一．選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）
1．（2021秋?沙坪壩區(qū)期末）如圖，下列說法錯誤的是（ ）
A．∠1與∠2是對頂角B．∠1與∠3是同位角
C．∠1與∠4是內(nèi)錯角D．∠B與∠D是同旁內(nèi)角
【思路點撥】
根據(jù)對頂角，鄰補角，同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角的特征判斷即可．
【解答過程】
解：A．∠1與∠2是對頂角，故A不符合題意；
B．∠1與∠3是同位角，故B不符合題意；
C．∠1與∠4不是內(nèi)錯角，故C符合題意；
D．∠B與∠D是同旁內(nèi)角，故D不符合題意；
故選：C．
2．（2021春?陸河縣校級期末）如圖，P為直線l外一點，點A，B，C在直線l上，且PB⊥l，垂足為B，∠APC＝90°，則下列語句錯誤（ ）
A．線段PB的長叫做點P到直線l的距離
B．線段AC的長叫做點C到直線AP的距離
C．PA、PB、PC三條線段中，PB是最短的
D．線段PA的長叫做點A到直線PC的距離
【思路點撥】
根據(jù)“從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離”和“從直線外一點到這條直線上各點所連的線段中，垂線段最短”進行判斷，即可解答．
【解答過程】
解：A、線段PB的長度叫做點P到直線l的距離，故原說法正確，故A選項不符合題意；
B、線段PC的長度叫做點C到直線AP的距離，故原說法錯誤，故A選項符合題意；
C、PA、PB、PC三條線段中，PB最短，故原說法正確，故C選項不符合題意；
D、線段PA的長叫做點A到直線PC的距離，故原說法正確，故D選項不符合題意．
故選：B．
3．（2021秋?長春期末）如圖，將一張長方形紙帶沿EF折疊，點C、D的對應(yīng)點分別為C'、D'．若∠DEF＝α，用含α的式子可以將∠C'FG表示為（ ）
A．2αB．90°+αC．180°﹣αD．180°﹣2α
【思路點撥】
由折疊的性質(zhì)可得：∠DEG＝2α，C'F∥D'E，由AD∥BC可得∠D'GF＝∠DEG＝2α，從而有∠C'FG＝180°﹣∠D'GF，即可得出結(jié)果．
【解答過程】
解：由長方形紙帶ABCD及折疊性質(zhì)可得：∠D'EF＝∠DEF＝α，C'F∥D'E，
∴∠DEG＝2∠DEF＝2α，∠C'FG＝180°﹣∠D'GF，
∵AD∥BC，
∴∠D'GF＝∠DEG＝2α，
∴∠C'FG＝180°﹣2α．
故選：D．
4．（2021秋?海陽市期末）如圖，將Rt△ABC沿著點B到點C的方向平移到△DEF的位置，已知AB＝6，HD＝2，CF＝3，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．12B．15C．18D．24
【思路點撥】
先判斷出陰影部分面積等于梯形ABEH的面積，再根據(jù)平移變化只改變圖形的位置不改變圖形的形狀可得DE＝AB，然后求出HE，根據(jù)平移的距離求出BE＝CF＝3，然后利用梯形的面積公式列式計算即可得解．
【解答過程】
解：∵△ABC沿著點B到點C的方向平移到△DEF的位置，
∴△ABC的面積＝△DEF的面積，
∴陰影部分面積等于梯形ABEH的面積，
由平移的性質(zhì)得，DE＝AB＝6，BE＝CF＝3，
∵AB＝6，DH＝2，
∴HE＝DE﹣DH＝6﹣2＝4，
∴陰影部分的面積（4+6）×3＝15．
故選：B．
5．（2020?溫江區(qū)校級自主招生）如圖，已知直線l1∥l2，一塊含30°角的直角三角板如圖所示放置，∠2＝35°，則∠1等于（ ）
A．25°B．35°C．40°D．45°
【思路點撥】
過C作CM∥直線l1，求出CM∥直線l1∥直線l2，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1＝∠MCB，∠2＝∠ACM，即可求出答案．
【解答過程】
解：過C作CM∥直線l1，
∵直線l1∥l2，
∴CM∥直線l1∥直線l2，
∵∠ACB＝60°，∠2＝35°，
∴∠2＝∠ACM＝35°，
∴∠1＝∠MCB＝∠ACB﹣∠ACM＝60°﹣35°＝25°，
故選：A．
6．（2021秋?西峽縣期末）直線l1、l2、l3的位置關(guān)系如圖，下列說法錯誤的是（ ）
A．∠2與∠1互為鄰補角，若∠1＝111°54'，則∠2＝68.1°
B．∠1與∠3互為對頂角，若∠1＝111.9°，則∠3＝111.9°
C．若l2⊥l3，則∠1＝∠2＝90°；若∠1＝90°，則l2⊥l3
D．若∠3+∠4＝180°或∠4+∠6＝180°，則l1∥l2．
【思路點撥】
根據(jù)平行線的判定、角的換算、對頂角與鄰補角、垂直的定義解決此題．
【解答過程】
解：A．由圖得，∠2與∠1互為鄰補角，則∠2+∠1＝180°．由∠1＝111°54'，得∠2＝68°6′＝68.1°，那么A正確，故A不符合題意．
B．根據(jù)對頂角的定義，∠1與∠3互為對頂角，則∠1＝∠3．由∠1＝111.9°，得∠3＝111.9°，那么B正確，故B不符合題意．
C．根據(jù)垂直的定義，由若l2⊥l3，則∠1＝∠2＝90°；若∠1＝90°，則l2⊥l3，那么C正確，故C不符合題意．
D．由題得，∠1與∠3是對頂角，那么∠1＝∠3．由∠3+∠4＝180°，得∠1+∠4＝180°，那么l1∥l2．根據(jù)同旁內(nèi)角互補兩直線平行，由∠4+∠6＝180°，那么l3∥l2，得D錯誤，故D符合題意．
故選：D．
7．（2021秋?福田區(qū)校級期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，∠AOE＝90°，∠DOF＝90°，OB平分∠DOG，給出下列結(jié)論：
①當∠AOF＝50°時，∠DOE＝50°；
②OD為∠EOG的平分線；
③若∠AOD＝150°，∠EOF＝30°；
④∠BOG＝∠EOF．
其中正確的結(jié)論有（ ）
A．4個B．3個C．2個D．1個
【思路點撥】
根據(jù)對頂角、鄰補角，角平分線以及補角、余角的定義，結(jié)合具體的圖形中角的和差關(guān)系逐項進行判斷即可．
【解答過程】
解：①∵直線AB，CD相交于點O，∠AOE＝90°，∠AOF＝50°
∴∠EOF＝90°﹣50°＝40°，
又∵∠DOF＝90°，
∴∠DOE＝90°﹣∠EOF
＝90°﹣40°
＝50°，
因此①正確；
②由①可得∠BOD＝∠BOG＝90°﹣∠DOE＝40°，
此時，OD就不是∠EOG的平分線，
所以②不正確；
③∵∠AOE＝90°，∠DOF＝90°，
∴∠AOE+∠DOF＝∠AOD+∠EOF＝180°，
∴∠EOF＝180°﹣∠AOD
＝180°﹣150°
＝30°，
因此③正確；
④∵∠AOE+∠DOF＝∠AOD+∠EOF＝180°，
∴∠EOF＝180°﹣∠AOD，
又∵AB是直線，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD，
∴∠EOF＝∠BOD，
∵OB平分∠DOG，
∴∠BOD＝∠BOG，
∴∠BOG＝∠EOF，
因此④正確，
綜上所述，正確的結(jié)論有①③④，共有3個，
故選：B．
8．（2020秋?開福區(qū)校級期末）如圖，已知AD⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，∠BAC＝90°，DE∥AC．則結(jié)論：①FG∥AD；②DE平分∠ADB；③∠B＝∠ADE；④∠CFG+∠BDE＝90°．正確的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【思路點撥】
利用垂直的定義和平行線的判定定理可判斷①，利用角平分線的定義可判斷②，由垂直的性質(zhì)，等量代換可判斷③，利用垂直的定義和互余的定義可判斷④．
【解答過程】
解：∵AD⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，
∴∠FGD＝∠ADB＝90°，
∴FG∥AD，
故①正確；
∵DE∥AC，∠BAC＝90°，
∴DE⊥AB，
不能證明DE為∠ADB的平分線，
故②錯誤；
∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BAD+∠ADE＝90°，
∴∠B＝∠ADE，
故③正確；
∵∠BAC＝90°，DE⊥AB，
∴∠CFG+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∠C+∠B＝90°，
∴∠CFG+∠BDE＝90°，
故④正確，
綜上所述，正確的選項①③④，
故選：C．
9．（2021春?德宏州期末）如圖所示，AC⊥BC，DC⊥EC，則下列結(jié)論：①∠1＝∠3；②∠ACE+∠2＝180°；③若∠A＝∠2，則有AB∥CE；④若∠2＝∠E，則有∠4＝∠A．其中正確的有（ ）
A．①②③B．①②④C．③④D．①②③④
【思路點撥】
由已知可得∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，等量代換即可得出①結(jié)論；
延長EC，如圖1，由已知條件可得∠1+∠5＝90°，∠1+∠2＝90°，可得∠2＝∠5，根據(jù)平角的性質(zhì)可得∠ACE+∠5＝180°，等量代換即可得出②結(jié)論；
由已知條件可得∠A＝∠2，∠ACE+∠2＝180°，等量代換可得∠A+∠ACE＝180°，根據(jù)平行線的判定即可得出③結(jié)論；
由平行線的性質(zhì)可得∠E＝∠4，由已知條件∠2＝∠E，∠2＝∠A，等量代換可得∠4＝∠A．即可得出④結(jié)論．
【解答過程】
證明：∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3．
故結(jié)論①正確；
延長EC，如圖1，
∵DC⊥CE，AC⊥BC，
∴∠1+∠5＝90°，∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠5，
∵∠ACE+∠5＝180°，
∴∠ACE+∠2＝180°．
故結(jié)論②正確；
∵∠A＝∠2，∠ACE+∠2＝180°，
∴∠A+∠ACE＝180°，
∴AB∥CE．
故結(jié)論③正確；
∵AB∥CE，
∴∠E＝∠4，
∵∠2＝∠E，∠2＝∠A，
∴∠4＝∠A．
故結(jié)論④正確．
所以結(jié)論正確的有①②③④．
故選：D．
10．（2021秋?江岸區(qū)期末）下列命題：
①若|x|+2x＝6，則x＝2；
②若b+c+a＝0，則關(guān)于x的方程ax+b+c＝0（a≠0）的解為x＝1；
③若不論x取何值，ax﹣b﹣2x＝3恒成立，則ab＝﹣6；
④若x，y，z滿足|x﹣1|+|y﹣3|+|z+1|＝6﹣|x﹣5|+|y﹣1|﹣|z﹣3|，則x+y﹣z的最小值為1．
其中，正確命題的個數(shù)有（ ）個．
A．1B．2C．3D．4
【思路點撥】
根據(jù)絕對值的方程、一元一次方程以及非負性判斷即可．
【解答過程】
解：①若|x|+2x＝6，則x＝2，是真命題；
②若b+c+a＝0，則關(guān)于x的方程ax+b+c＝0（a≠0）的解為x＝1，是真命題；
③若不論x取何值，ax﹣b﹣2x＝3恒成立，則ab＝﹣6，是真命題；
④若x，y，z滿足|x﹣1|+|y﹣3|+|z+1|＝6﹣|x﹣5|+|y﹣1|﹣|z﹣3|，則x+y﹣z的最小值為1，是假命題；
故選：C．
二．填空題（本大題共5小題，每小題3分，滿分15分）
11．（2021秋?平昌縣期末）把命題“不能被2整除的數(shù)是奇數(shù)”改寫成“如果…那么…”的形式 ．
【思路點撥】
先分清命題“不能被2整除的數(shù)是奇數(shù)”的題設(shè)與結(jié)論，然后寫成“如果…那么…”的形式．
【解答過程】
解：如果一個數(shù)不能被2整除，那么這個數(shù)是奇數(shù)．
故答案為：如果一個數(shù)不能被2整除，那么這個數(shù)是奇數(shù)．
12．（2021秋?亭湖區(qū)期末）如圖，某酒店重新裝修后，準備在大廳主樓梯上鋪設(shè)紅色地毯．已知這種地毯每平方米售價160元，主樓梯道寬2.5m，其側(cè)面如圖所示，則購買地毯至少需要 元．
【思路點撥】
利用平移的性質(zhì)求出大廳主樓梯上鋪設(shè)紅色地毯的長，然后求出面積進行計算，即可解答．
【解答過程】
解：由題意得：
2.7+5.3＝8（m），
8×2.5×160＝3200（元），
∴購買地毯至少需要3200元，
故答案為：3200．
13．（2021秋?虎林市期末）已知三條射線OA、OB、OC，OA⊥OC，∠AOB：∠AOC＝2：3，∠BOC的度數(shù)為 ．
【思路點撥】
先根據(jù)垂直的定義得到∠AOC＝90°，再利用∠AOB：∠AOC＝2：3可計算出∠AOB＝60°，然后分類討論：當OB在∠AOC內(nèi)部，則∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB；當OB在∠AOC外部，則∠BOC＝∠AOC+∠AOB．
【解答過程】
解：∵OA⊥OC，
∴∠AOC＝90°，
∵∠AOB：∠AOC＝2：3，
∴∠AOB90°＝60°，
當OB在∠AOC內(nèi)部，則∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣60°＝30°；
當OB在∠AOC外部，則∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝90°+60°＝150°．
故答案為30°或150°．
14．（2021秋?道里區(qū)期末）如圖，AB∥CD，AD與BC相交于點F，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠AFB＝96°，則∠BED的度數(shù)為 度．
【思路點撥】
根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和可得∠ABE+∠CDE＝42°，過點E作EP∥AB，然后根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，即可求∠BED的度數(shù)．
【解答過程】
解：如圖，過點E作EP∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EP，
∴∠ABE＝∠BEP，∠CDE＝∠DEP，∠ABC＝∠BCD，
∵∠ABC+∠BAD+∠AFB＝180°，
∴∠ABC+∠BAD＝180°﹣∠AFB＝84°，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE∠ABC，∠CDE∠ADC，
∴∠ABE+∠CDE（∠ABC+∠BAD）＝42°，
∴∠BED＝∠BEP+∠DEP＝∠ABE+∠CDE）＝42°，
故答案為：42．
15．（2021春?樂清市期末）將一副三角板如圖1所示擺放，直線GH∥MN，現(xiàn)將三角板ABC繞點A以每秒1°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時三角板DEF繞點D以每秒2°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)時間為t秒，如圖2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若邊BC與三角板的一條直角邊（邊DE，DF）平行時，則所有滿足條件的t的值為 ．
【思路點撥】
根據(jù)題意得∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如圖1，當DE∥BC時，延長AC交MN于點P，分兩種情況討論：①DE在MN上方時，②DE在MN下方時，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）當BC∥DF時，延長AC交MN于點I，①DF在MN上方時，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方時，∠FDN＝180°﹣2t°，列式求解即可．
【解答過程】
解：由題意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，
（1）如圖1，當DE∥BC時，延長AC交MN于點P，
①DE在MN上方時，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDM＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°，
∴t＝30，
②DE在MN下方時，∠FDP＝2t°﹣180°，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDP＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合題意，舍去），
（2）如圖2，當BC∥DF時，延長AC交MN于點I，
①DF在MN上方時，∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，
∴AI∥DF，
∴∠FDN+∠MIA＝90°，
∵MN∥GH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠FDN+∠HAC＝90°，即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，
∴t＝120，
②DF在MN下方時，∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，DE⊥DF，
∴AC∥DE，
∴∠AIM＝∠MDE，
∵MN∥GH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠EDM＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合題意，舍去），
綜上所述：所有滿足條件的t的值為30或120．
故答案為：30或120．
三．解答題（本大題共8小題，滿分55分）
16．（4分）（2021秋?濟南期末）如圖，已知∠DEB＝100°，∠BAC＝80°．
（1）判斷DF與AC的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若∠ADF＝∠C，∠DAC＝120°，求∠B的度數(shù)．
【思路點撥】
（1）利用對頂角的性質(zhì)可得∠AEF＝∠DEB＝100°，由∠BAC＝80°，可得∠AEF+∠BAC＝180°，利用“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”可得DF∥AC；
（2）由∠ADF＝∠C，易得∠BFD＝∠ADF，由平行線的判定定理和性質(zhì)定理易得結(jié)果．
【解答過程】
解：（1）DF∥AC．
理由：∵∠DEB＝100°，
∴∠AEF＝∠DEB＝100°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠AEF+∠BAC＝180°，
∴DF∥AC；
（2）∵DF∥AC，
∴∠BFD＝∠C，
∵∠ADF＝∠C，
∴∠BFD＝∠ADF，
∴AD∥BC，
∴∠B＝∠BAD，
∵∠DAC＝120°，∠BAC＝80°，
∴∠BAD＝∠DAC﹣∠BAC＝120°﹣80°＝40°，
∴∠B＝40°．
17．（4分）（2021秋?無錫期末）如圖，直線AB和CD相交于點O，OE把∠AOC分成兩部分，且∠AOE：∠EOC＝2：3，OF平分∠BOE．
（1）若∠BOD＝65°，求∠BOE．
（2）若∠AOE∠BOF﹣10°，求∠COE．
【思路點撥】
（1）根據(jù)對頂角的定義，由∠AOC與∠BOD是對頂角，得∠AOC＝∠BOD＝65°．由∠AOE：∠EOC＝2：3，求得∠AOE26°．根據(jù)鄰補角的定義，得∠BOE＝180°﹣∠AOE＝154°．
（2）設(shè)∠AOE＝2x，∠EOC＝3x．由∠AOE∠BOF﹣10°，得∠BOF＝4x+20°．根據(jù)角平分線的定義，由OF平分∠BOE，得∠BOE＝2∠BOF＝8x+40°．根據(jù)鄰補角的定義，得∠AOE+∠BOE＝2x+8x+40°＝180°，進而解決此題．
【解答過程】
解：（1）∵∠AOC與∠BOD是對頂角，
∴∠AOC＝∠BOD＝65°．
∵∠AOE：∠EOC＝2：3，
∴∠AOE26°．
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣26°＝154°．
（2）設(shè)∠AOE＝2x，∠EOC＝3x．
∵∠AOE∠BOF﹣10°，
∴∠BOF＝4x+20°．
∵OF平分∠BOE，
∴∠BOE＝2∠BOF＝8x+40°．
∴∠AOE+∠BOE＝2x+8x+40°＝180°．
∴x＝14°．
∴∠COE＝3x＝42°．
18．（6分）（2021秋?南崗區(qū)校級期中）如圖的網(wǎng)格紙中，每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，三角形ABC的三個頂點都在格點上．（每個小方格的頂點叫格點）
（1）畫出三角形ABC向上平移4個單位后的三角形A1B1C1；
（2）畫出三角形A1B1C1向左平移5個單位后的三角形A2B2C2；
（3）經(jīng)過（1）次平移線段AC劃過的面積是 ．
【思路點撥】
（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點A1，B1，C1即可；
（2）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A1，B1，C1的對應(yīng)點A2，B2，C2即可；
（3）利用平行四邊形的面積公式求解．
【解答過程】
解：（1）如圖，A1B1C1即為所求；
（2）如圖，△A2B2C2即為所求；
（3）經(jīng)過（1）次平移線段AC劃過的面積＝4×4＝16．
故答案為：16．
19．（6分）（2021春?裕安區(qū)期末）（1）請在橫線上填寫合適的內(nèi)容，完成下面的證明：
如圖1，AB∥CD，求證：∠B+∠D＝∠BED．
證明：過點E引一條直線EF∥AB
∴∠B＝∠BEF，（ ）
∵AB∥CD，EF∥AB
∴EF∥CD（ ）
∴∠D＝ （ ）
∴∠B+∠D＝∠BEF+∠FED
即∠B+∠D＝∠BED．
（2）如圖2，AB∥CD，請寫出∠B+∠BED+∠D＝360°的推理過程．
（3）如圖3，AB∥CD，請直接寫出結(jié)果∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝ ．
【思路點撥】
（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠B＝∠BEF，由AB∥CD，EF∥AB可知EF∥CD，故∴∠D＝∠FED，由此可得出結(jié)論；
（2）過點E引一條直線EF∥AB，根據(jù)EF∥AB可知∠B+∠BEF＝180°，由AB∥CD，EF∥AB得出EF∥CD，故∠FED+∠D＝180°，由此可得出結(jié)論；
（3）分別過點EF作EG∥AB，HF∥CD，則∠B+∠BEG＝180°，∠D+∠HFD＝180°，根據(jù)AB∥CD，EG∥AB，HF∥CD可知EG∥HF，故∠GEF+∠HFE＝180°，由此可得出結(jié)論．
【解答過程】
解：（1）過點E引一條直線EF∥AB，
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行），
∴∠D＝∠FED（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．
故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；∠FED；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．
（2）如圖2，過點E引一條直線EF∥AB，
∵EF∥AB，
∴∠B+∠BEF＝180°．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠FED+∠D＝180°，
∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D＝180°+180°＝360°，即∠B+∠BED+∠D＝360°
（3）如圖3，分別過點EF作EG∥AB，HF∥CD，
∵EG∥AB，
∴∠B+∠BEG＝180°．
∵HF∥CD，
∴∠D+∠HFD＝180°．
∵AB∥CD，EG∥AB，HF∥CD，
∴EG∥HF，
∴∠GEF+∠HFE＝180°，
∴∠B+∠BEF+∠EFD+∠D＝540°．
故答案為：540°．
20．（6分）（2021春?江漢區(qū)期中）問題探究：
如圖①，已知AB∥CD，我們發(fā)現(xiàn)∠E＝∠B+∠D．我們怎么證明這個結(jié)論呢？
張山同學(xué)：如圖②，過點E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF與∠DEF的和，然后分別證明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．
李思同學(xué)：如圖③，過點B作BF∥DE，則∠E＝∠EBF，再證明∠ABF＝∠D．
問題解答：
（1）請按張山同學(xué)的思路，寫出證明過程；
（2）請按李思同學(xué)的思路，寫出證明過程；
問題遷移：
（3）如圖④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，F(xiàn)D平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，請直接寫出∠F的度數(shù)．
【思路點撥】
（1）如圖②中，過點E作EF∥AB，利用平行線的性質(zhì)證明即可．
（2）如圖③中，過點B作BF∥DE交CD的延長線于G．利用平行線的性質(zhì)證明即可．
（3）設(shè)∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y(tǒng)，則∠F＝x+y，根據(jù)∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，構(gòu)建方程求出x+y可得結(jié)論．
【解答過程】
解：（1）如圖②中，過點E作EF∥AB，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠CEF，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D．
（2）如圖③中，過點B作BF∥DE交CD的延長線于G．
∵DE∥FG，
∴∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，
∵AB∥CG，
∴∠G＝∠ABF，
∴∠EDC＝∠ABF，
∴∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝∠ABE+∠EDC．
（3）如圖④中，
∵EF平分∠AEC，F(xiàn)D平分∠EDC，
∴∠AEF＝∠CEF，∠CDF＝∠EDF，
設(shè)∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y(tǒng)，則∠F＝x+y，
∵∠CED＝3∠F，
∴∠CED＝3x+3y，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠CDE＝2y，
∵∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，
∴5x+5y＝180°，
∴x+y＝36°，
∴∠F＝36°．
21．（9分）（2021秋?鐵西區(qū)期末）直線AB，CD相交于點O，OF⊥CD于點O，作射線OE，且OC在∠AOE的內(nèi)部．
（1）當點E，F(xiàn)在直線AB的同側(cè)；
①如圖1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，求∠EOF的度數(shù)；
②如圖2，若OF平分∠BOE，請判斷OC是否平分∠AOE，并說明理由；
（2）若∠AOF＝2∠COE，請直接寫出∠BOE與∠AOC之間的數(shù)量關(guān)系．
【思路點撥】
（1）①先利用角度的和差關(guān)系求得∠COE，再根據(jù)∠EOF＝90°﹣∠COE，可得∠EOF的度數(shù)；
②先根據(jù)角平分線定義∠EOF＝∠FOB，再結(jié)合余角定義可得結(jié)論；
（2）需要分類討論，當點E，F(xiàn)在直線AB的同側(cè)時，當點E，F(xiàn)在直線AB的異側(cè)；再分別表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可．
【解答過程】
解：（1）①∵OF⊥CD于點O，
∴∠COF＝90°，
∵∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，
∴∠COE＝180°﹣∠BOE﹣∠BOD＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∴∠EOF＝∠COF﹣∠COE＝90°﹣∠COE＝90°﹣45°＝45°；
∴∠EOF的度數(shù)為45°；
②平分，理由如下：
∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF＝∠FOB，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°，
∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE．
（2）當點E，F(xiàn)在直線AB的同側(cè)時，如圖，
記∠COE＝α，則∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②，
①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°；
當點E和點F在直線AB的異側(cè)時，如圖，
記∠COE＝α，則∠AOF＝2∠COE＝2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②，
①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°．
綜上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°．
22．（9分）（2021春?紅谷灘區(qū)校級期末）已知，AB∥CD，CF平分∠ECD．
（1）如圖1，若∠DCF＝25°，∠E＝20°，求∠ABE的度數(shù)．
（2）如圖2，若∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍與∠CEB的補角的和為190°，求∠ABE的度數(shù)．
（3）如圖3，在（2）的條件下，P為射線BE上一點，H為CD上一點，PK平分∠BPH，HN∥PK，HM平分∠DHP，∠DHQ＝2∠DHN，求∠PHQ的度數(shù)．
【思路點撥】
（1）過點E作ER∥AB，根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行可得ER∥CD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和已知∠DCF＝25°，∠E＝20°，即可求∠ABE的度數(shù)；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍與∠CEB的補角的和為190°，即可求∠ABE的度數(shù)；
（3）根據(jù)（2）的條件，P為射線BE上一點，H為CD上一點，PK平分∠BPH，HN∥PK，HM平分∠DHP，∠DHQ＝2∠DHN，即可求∠PHQ的度數(shù)．
【解答過程】
解：（1）如圖1，
過點E作ER∥AB，
∵AB∥CD，
∴ER∥CD，
∵∠DCF＝25°，∠E＝20°，
∵CF平分∠ECD，∴∠DCF＝∠FCE＝25°，
∴∠CER＝∠DCE＝2∠DCF＝50°，
∴∠BER＝∠CER﹣∠CEB＝30°，
∴∠ABE＝∠BER＝30°
答：∠ABE的度數(shù)為30°．
（2）如圖2，分別過點E、F作AB的平行線ET、FL，
∵∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍與∠CEB的補角的和為190°，
設(shè)∠ABF＝α，則∠EBF＝2α，
∴∠ABE＝3α，∴∠BET＝∠ABE＝3α，
設(shè)∠CEB＝β，
則∠DCE＝∠CET＝∠CEB+∠BET＝3α+β，
∵CF平分∠ECD，
∴∠DCF＝∠FCE，
∴∠CFL，∠BFL＝∠ABF＝α，
∴∠CFB＝∠CFL﹣∠BFL，
∴2180﹣β＝190，
∴α＝10，
∴∠ABE＝30°．
答：∠ABE的度數(shù)為30°．
（3）如圖3，過點P作PJ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PJ∥CD，
∵PK平分∠BPH，
∴∠KPH＝∠KPB＝x，
∵HN∥PK，
∴∠NHP＝x，
設(shè)∠MHN＝y(tǒng)，
∴∠MHP＝x+y，
∵HM平分∠DHP，
∴∠DHM＝∠MHP＝x+y，
∵∠DHQ＝2∠DHN，
∴∠DHQ＝2（x+y+y）＝2x+4y，
∴∠PHQ＝∠DHQ﹣∠DHP＝（2x+4y）﹣（2x+2y）＝2y，
∴∠HPJ＝∠DHP＝2x+2y，
∴∠BPJ＝∠ABE＝30°＝2y，
∴∠PHQ＝30°
答：∠PHQ的度數(shù)為30°．
23．（11分）（2021秋?沙坪壩區(qū)期末）如圖，AB∥CD，點E是AB上一點，連結(jié)CE．
（1）如圖1，若CE平分∠ACD，過點E作EM⊥CE交CD于點M，試說明∠A＝2∠CME；
（2）如圖2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度數(shù)；
（3）如圖3，過點E作EM⊥CE交∠DCE的平分線于點M，MN⊥CM交AB于點N，CH⊥AB，垂足為H．若∠ACH∠ECH，請直接寫出∠MNB與∠A之間的數(shù)量關(guān)系．
【思路點撥】
（1）利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義分別計算∠A與∠CME，即可得出結(jié)論；
（2）過點F作FM∥AB，利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義和（1）的結(jié)論解答即可；
（3）延長CM交AN的延長線于點F，設(shè)∠ACH＝x，則∠ECH＝2x，ECM＝∠DCM＝y(tǒng)，利用垂直的定義得到x+y＝45°；利用三角形的內(nèi)角和定理分別用x，y的代數(shù)式表示出∠MNB與∠A，計算∠MNB+∠A即可得出結(jié)論．
【解答過程】
（1）證明：∵EM⊥CE，
∴∠CEM＝90°．
∵∠AEC+∠CEM+∠BEM＝180°，
∴∠AEC+∠BEM＝90°．
∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠ECD，∠CME＝∠BEM．
∴∠ECD+∠CME＝90°．
∴2∠ECD+2∠CME＝180°．
∵CE平分∠ACD，
∴ACD＝2∠ECD．
∴∠ACD+2∠CME＝180°．
∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠A＝180°．
∴∠A＝2∠CME．
（2）解：過點F作FM∥AB，如圖，
∵AB∥CD，
∴FM∥AB∥CD．
∴∠AFM＝∠BAF，∠CFM＝∠DCF．
∴∠AFM+∠CFM＝∠BAF+∠DCF．
即∠AFC＝∠BAF+∠DCF．
∵AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，
∴∠CAB＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF．
∴∠CAB+∠DCE＝2（∠BAF+∠DCF）＝2∠AFC．
∵∠AFC＝70°，
∴∠CAB+∠DCE＝140°．
∵AB∥CD，
∴∠CAB+∠ACE+∠DCE＝180°．
∴∠ACE＝180°﹣（∠CAB+∠DCE）
＝180°﹣140°
＝40°．
（3）∠MNB與∠A之間的數(shù)量關(guān)系是：∠MNB＝135°﹣∠A．
延長CM交AN的延長線于點F，如圖，
∵MN⊥CM，
∴∠NMF＝90°．
∴∠MNB＝90°﹣∠F．
同理：∠HCF＝90°﹣∠F．
∴∠MNB＝∠HCF．
∵∠ACH∠ECH，
∴設(shè)∠ACH＝x，則∠ECH＝2x．
∵CM平分∠DCE，
∴設(shè)∠ECM＝∠DCM＝y(tǒng)．
∴∠MNB＝∠HCF＝2x+y．
∵AB∥CD，CH⊥AB，
∴CH⊥CD．
∴∠HCD＝90°．
∴∠ECH+∠ECD＝90°．
∴2x+2y＝90°．
∴x+y＝45°．
∵CH⊥AB，
∴∠A＝90°﹣∠ACH＝90°﹣x．
∴∠A+∠MNB＝90°﹣x+2x+y＝90°+x+y＝135°．
∴∠MNB＝135°﹣∠A．題號
一
二
三
總分
得分
評卷人
得 分


評卷人
得 分


評卷人
得 分


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