1.掌握平行線的性質(zhì)與判定的區(qū)別與聯(lián)系，發(fā)展推理意識(shí)，能夠理解數(shù)學(xué)基本概念之間的聯(lián)系.2.會(huì)能綜合運(yùn)用平行線的性質(zhì)與判定進(jìn)行推理和計(jì)算，鍛煉識(shí)圖能力，會(huì)對(duì)已有條件進(jìn)行歸納與轉(zhuǎn)化，提升應(yīng)用能力.3.通過對(duì)平行線的性質(zhì)與判定的運(yùn)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和決策能力.
思考：平行線的判定與性質(zhì)之間有什么關(guān)系？
思考：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平行線的哪些性質(zhì)？
平行線性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用
解：(1) DE∥BC. 理由如下： ∵ ∠ADE=60°，∠B = 60°， ∴ ∠ADE=∠B. ∴ DE∥BC. (同位角相等，兩直線平行)
1. 如圖，在三角形 ABC 中，D 是 AB 上一點(diǎn)，E 是 AC 上一點(diǎn)，∠ADE=60°，∠B = 60°，∠AED=40°. (1) DE 和 BC 平行嗎？為什么？
1. 如圖，在三角形 ABC 中，D 是 AB 上一點(diǎn)，E 是 AC 上一點(diǎn)，∠ADE=60°，∠B = 60°，∠AED=40°. (2)∠C 是多少度？為什么？
解：(2) ∠C =40°. 理由如下： 由(1)得 DE∥BC， ∴ ∠C=∠AED. (兩直線平行，同位角相等） 又∵∠AED=40°， ∴ ∠C=∠AED =40°.
2. 如圖，AB∥CD，如果∠1 = ∠2，那么 EF 與 AB平行嗎？說說你的理由．
解：平行，理由：因?yàn)椤? =∠2，根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”， 所以 EF∥CD.又因?yàn)?AB∥CD，根據(jù)“平行于同一條直線的兩條直線平行”，所以 EF∥AB.
3. 如圖，已知直線 a∥b，直線 c∥d，∠1 = 107°，求∠2，∠3 的度數(shù).
所以 ∠1+∠3 = 180°，所以∠3 = 73°.
根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，
所以 ∠2 =∠1 = 107°.
根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，
4. 如圖 1，DB∥FG∥EC，∠ABD = 60°，∠ACE = 40°，AP 平分∠BAC．（1）求∠BAG的度數(shù)．（2）求∠PAG的度數(shù)．
解：如圖，過點(diǎn) E 作 EF//AB. ∴∠B=∠BEF. ∵AB//CD，∴EF//CD. ∴∠D =∠DEF. ∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF ＝∠DEB， 即∠B＋∠D＝∠DEB.
5. 如圖，若 AB//CD，你能確定∠B、∠D 與∠BED 之間的關(guān)系嗎？說說你的看法.
一般地，如圖，AB∥CD，則：
性質(zhì)1：當(dāng)AB與CD之間有一個(gè)拐點(diǎn)時(shí)：∠A+∠C= ∠E.性質(zhì)2：當(dāng)AB與CD之間有兩個(gè)拐點(diǎn)時(shí)：∠A+∠F= ∠E +∠D. 性質(zhì)3：當(dāng)AB與CD之間有三個(gè)拐點(diǎn)時(shí)：∠A+∠F1 +∠C = ∠E1 +∠E2.
一般地，如圖，AB∥CD，則∠A，∠F1 ，∠F2 ，… ， ∠Fn-1與∠E1 ，E2 ，…，∠Em-1，∠D之間的關(guān)系：
∠A+∠F1 + ∠F2 +…+ ∠Fn-1= ∠E1 +∠E2 +…+ ∠Em-1+ ∠D
6. 如圖，AB//CD，試說明∠B+∠D +∠DEB=360°.
解：過點(diǎn) E 作 EF//AB. ∴∠B+∠BEF＝180°. ∵AB//CD，∴EF//CD. ∴∠D +∠DEF＝180°， ∴∠B＋∠D+∠DEB＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF ＝360°，即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°.
性質(zhì)1：當(dāng)有一個(gè)拐點(diǎn)時(shí)： ∠A+∠E+∠C= 360°. 性質(zhì)2：當(dāng)有兩個(gè)拐點(diǎn)時(shí)： ∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠C = 540°. 性質(zhì)3：當(dāng)有三個(gè)拐點(diǎn)時(shí)：∠A+∠ E1 + ∠ E2 +∠ E3 +∠C = 720°.
一般地，如圖，當(dāng)有 n 個(gè)拐點(diǎn)時(shí) ：
∠A+∠ E1 + ∠ E2 +…+∠ En +∠C =(n+1)×180°.
7. 如圖，AB//CD，探究下面圖中∠P 與∠A，∠C之間的關(guān)系.
解：∠APC+∠A=∠C.理由如下：過點(diǎn) P 作 PE//AB，則∠EPA+∠A=180°.∵ ∠EPA=∠APC+∠1，∴ ∠APC+∠1+∠A=180°，∴ ∠APC+∠A=180°-∠1.∵ AB//CD，∴ PE//CD， ∴ ∠1+∠C=180°，∴ ∠C= 180°-∠1.∴ ∠APC+∠A=∠C.
解：∠A=∠APC+∠C.理由如下：過點(diǎn) P 作 PE//AB，則∠1+∠A=180°.∵ AB//CD，∴ PE//CD， ∴ ∠EPC+∠C=180°，即∠1+∠APC+∠C=180°，∴ 180°-∠A+∠APC+∠C=180°.∴ ∠A=∠APC+ ∠C.
8. [2021·泉州] 問題情境：我市某中學(xué)班級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組遇到問題：如圖1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC 的度數(shù).經(jīng)過討論形成的思路是：如圖2，過P 作 PE//AB， 通過平行線性質(zhì)，可求得∠APC的度數(shù).
(1)按該數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的思路，請(qǐng)你幫忙求出∠APC的度數(shù)；(2)如圖3，AD//BC，點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP=α，∠BCP=β. 請(qǐng)你判斷∠CPD 、α 、β 之間有何數(shù)量關(guān)系?并說明理由；
解 ： ( 1 ) 過 點(diǎn)P 作PE//AB，∵AB//CD，∴PE//AB//CD.∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.
(2)∠CPD=α+β，理由如下：過P作PE//AD交CD于E.∵AD//BC，∴AD//PE//BC，∴∠DPE=α，∠CPE=β，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=α+β.
9. 如圖 5，已知 AB∥CD，∠ABE 的平分線與∠CDE的平分線相交于點(diǎn)F．（1）在圖5中，求證：①∠ABE + ∠CDE + ∠E = 360°；②∠ABF + ∠CDF = ∠BFD；
①如圖，過點(diǎn)E作EN//AB，∵EN//AB，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得 ∠ABE+∠BEN=180°，∵AB//CD，AB//NE，根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線，也互相平行，得NE//CD，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得∠CDE+∠NED=180°，根據(jù)等式的性質(zhì)，得∠ABE+∠E+∠CDE=36O°;②如圖，過點(diǎn)F作FG//AB，∵FG//AB，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得∠ABF=∠BFG，∵AB//CD，F(xiàn)G//AB，根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線，也互相平行，得FG//CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得∠CDF=∠GFD，根據(jù)等式的性質(zhì)得∠ABF+∠CDF=∠BFG+∠GFD=∠BFD;
結(jié)論：∠E+∠M=360°.∵設(shè)∠ABM=x，∠CDM=Y，則∠FBM=2x，∠EBF=3x，∠FDM=2y，∠EDF=3y，由（1）得∠ABE+∠E+∠CDE=360°，∴6x+6Y+∠E=360°，∴∠M+∠EBM+∠E+∠EDM=360°，∴6x+6y+∠E=∠M+5x+5y+∠E，∴∠M=x+y，∴∠E+6∠M=360°;
運(yùn)用平行線解決實(shí)際問題
平行線在實(shí)際生活中隨處可見.
如圖 8，在平面內(nèi)每一點(diǎn)的南北方向互相平行，每一點(diǎn)的東西方向也互相平行；
如圖 9，一條公路經(jīng)過兩次拐彎后要和原來的方向相同，必須保證所形成的同旁內(nèi)角互補(bǔ)；
如圖10，紙的兩邊無論如何折疊都互相平行.
10. 如圖，MN，EF 表示兩面互相平行的鏡面，光線 AB 照射到鏡面 MN 上，反射光線為 BC，此時(shí)∠1=∠2；光線 BC 經(jīng)過鏡面 EF 反射后的光線為 CD，此時(shí)∠3=∠4.試判斷 AB 與 CD 的位置關(guān)系，并說明理由.
解：AB//CD.理由如下：∵ MN//EF(已知)， ∴ ∠2=∠3(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).∵ ∠1=∠2，∠3=∠4(已知)，∴ ∠1=∠2=∠3=∠4， ∴∠1+∠2=∠3+∠4.∵ ∠ABC+∠1+∠2=180°， ∠BCD+∠3+∠4=180°(平角的性質(zhì))，∴ ∠ABC=∠BCD(等量代換).∴ AB//CD(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行).
判定：已知角的關(guān)系得平行的關(guān)系．推平行，用判定．
性質(zhì)：已知平行的關(guān)系得角的關(guān)系．知平行，用性質(zhì)．
平行線的“判定”與“性質(zhì)”有什么不同:
考點(diǎn)1：平行線性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用
A.36°　　　　B.46°　　　　C.126°　　　　D.136°
1. [2021·陜西] 如圖，直線l1∥l2，直線l1、l2被直線l3所截，若∠1=54°，則∠2的大小為(　　)
解：∵l1∥l2,∴∠1=∠3=54°.∴∠2=180°-∠3=180°-54°=126°.故選C.
考點(diǎn)2：添加輔助線的證明題
2. [2022·深圳] 如圖，若AB∥CD，則α、β、γ滿足的關(guān)系式為(　　)
A.α+β+γ=360°　　　　　　B.α-β+γ=180°C.α+β-γ=180°　　　　　　D.α+β+γ=180°
解：如圖,過點(diǎn)E作EF∥AB.易得AB∥CD∥EF,∴∠BAE+∠FEA=180°,∠C=∠FEC=γ,∵∠AEC=β,∴∠FEA=β-γ,∴α+(β-γ)=180°即α+β-γ=180°.故選C.
考點(diǎn)3：運(yùn)用平行線解決實(shí)際問題
3. [2020·山東] 一副直角三角板按如圖所示的方式放置，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，則∠DBC的度數(shù)為(　　)
A.10°　　　　B.15°　　　　C.18°　　　　D.30°
解：由題意可得∠EDF=45°,∠ABC=30°,∵AB∥CF,∴∠ABD=∠EDF=45°,∴∠DBC=∠ABD-∠ABC=45°-30°=15°.故選B.
A.112°　　　　B.110°　　　　C.108°　　　　D.106°
4. [2019·浙江] 如圖，將長(zhǎng)方形ABCD沿GH所在直線折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)Q處，點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處，若∠AGE=32°，則∠GHC等于(　　)
考點(diǎn)1： 進(jìn)階 · 平行線性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用
5. [2022·廣東] 如圖，點(diǎn)B、C在線段AD的異側(cè)，點(diǎn)E、F分別在線段AB、CD上，∠AEG=∠AGE,，∠C=∠DGC.(1)求證:AB∥CD;(2)若∠AGE+∠AHF=180°,求證:∠B=∠C;(3)在(2)的條件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度數(shù).
解：(1)證明:∵∠AEG=∠AGE,∠C=∠DGC,∠AGE=∠DGC,∴∠AEG=∠C,∴AB∥CD.(2)證明:∵∠AGE=∠DGC,∠AGE+∠AHF=180°,∴∠DGC+∠AHF=180°,∴EC∥BF,∴∠B=∠AEG,由(1)得∠AEG=∠C.∴∠B=∠C.(3)由(2)得EC∥BF,∴∠BFC+∠C=180°,∵∠BFC=4∠C,∴∠C=36°,∴∠DGC=36°.∵∠C+∠DGC+∠D=180°,∴∠D=108°.
6. 將一副三角板的直角重合放置，如圖1所示，（1）圖1中∠BEC的度數(shù)為______;（2）三角板△AOB的位置保持不動(dòng)，將三角板△COD繞其直角頂點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)：①當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置時(shí)，恰好OD∥AB，求此時(shí)∠AOC的大?。虎谌魧⑷前濉鰿OD繼續(xù)繞O旋轉(zhuǎn)，直至回到圖1位置，在這一過程中，是否會(huì)存在△COD其中一邊能與AB平行？如果存在，請(qǐng)你畫出圖形，并直接寫出相應(yīng)的∠AOC的大??；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
解：（1）∠CAE＝180°﹣∠BAO＝180°﹣60°＝120°，∴∠BEC＝∠C+∠CAE＝45°+120°＝165°，故答案為：165°．（2）①∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠B＝30°，又∠BOD+∠BOC＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，∴∠AOC＝∠BOD＝30°．②存在。
如圖1，∠AOC＝120°；如圖2，∠AOC＝165°；如圖3，∠AOC＝45°；如圖4，∠AOC＝150°；如圖5，∠AOC＝60°；如圖6，∠AOC＝15°．
首先：要回答題目的問題，不能直接寫證明過程；注意：充分運(yùn)用三角板角度的數(shù)量特性，確定動(dòng)態(tài)下圖形構(gòu)成可能出現(xiàn)三線八角模型，并注意性質(zhì)和判定是綜合起來進(jìn)行運(yùn)用。
7. 如圖1是一個(gè)舞臺(tái)，上下兩邊a、b平行．在A、B兩點(diǎn)處各有一個(gè)旋轉(zhuǎn)燈，其燈光為一條射線，開始表演前，兩燈均指向正右方．開始表演的瞬間，A燈開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，速度為4°/分鐘，B燈開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，速度為5°/分鐘，A燈轉(zhuǎn)半圈停止，B燈轉(zhuǎn)一圈停止．（1）開始表演后t分鐘，兩燈燈光所在直線平行，求t.（2）當(dāng)B燈在旋轉(zhuǎn)過程中某一時(shí)刻正好照向A點(diǎn)，A燈燈光與B燈燈光正好垂直，若此時(shí)A燈燈光照向直線b上的M點(diǎn)，求∠AMB的度數(shù)．
解：（1）∠EAC＝4t，∠DBF＝5t① 4t＋5t＝180，t＝20，如圖3，② 4t＝360－5t，t＝40，如圖4，（2）5t＋4t＝90， t＝10，∠AMB＝4t＝40°，如圖5。

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7.2.3 平行線的性質(zhì)

版本： 人教版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)（2024）

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