素養(yǎng)目標(biāo)1.通過對(duì)多種實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的分析,感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，增強(qiáng)模型觀念.2.能根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境理解方程的意義，能針對(duì)具體問題列出方程，提高應(yīng)用意識(shí).3.知道一元一次方程的概念,理解方程解的意義，初步經(jīng)歷解一元一次方程的過程.
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：能針對(duì)具體問題列出方程，理解方程解的意義.
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：能針對(duì)具體問題列出方程.
我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，有一個(gè)著名的“雞兔同籠”問題：籠子里有若干只雞和兔. 從上面數(shù)，有35個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳. 雞和兔各有幾只? 你能用小學(xué)學(xué)過的算術(shù)方法解決這個(gè)問題嗎?
解法一 雞：(35×4-94) ÷2=23（只） 兔：35-23=12（只）.
解法二 兔：(94-35×2) ÷2=12（只） 雞： 35-12=23 （只）
問題1：在班級(jí)秋游活動(dòng)中，全體學(xué)生和老師共購買了45張門票，學(xué)生票每張10元，成人票每張15元，師生總票款為475元. 你知道學(xué)生和老師的人數(shù)分別是多少嗎?購買學(xué)生票和成人票的票款分別是多少?(1)這個(gè)問題涉及哪些量?它們之間有怎樣的等量關(guān)系?(2)如果設(shè)學(xué)生人數(shù)為x，那么師生總票款可以用含x的代數(shù)式表示為____.(3)你能得到怎樣的表示量相等的式子?
探究點(diǎn)1：根據(jù)問題列方程
問題1：在班級(jí)秋游活動(dòng)中，全體學(xué)生和老師共購買了45張門票，學(xué)生票每張10元，成人票每張15元，師生總票款為475元. 你知道學(xué)生和老師的人數(shù)分別是多少嗎?購買學(xué)生票和成人票的票款分別是多少?(1)這個(gè)問題涉及哪些量?它們之間有怎樣的等量關(guān)系?
涉及的量：學(xué)生人數(shù)、老師人數(shù)、學(xué)生票款、成人票款.
在班級(jí)秋游活動(dòng)中，全體學(xué)生和老師共購買了45張門票，學(xué)生票每張10元，成人票每張15元，師生總票款為475元。你知道學(xué)生和老師的人數(shù)分別是多少嗎?購買學(xué)生票和成人票的票款分別是多少?(2)如果設(shè)學(xué)生人數(shù)為x，那么師生總票款可以用含x的代數(shù)式表示為_____.(3)你能得到怎樣的表示量相等的式子?
（2）10x+15(45-x)
（3）10x+15(45-x)=475
問題2某長(zhǎng)方形操場(chǎng)的面積是5850 m2，長(zhǎng)比寬多25 m.(1)這個(gè)情境涉及哪些量?它們之間有怎樣的等量關(guān)系?(2)如果設(shè)這個(gè)操場(chǎng)的寬為x m，那么操場(chǎng)的面積可以用含x的代數(shù)式表示為_______.(3)你能得到怎樣的表示量相等的式子?
問題2：某長(zhǎng)方形操場(chǎng)的面積是5850 m2，長(zhǎng)比寬多25 m.(1)這個(gè)情境涉及哪些量?它們之間有怎樣的等量關(guān)系?
涉及的量: 長(zhǎng)方形操場(chǎng)的長(zhǎng)、寬、面積
問題2：某長(zhǎng)方形操場(chǎng)的面積是5850 m2，長(zhǎng)比寬多25 m.(2)如果設(shè)這個(gè)操場(chǎng)的寬為x m，那么操場(chǎng)的面積可以用含x的代數(shù)式表示為______.(3)你能得到怎樣的表示量相等的式子?
(2) x (x+25)
(3) x (x+25)=5850
問題3：甲、乙兩地相距22 km，張叔叔從甲地出發(fā)到乙地， 每小時(shí)比原計(jì)劃多走1 km，因此提前12 min到達(dá)乙地.(1)這個(gè)情境涉及哪些量?它們之間有怎樣的等量關(guān)系?(2)如果設(shè)張叔叔原計(jì)劃每小時(shí)走x km，那么他比原計(jì)劃提前的時(shí)間可以用含x的代數(shù)式表示為______.(3)你能得到怎樣的表示量相等的式子?
問題3：甲、乙兩地相距22 km，張叔叔從甲地出發(fā)到乙 地， 每小時(shí)比原計(jì)劃多走1 km，因此提前12 min到達(dá)乙地.(1)這個(gè)情境涉及哪些量?它們之間有怎樣的等量關(guān)系?
涉及的量: 張叔叔原計(jì)劃每小時(shí)走的路程、實(shí)際每小時(shí)走的路程、原計(jì)劃所用時(shí)間、實(shí)際所用時(shí)間
問題3：甲、乙兩地相距22 km，張叔叔從甲地出發(fā)到乙地， 每小時(shí)比原計(jì)劃多走1 km，因此提前12 min到達(dá)乙地.(2)如果設(shè)張叔叔原計(jì)劃每小時(shí)走x km，那么他比原計(jì)劃提前的時(shí)間可以用含x的代數(shù)式表示為______.
(3)你能得到怎樣的表示量相等的式子?
注意：（1）方程中包含兩個(gè)要求：① 必須是等式；② 必須含有未知數(shù).兩者缺一不可.（2）方程一定是等式，但等式不一定是方程.（3）方程中的未知數(shù)可以用x 表示，也可以用其他字母表示.（4）方程中可含多個(gè)未知數(shù).
1.下列式子不是方程的是( ) A．3x=4　　　　B.5x+4y=0　　　C.2x+5　　　D．2(x-4)=3
【選自教材P137 隨堂練習(xí) 第1題】
（2）某球隊(duì)參加足球聯(lián)賽，規(guī)定每隊(duì)勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分. 球隊(duì)已比賽了10場(chǎng)，并保持不敗，一共得了22分. 該球隊(duì)已勝了多少場(chǎng)?平了多少場(chǎng)?
解:設(shè)該球隊(duì)已勝了x場(chǎng)，則平了(10-x)場(chǎng)
3x+(10-x)=22
（3）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，有一個(gè)著名的“雞兔同籠”問題：籠子里有若干只雞和兔. 從上面數(shù)，有35個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳. 雞和兔各有幾只?
解：設(shè)雞有x只，則兔有(35-x)只
2x+4(35-x)=94
或 設(shè)兔有x只，則雞有(35-x)只
4x+2(35-x)=94
探究2：一元一次方程的概念與方程的解
Ⅰ．一元一次方程的概念
問題1 觀察方程10x+15(45-x)=475，2x+3=7x+4，它們有什么共同特點(diǎn)?
在一個(gè)方程中，只含有一個(gè)未知數(shù)，且方程中的代數(shù)式都是整式，未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫作一元一次方程.
問題2　你能求出滿足方程 10x+15(45-x)=475 的未知數(shù) x 的值嗎?(1)將左邊的式子化簡(jiǎn)，你能得到什么?
10x+15(45-x)= 675-5x
(2)回顧前面代數(shù)式求值的有關(guān)知識(shí)，當(dāng)x 為下面何值時(shí)，675-5x與475相等?
當(dāng)x=40時(shí)， 675-5x=475
（3）你還有無其他方法？
根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算，x =(675-475)÷5=40
使方程左、右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解.
求方程的解的過程稱為解方程.
1．下列式子中是一元一次方程的有_________.(填序號(hào))
2. x =2是下列方程的解嗎？（1） 3x+(10-x)=20 （2） 2x2+6=7x
解：（1）把 x = 2 代入原方程得，左邊 = 3×2 ＋（10－2）= 14 ，右邊 = 20，左邊 ≠ 右邊，所以 x = 2 不是方程 3x＋（10－ x）= 20 的解.
（2）把 x = 2 代入原方程得，左邊 = 2×22 ＋6 = 14 ，右邊 = 7×2 = 14，左邊 = 右邊，所以 x = 2 是方程 2x2 ＋6 = 7x 的解.
【選自教材P137 隨堂練習(xí) 第2題】
（1）若xk-1+21=0是關(guān)于x的一元一次方程，則k=________
(2)若x|k|+21=0是關(guān)于x的一元一次方程，則k=________
因?yàn)樵匠淌且辉淮畏匠蹋詋-1=1，所以k=2.
因?yàn)樵匠淌且辉淮畏匠?，所以|k|=1，所以k=1或-1.
(3)若關(guān)于x的方程(k-1)x|k|+21=0是一元一次方程，則k=___
因?yàn)樵匠淌且辉淮畏匠?，所以|k|=1，且k-1≠0，所以k=-1.
總結(jié)：已知方程是一元一次方程，求方程中除未知數(shù)外的字母的值，需注意兩點(diǎn)：(1)未知數(shù)的次數(shù)為1；(2)未知數(shù)的系數(shù)不為0.
(1)若3xn+4=5是關(guān)于x的一元一次方程，則n=_______
(2)若關(guān)于x的方程(a-2)x2+ax+1=0是一元一次方程，則a=_______
(3)若(m-3)x|m|-2=-5是關(guān)于x的一元一次方程，則m=_____
1.根據(jù)下列問題，設(shè)未知數(shù)并列出方程:(1)用一根長(zhǎng)24cm的鐵絲圍成一個(gè)正方形，正方形的邊長(zhǎng)是多少?
解:設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x cm.等量關(guān)系：正方形邊長(zhǎng)×4＝周長(zhǎng).列方程 4x=24
(2)一臺(tái)計(jì)算機(jī)已使用1700h，預(yù)計(jì)每月再使用150h，多少個(gè)月后這臺(tái)計(jì)算機(jī)的使用時(shí)間達(dá)到規(guī)定的檢修時(shí)間2450h?
解:設(shè)x 個(gè)月后這臺(tái)計(jì)算機(jī)的使用時(shí)間達(dá)到規(guī)定的檢修時(shí)間2450h等量關(guān)系:已用時(shí)間＋再用時(shí)間＝檢修時(shí)間.列方程: 1700+150x=2450
根據(jù)方程的解求代數(shù)式的值
2.若x=3是關(guān)于x的方程ax-2b=5的解，求6a-4b+3的值
將x=3代入ax-2b=5，得3a-2b=5所以6a-4b+3=2(3a-2b)+3=2×5+3=13
3.植樹節(jié)甲班植樹的株數(shù)比乙班少30%，甲班植樹的株樹比乙班的一半多10株，設(shè)乙班植樹x株
(1)列兩個(gè)不同的含 x 的代數(shù)式表示甲班植樹的株數(shù).(2)根據(jù)題意列出以x為未知數(shù)的方程.(3)檢驗(yàn)甲班、乙班植樹的株數(shù)是不是分別為35株和50株.
(3)當(dāng)x=50時(shí)，方程左右兩邊均等于35.即甲班、乙班植樹的株數(shù)分別為35株和50株.
(1) 解:設(shè)這個(gè)數(shù)為x
(2) 解:設(shè)大約x周后樹苗長(zhǎng)到1m
0.4+0.05x=1
【選自教材P138 習(xí)題5.1 第1題】
(3)沿一張正方形鐵皮的邊截去一個(gè)寬2cm的長(zhǎng)方形鐵皮條，余下的長(zhǎng)方形鐵皮面積是80cm2，那么原來正方形鐵皮的邊長(zhǎng)是多少?(4)某商店規(guī)定:購買超過15000元的物品可以采用分期付款的方式，顧客可以先付3000元，以后每月付1500元，直至付清. 王叔叔想用分期付款的方式購買價(jià)值19500元的電器，他需要用多長(zhǎng)時(shí)間才能付清尾款?
(3)解:設(shè)原來正方形鐵皮的邊長(zhǎng)為x cm
(4)解:設(shè)他需要x月才能付清尾款
3000+1500x=19500
2.x=-2是下列方程的解嗎？
(2)(x-1)2=9
解：(1)把x=-2代入原方程得左邊 =2×(-2)+3=-1，右邊 =5×(-2)=-10，左邊 ≠ 右邊，所以x=-2不是方程2x+3=5x的解.
解：(2)把x=-2代入原方程得左邊 =(-2-1)2=9，右邊 =9，左邊 =右邊，所以x=-2是方程(x-1)2=9的解.
【選自教材P138 習(xí)題5.1 第2題】
3.請(qǐng)用自己的年齡編寫一道數(shù)學(xué)題，并列出方程.
例：今年我12歲，多少年后我40歲？
【選自教材P138 習(xí)題5.1 第3題】
4．為營造良好的社區(qū)環(huán)境，七(1)班同學(xué)對(duì)學(xué)校周邊所有社區(qū)開展“社區(qū)垃圾分類知識(shí)宣講”綜合實(shí)踐活動(dòng)，采取分組進(jìn)社區(qū)宣講的方式，每組進(jìn)入一個(gè)社區(qū). 若5名同學(xué)為一組，則剩余7名同學(xué)；若7名同學(xué)為一組，則缺少9名同學(xué).(1)如果設(shè)學(xué)校周邊有x個(gè)社區(qū)，如何用含x的代數(shù)式表示七(1)班的人數(shù)?(2)如果設(shè)七(1)班有y名同學(xué)，如何用含y的代數(shù)式表示社區(qū)的數(shù)量?(3)由(1)(2)，你能得到哪些方程?
解：（1）5x+7或7x-9
【選自教材P138 習(xí)題5.1 第4題】

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5.1 認(rèn)識(shí)一元一次方程

版本： 北師大版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)上冊(cè)

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