【典例1】已知：如圖，在△ABC中，CD交AB邊于點D，直線DE平分∠BDC且與直線BE相交于點E，∠BDC＝2∠A，∠E＝∠3．
求證：CD∥EB．
證明：理由如下：
∵DE平分∠BDC，（已知）
∴ ＝∠2．
∵∠BDC＝2∠A，（已知）
∴∠2＝∠A，（等量代換）
∴ ∥ ，（ ）
∴ ∠1 ＝∠3，（ ）
又∵∠3＝∠E（已知）
∴ ＝ （等量代換）
∴CD∥ （ ）
【思路點撥】
由平分線的定義可得∠1＝∠2，從而可得到∠2＝∠A，由平行線的判定條件可得AC∥DE，則得∠1＝∠3，從而有∠1＝∠E，即可證得CD∥EB．
【解題過程】
證明：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠1＝∠2，
∵∠BDC＝2∠A（已知），
∴∠2＝∠A（等量代換），
∴AC∥DE，（同位角相等，兩直線平行），
∴∠1＝∠3，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
又∵∠3＝∠E（已知），
∴∠1＝∠E（等量代換），
∴CD∥EB（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）
故答案為：∠1；AC；DE；同位角相等，兩直線平行；∠1；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；∠1；∠E；EB；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．
1．（2021秋?長春期末）如圖，∠B＝∠BGD，∠BGC＝∠F．試說明∠B+∠F＝180°．請完善解答過程，并在括號內(nèi)填寫相應(yīng)的理論根據(jù)．
解：∵∠B＝∠BGD（已知），
∴ AB ∥CD（ 內(nèi)錯角相等，兩直線平行 ）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CD∥ EF （ 同位角相等，兩直線平行 ）．
∴ AB ∥ EF （平行于同一直線的兩直線平行）．
∴∠B+∠F＝180°（ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補 ）．
【思路點撥】
由平行線的判定條件可得AB∥CD，CD∥EF，再利用平行線的性質(zhì)即可得到AB∥EF，從而可證得∠B+∠F＝180°．
【解題過程】
解：∵∠B＝∠BGD（已知），
∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．
∵∠BGC＝∠F（已知），
∴CD∥EF（同位角相等，兩直線平行）．
∴AB∥EF（平行于同一直線的兩直線平行）．
∴∠B+∠F＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．
故答案為：AB；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；EF；同位角相等，兩直線平行；AB；EF；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．
2．（2021秋?長春期末）如圖，如果∠1＝60°，∠2＝120°，∠D＝60°，那么AB與CD平行嗎？BC與DE呢？觀察下面的解答過程，補充必要的依據(jù)或結(jié)論．
解∵∠1＝60°（已知），
∠ABC＝∠1 （ 對頂角相等 ），
∴∠ABC＝60°（等量代換）．
又∵∠2＝120°（已知），
∴（ ∠ABC ）+∠2＝180°（等式的性質(zhì)），
∴AB∥CD （ 同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 ）．
又∵∠2+∠BCD＝（ 180 °），
∴∠BCD＝60°（等式的性質(zhì)）．
∵∠D＝60°（已知），
∴∠BCD＝∠D （ 等量代換 ），
∴BC∥DE （ 內(nèi)錯角相等，兩直線平行 ）．
【思路點撥】
由對頂角相等可得∠ABC＝∠1，從而可求∠ABC＝60°，利用平行線的判定條件可得AB∥CD，由已知條件可得∠BCD＝60°，從而有∠BCD＝∠D，從而可判定BC∥DE．
【解題過程】
解∵∠1＝60°（已知），
∠ABC＝∠1 （對頂角相等），
∴∠ABC＝60°（等量代換）．
又∵∠2＝120°（已知），
∴∠ABC+∠2＝180°（等式的性質(zhì)），
∴AB∥CD （同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）．
又∵∠2+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝60°（等式的性質(zhì)）．
∵∠D＝60°（已知），
∴∠BCD＝∠D （等量代換），
∴BC∥DE （內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．
故答案為：對頂角相等；∠ABC；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；180；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．
3．（2021秋?朝陽區(qū)期末）如圖，A、B是直線MN上的兩個點，且不重合，分別過點A、B作直線MN的垂線AC、BD，點C、D在直線MN的同側(cè)．若∠CAE＝65°，∠DBF＝65°，則AC與BD平行嗎？AE與BF平行嗎？完成下面的解答過程，并填空（理由或數(shù)學(xué)式）．
解：∵AC⊥MN，BD⊥MN（ 已知 ），
∴AC∥BD（ 在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行 ）．
∵AC⊥MN，
∴∠CAB＝90°（ 垂直的定義 ）．
∴∠1+∠CAE＝90°．
同理可得∠2+∠DBF＝90°．
∵∠CAE＝65°，∠DBF＝65°，
∴∠CAE＝（ ∠DBF ）＝65°（ 等量代換 ）．
∴（ ∠1 ）＝∠2．
∴AE∥BF（ 同位角相等，兩直線平行 ）．
【思路點撥】
由平行線的判定得AC∥BD，再由垂直的定義得∠1+∠CAE＝90°．∠2+∠DBF＝90°．然后證∠1＝∠2，即可得出AE∥BF．
【解題過程】
解：∵AC⊥MN，BD⊥MN（已知），
∴AC∥BD（在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行）．
∵AC⊥MN，
∴∠CAB＝90°（垂直的定義）．
∴∠1+∠CAE＝90°．
同理可得∠2+∠DBF＝90°．
∵∠CAE＝65°，∠DBF＝65°，
∴∠CAE＝∠DBF＝65°（等量代換）．
∴∠1＝∠2．
∴AE∥BF（同位角相等，兩直線平行）．
故答案為：已知；在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行；垂直的定義；∠DBF，等量代換；∠1；同位角相等，兩直線平行．
4．（2021秋?杜爾伯特縣期末）完成下面的證明：已知：如圖，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求證：AD∥BC．
證明：∵AB⊥AC（已知），
∴∠ BAC ＝90° （ 垂直的定義 ），
∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知），
∴∠1+∠BAC+∠B＝ 180° （ 等量關(guān)系 ），
即∠ BAD +∠B＝180°，
∴AD∥BC （ 同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 ）．
【思路點撥】
由AB⊥AC，根據(jù)垂直的定義得到∠BAC為90°，再由圖形可得：同旁內(nèi)角∠B與∠BAD的和為∠B，∠BAC與∠1三角的度數(shù)之和，求出度數(shù)為180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，可得出AD與BC平行，得證．
【解題過程】
解：證明：∵AB⊥AC（已知），
∴∠BAC＝90° （垂直的定義），
∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知），
∴∠1+∠BAC+∠B＝180°（等量關(guān)系），
即∠BAD+∠B＝180°，
∴AD∥BC （同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），
故答案為：BAC；垂直的定義；180°；等量關(guān)系；BAD；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．
5．（2021秋??？谄谀┤鐖D，一個由4條線段構(gòu)成的“魚”形圖案，其中∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°，找出圖中的平行線，∠ACB的度數(shù)，并說明理由．
解：OA∥BC，OB∥AC．
理由：∵∠1＝50°，∠2＝50°，
∴∠1＝∠2（等量代換）
∴OB∥AC． （ 同位角相等，兩直線平行 ），
∴∠3+∠ACB＝180°，（ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補 ），
∴∠ACB＝ 50 °，
∵∠2＝50°，∠3＝130°，
∴∠2+∠3＝180°，
∴OA∥BC．（ 同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 ）．
【思路點撥】
根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定填空即可．
【解題過程】
解：OA∥BC，OB∥AC．
理由：∵∠1＝50°，∠2＝50°，
∴∠1＝∠2（等量代換）
∴OB∥AC． （ 同位角相等，兩直線平行），
∴∠3+∠ACB＝180°，（ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），
∴∠ACB＝50°，
∵∠2＝50°，∠3＝130°，
∴∠2+∠3＝180°，
∴OA∥BC．（ 同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）．
故答案為：同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；50；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．
6．（2021秋?本溪期末）如圖所示，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，試判斷∠AED與∠C的大小關(guān)系，并說明理由．
解： ∠AED＝∠C ．
證明：∵∠1+∠2＝180°（ 已知 ）
∠1＝∠DFH（ 對頂角相等 ）
∴（ ∠2+∠DFH＝180° ）
∴EH∥AB（ 同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 ）
∴∠3＝∠ADE（ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等 ）
∵∠3＝∠B
∴∠B＝∠ADE（ 等量代換 ）
∴DE∥BC
∴∠AED＝∠C（ 兩直線平行，同位角相等 ）
【思路點撥】
由對頂角相等可得∠1＝∠DFH，從而可得∠2+∠DFH＝180°，則可判定EH∥AB，由平行線的性質(zhì)得∠3＝∠ADE，可求得∠B＝∠ADE，可判定DE∥BC，從而得證∠AED＝∠C．
【解題過程】
解：∠AED＝∠C，理由如下：
∵∠1+∠2＝180°（已知）
∠1＝∠DFH（對頂角相等）
∴∠2+∠DFH＝180°，
∴EH∥AB（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）
∴∠3＝∠ADE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
∵∠3＝∠B
∴∠B＝∠ADE（等量代換）
∴DE∥BC
∴∠AED＝∠C（兩直線平行，同位角相等）
故答案為：∠AED＝∠C；已知；對頂角相等；∠2+∠DFH＝180°；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；等量代換；兩直線平行，同位角相等．
7．（2021秋?仁壽縣期末）閱讀并完成下列推理過程，在括號內(nèi)填寫理由．
已知∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，F(xiàn)是BC延長線上一點，且∠DBC＝∠F．
求證：∠CED+∠EDF＝180°．
證明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知）
∴∠DBC∠ABC，∠BCE∠ACB（ 角平分線的定義 ）
∵∠ABC＝∠ACB（已知）
∴∠DBC＝ ∠BCE （等式的性質(zhì)）
∵∠DBC＝∠F（已知）
∴∠F＝ ∠BCE （等量代換）
∴EC∥DF（ 同位角相等，兩直線平行 ）
∴∠CED+∠EDF＝180°（ 兩直線平行，同旁內(nèi)角相等 ）
【思路點撥】
利用角平分線的定義和已知先說明∠F與∠BCE的關(guān)系，再利用平行線的判定說明CE與DF的關(guān)系，最后利用平行線的性質(zhì)得結(jié)論．
【解題過程】
證明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB（已知），
∴∠DBC∠ABC，∠BCE∠ACB（角平分線的定義）．
∵∠ABC＝∠ACB（已知），
∴∠DBC＝∠BCE（等式的性質(zhì)）．
∵∠DBC＝∠F（已知），
∴∠F＝∠BCE（等量代換）．
∴EC∥DF（同位角相等，兩直線平行）．
∴∠CED+∠EDF＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．
故答案為：角平分線的定義；∠BCE；∠BCE；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．
8．（2021秋?平昌縣期末）如圖，∠DEH+∠EHG＝180°，∠1＝∠2，∠C＝∠A，求證：∠AEH＝∠F．
證明：∵∠DEH+∠EHG＝180°，
∴ED∥ AC （ 同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 ）．
∴∠1＝∠C（ 兩直線平行，同位角相等 ）．
∠2＝ ∠DGC （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．
∵∠1＝∠2，∠C＝ ∠A ，
∴∠A＝ ∠DGC ．
∴AB∥DF（ 同位角相等，兩直線平行 ）．
∴∠AEH＝∠F（ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等 ）．
【思路點撥】
根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
【解題過程】
證明：∵∠DEH+∠EHG＝180°，
∴ED∥AC（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）．
∴∠1＝∠C（兩直線平行，同位角相等）．
∠2＝∠DGC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．
∵∠1＝∠2，∠C＝∠A，
∴∠A＝∠DGC．
∴AB∥DF（同位角相等，兩直線平行）．
∴∠AEH＝∠F（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．
故答案為：AC；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；∠DGC；∠1；∠A，∠DGC，同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．
9．（2021秋?香坊區(qū)校級期中）完成下面的證明：
如圖所示，AB⊥BF，∠CDF＝90°，∠1＝∠2，求證：∠3＝∠E．
證明：∵AB⊥BF，
∴∠B＝ 90° （ 垂線的定義 ）．
∵∠CDF＝90，
∴∠B＝∠CDF，
∴AB∥CD（ 同位角相等，兩直線平行 ）．
∵∠1＝∠2，
∴AB∥ EF （ 內(nèi)錯角相等，兩直線平行 ），
∴CD∥ EF （ 平行于同一直線的兩條直線平行 ），
∴∠3＝∠E（ 兩直線平行，同位角相等 ）．
【思路點撥】
由AB⊥BF可得∠B＝90°，從而有∠B＝∠CDF，可判斷AB∥CD，再由∠1＝∠2可得AB∥EF，故得CD∥EF，即得∠3＝∠E．
【解題過程】
證明：∵AB⊥BF，
∴∠B＝90°（垂線的定義）．
∵∠CDF＝90°，
∴∠B＝∠CDF，
∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）．
∵∠1＝∠2，
∴AB∥EF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），
∴CD∥EF（平行于同一直線的兩條直線平行），
∴∠3＝∠E（兩直線平行，同位角相等）．
故答案為：90°；垂線的定義；同位角相等，兩直線平行；EF；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；EF；平行于同一直線的兩條直線平行；兩直線平行，同位角相等．
10．（2021秋?鄧州市期末）請完成下面的推理過程：
如圖，已知∠D＝108°，∠BAD＝72°，AC⊥BC于C，EF⊥BC于F．
求證：∠1＝∠2．
證明：∵∠D＝108°，∠BAD＝72°（已知）
∴∠D+∠BAD＝180°
∴AB∥CD（ 同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 ）
∴∠1＝ ∠3 （ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等 ）
又∵AC⊥BC于C，EF⊥BC于F（已知）
∴EF∥ AC （ 同位角相等，兩直線平行 ）
∴∠2＝ ∠3 （ 兩直線平行，同位角相等 ）
∴∠1＝∠2（ 等量代換 ）
【思路點撥】
根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)填空即可．
【解題過程】
證明：∵∠D＝108°，∠BAD＝72°（已知），
∴∠D+∠BAD＝180°，
∴AB∥CD（ 同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），
∴∠1＝∠3（ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
又∵AC⊥BC于C，EF⊥BC于F（已知），
∴EF∥AC（ 同位角相等，兩直線平行），
∴∠2＝∠3（ 兩直線平行，同位角相等），
∴∠1＝∠2（ 等量代換）．
故答案為：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；∠3；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；AC；同位角相等，兩直線平行；∠3；兩直線平行，同位角相等；等量代換．
11．（2021秋?丹江口市期末）如圖，E、F分別在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2與∠C互余，AF⊥CE于G，求證：AB∥CD．
證明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠CGF＝90°（垂直的定義），
∵∠1＝∠D（已知），
∴AF∥ DE （ 同位角相等，兩直線平行 ），
∴∠4＝ ∠CGF ＝90°（ 兩直線平行，同位角相等 ），
又∵∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠2與∠C互余（已知），
∴∠2+∠C＝90°，
∴∠C＝ ∠3 ，
∴AB∥ CD ．（ 內(nèi)錯角相等，兩直線平行 ）
【思路點撥】
根據(jù)平行線性質(zhì)及判定填空即可．
【解題過程】
證明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠CGF＝90°（垂直的定義），
∵∠1＝∠D（已知），
∴AF∥DE（ 同位角相等，兩直線平行），
∴∠4＝∠CGF＝90°（ 兩直線平行，同位角相等），
又∵∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∵∠2與∠C互余（已知），
∴∠2+∠C＝90°，
∴∠C＝∠3，
∴AB∥CD（ 內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．
故答案為：DE；同位角相等，兩直線平行；∠CGF；兩直線平行，同位角相等；∠3；CD；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．
12．（2021秋??？谄谀┤鐖D，AB∥CD，∠1＝∠A．
（1）試說明：AC∥ED；
（2）若∠2＝∠3，F(xiàn)C與BD的位置關(guān)系如何？為什么？
請在下面的解答過程的空格內(nèi)填寫理由或數(shù)學(xué)式．
解：（1）∵AB∥CD，（已知）
∴∠1＝∠BED，（ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等 ）
又∵∠1＝∠A，（已知）
∴∠BED＝∠ A ，（等量代換）
∴ AC ∥ DE ．（ 同位角相等，兩直線平行 ）
（2）FC與BD的位置關(guān)系是： FC∥BD ．理由如下：
∵AC∥ED，（已知）
∴∠2＝∠ CGD ．（ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等 ）
又∵∠2＝∠3，（已知）
∴∠ CGD ＝∠ 3 ．（等量代換）
∴ FC ∥ BD ．（ 內(nèi)錯角相等，兩直線平行 ）
【思路點撥】
（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定填空即可；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定填空即可．
【解題過程】
解：（1）∵AB∥CD（已知），
∴∠1＝∠BED（ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
又∵∠1＝∠A（已知），
∴∠BED＝∠A（等量代換），
∴AC∥DE（ 同位角相等，兩直線平行）．
故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；A；AC；DE；同位角相等，兩直線平行；
（2）FC與BD的位置關(guān)系是：FC∥BD．理由如下：
∵AC∥ED（已知），
∴∠2＝∠CGD（ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
又∵∠2＝∠3（已知），
∴∠CGD＝∠3（等量代換），
∴FC∥BD（ 內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．
故答案為：FC∥BD；CGD；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；CGD；3；FC；BD；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．
13．（2021秋?倉山區(qū)期末）已知：在△ABC中，CD⊥AB，∠DEB＝∠ACB，∠1+∠2＝180°，試判斷FG與AB的位置關(guān)系，并說明理由．請在下劃線內(nèi)補全解題過程或依據(jù)．
解：FG⊥AB，理由如下：
∵∠DEB＝∠ACB（已知）
∴AC∥ DE （ 同位角相等，兩直線平行 ）
∴∠1＝∠3（ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等 ）
∵∠1+∠2＝180°（已知）
∴∠3+∠2＝ 180° （等量代換）
∴FG∥ CD （ 同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 ）
∴∠FGA＝∠ CDA （ 兩直線平行．同位角相等 ）
∵CD⊥AB（已知）
∴∠CDA＝90°
∴∠ FGA ＝90°（等量代換）
∴FG⊥AB（ 垂直的定義 ）
【思路點撥】
先根據(jù)平行線的判定方法，由∠DEB＝∠ACB得到AC∥DE，則根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠1＝∠3，而∠1+∠2＝180°，則∠3+∠2＝180°，于是可判定FG∥CD，利用∠CDA＝90°和平行線性質(zhì)得∠FGA＝∠CDA＝90°，于是得到FG⊥AB．
【解題過程】
解：FG⊥AB，理由如下：
∵∠DEB＝∠ACB，
∴AC∥DE，（同位角相等，兩直線平行）
∴∠1＝∠3，（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠3+∠2＝180°，
∴FG∥CD，（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）
∴∠FGA＝∠CDA（兩直線平行，同位角相等）
∵CD⊥AB（已知），
∴∠CDA＝90°，
∴∠FGA＝90°，
∴FG⊥AB（垂直的定義）
故答案為：DE；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；180°；CD；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；CDA；兩直線平行，同位角相等；FGA；垂直的定義．
14．（2021秋?南崗區(qū)校級期末）如圖，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DB平分∠CDF，且∠ABC+∠CDF＝180°．求證：BE⊥DB．
證明：∵AB∥CD
∴∠ABC＝∠BCD（ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等 ）
∵∠ABC+∠CDF＝180°（ 已知 ）
∴∠BCD+∠CDF＝180°（ 等量代換 ）
∴BC∥DF（ 同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 ）
于是∠DBC＝∠BDF（ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等 ）
∵BE平分∠ABC，DB平分∠CDF
∴∠EBC∠ABC，∠BDF＝ ∠CDF （ 角平分線定義 ）
∵∠EBC+∠DBC＝∠EBC+∠BDF（∠ABC+∠CDF）
即∠EBD＝ 90°
∴BE⊥DB（ 垂直的定義 ）
【思路點撥】
根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定完成證明過程即可．
【解題過程】
證明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
∵∠ABC+∠CDF＝180°（已知），
∴∠BCD+∠CDF＝180°（等量代換），
∴BC∥DF（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），
于是∠DBC＝∠BDF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
∵BE平分∠ABC，DB平分∠CDF，
∴∠EBC∠ABC，∠BDF∠CDF（角平分線定義），
∵∠EBC+∠DBC＝∠EBC+∠BDF（∠ABC+∠CDF），
即∠EBD＝90°，
∴BE⊥DB（垂直的定義）．
故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；已知；等量代換；同旁內(nèi)角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等； ∠CDF，角平分線定義；90°；垂直的定義．
15．（2021秋?南關(guān)區(qū)期末）如圖，已知AB∥DC，AC⊥BC，AC平分∠DAB，∠B＝50°，求∠D的大?。?br>閱讀下面的解答過程，并填括號里的空白（理由或數(shù)學(xué)式）．
解：∵AB∥DC（ 已知 ），
∴∠B+∠DCB＝180°（ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補 ）．
∵∠B＝ 50° （已知），
∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
∵AC⊥BC（已知），
∴∠ACB＝ 90° （垂直的定義）．
∴∠2＝ 40° ．
∵AB∥DC（已知），
∴∠1＝ 40° （ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等 ）．
∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠DAB＝2∠1＝ 80° （角平分線的定義）．
∵AB∥DC（已知），
∴ ∠ADC +∠DAB＝180°（兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補）．
∴∠D＝180°﹣∠DAB＝ 100° ．
【思路點撥】
根據(jù)平行線的性質(zhì)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，內(nèi)錯角相等解答即可．
【解題過程】
解：∵AB∥DC（ 已知），
∴∠B+∠DCB＝180°（ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．
∵∠B＝50°（已知），
∴∠DCB＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°．
∵AC⊥BC（已知），
∴∠ACB＝90°（垂直的定義）．
∴∠2＝40°．
∵AB∥DC（已知），
∴∠1＝40°（ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．
∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠DAB＝2∠1＝80°（角平分線的定義）．
∵AB∥DC（已知），
∴∠ADC+∠DAB＝180°（兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補）．
∴∠D＝180°﹣∠DAB＝100°．
故答案為：已知；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；50°；90°；40°；40°；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；80°；∠ADC；100°．
16．（2021秋?肇源縣期末）完成下面的證明
如圖，點B在AG上，AG∥CD，CF平分∠BCD，∠ABE＝∠FCB，BE⊥AF點E．
求證：∠F＝90°．
證明：∵AG∥CD（已知）
∴∠ABC＝∠BCD（ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等 ）
∵∠ABE＝∠FCB（已知）
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB
即∠EBC＝∠FCD
∵CF平分∠BCD（已知）
∴∠BCF＝∠FCD（ 角平分線的定義 ）
∴ ∠EBC ＝∠BCF（等量代換）
∴BE∥CF（ 內(nèi)錯角相等，兩直線平行 ）
∴ ∠BEF ＝∠F（ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等 ）
∵BE⊥AF（已知）
∴ ∠BEF ＝90°（ 垂直的定義 ）
∴∠F＝90°．
【思路點撥】
根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABC＝∠BCD，再根據(jù)角平分線的定義進而得到∠EBC＝∠BCF，即可判定BE∥CF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BEF＝∠F，再根據(jù)垂直的定義即可得解．
【解題過程】
證明：∵AG∥CD（已知），
∴∠ABC＝∠BCD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
∵∠ABE＝∠FCB（已知），
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB，
即∠EBC＝∠FCD，
∵CF平分∠BCD（已知），
∴∠BCF＝∠FCD（角平分線的定義），
∴∠EBC＝∠BCF（等量代換），
∴BE∥CF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），
∴∠BEF＝∠F（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
∵BE⊥AF（已知），
∴∠BEF＝90°（垂直的定義），
∴∠F＝90°．
故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；角平分線的定義；∠EBC；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；∠BEF；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；∠BEF；垂直的定義．
17．（2021秋?青神縣期末）如圖，AB與EF交于點B，CD與EF交于點D，根據(jù)圖形，請補全下面這道題的解答過程．
（1）∵∠1＝∠2（已知）
∴ AB ∥CD（ 內(nèi)錯角相等，兩直線平行 ）
∴∠ABD+∠CDB＝ 180° （ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補 ）
（2）∵∠BAC＝65°，∠ACD＝115°，（已知）
∴∠BAC+∠ACD＝180°（等式性質(zhì)）
∴AB∥CD（ 同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 ）
（3）∵CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，∠BAC＝55°，（已知）
∴∠ABD＝∠CDF＝90°（垂直的定義）
∴ AB ∥ CD （同位角相等，兩直線平行）
又∵∠BAC＝55°，（已知）
∴∠ACD＝ 125° ．（ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補 ）
【思路點撥】
（1）根據(jù)平行線性質(zhì)定理與判定定理即可得答案；
（2）由同旁內(nèi)角互補，兩直線平行可得答案；
（3）根據(jù)平行線性質(zhì)定理與判定定理即可得答案．
【解題過程】
解：（1）∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥CD（ 內(nèi)錯角相等，兩直線平行），
∴∠ABD+∠CDB＝180°（ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），
故答案為：AB，內(nèi)錯角相等，兩直線平行，180°，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；
（2）∵∠BAC＝65°，∠ACD＝115°，（已知），
∴∠BAC+∠ACD＝180°（等式性質(zhì)），
∴AB∥CD（ 同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），
故答案為：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；
（3）∵CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，∠BAC＝55°，（已知），
∴∠ABD＝∠CDF＝90°（垂直的定義），
∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行），
又∵∠BAC＝55°，（已知），
∴∠ACD＝125°．（ 兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），
故答案為：AB，CD，125°，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．
18．（2021秋??？谄谀┨顚懴旅孀C明過程中的推理依據(jù)：
已知：如圖，AB∥CD，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD．
（1）∠1＝∠2嗎？請說明理由
（2）BE與CF的位置關(guān)系如何？為什么？
（本題第（1）小題在下面的解答過程的空格內(nèi)填寫理由或數(shù)學(xué)式；第（2）小題要寫出解題過程）
解：（1）∠1＝∠2，理由如下：
∵AB∥CD（ 已知 ），
∴∠ABC＝∠BCD（ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等 ）．
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD（已知），
∴∠1∠ ABC （角平分線的定義），
∠2∠ BCD （角平分線的定義）．
∴∠1＝∠2（ 等量代換 ）．
（2）
【思路點撥】
（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠ABC＝∠BCD，再根據(jù)角平分線的定義，即可得出∠1＝∠2；
（2）根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論．
【解題過程】
解：（1）∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC＝∠BCD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD（已知），
∴∠1∠ABC（角平分線的定義），
∠2∠BCD（角平分線的定義）．
∴∠1＝∠2（等量代換），
故答案為：已知，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，ABC，BCD，等量代換；
（2）BE∥CF；
由（1）知∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2，
∵∠EBC＝∠ABC﹣∠1，
∠BCF＝∠BCD﹣∠2，
∴∠EBC＝∠BCF，
∴BE∥CF．
19．（2021秋?綠園區(qū)期末）【感知】已知：如圖①，點E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求證：AB∥CD．將下列證明過程補充完整：
證明：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠ DCE （角平分線的定義），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠ DCE （等量代換），
∴AB∥CD（ 內(nèi)錯角相等，兩直線平行 ）．
【探究】已知：如圖②，點E在AB上，且CE平分∠ACD，AB∥CD．求證：∠1＝∠2．
【應(yīng)用】如圖③，BE平分∠DBC，點A是BD上一點，過點A作AE∥BC交BE于點E，∠ABC：∠BAE＝4：5，直接寫出∠E的度數(shù)．
【思路點撥】
【感知】由角平分線的定義得∠2＝∠DCE，再證∠1＝∠DCE即可得出結(jié)論；
【探究】由角平分線的定義得∠2＝∠DCE，再由平行線的性質(zhì)得∠A＝∠DCE，即可得出結(jié)論；
【應(yīng)用】由角平分線的定義得∠ABE＝∠CBE，再由平行線的性質(zhì)得∠ABC+∠BAE＝180°，∠E＝∠CBE，然后求出∠ABC＝80°，則∠CBE＝40°，即可求解．
【解題過程】
【感知】解：∵CE平分∠ACD（已知），
∴∠2＝∠DCE（角平分線的定義），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠DCE（等量代換），
∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．
故答案為：DCE；DCE；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；
【探究】證明：∵CE平分∠ACD，
∴∠2＝∠DCE，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠DCE，
∴∠1＝∠2；
【應(yīng)用】∵BE平分∠DBC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AE∥BC，
∴∠ABC+∠BAE＝180°，∠E＝∠CBE，
∵∠ABC：∠BAE＝4：5，
∴∠ABC＝80°，
∴∠CBE＝40°，
∴∠E＝∠CBE＝40°．
20．（2021秋?臥龍區(qū)期末）在學(xué)習(xí)了平行線的有關(guān)知識后，小明對下面的問題進行了研究．
問題：如圖1，AB∥CD，點E在直線AB與CD之間，連結(jié)AE，CE，
試說明∠BAE+∠DCE＝∠AEC．
（1）下面是小明的解題過程，請你填空．
解：過點E作EF∥AB，
∴∠BAE＝∠1（ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等 ）．
∵CD∥AB（已知），
∴EF∥CD（ 平行于同一條直線的兩條直線平行 ）．
∴∠DCE＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．
∴∠BAE+∠DCE＝∠1+∠2（等式的性質(zhì)）．
∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC（等量代換）．
（2）如圖2，AD∥BC，點E在線段AB上運動（點E不與點A，B重合），連結(jié)CE，DE，若∠ADE＝α，∠BCE＝β．試說明∠CED，α，β之間的數(shù)量關(guān)系（寫出過程，不需要注明依據(jù)）．
（3）如圖3，AD∥BC，點E在直線AB上運動（點E不與點A，B，O重合），連結(jié)CE，DE，若∠ADE＝α，∠BCE＝β，則∠CED，α，β之間的數(shù)量關(guān)系是 ∠CED＝α+β或∠CED＝α﹣β或∠CED＝β﹣α ．
【思路點撥】
（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定填空即可；
（2）過點E作EF∥AD交CD于點F，由EF∥AD，得∠DEF＝∠ADE＝α，根據(jù)BC∥AD，得EF∥BC，即知∠CEF＝∠BCE＝β，故∠CED＝∠DEF+∠CEF＝α+β；
（3）分三種情況：（Ⅰ）E在線段BA延長線上，過E作EG∥AD交直線CD于G，可得∠CED＝∠CEG﹣∠DEG＝β﹣α；（Ⅱ）E在線段AB上，由（2）知∠CED＝α+β；（Ⅲ）E在線段AB延長線上，過E作EH∥AD交直線CD于H，可得∠CED＝∠DEH﹣∠CEH＝α﹣β．
【解題過程】
解：（1）過點E作EF∥AB，
∴∠BAE＝∠1（ 兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．
∵CD∥AB（已知），
∴EF∥CD（ 平行于同一條直線的兩條直線平行）．
∴∠DCE＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．
∴∠BAE+∠DCE＝∠1+∠2（等式的性質(zhì)）．
∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC（等量代換）．
故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線互相平行；
（2）∠CED＝α+β，證明如下：
過點E作EF∥AD交CD于點F，如圖：
∵EF∥AD，
∴∠DEF＝∠ADE＝α，
∵BC∥AD，
∴EF∥BC，
∴∠CEF＝∠BCE＝β，
∴∠CED＝∠DEF+∠CEF＝α+β；
（3）分三種情況：
（Ⅰ）E在線段BA延長線上，過E作EG∥AD交直線CD于G，如圖：
同（2）可證∠BCE＝∠CEG＝β，∠ADE＝∠DEG＝α，
∴∠CED＝∠CEG﹣∠DEG＝β﹣α；
（Ⅱ）E在線段AB上，由（2）知∠CED＝α+β；
（Ⅲ）E在線段AB延長線上，過E作EH∥AD交直線CD于H，如圖：
同理可證∠BCE＝∠CEH＝β，∠ADE＝∠DEH＝α，
∴∠CED＝∠DEH﹣∠CEH＝α﹣β；
故答案為：∠CED＝α+β或∠CED＝α﹣β或∠CED＝β﹣α．

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