1.進(jìn)一步熟悉平行線的判定方法和性質(zhì).
2.運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行簡單的推理和計算.
前面我們學(xué)習(xí)的平行線的判定方法和平行線的性質(zhì)，實(shí)際上，在實(shí)際應(yīng)用中，兩者是相互結(jié)合使用的，下面我們就來看看應(yīng)用平行線能解決哪些問題吧！
1.如圖，三角形 ABC 中，D 是 AB 上一點(diǎn)，E 是 AC 上一點(diǎn)，∠ADE=60°，∠B = 60°，∠AED=40°. (1) DE 和 BC 平行嗎？為什么？
解：(1) DE∥BC. 理由如下： ∵ ∠ADE=60°，∠B = 60°， ∴ ∠ADE=∠B. ∴ DE∥BC. (同位角相等，兩直線平行)
1.如圖，三角形 ABC 中，D 是 AB 上一點(diǎn)，E 是 AC 上一點(diǎn)，∠ADE=60°，∠B = 60°，∠AED=40°. (2)∠C 是多少度？為什么？
解：(2) ∠C =40°. 理由如下： 由(1)得 DE∥BC， ∴ ∠C=∠AED. (兩直線平行，同位角相等） 又∵∠AED=40°， ∴ ∠C=∠AED =40°.
2.如圖，AB∥CD，猜想∠A、∠P 、∠PCD 的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.
解：在 PC 的另一側(cè)作∠PCE =∠APC，交 AB 于點(diǎn) E.∴ AP∥CE.∴ ∠AEC=∠A，∠P=∠PCE.∴ ∠A+∠P=∠AEC+∠PCE.∵AB∥CD， ∴ ∠ECD=∠AEC.∴∠A+∠P =∠ECD+∠PCE=∠PCD.
還有其他作輔助線的方法嗎？
解：在 PC 的另一側(cè)作∠APE =∠BAP.∴ EP∥AB.∵AB∥CD，∴ EP∥CD.∴∠EPC=∠PCD.∵ ∠APE+∠APC=∠EPC，∴ ∠APE+∠APC= ∠PCD，即∠BAP+∠APC = ∠A+∠P =∠PCD.
3.如圖，若 AB//CD，你能確定∠B、∠D 與∠BED 的大小關(guān)系嗎？說說你的看法．
解：過點(diǎn) E 向右作 EF//AB． ∴∠B=∠BEF． ∵AB//CD， ∴EF//CD． ∴∠D =∠DEF． ∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF ＝∠DEB， 即∠B＋∠D＝∠DEB．
解：過點(diǎn) E 向左作 EF//AB． ∴∠B+∠BEF＝180°． ∵AB//CD， ∴EF//CD． ∴∠D +∠DEF＝180°． ∴∠B＋∠D+∠DEB＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF ＝360°， 即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．
變式1 如圖，AB//CD，探索∠B、∠D 與∠DEB 的大小關(guān)系 .
變式2 如圖，AB∥CD，則：
當(dāng)有一個拐點(diǎn)時： ∠A+∠E+∠C= 360°
當(dāng)有兩個拐點(diǎn)時： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠C = 540°
當(dāng)有三個拐點(diǎn)時： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠ E3 +∠C = 720°
當(dāng)有 n 個拐點(diǎn)時： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +…+∠ En +∠C =(n+1)×180°
若有 n 個拐點(diǎn)，你能找到規(guī)律嗎？
當(dāng)左邊有兩個角，右邊有一個角時：∠A+∠C= ∠E
變式3 如圖，AB∥CD，則：
當(dāng)左邊有兩個角，右邊有兩個角時：∠A+∠F= ∠E +∠D
當(dāng)左邊有三個角，右邊有兩個角時：∠A+∠F1 +∠C = ∠E1 +∠E2
若左邊有 n 個角，右邊有 m 個角，你能找到規(guī)律嗎？
當(dāng)左邊有 n 個角，右邊有 m 個角時：∠A+∠F1 + ∠F2 +…+ ∠Fn-1= ∠E1 +∠E2 +…+ ∠Em-1+ ∠D
如圖，已知∠BEF+∠EFD=180°，EM 平分∠BEF，F(xiàn)N 平分∠EFC.求證：∠M =∠N.
證明：∵ ∠BEF+∠EFD =180°(已知)，∴ AB//CD (同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)，∴ ∠BEF=∠EFC (兩直線平行，內(nèi)錯角相等).∵ EM 平分∠BEF，F(xiàn)N 平分∠EFC (已知)，
1.如圖，如果∠1=∠3，∠2= 60°，那么，∠4的度數(shù)為( )A.60°B.100°C.120°D.130°
2.如圖，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別在直線 AB，CD 上，點(diǎn) G，H 在兩直線之間，線段 EF 與 GH 相交于點(diǎn) O，且有∠AEF + ∠CFE=180° ，∠AEF-∠1=∠2，則在圖中相等的角共有( )A.5對B.6對C.7對D.8對
解析：∵∠AEF+∠CFE=180°，∴AB//CD，∴∠AEF =∠DFE，∠BEF=∠CFE.∵ ∠AEF-∠1=∠2，∠AEF-∠1=∠AEG，∴ ∠AEG=∠2.∴ ∠1=∠EFH，∠BEG =∠CFH.∴ GE//FH，∴ ∠G=∠H.又∠EOG =∠FOH， ∠EOH=∠GOF，∴ 圖中相等的角共有 8 對.
3.把一副三角板放在同一水平桌面上，擺放成如圖所示的形狀，使兩個直角頂點(diǎn)重合，兩條斜邊平行，則∠1的度數(shù)是( )A. 45°B. 60°C. 75°D. 82.5°
解析：如圖，過點(diǎn) E 作 EF//AB，∵ AB//CD，∴ EF//CD，∴ ∠AEF =∠A=45°，∠FEC =∠C =30°，∴ ∠1=∠AEF +∠FEC =45°+30°=75°.
解： ∵ AB//CF，∠ABC =70°，∴ ∠BCF=∠ABC= 70°.∵ DE//CF，∴ ∠DCF+∠CDE =180°. 又∠CDE =130°，∴ ∠DCF =50°，∴ ∠BCD =∠BCF -∠DCF =70°- 50° =20°.
1.如圖，已知 AB//DE//CF，若∠ABC= 70°，∠CDE= 130°，則∠BCD = .
2.如圖，MN，EF 表示兩面互相平行的鏡面，光線 AB 照射到鏡面 MN 上，反射光線為 BC，此時∠1=∠2；光線 BC 經(jīng)過鏡面 EF 反射后的光線為 CD，此時∠3=∠4.試判斷 AB 與 CD 的位置關(guān)系，并說明理由.
解：AB//CD.理由如下：∵ MN//EF(已知)， ∴ ∠2=∠3(兩直線平行，內(nèi)錯角相等).∵ ∠1=∠2，∠3=∠4(已知)，∴ ∠1=∠2=∠3=∠4， ∴∠1+∠2=∠3+∠4.∵ ∠ABC+∠1+∠2=180°， ∠BCD+∠3+∠4=180°(平角的性質(zhì))，∴ ∠ABC=∠BCD(等量代換).∴ AB//CD(內(nèi)錯角相等，兩直線平行).
3.如圖，AB//CD，探究圖中∠P 與∠A，∠C之間的關(guān)系.
解：∠A=∠APC+∠C.理由如下：過點(diǎn) P 作 PE//AB，則∠1+∠A=180°.∵ AB//CD，∴ PE//CD， ∴ ∠EPC+∠C=180°，即∠1+∠APC+∠C=180°，∴ 180°-∠A+∠APC+∠C=180°.∴ ∠A=∠APC+ ∠C.

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7.2.3 平行線的性質(zhì)

版本： 人教版（2024）

年級： 七年級下冊（2024）

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