∴AB=AD．
∵AB=BD，∴△ABD為等邊三角形，∴∠A=∠BDF=60°．
又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
③過(guò)點(diǎn)F作FP∥AE交DE于P點(diǎn)（如圖2）．
∵AF=2FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3．
∵AE=DF，AB=AD，∴BE=2AE，∴FP：BE=FP：2AE=1：6．
∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG=FP：BE=1：6，即BG=6GF，故本選項(xiàng)正確；
④當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD中點(diǎn)時(shí)（如圖3），由（1）知，△ABD，△BDC為等邊三角形．
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD中點(diǎn)，∴∠BDE=∠DBG=30°，∴DG=BG．在△GDC與△BGC中，∵，∴△GDC≌△BGC，∴∠DCG=∠BCG，∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
⑤∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，為定值，故本選項(xiàng)正確；
綜上所述：正確的結(jié)論有①③⑤，共3個(gè)．
故選C．

【點(diǎn)撥】本題綜合考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形，把不規(guī)則圖形的面轉(zhuǎn)化為兩個(gè)全等三角形的面積是解題的關(guān)鍵．
11．或
【分析】
先根據(jù)題目中描述畫(huà)出兩種可能的圖形，再結(jié)合勾股定理即可得解．
【詳解】
解：由題干描述可作出兩種可能的圖形．
①M(fèi)N交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如下圖所示

∵高AE等于邊長(zhǎng)的一半
∴
在Rt△ADE中，
又∵沿MN折疊后，A與B重合
∴
∴
②MN交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如下圖所示

同理可得，，
此時(shí)，
故答案為：或．
【點(diǎn)撥】本題主要考查菱形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意作出兩種圖形是解題關(guān)鍵．
12．
【分析】
如下圖所示，△ENC、△MPF為等腰直角三角形，先求出MB=NC=，證明△PBC≌△PEC，進(jìn)而得到EP=BP，設(shè)MP=x，則EP=BP=，解出x，最后陰影部分面積等于2倍△BPC面積即可求解．
【詳解】
解：過(guò)E點(diǎn)作MN∥BC交AB、CD于M、N點(diǎn)，設(shè)AB與EF交于點(diǎn)P點(diǎn)，連接CP,如下圖所示，

∵B在對(duì)角線CF上，∴∠DCE=∠ECF=45°，EC=1，
∴△ENC為等腰直角三角形，
∴MB=CN=EC=，
又BC=AD=CD=CE，且CP=CP，△PEC和△PBC均為直角三角形，
∴△PEC≌△PBC(HL)，
∴PB=PE，
又∠PFB=45°，∴∠FPB=45°=∠MPE，
∴△MPE為等腰直角三角形，
設(shè)MP=x，則EP=BP=，
∵M(jìn)P+BP=MB，
∴，解得，
∴BP=，
∴陰影部分的面積=．
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是能想到過(guò)E點(diǎn)作BC的平行線，再證明△ENC、△MPF為等腰直角三角形進(jìn)而求解線段長(zhǎng).
13． 或
【分析】
根據(jù)，則在的中垂線上，作的中垂線交于 交于，所以：如圖的都符合題意，先證明四邊形是菱形，再利用菱形的性質(zhì)與勾股定理可得答案．
【詳解】
解： ，
在的中垂線上，
作的中垂線交于 交于，
所以：如圖的都符合題意，
矩形






四邊形是菱形，

，， ，


設(shè) 則





的長(zhǎng)為： 或

故答案為： 或
【點(diǎn)撥】本題考查的是矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
14．或4
【詳解】
分析：當(dāng)△A′EF為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：
①當(dāng)∠A'EF=90°時(shí)，如圖1，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)和平行線可得：A'C=A'E=4，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得AB的長(zhǎng)；
②當(dāng)∠A'FE=90°時(shí)，如圖2，證明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．
詳解：當(dāng)△A′EF為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：
①當(dāng)∠A'EF=90°時(shí)，如圖1，
.
∵△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱，
∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，
∵點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，
∴D、E是△ABC的中位線，
∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠MAN=90°，
∴∠CDE=∠A'EF，
∴AC∥A'E，
∴∠ACB=∠A'EC，
∴∠A'CB=∠A'EC，
∴A'C=A'E=4，
Rt△A'CB中，∵E是斜邊BC的中點(diǎn)，
∴BC=2A'E=8，
由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，
∴AB=；
②當(dāng)∠A'FE=90°時(shí)，如圖2，
.
∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，
∴∠ABF=90°，
∵△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱，
∴∠ABC=∠CBA'=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=4；.
綜上所述，AB的長(zhǎng)為4或4；
故答案為4或4.
點(diǎn)睛：本題考查了三角形的中位線定理、勾股定理、軸對(duì)稱的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，并利用分類討論的思想解決問(wèn)題．
15．4
【詳解】
分析：首先由S△PAB=S矩形ABCD，得出動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE，連接BE，則BE的長(zhǎng)就是所求的最短距離．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．
詳解：設(shè)△ABP中AB邊上的高是h．
∵S△PAB=S矩形ABCD，
∴AB?h=AB?AD，
∴h=AD=2，
∴動(dòng)點(diǎn)P在與AB平行且與AB的距離是2的直線l上，如圖，作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE，連接BE，則BE的長(zhǎng)就是所求的最短距離．

在Rt△ABE中，∵AB=4，AE=2+2=4，
∴BE=，
即PA+PB的最小值為4．
故答案為4．
點(diǎn)睛：本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，三角形的面積，矩形的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)．得出動(dòng)點(diǎn)P所在的位置是解題的關(guān)鍵．
16．2， ，
【分析】
根據(jù)題意分情況畫(huà)出符合題意的圖形，然后針對(duì)每一個(gè)圖形進(jìn)行求解即可得.
【詳解】
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB=6，∠BAD=90°，∠DAC=45°，AC=BD=6；
如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，∵AP+PD=AD=6，PD=2AP，∴AP=2；

如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)， ∵∠PAD=90°，∴AP2+AD2=AP2，
∵AD=6，PD=2AP，∴AP2+36=4AP2，∴AP=；

如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，作PN⊥AD于點(diǎn)N，設(shè)AN=x，則有DN=6-x，PN=x，
由勾股定理則有AP=x，PD=，
∵PD=2AP，
∴=2x，
∴x=或x=（不符合題意，舍去），
∴AP=x=，

當(dāng)點(diǎn)P在其余邊可對(duì)角線上時(shí)，不存在可以使PD=2AP的點(diǎn)，
綜上，AP的長(zhǎng)為2， ，，
故答案為2， ，.
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，難度較大，解題的關(guān)鍵是正確畫(huà)出符合題意的圖形.
17．2 +2
【分析】
將BC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得FC,作直線FE交OM于H,則∠BCF=90°，BC=FC，證△BCP≌△FCE(SAS)，得∠BHF=90°，故點(diǎn)E在直線FH上，即點(diǎn)E的軌跡為直線FH，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)，BE=BH最短，根據(jù)直角三角形性質(zhì)得CP,正方形CPHE中，PH=CP=2，BH=BH+PH.
【詳解】
如圖所示，

將BC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得FC,作直線FE交OM于H,則∠BCF=90°，BC=FC，
∵將CP繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得CE，
∴∠PCE=90°，PC=EC，
∴∠BCP=∠FCE，
在△BCP和△FCE中，
BC=FC，∠BCP=∠FCE，PC=EC，
∴△BCP≌△FCE(SAS)，
∴∠CBP=∠CFE，
又∵∠BCF=90°，
∴∠BHF=90°，
∴點(diǎn)E在直線FH上，即點(diǎn)E的軌跡為直線FH，
∵BH⊥EF，
∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)，BE=BH最短，
∵當(dāng)CP⊥OM時(shí)，Rt△BCP中，∠CBP=30°，
∴CP=BC=2，BP=CP=2，
又∵∠PCE=∠CPH=∠PHE=90°，CP=CE，
∴正方形CPHE中，PH=CP=2，
∴BH=BH+PH=2+2，
即BE的最小值為2+2，
故答案為2+2.
【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)以及垂線段最短的綜合運(yùn)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等以及垂線段最短進(jìn)行判斷.
18．(-10，3)
【詳解】
試題分析：根據(jù)題意可知△CEF∽△OFA，可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例，可求得OF=2CE，設(shè)CE=x，則BE=8-x，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得EF=8-x，根據(jù)勾股定理可得，解得x=3，則OF=6，所以O(shè)C=10，由此可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-10，3）.
故答案為：（-10，3）
19．2
【詳解】
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC=4,AB∥CD，AB=CD=3，
∵E為BC中點(diǎn)，
∴BE=CE=2，
∵∠B=60°，EF⊥AB，
∴∠FEB=30°，
∴BF=1，
由勾股定理得：EF=，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠ECH，
在△BFE和△CHE中，

∴△BFE≌△CHE(ASA)，
∴EF=EH=，CH=BF=1，
∵S△DHF=DHFH=4，
∴S△DEF=S△DHF=2.
故答案為2.
20．①②③
【詳解】
【分析】先判定△MEH≌△DAH（SAS），即可得到△DHM是等腰直角三角形，進(jìn)而得出DM=HM；依據(jù)當(dāng)∠DHC=60°時(shí)，∠ADH=60°﹣45°=15°，即可得到Rt△ADM中，DM=2AM，即可得到DM=2BE；依據(jù)點(diǎn)M是邊BA延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），且AM＜AB，可得∠AHM＜∠BAC=45°，即可得出∠CHM＞135°．
【詳解】由題可得，AM=BE，
∴AB=EM=AD，
∵四邊形ABCD是正方形，EH⊥AC，
∴EM=AH，∠AHE=90°，∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH，
∴EH=AH，
∴△MEH≌△DAH（SAS），
∴∠MHE=∠DHA，MH=DH，
∴∠MHD=∠AHE=90°，△DHM是等腰直角三角形，
∴DM=HM，故②正確；
當(dāng)∠DHC=60°時(shí)，∠ADH=60°﹣45°=15°，
∴∠ADM=45°﹣15°=30°，
∴Rt△ADM中，DM=2AM，
即DM=2BE，故①正確；
∵點(diǎn)M是邊BA延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），且AM＜AB，
∴∠AHM＜∠BAC=45°，
∴∠CHM＞135°，故③正確，
故答案為①②③．

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
21．4或4.
【分析】
①當(dāng)AF＜AD時(shí)，由折疊的性質(zhì)得到A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，過(guò)E作EH⊥MN于H，由矩形的性質(zhì)得到MH=AE=2，根據(jù)勾股定理得到A′H=，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論；②當(dāng)AF＞AD時(shí)，由折疊的性質(zhì)得到A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，過(guò)A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到DH=AG，HG=AD=6，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【詳解】
①當(dāng)AF＜AD時(shí)，如圖1，將△AEF沿EF折疊，當(dāng)折疊后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在BC的垂直平分線上，

則A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，
設(shè)MN是BC的垂直平分線，
則AM=AD=3，
過(guò)E作EH⊥MN于H，
則四邊形AEHM是矩形，
∴MH=AE=2，
∵A′H=，
∴A′M=，
∵M(jìn)F2+A′M2=A′F2，
∴（3-AF）2+（）2=AF2，
∴AF=2，
∴EF==4；
②當(dāng)AF＞AD時(shí)，如圖2，將△AEF沿EF折疊，當(dāng)折疊后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在BC的垂直平分線上，

則A′E=AE=2，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，
設(shè)MN是BC的垂直平分線，
過(guò)A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，
則四邊形AGHD是矩形，
∴DH=AG，HG=AD=6，
∴A′H=A′G=HG=3，
∴EG==，
∴DH=AG=AE+EG=3，
∴A′F==6，
∴EF==4，
綜上所述，折痕EF的長(zhǎng)為4或4，
故答案為4或4．
【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換-折疊問(wèn)題，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
22．①③⑤
【分析】
①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再結(jié)合已知條件利用SAS可證兩三角形全等；?
②過(guò)B作BF⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，結(jié)合△AEP是等腰直角三角形，可證△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；?
③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)，易得∠BEP=90°，即可證；?
④連接BD，求出△ABD的面積，然后減去△BDP的面積即可；?
⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面積．
【詳解】
①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，?
∴∠EAB=∠PAD，?
又∵AE=AP，AB=AD，?
∵在△APD和△AEB中，?
，?
∴△APD≌△AEB（SAS）；?
故此選項(xiàng)成立；?
③∵△APD≌△AEB，?
∴∠APD=∠AEB，?
∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，?
∴∠BEP=∠PAE=90°，?
∴EB⊥ED；?
故此選項(xiàng)成立；?
②過(guò)B作BF⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線于F，?
∵AE=AP，∠EAP=90°，?
∴∠AEP=∠APE=45°，?
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，?
∴∠FEB=∠FBE=45°，?
又∵BE=?=?=?，?
∴BF=EF=?，?
故此選項(xiàng)不正確；?
④如圖，連接BD，在Rt△AEP中，
?
∵AE=AP=1，?
∴EP=?，?
又∵PB=?，?
∴BE=?，?
∵△APD≌△AEB，?
∴PD=BE=?，?
∴S?△ABP+S?△ADP=S?△ABD-S?△BDP=?S?正方形ABCD-?×DP×BE=?×（4+?）-?×?×?=?+?．?
故此選項(xiàng)不正確．?
⑤∵EF=BF=?，AE=1，?
∴在Rt△ABF中，AB?2=（AE+EF）?2+BF?2=4+?，?
∴S?正方形ABCD=AB?2=4+?，?
故此選項(xiàng)正確．?
故答案為①③⑤．
【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的運(yùn)用、正方形的性質(zhì)的運(yùn)用、正方形和三角形的面積公式的運(yùn)用、勾股定理的運(yùn)用等知識(shí)．
23．.
【分析】
如圖所示，點(diǎn)B'在以E為圓心EA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D、B'、E共線時(shí)，B'D的值最小，根據(jù)勾股定理求出DE，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知B'E=BE=2，即可求出B'D．
【詳解】
如圖所示點(diǎn)B'在以E為圓心EA為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D、B'、E共線時(shí)，B'D的值最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)，△EBF≌△EB'F，∴∠B=∠EB'F，EB'=EB．
∵E是AB邊的中點(diǎn)，AB=4，∴AE=EB'=2．
∵AD=6，∴DE2，∴B'D=22．

故答案為22．
【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短的綜合運(yùn)用；確定點(diǎn)B'在何位置時(shí)，B'D的值最小是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
24．
【分析】
作G′R⊥BC于R，則四邊形RCIG′是正方形．首先證明點(diǎn)F′在線段BC上，再證明CH=HE′即可解決問(wèn)題．
【詳解】
作G′R⊥BC于R，則四邊形RCIG′是正方形．

∵∠DG′F′=∠IG′R=90°，
∴∠DG′I=∠RG′F′，
在△G′ID和△G′RF中
，
∴△G′ID≌△G′RF，
∴∠G′ID=∠G′RF′=90°，
∴點(diǎn)F′在線段BC上，
在Rt△E′F′H中，∵E′F′=2，∠E′F′H=30°，
∴E′H=E′F′=1，F(xiàn)′H=，
易證△RG′F′≌△HF′E′，
∴RF′=E′H，RG′=RC=F′H，
∴CH=RF′=E′H，
∴CE′=，
∵RG′=HF′=，
∴CG′=RG′=，
∴CE′+CG′=+．
故答案為+．
【點(diǎn)撥】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．
25．（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.
【詳解】
分析：（1）證明AB=DE，F(xiàn)B=AD，∠ABF=∠ADE即可解決問(wèn)題；
（2）只要證明FB⊥AD即可解決問(wèn)題.
詳（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=∠ADC，
∵BC=BF，CD=DE，
∴BF=AD，AB=DE，
∵∠ADE+∠ADC+∠EDC=360°，∠ABF+∠ABC+∠CBF=360°，∠EDC=∠CBF，
∴∠ADE=∠ABF，
在△ABF與△EDA中，
∵AB＝DE，∠ABF＝∠ADE，BF=AD
∴△ABF≌△EDA．
（2）證明：延長(zhǎng)FB交AD于H．

∵AE⊥AF，
∴∠EAF=90°，
∵△ABF≌△EDA，
∴∠EAD=∠AFB，
∵∠EAD+∠FAH=90°，
∴∠FAH+∠AFB=90°，
∴∠AHF=90°，即FB⊥AD，
∵AD∥BC，
∴FB⊥BC．
點(diǎn)睛：本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考常考題型．
26．（1）BP=CE； CE⊥AD；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3） .
【詳解】
【分析】（1）①連接AC，證明△ABP≌△ACE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得BP=CE；②根據(jù)菱形對(duì)角線平分對(duì)角可得，再根據(jù)△ABP≌△ACE，可得，繼而可推導(dǎo)得出 ，即可證得CE⊥AD；
（2）(1)中的結(jié)論：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立，利用（1）的方法進(jìn)行證明即可；
（3）連接AC交BD于點(diǎn)O，CE，作EH⊥AP于H，由已知先求得BD=6，再利用勾股定理求出CE的長(zhǎng)，AP長(zhǎng)，由△APE是等邊三角形，求得， 的長(zhǎng)，再根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算即可得.
【詳解】（1）①BP=CE，理由如下：
連接AC，
∵菱形ABCD，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△APE是等邊三角形，
∴AP=AE ，∠PAE=60° ，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE；

②CE⊥AD ，
∵菱形對(duì)角線平分對(duì)角，
∴，
∵△ABP≌△ACE，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
∴CF⊥AD ，即CE⊥AD；
（2）(1)中的結(jié)論：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立，理由如下：

連接AC，
∵菱形ABCD，∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD都是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAD=120° ，
∠BAP=120°＋∠DAP，
∵△APE是等邊三角形，
∴AP=AE ， ∠PAE=60° ，
∴∠CAE=60°＋60°＋∠DAP=120°＋∠DAP，
∴∠BAP=∠CAE，
∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE，，
∴∠DCE=30° ，∵∠ADC=60°，
∴∠DCE＋∠ADC=90° ， ∴∠CHD=90° ，∴CE⊥AD，
∴(1)中的結(jié)論：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立；
(3) 連接AC交BD于點(diǎn)O，CE，作EH⊥AP于H，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ABC ，
∵∠ABC=60°，，
∴∠ABO=30° ，∴ ， BO=DO=3，
∴BD=6，
由(2)知CE⊥AD，
∵AD∥BC，∴CE⊥BC，
∵ ， ，
∴，
由(2)知BP=CE=8，∴DP=2，∴OP=5，
∴，
∵△APE是等邊三角形，∴ ， ，
∵，
∴，
=
=
=，
∴四邊形ADPE的面積是 .
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.
27．（1）證明見(jiàn)解析（2）90°（3）AP=CE
【分析】
(1)、根據(jù)正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，結(jié)合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，從而得出結(jié)論；(2)、根據(jù)全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根據(jù)PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先證明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，從而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等邊三角形，從而得出AP=CE.
【詳解】
(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；
(2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE， ∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E， ∵∠CFP=∠EFD（對(duì)頂角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E， 即∠CPF=∠EDF=90°；
(3)、AP＝CE
理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，
在△ABP和△CBP中， 又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，
∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PC ∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E
∵∠CFP=∠EFD（對(duì)頂角相等）， ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°， ∴△EPC是等邊三角形，∴PC=CE，∴AP=CE
考點(diǎn)：三角形全等的證明
28．（1）CF⊥BD，BC=CF+CD；（2）成立，證明詳見(jiàn)解析；（3）.
【詳解】
試題分析：（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BC=AB=4，AH=BC=2，求得DH=3，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=DE，∠ADE=90°，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到NE=CM，EM=CN，由角的性質(zhì)得到∠ADH=∠DEM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代換得到CN=EM=3，EN=CM=3，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CG=BC=4，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
試題解析：解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB與△FAC中，，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；
②△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
（2）成立，
∵正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB與△FAC中，，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠B=∠ACF，CF=BD
∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
（3）解：過(guò)A作AH⊥BC于H，過(guò)E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC=AB=4，AH=BC=2，
∴CD=BC=1，CH=BC=2，
∴DH=3，
由（2）證得BC⊥CF，CF=BD=5，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四邊形CMEN是矩形，
∴NE=CM，EM=CN，
∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠ADH=∠DEM，
在△ADH與△DEM中，，
∴△ADH≌△DEM，
∴EM=DH=3，DM=AH=2，
∴CN=EM=3，EN=CM=3，
∵∠ABC=45°，
∴∠BGC=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG=BC=4，
∴GN=1，
∴EG==．

考點(diǎn)：四邊形綜合題.

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