兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形.
問題1 平行四邊形的定義是什么？有什么作用？
可以用平行四邊形的定義來判定平行四邊形，如：
問題2 除了兩組對邊分別平行，平行四邊形還有哪些性質(zhì)？
平行四邊形的對邊相等.
平行四邊形的對角相等.
平行四邊形的對角線互相平分.
思考 我們得到的這些逆命題是否都成立？這節(jié)課我們一起探討一下吧.
問題3 平行四邊形上面的三條性質(zhì)的逆命題各是什么？
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
猜想 觀看視頻，將兩長兩短的四根細木條用小釘固定在一起,任意拉動，所得的四邊形是平行四邊形嗎?
你能根據(jù)平行四邊形的定義證明它們嗎？
已知： 四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC.求證： 四邊形ABCD是平行四邊形.
在△ABC和△CDA中,
AB=CD (已知)，
AC=CA (公共邊)，
∴△ABC≌△CDA(SSS)
∴ ∠1=∠4 , ∠ 2=∠3，
∴AB∥ CD , AD∥ BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
幾何語言描述：在四邊形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形.
例1 如圖，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求證：四邊形PONM是平行四邊形．
證明：Rt△MON中，由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2， 解得x＝8.∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.∴PM＝ON，OP＝MN，∴四邊形PONM是平行四邊形．
例2 如圖，在△ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側(cè)作等邊△ABD、等邊△ACE、等邊△BCF.試說明四邊形DAEF是平行四邊形．
解：∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°， ∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF(SAS)，∴AC＝DF＝AE.同理可證△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四邊形DAEF是平行四邊形．
如圖, AD⊥AC,BC⊥AC,且AB=CD,求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
證明：在Rt△ABC和Rt△ACD中，∵AC=CA,AB=CD,∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL),∴BC=DA.又∵AB=CD,∴四邊形PONM是平行四邊形．
觀看下面視頻，對于兩組對角分別相等的四邊形的形狀你的猜想是什么?
已知：四邊形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
∴2∠A+2∠B=360°，
即∠A+∠B=180°，
同理得 AB∥ CD，
平行四邊形的判定定理：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.
幾何語言描述：在四邊形ABCD中，∵∠A=∠C，∠B=∠D,∴四邊形ABCD是平行四邊形.
例3 如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.(1)求∠D的度數(shù)；(2)求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°；(2)證明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB，∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，∴∠DCB＝∠DAB＝125°.又∵∠D＝∠B＝55°，∴四邊形ABCD是平行四邊形．
1.判斷下列四邊形是否為平行四邊形：
2.能判定四邊形ABCD是平行四邊形的條件： ∠A:∠B:∠C:∠D的值為 （　?。?br/>A. 1:2:3:4
B. 1:4:2:3
C. 1:2:2:1
D. 3:2:3:2
如圖,將兩根細木條AC、BD的中點重疊，用小釘固定在一起，用橡皮筋連接木條的頂點，做成一個四邊形ABCD.轉(zhuǎn)動兩根木條，四邊形ABCD一直是一個平行四邊形嗎？
猜想：四邊形ABCD一直是一個平行四邊形.
已知：四邊形ABCD中，OA=OC，OB=OD.求證：四邊 形ABCD是平行四邊形.
在△AOB和△COD中,
OA=OC (已知)，
OB=OD (已知)，
∠AOB=∠COD (對頂角相等)，
∴△AOB≌△COD(SAS)，
∴ ∠BAO=∠OCD , ∠ ABO=∠CDO,
∴AB∥ CD , AD∥ BC
平行四邊形的判定定理：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
幾何語言描述：在四邊形ABCD中，∵AO=CO,DO=BO,∴四邊形ABCD是平行四邊形.
例4 如圖， □ABCD 的對角線AC,BD相交于點O,E,F是AC上的兩點，并且AE=CF.求證：四邊形BFDE是平行四邊形.
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ AO=CO,BO=DO.
∴ AO-AE=CO-CF,即EO=OF.
∴四邊形BFDE是平行四邊形.
【變式題】如圖，AC是平行四邊形ABCD的一條對角線，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，四邊形BMDN是平行四邊形嗎？說說你的理由．
解：四邊形BMDN是平行四邊形．理由如下：連接BD交AC于O．∵BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，∴∠AND=∠CMB=90°．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=OD，AO=CO，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAN=∠BCM,∴△ADN≌△CBM，∴AN=CM，∴OA-AN=OC-CM，即ON=OM,∴四邊形BMDN是平行四邊形．
拓展探究 昨天李明同學(xué)在生物實驗室做實驗時，不小心碰碎了實驗室的一塊平行四邊形的實驗用的玻璃片,只剩下如圖所示部分,他想回家去割一塊賠給學(xué)校，帶上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原來的平行四邊形重新在紙上畫出來?然后帶上圖紙去就行了，可原來的平行四邊形怎么給它畫出來呢(A,B,C為三頂點,即找出第四個頂點D)？
方法依據(jù)：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.
方法依據(jù)：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
方法依據(jù)：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
1.根據(jù)下列條件,不能判定四邊形為平行四邊形的是 ( )A.兩組對邊分別相等 B.兩條對角線互相平分C.兩條對角線相等 D.兩組對邊分別平行
2.如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點O.
如果AC=8cm,BD=10cm,那么當AO=_____cm,BO=_____cm時，四邊形ABCD是平行四邊形.
1.判斷對錯:(1)有一組對邊平行的四邊形是平行四邊形. ( ) (2)有兩條邊相等，并且另外的兩條邊也相等的四邊 形一定是平行四邊形. ( )(3)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形. ( ) (4)一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四 邊形. ( )(5)有一組對角相等且一組對邊平行的四邊形是平行 四邊形. ( )
2.如圖，四邊形ABCD的對角線交于點O，下列哪組條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形（　　）A．OA=OC，OB=OD B．AB=CD，AO=CO C．AB=CD，AD=BC D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
3.如圖，在四邊形ABCD中，
(1)如果AB∥CD，AD∥BC，那么四邊形ABCD是 ___________.(2)如果∠A：∠B：∠ C：∠D=a：b：a：b(a,b為正 數(shù)),那么四邊形ABCD是__________.
(3)如果AD=6cm,AB=4cm,那么當BC=_______cm, CD=_____cm時,四邊形ABCD為平行四邊形.
4.如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，連接BD、CE，交于點P． 求證：四邊形ABPE是平行四邊形．
證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)是 AB=BC=CD=DE=AE，∴∠DEC=∠DCE= ×(180°-108°)=36°，同理∠CBD=∠CDB=36°，∴∠ABP=∠AEP=108°-36°=72°，∴∠BPE=360°-108°-72°-72°=108°=∠A，∴四邊形ABPE是平行四邊形．
5.如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是?ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點，且AE=CG，BF=DH．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．
證明：在平行四邊形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC,又∵BF=DH，∴AH=CF.又∵AE=CG，∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH=GF.同理得△BEF≌△DGH（SAS），∴GH=EF，∴四邊形EFGH是平行四邊形．
6.如圖，AB、CD相交于點O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分別是OC、OD的中點．求證：(1)△AOC≌△BOD；(2)四邊形AFBE是平行四邊形．
證明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.又∵∠COA=∠DOB，AO＝BO ，∴△AOC≌△BOD(AAS)；(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E、F分別是OC、OD的中點，∴EO＝FO.又∵AO＝BO，∴四邊形AFBE是平行四邊形．
7.學(xué)校買了四棵樹，準備栽在花園里，已經(jīng)栽了三棵（如圖），現(xiàn)在學(xué)校希望這四棵樹能組成一個平行四邊形，你覺得第四棵樹應(yīng)該栽在哪里？

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18.1.2 平行四邊形的判定

版本： 人教版

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