【典例1】已知AB∥CD，線段EF分別與AB、CD相交于點(diǎn)E、F．
（1）如圖①，當(dāng)∠A＝20°，∠APC＝70°時(shí)，求∠C的度數(shù)；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不包括E、F兩點(diǎn)），∠A、∠APC與∠C之間有怎樣的數(shù)量？試證明你的結(jié)論；
（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在直線EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（2）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，說明理由；如果不成立，直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系．
【思路點(diǎn)撥】
（1）過P作PO∥AB，推出AB∥PO∥CD，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠APO＝∠A＝20°，∠C＝∠CPO，代入求出即可；
（2）過P作PO∥AB，推出AB∥PO∥CD，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，求出即可；
（3）分三種情況討論：①當(dāng)P在線段EF的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在線段FE的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解題過程】
解：（1）過P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∵∠A＝20°，當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
∴∠APO＝∠A＝20°，∠C＝∠CPO，
∵∠APC＝70°，
∴∠C＝∠CPO＝∠APC﹣∠APO＝70°﹣20°＝50°；
（2）∠A+∠C＝∠APC，
證明：過P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，
∴∠APC＝∠APO+∠CPO＝∠A+∠C；
（3）解：①當(dāng)P在線段EF的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，不成立，關(guān)系式是：∠A﹣∠C＝∠APC，
理由是：過P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，
∴∠A﹣∠C＝∠APO﹣∠CPO＝∠APC，
即∠A﹣∠C＝∠APC；
②當(dāng)點(diǎn)P在線段FE的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，新的相等關(guān)系為∠C＝∠APC+∠A．
理由：設(shè)AB與CP相交于Q，則∠PQB＝∠APC+∠A．
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠PQB，
∴∠C＝∠APC+∠A．
③當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，成立，關(guān)系式為∠A+∠C＝∠APC，
證明：過P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，
∴∠APC＝∠APO+∠CPO＝∠A+∠C；
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P在直線EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（2）中的結(jié)論不一定成立．
1．（2021秋?農(nóng)安縣期末）已知直線AB∥CD，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PD．
（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；
（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關(guān)系為 ．
（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數(shù)．
2．（2021春?濮陽縣期中）（1）（問題）如圖1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度數(shù)；
（2）（問題遷移）如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在AB的上方，問∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；
（3）（聯(lián)想拓展）如圖3所示，在（2）的條件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點(diǎn)G，用含有α的式子表示∠G的度數(shù)．
3．（2021春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖1，已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠EBD+∠EDB＝90°．
（1）求證：AB∥CD；
（2）如圖2．射線BF、DF交于點(diǎn)F，且∠BFD＝30°，當(dāng)∠ABE＝3∠ABF時(shí)，試探?jīng)Q∠CDF與∠CDE的比值，并說明理由；
（3）若點(diǎn)H是直線CD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），BI平分∠HBD．請(qǐng)直接寫出∠EBI與∠BHD的數(shù)量關(guān)系．
4．（2021春?丹東期末）已知：AB∥CD．
（1）探究∠B、∠BED、∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）利用上述中的結(jié)論，
①如圖2，已知AB∥CD，試探究∠E、∠G、∠B、∠F、∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②如圖3，已知AB∥CD，請(qǐng)直接寫出∠B、∠D、∠E1、∠E2……∠En、∠F1、∠F2…∠Fn+1之間的數(shù)量關(guān)系．
5．（2021秋?太倉市期末）如圖所示，已知直線AB∥直線CD，直線EF分別交直線AB、CD于點(diǎn)A，C．且∠BAC＝60°，現(xiàn)將射線AB繞點(diǎn)A以每秒2°的轉(zhuǎn)速逆時(shí)計(jì)旋轉(zhuǎn)得到射線AM．同時(shí)射線CE繞點(diǎn)C以每秒3°的轉(zhuǎn)速順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線CN，當(dāng)射線CN旋轉(zhuǎn)至與射線CA重合時(shí)，則射線CN、射線AM均停止轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t（秒）．
（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，若射線AM與射線CN相交，設(shè)交點(diǎn)為P．
①當(dāng)t＝20（秒）時(shí)，則∠CPA＝ °；
②若∠CPA＝70°，求此時(shí)t的值；
（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在AM∥CN？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
6．（2021秋?皇姑區(qū)期末）已知：直線AB∥CD，直線AD與直線BC交于點(diǎn)E，∠AEC＝110°．
（1）如圖①，BF平分∠ABE交AD于F，DG平分∠CDE交BC于G，求∠AFB+∠CGD的度數(shù)；
（2）如圖②，∠ABC＝30°，在∠BAE的平分線上取一點(diǎn)P，連接PC，當(dāng)∠PCD∠PCB時(shí)，直接寫出∠APC的度數(shù)．
7．（2021秋?南崗區(qū)校級(jí)期末）已知：直線AB∥CD，一塊三角板EFH，其中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．
（1）如圖1，三角板EFH的頂點(diǎn)H落在直線CD上，并使EH與直線AB相交于點(diǎn)G，若∠2＝2∠1，求∠1的度數(shù)；
（2）如圖2，當(dāng)三角板EFH的頂點(diǎn)F落在直線AB上，且頂點(diǎn)H仍在直線CD上時(shí)，EF與直線CD相交于點(diǎn)M，試確定∠E、∠AFE、∠MHE的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖3，當(dāng)三角板EFH的頂點(diǎn)F落在直線AB上，頂點(diǎn)H在AB、CD之間，而頂點(diǎn)E恰好落在直線CD上時(shí)得△EFH，在線段EH上取點(diǎn)P，連接FP并延長(zhǎng)交直線CD于點(diǎn)T，在線段EF上取點(diǎn)K，連接PK并延長(zhǎng)交∠CEH的角平分線于點(diǎn)Q，若∠Q﹣∠HFT＝15°，且∠EFT＝∠ETF，求證：PQ∥FH．
8．（2020春?河?xùn)|區(qū)期末）已知：點(diǎn)A、C、B不在同一條直線上，AD∥BE
（1）如圖①，當(dāng)∠A＝58°，∠B＝118°時(shí)，求∠C的度數(shù)；
（2）如圖②，AQ、BQ分別為∠DAC、∠EBC的平分線所在直線，試探究∠C與∠AQB的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接寫出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值．
9．（2021春?新洲區(qū)期末）如圖1，點(diǎn)E在直線AB、DC之間，且∠DEB+∠ABE﹣∠CDE＝180°．
（1）求證：AB∥DC；
（2）若點(diǎn)F是直線BA上的一點(diǎn)，且∠BEF＝∠BFE，EG平分∠DEB交直線AB于點(diǎn)G，若∠D＝20°，求∠FEG的度數(shù)；
（3）如圖3，點(diǎn)N是直線AB、DC外一點(diǎn)，且滿足∠CDM∠CDE，∠ABN∠ABE，ND與BE交于點(diǎn)M．已知∠CDM＝α（0°＜α＜12°），且BN∥DE，則∠NMB的度數(shù)為 （請(qǐng)直接寫出答案，用含α的式子表示）．
10．（2021春?宜興市月考）如圖①，已知PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN．
（1）填空：∠PBA＝ °；
（2）如圖（1）所示，射線AM繞點(diǎn)A開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即按原速度回轉(zhuǎn)至AM位置，射線BP繞點(diǎn)B開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即按原速度回轉(zhuǎn)至BP位置．若AM轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，BP轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度，若射線BP先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，射線AM才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在射線BP到達(dá)BQ之前，射線AM轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩射線互相平行？
（3）如圖（2），若兩射線分別繞點(diǎn)A，B順時(shí)針方向同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，速度同題（2），在射線AM到達(dá)AN之前，若兩射線交于點(diǎn)C，過C作∠ACD交PQ于點(diǎn)D，且∠ACD＝120°，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，請(qǐng)?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)說明理由．
11．如圖，直線PQ∥MN，點(diǎn)A、B分別是PQ、MN上的兩點(diǎn)，點(diǎn)C是PQ、MN之間（不在直線PQ、MN上）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB＝90°，BD平分∠CBM交PQ于點(diǎn)D．
（1）如圖1，若∠PDB＝120°，求∠NBC的度數(shù)；
（2）如圖1，在（1）問的條件下，求∠QAC的度數(shù)；
（3）延長(zhǎng)AC交直線MN于點(diǎn)G，如圖2，GH平分∠AGB交DB于H，設(shè)∠CBM＝2x°，∠AGB＝2y°，請(qǐng)?zhí)骄俊螱HB的度數(shù)是否與x、y的取值有關(guān)？并說明理由．
12．（2021春?重慶期中）已知：AB∥CD，E、G是AB上的點(diǎn)，F(xiàn)、H是CD上的點(diǎn)，∠1＝∠2．
（1）如圖1，求證：EF∥GH；
（2）如圖2，過F點(diǎn)作FM⊥GH交GH延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，作∠BEF、∠DFM的角平分線交于點(diǎn)N，EN交GH于點(diǎn)P，求證：∠N＝45°；
（3）如圖3，在（2）的條件下，作∠AGH的角平分線交CD于點(diǎn)Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接寫出的值．
13．（2021春?萊山區(qū)期末）我區(qū)正在打造某河流夜間景觀帶，計(jì)劃在河兩岸設(shè)置兩座可以旋轉(zhuǎn)的射燈．如圖1，燈A射線從AM開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是2度/秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是1度/秒，假定河兩岸是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN．
（1）∠BAN＝ 度．
（2）燈A射線從AM開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN需要 秒；
（3）若燈B射線BD（交MN于點(diǎn)D）先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射線AC（交PQ于點(diǎn)C）才開始轉(zhuǎn)動(dòng)．設(shè)AC轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)AC到達(dá)AN之前時(shí)，如圖2所示．
①∠PBD＝ 度，∠MAC＝ 度（用含有t的代數(shù)式表示）；
②求當(dāng)AC轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒時(shí)，兩燈的光束射線AC∥BD？
（4）在BD到達(dá)BQ之前，是否還存在某一時(shí)刻，使兩燈的光束射線AC∥BD？若存在，直接寫出轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間，若不存在，請(qǐng)說明理由．
14．（2021春?硚口區(qū)期末）已知直線EF分別交直線AB、CD于點(diǎn)G、H，∠1+∠2＝180°．
（1）如圖1，求證：AB∥CD；
（2）如圖2，M、N分別為直線AB、CD上的點(diǎn)，P、Q為直線AB、CD之間不同的兩點(diǎn)，∠PMQ＝2∠BMQ，∠PNQ＝2∠DNQ，∠MQN＝30°．
①求證：PM⊥PN；
②如圖3，∠EGB的平分線GL與∠MPN的鄰補(bǔ)角∠MPT的平分線PL交于點(diǎn)L，∠PNH的平分線NK交EF于點(diǎn)K．若∠EKN+∠GLP＝170°，直接寫出∠PNH﹣∠EHD的大小．
15．（2021春?漢陽區(qū)期中）如圖1，已知兩條直線AB，CD被直線EF所截，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，EM平分∠AEF交CD于點(diǎn)M，且∠FEM＝∠FME．
（1）直線AB與直線CD的位置關(guān)系是 ；
（2）如圖2，點(diǎn)G是射線FD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)F重合），EH平分∠FEG交CD于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作HN⊥EM于點(diǎn)N，設(shè)∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中，若β＝56°，求α的度數(shù)；
②當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．
16．（2021春?棗陽市期末）（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，AB∥CD，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC．請(qǐng)觀察猜想∠AEC的度數(shù)并說明理由；
（2）類比探究：如圖2，點(diǎn)M是AE上一點(diǎn)，當(dāng)∠E＝90°保持不變，移動(dòng)直角頂點(diǎn)E，使CE平分∠MCD．∠BAE與∠MCD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
（3）拓展應(yīng)用：如圖3，P為線段AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q不與點(diǎn)C重合．∠CPQ+∠CQP與∠BAC有何數(shù)量關(guān)系？猜想結(jié)論并說明理由．
17．（2021秋?豐澤區(qū)期末）已知AB∥CD，點(diǎn)M在直線AB上，點(diǎn)N、Q在直線CD上，點(diǎn)P在直線AB、CD之間，連接PM、PN、PQ，PQ平分∠MPN，如圖①．
（1）若∠PMA＝α、∠PQC＝β，求∠NPQ的度數(shù)（用含α，β的式子表示）；
（2）過點(diǎn)Q作QE∥PN交PM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過E作EF平分∠PEQ交PQ于點(diǎn)F，如圖②，請(qǐng)你判斷EF與PQ的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，連接EN，如圖③，若∠NEF∠PMA，求證：NE平分∠PNQ．
18．（2021秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，AB∥CD．
（1）如圖1，求證：∠EAB+∠AED+∠EDC＝360°；
（2）如圖2，若AF平分∠EAB，DF平分∠EDC，設(shè)∠AFD＝α，求∠AED的度數(shù)；（用含α的式子表示）（3）如圖3，在（2）的條件下，過A作AH∥ED交DC于點(diǎn)H，AD平分∠EAH，∠DAG：∠FDC＝1：3，
AF延長(zhǎng)線交CD于點(diǎn)G，求∠BAH的度數(shù)．
19．（2020秋?仁壽縣期末）如圖①．已知AM∥CN，點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，AB⊥BC于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D，設(shè)∠BCN＝α．
（1）若α＝30°，求∠ABD的度數(shù)；
（2）如圖②，若點(diǎn)E、F在DM上，連接BE、BF、CF，使得BE平分∠ABD、BF平分∠DBC，求∠EBF的度數(shù)；
（3）如圖③，在（2）問的條件下，若CF平分∠BCH，且∠BFC＝3∠BCN，求∠EBC的度數(shù)．
20．（2021秋?揭東區(qū)期末）已知：如圖所示，直線MN∥GH，另一直線交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，點(diǎn)C為直線GH上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D為直線MN上一動(dòng)點(diǎn)，且∠GCD＝50°．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A右邊且點(diǎn)D在點(diǎn)B左邊時(shí)，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線于點(diǎn)P，求∠BPC的度數(shù)；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A右邊且點(diǎn)D在點(diǎn)B右邊時(shí)，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線于點(diǎn)P，求∠BPC的度數(shù)；
（3）當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A左邊且點(diǎn)D在點(diǎn)B左邊時(shí)，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線所在直線交于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫出∠BPC的度數(shù)，不說明理由．

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