A．4B．6C．8D．12
2．一個(gè)表面涂色的正方體，把它切成棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體，其中一面涂色的小正方體有96個(gè)，大正方體的棱長(zhǎng)是（ ）厘米。
A．6B．8C．10D．4
3．麗麗拿了一個(gè)表面紅色的棱長(zhǎng)5厘米的正方體木塊，把它切分成棱長(zhǎng)1厘米的正方體小木塊，其中有（ ）個(gè)小方塊只有一面涂色。
A．27B．36C．54
4．用棱長(zhǎng)1cm的小正方體拼成一個(gè)棱長(zhǎng)3cm的大正方體，把大正方體的表面分別涂上紅色。只有一面涂色的小正方體有（ ）
A．1個(gè)B．6個(gè)C．8個(gè)D．12個(gè)
5．將一個(gè)正方體木塊的6個(gè)面涂上紅色，然后鋸成64個(gè)大小相等的小正方體，一個(gè)面涂色的小正方體有（ ）個(gè)。
A．8B．12C．24D．36
二．填空題（共5小題）
6．一個(gè)表面涂色的正方體，把它的每條棱平均分成3份，再切成同樣大小的小正方體，1面涂色的小正方體有 個(gè)，2面涂色的小正方體有 個(gè)，3面涂色的小正方體有 個(gè)。
7．一個(gè)棱長(zhǎng)為5厘米、表面涂色的正方體，將它每條棱切分成5等份，共可切分成 個(gè)相同的小正方體，這些小正方體中，表面3面涂色的有 塊，表面2面涂色的有 塊，表面1面涂色的有 塊．
8．玩具廠的工人用棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體組成了一個(gè)魔方，他們把這個(gè)魔方的6個(gè)面都涂色，其中2面涂色的小正方體有12個(gè)，這個(gè)魔方的體積是 立方厘米，1面涂色的小正方體有 個(gè)。
9．把一個(gè)棱長(zhǎng)為5厘米且表面涂色的正方體，分割成若干個(gè)體積為1立方厘米的小正方體，其中兩面涂色的小正方體有 個(gè)，三面涂色的有 個(gè)。
10．把一個(gè)棱長(zhǎng)為5厘米的正方體的6個(gè)面都涂上顏色，并切成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體，其中三面涂色的小正方體有 個(gè)，兩面涂色的小正方體有 個(gè)。
三．判斷題（共5小題）
11．用棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體拼成棱長(zhǎng)是5厘米的大正方體后，再把它們的表面分別涂上顏色，一面涂色的小正方體有54塊。
12．如圖，用棱長(zhǎng)是1cm的小正方體拼成一個(gè)大正方體后，把它們的表面涂上顏色，只有一面涂色的小正方體有54塊。
13．一個(gè)由若干小正方體組成的大正方體，如果把它的表面涂色，最多有8個(gè)小正方體是3面涂色的。
14．把27個(gè)棱長(zhǎng)1cm的小正方體拼成一個(gè)大正方體，給大正方體表面涂上紅色，其中三面涂紅色的小正方體比兩面涂紅色的小正方體少4個(gè)。
15．一個(gè)正方體每面都涂上紅色，把它切成若干個(gè)大小相等的小正方體后，3面涂色的小正方體有8個(gè)．
四．計(jì)算題（共1小題）
16．將一個(gè)棱長(zhǎng)為10厘米的正方體的6個(gè)面染成紅色，然后全部切成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體，六個(gè)面均無(wú)色的小正方體有多少個(gè)？
五．操作題（共1小題）
17．一個(gè)長(zhǎng)方體有六個(gè)面，下面是其中的四個(gè)面，請(qǐng)認(rèn)真觀察。
請(qǐng)?jiān)谙旅娴母褡訄D中畫出這個(gè)長(zhǎng)方體的另外2個(gè)面，并涂上陰影。
六．應(yīng)用題（共6小題）
18．一個(gè)長(zhǎng)方體木塊長(zhǎng)7厘米，寬6厘米，高5厘米。把它的表面涂成紅色，再切割成棱長(zhǎng)1厘米的小正方體且沒有剩余。切割成的小正方體中兩面紅色的有多少個(gè)？
19．有一個(gè)橫2000格，豎1000格的矩形方格紙?，F(xiàn)從它的左上角開始向右沿著邊框逐格涂色到右邊框，再?gòu)纳系较轮鸶裢可降走吙?，再沿底邊框從右到左逐格涂色到左邊框，再?gòu)南碌缴现鸶裢可缴厦嫱可^的方格，如此一直螺旋式地涂下去……，直到將所有的方格都涂滿，那么最后被涂的那格是從上到下的第 行，從左到右的第 列。
20．一個(gè)正方體，先在它的每個(gè)面上都涂色，再把它切成若干個(gè)棱長(zhǎng)是1cm的小正方體。已知兩面涂色的小正方體有84個(gè)。
（1）這個(gè)正方體的體積是多少立方厘米？
（2）一面涂色的小正方體有多少個(gè)？
21．一個(gè)大正方體由若干個(gè)相同的小正方體組成，在大正方體的表面上涂色，其中一面涂色的小正方體有150個(gè)，這個(gè)大正方體由多少個(gè)小正方體組成？
22．把一個(gè)大正方體的表面涂上紅色，再把它切成27個(gè)大小一樣的小正方體，在切成的小正方體中，三面涂有紅色的有多少塊？?jī)擅嫱坑屑t色的有多少塊？
23．一根2米長(zhǎng)繩子從起點(diǎn)開始．每隔4cm標(biāo)記一個(gè)紅點(diǎn)，每隔5cm標(biāo)記一個(gè)黃點(diǎn)，最后用剪刀在每個(gè)標(biāo)記點(diǎn)處剪一刀，問一個(gè)可以將繩子剪成多少段？
探索圖形A卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共5小題）
1．將一個(gè)棱長(zhǎng)5厘米的正方體的每個(gè)面都涂上綠色，再把它切成若干棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體。3面涂綠色的小正方體有（ ）個(gè)。
A．4B．6C．8D．12
【考點(diǎn)】染色問題．
【專題】壓軸題；應(yīng)用意識(shí)．
【答案】C
【分析】3面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)等于原正方體的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)，正方體有8個(gè)頂點(diǎn)；據(jù)此解答即可。
【解答】解：正方體有8個(gè)頂點(diǎn)，所以3面涂綠色的小正方體有8個(gè)。
故選：C。
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了立方體的切拼問題中涂色問題，這里抓住三面涂色在頂點(diǎn)；兩面涂色的在棱上（頂點(diǎn)處的小正方體除外），一面涂色的在表面中，沒涂色的在內(nèi)部。
2．一個(gè)表面涂色的正方體，把它切成棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體，其中一面涂色的小正方體有96個(gè)，大正方體的棱長(zhǎng)是（ ）厘米。
A．6B．8C．10D．4
【考點(diǎn)】染色問題．
【專題】立體圖形的認(rèn)識(shí)與計(jì)算；空間觀念．
【答案】A
【分析】根據(jù)立體圖形的知識(shí)可知：三個(gè)面涂色的是各頂點(diǎn)處的小正方體，在各棱上，除去頂點(diǎn)處的正方體有兩面涂色，在6個(gè)面上，除去棱上的正方體都是一面涂色；據(jù)此解答。
【解答】解：96÷6＝16（個(gè)）
16＝4×4
4+2＝6（個(gè) ）
1×6＝6（厘米）
答：大正方體的棱長(zhǎng)是6厘米。
故選：A。
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)形結(jié)合的問題，關(guān)鍵明確正方體染色的特點(diǎn)。
3．麗麗拿了一個(gè)表面紅色的棱長(zhǎng)5厘米的正方體木塊，把它切分成棱長(zhǎng)1厘米的正方體小木塊，其中有（ ）個(gè)小方塊只有一面涂色。
A．27B．36C．54
【考點(diǎn)】染色問題．
【專題】立體圖形的認(rèn)識(shí)與計(jì)算；空間觀念．
【答案】C
【分析】把一塊棱長(zhǎng)5厘米的正方體木塊的外表涂上紅色，然后沿棱切成棱長(zhǎng)1厘米的小方塊，所以大正方體每條棱長(zhǎng)上面都有5個(gè)小正方體；根據(jù)立體圖形的知識(shí)可知：在每個(gè)面上，除去棱上的正方體都是一面紅色，根據(jù)上面的結(jié)論，即可求得答案。
【解答】解：5÷1＝5（個(gè)），所以大正方體每條棱長(zhǎng)上面都有5個(gè)小正方體；
（5﹣2）×（5﹣2）×6
＝3×3×6
＝54（個(gè)）
答：其中有54個(gè)小方塊只有一面涂色。
故選：C。
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了立方體的知識(shí)．注意數(shù)形結(jié)合與正方體表面涂色的特點(diǎn)的應(yīng)用。
4．用棱長(zhǎng)1cm的小正方體拼成一個(gè)棱長(zhǎng)3cm的大正方體，把大正方體的表面分別涂上紅色。只有一面涂色的小正方體有（ ）
A．1個(gè)B．6個(gè)C．8個(gè)D．12個(gè)
【考點(diǎn)】染色問題．
【專題】立體圖形的認(rèn)識(shí)與計(jì)算；空間觀念．
【答案】B
【分析】大正方體每條棱長(zhǎng)上都有3個(gè)小正方體，每個(gè)面中間的一個(gè)小正方體的一面被涂色。
【解答】解：大正方體每條棱長(zhǎng)上都有3個(gè)小正方體，所以一面涂色的小正方體共有：
（3﹣2）×（3﹣2）×6
＝1×1×6
＝6（個(gè)）
答：只有一面涂色的小正方體有6個(gè)。
故選：B。
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了立方體的涂色問題；注意數(shù)形結(jié)合與正方體表面涂色的特點(diǎn)的應(yīng)用。
5．將一個(gè)正方體木塊的6個(gè)面涂上紅色，然后鋸成64個(gè)大小相等的小正方體，一個(gè)面涂色的小正方體有（ ）個(gè)。
A．8B．12C．24D．36
【考點(diǎn)】染色問題．
【專題】立體圖形的認(rèn)識(shí)與計(jì)算；空間觀念．
【答案】C
【分析】因?yàn)?×4×4＝64，所以大正方體每條棱長(zhǎng)上面都有4個(gè)小正方體；根據(jù)立體圖形的知識(shí)可知：三個(gè)面均為紅色的是各頂點(diǎn)處的小正方體；在各棱處，除去頂點(diǎn)處的正方體有兩面紅色；在每個(gè)面上，除去棱上的正方體都是一面紅色；所有的小正方體的個(gè)數(shù)減去有紅色的小正方體的個(gè)數(shù)即是沒有涂色的小正方體；根據(jù)上面的結(jié)論，即可求得答案。
【解答】解：4×4×4＝64，所以大正方體每條棱長(zhǎng)上面都有4個(gè)小正方體；
（4﹣2）×（4﹣2）×6
＝2×2×6
＝24（個(gè)）
答：一個(gè)面涂上紅色的小正方體有24個(gè)。
故選：C。
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了立方體的染色知識(shí)；注意數(shù)形結(jié)合與正方體表面涂色的特點(diǎn)的應(yīng)用。
二．填空題（共5小題）
6．一個(gè)表面涂色的正方體，把它的每條棱平均分成3份，再切成同樣大小的小正方體，1面涂色的小正方體有 6 個(gè)，2面涂色的小正方體有 12 個(gè)，3面涂色的小正方體有 8 個(gè)。
【考點(diǎn)】染色問題．
【專題】壓軸題；應(yīng)用意識(shí)．
【答案】6；12；8。
【分析】
把大正方體的每條棱平均分成3份，則每條棱上有3個(gè)小正方體；根據(jù)只有一面涂色的小正方體在每個(gè)大正方體的面的中間，只有2面涂色的小正方體在大正方體的棱上（不包括8個(gè)頂點(diǎn)處的小正方體），3面涂色的小正方體都在頂點(diǎn)處，沒有涂色的在內(nèi)部，據(jù)此即可解答問題。
【解答】解：1面涂色：（3﹣2）×（3﹣2）×6
＝1×1×6
＝6（個(gè)）
2面涂色：（3﹣2）×12
＝1×12
＝12（個(gè)）
3面涂色：8個(gè)。
答：1面涂色的小正方體有6個(gè)，2面涂色的小正方體有12個(gè)，3面涂色的小正方體有8個(gè)。
故答案為：6；12；8。
【點(diǎn)評(píng)】抓住表面涂色的正方體切割小正方體的特點(diǎn)：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱長(zhǎng)上（除去頂點(diǎn)處的），3面涂色的在頂點(diǎn)處，沒有涂色的在內(nèi)部，由此即可解決此類問題。
7．一個(gè)棱長(zhǎng)為5厘米、表面涂色的正方體，將它每條棱切分成5等份，共可切分成 125 個(gè)相同的小正方體，這些小正方體中，表面3面涂色的有 8 塊，表面2面涂色的有 36 塊，表面1面涂色的有 54 塊．
【考點(diǎn)】染色問題．
【專題】綜合填空題；代數(shù)方法；立體圖形的認(rèn)識(shí)與計(jì)算．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】一個(gè)棱長(zhǎng)為5厘米、表面涂色的正方體，將它每條棱切分成5等份，即每條棱有5個(gè)小正方體，所以共可切分成 5×5×5＝125個(gè)相同的小正方體，根據(jù)正方體表面涂色知識(shí)可知，頂點(diǎn)處的小方塊三面涂色，除頂點(diǎn)外位于棱上的小方塊兩面涂色，位于表面中心的一面涂色，而處于正中心的則沒涂色，據(jù)此解答即可．
【解答】解：5×5×5＝125（個(gè)），
三面涂色的在頂點(diǎn)處，共8塊；
兩面涂色：（5﹣2）×12
＝3×12
＝36（塊）；
一面涂色：（5﹣2）×（5﹣2）×6
＝3×3×6
＝54（塊）；
答：表面3面涂色的有8塊，表面2面涂色的有36塊，表面1面涂色的有54塊．
故答案為：125，8，36，54．
【點(diǎn)評(píng)】抓住表面涂色的正方體切割小正方體的特點(diǎn)：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱長(zhǎng)上，3面涂色的在頂點(diǎn)處，沒有涂色的在內(nèi)部，由此即可解決此類問題．
8．玩具廠的工人用棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體組成了一個(gè)魔方，他們把這個(gè)魔方的6個(gè)面都涂色，其中2面涂色的小正方體有12個(gè)，這個(gè)魔方的體積是 27 立方厘米，1面涂色的小正方體有 6 個(gè)。
【考點(diǎn)】染色問題．
【專題】立體圖形的認(rèn)識(shí)與計(jì)算；空間觀念．
【答案】27；6。
【分析】根據(jù)只有一面涂色的小正方體在每個(gè)正方體的面的中間，只有2面涂色的小正方體在長(zhǎng)方體的棱上（不包括8個(gè)頂點(diǎn)處的小正方體），3面涂色的小正方體都在頂點(diǎn)處，沒有涂色的在內(nèi)部。每條棱上小正方體有：12÷12+2＝3（個(gè)）；即棱長(zhǎng)是3厘米，然后根據(jù)“正方體的體積＝棱長(zhǎng)3”進(jìn)行解答即可。
【解答】解：每條棱上小正方體有：
12÷12+2
＝1+2
＝3（個(gè)）
1×3＝3（厘米）
3×3×3＝27（立方厘米）
（3﹣2）×（3﹣2）×6
＝1×1×6
＝6（個(gè)）
答：這個(gè)魔方的體積是27立方厘米，1面涂色的小正方體有6個(gè)。
故答案為：27；6。
【點(diǎn)評(píng)】弄清處在什么位置的小正方體幾個(gè)面涂色是解答本題的關(guān)鍵。
9．把一個(gè)棱長(zhǎng)為5厘米且表面涂色的正方體，分割成若干個(gè)體積為1立方厘米的小正方體，其中兩面涂色的小正方體有 36 個(gè)，三面涂色的有 8 個(gè)。
【考點(diǎn)】染色問題．
【專題】立體圖形的認(rèn)識(shí)與計(jì)算；空間觀念．
【答案】36；8。
【分析】根據(jù)題意可發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)處的小方塊三面涂色，除頂點(diǎn)外位于棱上的小方塊兩面涂色，位于表面中心的一面涂色，而處于正中心的則沒涂色，據(jù)此解答即可。
【解答】解：5÷1＝5（個(gè)）
兩面涂色：
（5﹣2）×12
＝3×12
＝36（個(gè)）
三面涂色：頂點(diǎn)處的小正方體三面涂色，共8個(gè)。
答：其中兩面涂色的小正方體有36個(gè)，三面涂色的有8個(gè)。
故答案為：36；8。
【點(diǎn)評(píng)】抓住表面涂色的正方體切割小正方體的特點(diǎn)：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱長(zhǎng)上（除頂點(diǎn)外），3面涂色的在頂點(diǎn)處，沒有涂色的在內(nèi)部，由此即可解決此類問題。
10．把一個(gè)棱長(zhǎng)為5厘米的正方體的6個(gè)面都涂上顏色，并切成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體，其中三面涂色的小正方體有 8 個(gè)，兩面涂色的小正方體有 36 個(gè)。
【考點(diǎn)】染色問題．
【專題】應(yīng)用題；應(yīng)用意識(shí)．
【答案】8；36。
【分析】棱長(zhǎng)為5厘米的正方體，每條大正方體棱長(zhǎng)可以切5個(gè)小正方體的棱長(zhǎng)，則小正方體的數(shù)量為（5×5×5）個(gè)，大正方體頂點(diǎn)處的小正方體三面涂色，除頂點(diǎn)外位于棱上的小正方體兩面涂色，據(jù)此解答即可。
【解答】解：正方體有8個(gè)頂點(diǎn)，三面涂色的小正方體有8個(gè)。
5÷1＝5（個(gè)）
（5﹣2）×12
＝3×12
＝36（個(gè)）
兩面涂色的小正方體有36個(gè)。
答：其中三面涂色的小正方體有8個(gè)，兩面涂色的小正方體有36個(gè)。
故答案為：8；36。
【點(diǎn)評(píng)】抓住表面涂色的正方體切割小正方體的特點(diǎn)：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱長(zhǎng)上，3面涂色的在頂點(diǎn)處，沒有涂色的在內(nèi)部，由此即可解決此類問題。
三．判斷題（共5小題）
11．用棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體拼成棱長(zhǎng)是5厘米的大正方體后，再把它們的表面分別涂上顏色，一面涂色的小正方體有54塊。 √
【考點(diǎn)】染色問題．
【專題】立體圖形的認(rèn)識(shí)與計(jì)算；空間觀念．
【答案】√
【分析】
如圖，用棱長(zhǎng)是1cm的小正方體拼成一個(gè)大正方體后，每條大正方體的棱上有5塊小正方體，大正方體每個(gè)面中間部分的小正方體一面涂色，據(jù)此解答即可。
【解答】解：一面涂色的小正方體塊數(shù)：
（5﹣2）×（5﹣2）×6
＝3×3×6
＝9×6
＝54（塊）
即一面涂色的小正方體有54塊，所以原題說(shuō)法正確。
故答案為：√。
【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)大正方體的面、棱、頂點(diǎn)分析每個(gè)小正方體的涂色情況是解答題目的關(guān)鍵。
12．如圖，用棱長(zhǎng)是1cm的小正方體拼成一個(gè)大正方體后，把它們的表面涂上顏色，只有一面涂色的小正方體有54塊。 √
【考點(diǎn)】染色問題．
【專題】立體圖形的認(rèn)識(shí)與計(jì)算；空間觀念．
【答案】√
【分析】如圖，用棱長(zhǎng)是1cm的小正方體拼成一個(gè)大正方體后，每條大正方體的棱上有5塊小正方體，大正方體每個(gè)面中間部分的小正方體一面涂色，據(jù)此解答即可。
【解答】解：一面涂色的小正方體塊數(shù)：
（5﹣2）×（5﹣2）×6
＝3×3×6
＝9×6
＝54（塊）
即一面涂色的小正方體有54塊，所以原題說(shuō)法正確。
故答案為：√。
【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)大正方體的面、棱、頂點(diǎn)分析每個(gè)小正方體的涂色情況是解答題目的關(guān)鍵。
13．一個(gè)由若干小正方體組成的大正方體，如果把它的表面涂色，最多有8個(gè)小正方體是3面涂色的。 √
【考點(diǎn)】染色問題．
【專題】壓軸題；空間觀念．
【答案】√
【分析】根據(jù)立體圖形的知識(shí)可知：三個(gè)面涂色的是各頂點(diǎn)處的小正方體，在各棱處，除去頂點(diǎn)處的小正方體有兩面涂色，一面涂色的小正方體在每個(gè)面的中間；根據(jù)上面的結(jié)論，即可求得答案。
【解答】解：3面涂色的小正方體在8個(gè)頂點(diǎn)處，所以“一個(gè)由若干小正方體組成的大正方體，如果把它的表面涂色，最多有8個(gè)小正方體是3面涂色的”說(shuō)法正確。
故答案為：√。
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了立方體的涂色問題；注意數(shù)形結(jié)合與正方體表面涂色的特點(diǎn)的應(yīng)用。
14．把27個(gè)棱長(zhǎng)1cm的小正方體拼成一個(gè)大正方體，給大正方體表面涂上紅色，其中三面涂紅色的小正方體比兩面涂紅色的小正方體少4個(gè)。 √
【考點(diǎn)】染色問題．
【專題】立體圖形的認(rèn)識(shí)與計(jì)算；應(yīng)用意識(shí)．
【答案】√
【分析】因?yàn)?7＝3×3×3，所以大正方體每條棱長(zhǎng)上面都有3個(gè)小正方體；根據(jù)立體圖形的知識(shí)可知：三個(gè)面均為紅色的是各頂點(diǎn)處的小正方體，在各棱處，除去頂點(diǎn)處的正方體的有兩面紅色，在每個(gè)面上，除去棱上的正方體都是一面紅色，沒有涂色的小正方體在中心；根據(jù)上面的結(jié)論，即可求得答案。
【解答】解：因?yàn)?7＝3×3×3，所以大正方體每條棱長(zhǎng)上面都有3個(gè)小正方體；
3面涂色的都在頂點(diǎn)處，所以一共有8個(gè)，
兩面涂色的有：
（3﹣2）×12
＝1×12
＝12（個(gè)）
12﹣8＝4（個(gè)）
即其中三面涂紅色的小正方體比兩面涂紅色的小正方體少4個(gè)，所以原題說(shuō)法正確。
故答案為：√。
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了立方體的知識(shí)。注意數(shù)形結(jié)合與正方體表面涂色的特點(diǎn)的應(yīng)用。
15．一個(gè)正方體每面都涂上紅色，把它切成若干個(gè)大小相等的小正方體后，3面涂色的小正方體有8個(gè)． √
【考點(diǎn)】染色問題．
【專題】立體圖形的認(rèn)識(shí)與計(jì)算．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)立體圖形的知識(shí)可知：三個(gè)面均為紅色的是各頂點(diǎn)處的小正方體；在各棱處，除去頂點(diǎn)處的正方體的有兩面紅色；在每個(gè)面上，除去棱上的正方體都是一面紅色；所有的小正方體的個(gè)數(shù)減去有紅色的小正方體的個(gè)數(shù)即是沒有涂色的小正方體．根據(jù)上面的結(jié)論，即可求得答案．
【解答】解：一個(gè)正方體每面都涂上紅色，把它切成若干個(gè)大小相等的小正方體后，3面涂色的小正方體在8個(gè)頂點(diǎn)上，
所以共有8個(gè)，
所以原題說(shuō)法正確．
故答案為：√．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了立方體的知識(shí)．注意數(shù)形結(jié)合與正方體表面涂色的特點(diǎn)的應(yīng)用．
四．計(jì)算題（共1小題）
16．將一個(gè)棱長(zhǎng)為10厘米的正方體的6個(gè)面染成紅色，然后全部切成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體，六個(gè)面均無(wú)色的小正方體有多少個(gè)？
【考點(diǎn)】染色問題．
【專題】競(jìng)賽專題．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】先求出每條棱上切成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體的個(gè)數(shù)：10÷1＝10（個(gè)），根據(jù)題意可發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)處的小正方體三面涂色，除頂點(diǎn)外位于棱上的小正方體兩面涂色，位于表面中心的一面涂色，而處于正中心的則沒涂色，據(jù)此解答即可．
【解答】解：10÷1＝10（個(gè)）
六個(gè)面均無(wú)色的有：（10﹣2）×（10﹣2）×（10﹣2）
＝8×8×8
＝512（個(gè)）
答：六個(gè)面均無(wú)色的小正方體有512個(gè)．
【點(diǎn)評(píng)】抓住表面涂色的正方體切割小正方體的特點(diǎn)：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱長(zhǎng)上，3面涂色的在頂點(diǎn)處，沒有涂色的在內(nèi)部，由此即可解決此類問題．
五．操作題（共1小題）
17．一個(gè)長(zhǎng)方體有六個(gè)面，下面是其中的四個(gè)面，請(qǐng)認(rèn)真觀察。
請(qǐng)?jiān)谙旅娴母褡訄D中畫出這個(gè)長(zhǎng)方體的另外2個(gè)面，并涂上陰影。
【考點(diǎn)】染色問題．
【專題】綜合題；幾何直觀．
【答案】
【分析】根據(jù)已知圖示所示的4個(gè)面，可知這個(gè)長(zhǎng)方體另外的2個(gè)面的長(zhǎng)是4個(gè)方格寬是3個(gè)方格，依此畫出這個(gè)長(zhǎng)方體另外的2個(gè)面。
【解答】解：如圖所示：
【點(diǎn)評(píng)】本題是考查長(zhǎng)方體的展開圖，意在培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析和空間想象能力。
六．應(yīng)用題（共6小題）
18．一個(gè)長(zhǎng)方體木塊長(zhǎng)7厘米，寬6厘米，高5厘米。把它的表面涂成紅色，再切割成棱長(zhǎng)1厘米的小正方體且沒有剩余。切割成的小正方體中兩面紅色的有多少個(gè)？
【考點(diǎn)】染色問題．
【專題】立體圖形的認(rèn)識(shí)與計(jì)算；空間觀念．
【答案】48個(gè)。
【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體切割正方體的特點(diǎn)可知，2個(gè)面都是紅色的應(yīng)該是在每條棱長(zhǎng)上的小正方體（除去頂點(diǎn)外），由此即可求出只有2個(gè)面是紅色的小正方體的總個(gè)數(shù)。
【解答】解：7÷1＝7（個(gè)）
6÷1＝6（個(gè)）
5÷1＝5（個(gè)）
（5﹣2）×4+（6﹣2）×4+（7﹣2）×4
＝12+16+20
＝48（個(gè)）
答：切割成的小正方體中兩面紅色的有48個(gè)。
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了立方體的切拼問題中涂色問題，這里抓住三面涂色在頂點(diǎn)；兩面涂色的在棱上，一面涂色的在表面中，沒涂色的在內(nèi)部。
19．有一個(gè)橫2000格，豎1000格的矩形方格紙?，F(xiàn)從它的左上角開始向右沿著邊框逐格涂色到右邊框，再?gòu)纳系较轮鸶裢可降走吙颍傺氐走吙驈挠业阶笾鸶裢可阶筮吙?，再?gòu)南碌缴现鸶裢可缴厦嫱可^的方格，如此一直螺旋式地涂下去……，直到將所有的方格都涂滿，那么最后被涂的那格是從上到下的第 501 行，從左到右的第 500 列。
【考點(diǎn)】染色問題．
【專題】推理能力；模型思想．
【答案】501，500。
【分析】第1圈涂完，止于2行1列，即（2，1 ）；第2圈涂完，止于3行2列，即（3，2）；……第k圈涂完，止于k+1行k列，即（ k+1，k）。橫2000格，豎1000格，需要1000：2＝500（圈），涂完。所以，止于501行500列。
【解答】解：順時(shí)針涂完第1圈后，有兩行兩列被涂了色，下一個(gè)要涂色的是第2行第2列的方格。涂完第499圈后，有998行998列被涂了色，剩下2行1002列未被涂色。最后一圈從500行500列開始，到501行500列結(jié)束.那么最后被涂色的就是第501行，第500列。
故答案為：501，500。
【點(diǎn)評(píng)】一圈涂上下兩行，所以最后涂色的方格位于第501行。當(dāng)涂到這一行時(shí)，左邊已經(jīng)涂完499列，所以最后涂色的方格位于第500列。
20．一個(gè)正方體，先在它的每個(gè)面上都涂色，再把它切成若干個(gè)棱長(zhǎng)是1cm的小正方體。已知兩面涂色的小正方體有84個(gè)。
（1）這個(gè)正方體的體積是多少立方厘米？
（2）一面涂色的小正方體有多少個(gè)？
【考點(diǎn)】染色問題；長(zhǎng)方體和正方體的體積．
【專題】立體圖形的認(rèn)識(shí)與計(jì)算；空間觀念．
【答案】（1）729立方厘米；（2）294個(gè)。
【分析】（1）由于兩面涂色的小正方體處在12條棱的中間，所以每條棱的中間有小正方體：84÷12＝7（個(gè)），那么每條棱上有小正方體：7+2＝9（個(gè)），所以大正方體的棱長(zhǎng)是：1×9＝9（厘米），然后根據(jù)正方體的體積公式解答即可。
（2）一面涂色的小正方體處在每個(gè)面的中間，計(jì)算一面涂色的個(gè)數(shù)的方法：（棱長(zhǎng)﹣2）×（棱長(zhǎng)﹣2）×6；據(jù)此解題即可。
【解答】解：（1）84÷12＝7（個(gè)）
7+2＝9（個(gè)）
1×9＝9（厘米）
9×9×9＝729（立方厘米）
答：這個(gè)正方體的體積是729立方厘米。
（2）（9﹣2）×（9﹣2）×6
＝7×7×6
＝294（個(gè)）
答：一面涂色的小正方體有294個(gè)。
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方體表面涂色問題，解答本題的關(guān)鍵是掌握正方體表面涂色的公式。
21．一個(gè)大正方體由若干個(gè)相同的小正方體組成，在大正方體的表面上涂色，其中一面涂色的小正方體有150個(gè)，這個(gè)大正方體由多少個(gè)小正方體組成？
【考點(diǎn)】染色問題．
【專題】立體圖形的認(rèn)識(shí)與計(jì)算；空間觀念．
【答案】343個(gè)。
【分析】一面涂色的正方體的個(gè)數(shù)為150個(gè)，則正方體的一個(gè)面的中間就有150÷6＝25（個(gè)），因?yàn)?×5＝25，所以這個(gè)大正方體的每條棱上有5+2＝7（個(gè)）小正方體，則這個(gè)大正方體中的小正方體的總數(shù)為（7×7×7）個(gè)；據(jù)此解答即可。
【解答】解：150÷6＝25，因?yàn)?×5＝25，
所以這個(gè)大正方體的每條棱上有5+2＝7（個(gè)）小正方體，
則小正方體的總個(gè)數(shù)為：7×7×7＝343（個(gè)）
答：這個(gè)大正方體是由343個(gè)小正方體組成的。
【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)大正方體的表面涂色的特點(diǎn)，得出一面涂色的小正方體都在大正方體的6個(gè)面的中間，并且每條棱長(zhǎng)上的小正方體是2面涂色的（頂點(diǎn)除外），頂點(diǎn)處的小正方體是3面涂色的，抓住這個(gè)特點(diǎn)即可解決此類問題。
22．把一個(gè)大正方體的表面涂上紅色，再把它切成27個(gè)大小一樣的小正方體，在切成的小正方體中，三面涂有紅色的有多少塊？?jī)擅嫱坑屑t色的有多少塊？
【考點(diǎn)】染色問題．
【專題】立體圖形的認(rèn)識(shí)與計(jì)算；空間觀念．
【答案】8塊；12塊。
【分析】
根據(jù)正方體表面涂色的特點(diǎn)，分別得出切割后的小正方體涂色面的排列特點(diǎn)：（1）沒有涂色的都在內(nèi)部；（2）一面涂色的都在每個(gè)面上（除去棱上的小正方體）；（3）兩面涂色的在每條棱上（除去頂點(diǎn)處的小正方體）；（4）三面涂色的在每個(gè)頂點(diǎn)處；據(jù)此解答即可。
【解答】解：27＝3×3×3
3面涂色的小正方體在大正方體的8個(gè)頂點(diǎn)處，所以有8個(gè)；
兩面涂色的小正方體有：
（3﹣2）×12
＝1×12
＝12（塊）
答：三面涂有紅色的有8塊；兩面涂有紅色的有12塊。
【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵要明確：三面有色的處在8個(gè)頂點(diǎn)上，兩面有色的處在12條棱上，一面有色的處在每個(gè)面的中間，無(wú)色的處在里心。
23．一根2米長(zhǎng)繩子從起點(diǎn)開始．每隔4cm標(biāo)記一個(gè)紅點(diǎn)，每隔5cm標(biāo)記一個(gè)黃點(diǎn)，最后用剪刀在每個(gè)標(biāo)記點(diǎn)處剪一刀，問一個(gè)可以將繩子剪成多少段？
【考點(diǎn)】染色問題．
【專題】傳統(tǒng)應(yīng)用題專題．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】首先求出每4厘米作一個(gè)記號(hào)，可以作幾個(gè)記號(hào)；再求出每5厘米作一個(gè)記號(hào)，可以作幾個(gè)記號(hào)；因?yàn)?和5的最小公倍數(shù)是20，所以每20厘米處的記號(hào)重合，由此即可求出繩子被剪出的段數(shù)．
【解答】解：2米＝200厘米
200÷4﹣1＝49（個(gè)）
200÷5﹣1＝39（個(gè)）
4和5互質(zhì)，所以4和5的最小公倍數(shù)是4×5＝20；
200÷20﹣1＝9（個(gè)）
49+39﹣9＝79（個(gè)）
79+1＝80（段）
答：可以將繩子剪成80段．
【點(diǎn)評(píng)】解答此題的關(guān)鍵是分析出每20厘米處的記號(hào)重合，并求出重合的記號(hào)的個(gè)數(shù)．
考點(diǎn)卡片
1．長(zhǎng)方體和正方體的體積
【知識(shí)點(diǎn)歸納】
長(zhǎng)方體體積公式：V＝abh．（a表示底面的長(zhǎng)，b表示底面的寬，h表示高）
正方體體積公式：V＝a3．（a表示棱長(zhǎng)）
【命題方向】
?？碱}型：
例1：一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大3倍，體積擴(kuò)大（ ）倍．
A、3 B、9 C、27
分析：正方體的體積等于棱長(zhǎng)的立方，它的棱長(zhǎng)擴(kuò)大幾倍，則它的體積擴(kuò)大棱長(zhǎng)擴(kuò)大倍數(shù)的立方倍，據(jù)此規(guī)律可得．
解：正方體的棱長(zhǎng)擴(kuò)大3倍，它的體積則擴(kuò)大33＝27倍．
故選：C．
點(diǎn)評(píng)：此題考查正方體的體積及其棱長(zhǎng)變化引起體積的變化．
例2：一只長(zhǎng)方體的玻璃缸，長(zhǎng)8分米，寬6分米，高4分米，水深2.8分米．如果投入一塊棱長(zhǎng)為4分米的正方體鐵塊，缸里的水溢出多少升？
分析：根據(jù)題意知用水的體積加鐵塊的體積，再減去玻璃缸的容積，就是溢出水的體積．據(jù)此解答．
解：8×6×2.8+4×4×4﹣8×6×4，
＝134.4+64﹣192，
＝6.4（立方分米），
＝6.4（升）．
答：向缸里的水溢出6.4升．
點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是讓學(xué)生理解：溢出水的體積＝水的體積+鐵塊的體積﹣玻璃缸的容積，這一數(shù)量關(guān)系．
2．染色問題
【知識(shí)點(diǎn)歸納】
這里的染色問題不是要求如何染色，然后問有多少種染色方法的那類題目，它指的是一種解題方法．染色方法是一種將題目研究對(duì)象分類的形象化方法，通過將問題中的對(duì)象適當(dāng)染色，我們可以更形象地觀察分析出其中所蘊(yùn)含的關(guān)系，再經(jīng)過一定的邏輯推理，便能得出問題的答案．這類問題不需要太多的數(shù)學(xué)知識(shí)，但技巧性、邏輯性較強(qiáng)，要注意學(xué)會(huì)幾種典型的染色方法．
染色問題基本解法：三面涂色和頂點(diǎn)有關(guān)，8個(gè)頂點(diǎn)．
兩面染色和棱長(zhǎng)有關(guān)．即新棱長(zhǎng)（棱長(zhǎng)﹣2）×12
一面染色和表面積有關(guān)．同樣用新棱長(zhǎng)計(jì)算表面積公式（棱長(zhǎng)﹣2）×（棱長(zhǎng)﹣2）×6
0面染色和體積有關(guān)．用新棱長(zhǎng)計(jì)算體積公式（棱長(zhǎng)﹣2）×（棱長(zhǎng)﹣2）×（棱長(zhǎng)﹣2）
長(zhǎng)方體的解法和立方體同理，即計(jì)算各種公式前長(zhǎng)、寬、高都要先減2再利用公式計(jì)算．

題號(hào)
1
2
3
4
5
答案
C
A
C
B
C

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