【典例1】已知BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，試回答下列問題：
（1）如圖①所示，試說明OB∥AC；
（2）如圖②，若點E，F(xiàn)在BC上，且滿足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．則∠EOC的度數(shù)等于 ；
（3）在（2）的條件下，若平行移動AC，如圖③，那么∠OCB：∠OFB的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，試說明理由；若不變，求出這個比值；
（4）在（3）的條件下，在平行移動AC的過程中，若使∠OEB＝∠OCA，此時∠OCA的度數(shù)等于 ．
【思路點撥】
（1）由同旁內(nèi)角互補，兩直線平行證明；
（2）由∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF得到∠EOC＝∠EOF+∠FOCP（∠BOF+∠FOA）∠BOA，即可求出∠EOC的度數(shù)；
（3）由BC與AO平行，得到兩對內(nèi)錯角相等，由∠FOC＝∠AOC，等量代換即可得證；
（4）由（2）（3）的結(jié)論可得∠OCA度數(shù)．
【解題過程】
解：（1）證明：∵BC∥OA，
∴∠B+∠O＝180°，
又∵∠B＝∠A，
∴∠A+∠O＝180°，
∴OB∥AC；
（2）解：∵∠B+∠BOA＝180°，∠B＝100°，
∴∠BOA＝80°，
∵OE平分∠BOF，
∴∠BOE＝∠EOF∠BOF，
∵∠FOC＝∠AOC∠FOA，
∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC∠BOF∠FOA∠BOA＝40°；
故答案為：40°；
（3）解：結(jié)論：∠OCB：∠OFB 的值不發(fā)生變化．
理由為：∵BC∥OA，
∴∠FCO＝∠COA，∠OFB＝∠FOA，
∵∠FOC＝∠AOC，
∴∠FOC＝∠FCO，
∴∠OFB＝∠FOA＝2∠OCB，
∴∠OCB：∠OFB＝1：2；
（4）解：由（1）知：OB∥AC，
∴∠OCA＝∠BOC，
由（2）知設(shè)：∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠COA＝β，
∴∠OCA＝∠BOC＝2α+β，
∴∠OEB＝∠EOC+∠ECO＝α+β+β＝α+2β，
∵∠OEB＝∠OCA，
∴2α+β＝α+2β，
∴α＝β，
∵∠AOB＝80°，
∴α＝β＝20°，
∴∠OCA＝2α+β＝40°+20°＝60°．
故答案為：60°．
1．（2021春?聊城期末）2022年，中國將舉辦第二十四屆冬季奧林匹克運動會，如圖，通過平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的圖形是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021春?河西區(qū)期末）如圖，在一塊長方形草地上原有一條等寬的筆直小路，現(xiàn)在要把這條小路改為同樣寬度的等寬彎曲小路（小路曲線的上下垂直距離與原來路的寬度相等），則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．改造后小路的長度不變
B．改造后小路的長度變小
C．改造后草地部分的面積變小
D．改造后草地部分的面積不變
3．（2021秋?張店區(qū)期末）如圖，將三角形ABC沿OM方向平移一定的距離得到三角形A′B′C′，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．AA′∥BB′B．AA'＝BB'
C．∠ACB＝∠A'B'C'D．BC＝B'C'
4．（2021春?臨西縣月考）如圖，將△ABE向右平移50px得到△DCF，如果△ABE的周長是400px（1px＝0.04cm），那么四邊形ABFD的周長是（ ）
A．16cmB．18cm
C．20cmD．21cm
5．（2021春?滄縣期末）如圖，是兩個有重疊的直角三角形，可以看作是將其中的一個直角三角形ABC沿著BC方向平移5個單位長度就得到了另一直角三角形DEF，其中AB＝8，BE＝5，DH＝3，則下列結(jié)論正確的有（ ）
①AC∥DF；②HE＝5；
③CF＝5；④四邊形DHCF的面積為32.5．
A．1個B．2個
C．3個D．4個
6．（2021春?安慶期末）如圖，直線m∥n，點A在直線m上，BC在直線n上，構(gòu)成△ABC，把△ABC向右平移BC長度的一半得到△A'B'C'（如圖1），再把△A'B'C'向右平移BC長度的一半得到△A″B″C″（如圖2），再繼續(xù)上述的平移得到圖3，…，通過觀察可知圖1中有4個三角形，圖2中有8個三角形，則第2021個圖形中三角形的個數(shù)是（ ）
A．4042B．6063C．8084D．8088
7．（2021春?長春期末）某公園里有一處長方形風景欣賞區(qū)ABCD，AB長140米，BC寬90米，為方便游人觀賞，公園特意修建了如圖所示的小路（圖中非陰影部分），若小路的寬度忽略不計，則小路的總長約為 米．
8．（2021秋?亭湖區(qū)期末）如圖，某酒店重新裝修后，準備在大廳主樓梯上鋪設(shè)紅色地毯．已知這種地毯每平方米售價160元，主樓梯道寬2.5m，其側(cè)面如圖所示，則購買地毯至少需要 元．
9．（2021春?徐州期末）木匠有32m的木板，他想要在花圃周圍做圍欄．他考慮將花圃設(shè)計成以下的造型
上述四個方案中，能用32m的木板來圍成的是 （寫出所有可能的序號）．
10．（2021春?江都區(qū)期中）如圖，直線m與∠AOB的一邊射線OB相交，∠3＝120°，向上平移直線m得到直線n，與∠AOB的另一邊射線OA相交，則∠2﹣∠1＝ ．
11．（2021秋?連云港期末）如圖是由相同邊長的小正方形組成的網(wǎng)格圖形，每個小正方形的邊長為1個單位長度，每個小正方形的頂點都叫做格點，三角形ABC的三個頂點都在格點上，利用網(wǎng)格畫圖．
（1）畫出三角形ABC向右平移8個單位長度后三角形A′B′C′的位置；
（2）過點A畫BC的平行線，并標出平行線所過格點Q；
（3）過點A畫BC的垂線，并標出垂線所過格點P；
（4）三角形A′B′C′的面積為 ．
12．（2021春?新城區(qū)期中）如圖，△ABC，△BDE都是由△CEF平移得到的圖形．A，B，D三點在同一條直線上，∠F＝35°．
（1）試判斷CE，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（2）求∠EBC的度數(shù)．
13．（2021春?青縣期末）如圖1，AB，BC被直線AC所截，點D是線段AC上的點，過點D作DE∥AB，連接AE，∠B＝∠E．
（1）試說明AE∥BC．
（2）將線段AE沿著直線AC平移得到線段PQ，如圖2，連接DQ．若∠E＝75°，當DE⊥DQ時，求∠Q的度數(shù)．
14．（2020春?南安市期末）已知△A'B'C'是由△ABC沿射線BA方向平移得到的．
（1）如圖，當B'在線段BA上時，
①如果BC＝2cm，那么B'C'＝ cm；
②直線BC與直線B'C'的位置關(guān)系為 ；
（2）連接AC′，設(shè)∠AC'B'＝x，∠ACB＝y(tǒng)，試探索∠CAC'與x，y之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
15．（2021春?西湖區(qū)期末）已知點C在射線OA上．
（1）如圖①，CD∥OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度數(shù)；
（2）在①中，將射線OE沿射線OB平移得O′E'（如圖②），若∠AOB＝α，探究∠OCD與∠BO′E′的關(guān)系（用含α的代數(shù)式表示）；
（3）在②中，過點O′作OB的垂線，與∠OCD的平分線交于點P（如圖③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB與∠BO′E′的關(guān)系．
16．（2020秋?溫江區(qū)校級期末）已知AB＝13，CD＝8，M和N分別為線段AB，CD的中點．
（1）若BC重合，D在線段AB上，如圖1，求MN的長度．
（2）①如果將圖1的線段CD沿著AB向右平移n個單位，求MN的長度與n的數(shù)量關(guān)系．
②當n為多少的時，MN的長度為9．
（3）如果AB保持長度和位置不變，點D保持圖1的位置不變，改變DC的長度，將點C沿著直線AB向右移動m個單位，其余條件不變，①BNBC；②MNBC，請問以上兩個式子哪一個式子的值是定值，定值是多少？
17．（2021春?依安縣期末）如圖，已知AB∥CD，點E在直線AB，CD之間．
（1）求證：∠AEC＝∠BAE+∠ECD；
（2）若AH平分∠BAE，將線段CE沿CD平移至FG．
①如圖2，若∠AEC＝90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度數(shù)；
②如圖3，若HF平分∠CFG，試判斷∠AHF與∠AEC的數(shù)量關(guān)系并說明理由．
18．（2021春?和平區(qū)校級月考）已知：AB∥CD，C在D的右側(cè)，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在直線交于點E，∠ADC＝70°．
（1）則∠EDC＝ （度）；
（2）若∠ABC＝n°，求∠BED的度數(shù)（用含n的式子表示）．
（3）將線段BC沿DC方向平移，使得點B在點A右側(cè)，其他條件不變，若∠ABC＝n°，則∠BED＝ （度）（用含n的式子表示）．

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