【典例1】將一副三角板中的兩個(gè)直角頂點(diǎn)C疊放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）若∠BCD＝110°，則∠ACE＝ ．
（2）試猜想∠BCD與∠ACE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）若按住三角板ABC不動(dòng)，三角板DCE繞頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)一周，試探究∠ACE等于多少度時(shí)，CE∥AB，請(qǐng)畫出圖，并說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】
（1）依據(jù)∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度數(shù)；
（2）依據(jù)∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，即可得到∠BCD與∠ACE的數(shù)量關(guān)系；
（3）分兩種情況討論，依據(jù)平行線的判定，即可得到當(dāng)∠BCD等于150°或30°時(shí)，CE∥AB．
【解題過(guò)程】
解：（1）∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°，
∵∠BCD＝110°，
∴∠ACE＝70°，
故答案為：70°；
（2）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°；
（3）分兩種情況：
①如圖1所示，當(dāng)∠BCD＝150°時(shí)，AB∥CE．
∵∠BCD＝150°，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝30°，
∴∠A＝∠ACE＝30°，
∴AB∥CE．
②如圖2所示，當(dāng)∠BCD＝30°時(shí)，AB∥CE．
∵∠BCD＝30°，∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠B＝60°，
∴AB∥CE．
綜上所述，∠BCD等于150°或30°時(shí)，CE∥AB．
1．（2021春?和平區(qū)期末）如圖，若∠1＝∠2，則下列選項(xiàng)中可以判定AB∥CD的是（ ）
A． B．C．D．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行可得只有B選項(xiàng)中∠1，∠2是AB和DC是被AC所截而成的內(nèi)錯(cuò)角．
【解題過(guò)程】
解：若∠1＝∠2，則四個(gè)選項(xiàng)中，能夠判定AB∥CD的是選項(xiàng)B，
故選：B．
2．（2021?范縣模擬）如圖，直線a、b被直線c所截．若∠1＝55°，則∠2的度數(shù)是（ ）時(shí)能判定a∥b．
A．35°B．45°C．125°D．145°
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行的判定定理進(jìn)行解答．
【解題過(guò)程】
解：如圖，∵∠2＝125°，∠2+∠3＝180°，
∴∠3＝55°，
∵∠1＝55°，
∴∠1＝∠3，
∴a∥b，
故選：C．
3．（2021秋?肇源縣期末）如圖，下列能判定AB∥CD的條件有（ ）個(gè)．
（1）∠B+∠BCD＝180°； （2）∠1＝∠2；
（3）∠3＝∠4； （4）∠B＝∠5．
A．1B．2C．3D．4
【思路點(diǎn)撥】
在復(fù)雜的圖形中具有相等關(guān)系或互補(bǔ)關(guān)系的兩角首先要判斷它們是否是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，被判斷平行的兩直線是否由“三線八角”而產(chǎn)生的被截直線．
【解題過(guò)程】
解：（1）利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，判定兩直線平行，故（1）正確；
（2）利用內(nèi)錯(cuò)角相等，判定兩直線平行，∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）錯(cuò)誤；
（3）利用內(nèi)錯(cuò)角相等，判定兩直線平行，故（3）正確；
（4）利用同位角相等，判定兩直線平行，故（4）正確．
故選：C．
4．（2021春?招遠(yuǎn)市期末）如圖，下列條件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6+∠4＝180°；⑥∠5+∠1＝180°，其中能判斷直線l1∥l2的有（ ）
A．②③④B．②③⑤C．②④⑤D．②④
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等和同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出兩直線平行，對(duì)各小題進(jìn)行逐一判斷即可．
【解題過(guò)程】
解：①∠1＝∠2，不能判定l1∥l2；
②∠4＝∠5，能判定l1∥l2；
③∠2+∠5＝180°，不能判定l1∥l2；
④∠1＝∠3，能判定l1∥l2；
⑤∠6+∠4＝180°，不能判定l1∥l2；
⑥∠5+∠1＝180°，不能判定l1∥l2；
故選：D．
5．（2021?曾都區(qū)一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊BC，AB，AC上，下列能判定DE∥AC的條件是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠3＝∠CC．∠2＝∠4D．∠1+∠2＝180°
【思路點(diǎn)撥】
直接利用平行線的判定方法分別分析得出答案．
【解題過(guò)程】
解：A、當(dāng)∠1＝∠3時(shí)，EF∥BC，不符合題意；
B、當(dāng)∠3＝∠C時(shí)，DE∥AC，符合題意；
C、當(dāng)∠2＝∠4時(shí)，無(wú)法得到DE∥AC，不符合題意；
D、當(dāng)∠1+∠2＝180°時(shí)，EF∥BC，不符合題意．
故選：B．
6．（2021秋?余姚市期中）木條a、b、c如圖用螺絲固定在木板α上且∠ABM＝50°，∠DEM＝70°，將木條a、木條b、木條c看作是在同一平面α內(nèi)的三條直線AC、DF、MN，若使直線AC、直線DF達(dá)到平行的位置關(guān)系，則下列描述錯(cuò)誤的是（ ）
A．木條b、c固定不動(dòng)，木條a繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)20°
B．木條b、c固定不動(dòng)，木條a繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)160°
C．木條a、c固定不動(dòng)，木條b繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)20°
D．木條a、c固定不動(dòng)，木條b繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)110°
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)平行線的判定定理判斷求解即可．
【解題過(guò)程】
解：A．木條b、c固定不動(dòng)，木條a繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)20°，
∴∠ABE＝50°+20°＝70°＝∠DEM，
∴AC∥DF，
故A不符合題意；
B．木條b、c固定不動(dòng)，木條a繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)160°，
∴∠CBE＝50°+20°＝70°＝∠DEM，
∴AC∥DF，
故B不符合題意；
C．木條a、c固定不動(dòng)，木條b繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)20°，
∴∠DEM＝70°﹣20°＝50°＝∠ABE，
∴AC∥DF，
故C不符合題意；
D．木條a、c固定不動(dòng)，木條b繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)110°，
∴木條b和木條c重合，AC與DF不平行，
故D符合題意．
故選：D．
7．（2020春?濱湖區(qū)期中）如圖，已知直線a、b．請(qǐng)只用直尺和量角器，檢測(cè)直線a、b是否平行？試畫出圖形，并簡(jiǎn)要說(shuō)明你的方法．
【思路點(diǎn)撥】
作直線c與直線a，直線b相交．根據(jù)同位角相等兩直線平行，判定即可．
【解題過(guò)程】
解：如圖①作直線c與直線a，直線b相交．
②用量角器量出∠1，∠2的大小．
③若∠1＝∠2，則a∥b，否則不平行．
8．（2021春?新吳區(qū)月考）光線從空氣中射入水中會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時(shí)光線從水中射入空氣中也會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖，光線a從空氣中射入水中，再?gòu)乃猩淙肟諝庵?，形成光線b，根據(jù)光學(xué)知識(shí)有∠1＝∠2，∠3＝∠4，請(qǐng)判斷光線a與光線b是否平行，并說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠3與∠4的補(bǔ)角相等，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可判定a∥b．
【解題過(guò)程】
解：平行．理由如下：
如圖，
∵∠3＝∠4，
∴∠5＝∠6，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠5＝∠2+∠6，
∴a∥b．
9．（2021春?漢陰縣月考）如圖，若∠1＝42°，∠2＝53°，∠3＝85°，則直線l1與l2平行嗎？判斷并說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)題意和對(duì)頂角的性質(zhì)，可以得到∠1＝∠4，∠2＝∠5，然后即可得到∠3+∠5+∠4的度數(shù)，從而可以判斷直線l1與l2是否平行．
【解題過(guò)程】
解：直線l1與l2平行，
理由：∵∠1＝∠4，∠2＝∠5，∠1＝42°，∠2＝53°，
∴∠4＝42°，∠5＝53°，
又∵∠3＝85°，
∴∠3+∠5＝85°+53°＝138°，
∴∠3+∠5+∠4＝138°+42°＝180°，
∴l(xiāng)1∥l2（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．
10．（2020秋?溫州月考）已知：如圖，∠ACD＝2∠B，CE平分∠ACD．求證：CE∥AB．
【思路點(diǎn)撥】
由CE為角平分線，利用角平分線的定義得到一對(duì)角相等，再由已知一對(duì)角相等，利用等量代換得到一對(duì)同位角相等，利用同位角相等兩直線平行即可得證．
【解題過(guò)程】
證明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠DCE，
∵∠ACD＝2∠B，
∴∠DCE＝∠B，
∴AB∥CE．
11．（2021春?新蔡縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，已知AC平分∠DAB，∠DAB＝70°，∠1＝35°．求證：AB∥CD．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)角平分線的定義求得∠BAC的度數(shù)，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，證得結(jié)論．
【解題過(guò)程】
證明：∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAC∠DAB70°＝35°，
又∵∠1＝35°，
∴∠1＝∠BAC，
∴AB∥CD．
12．（2021春?鐵西區(qū)期末）如圖，GM、HN分別平分∠BGE和∠DHF，且∠1+∠2＝90°，求證：AB∥CD．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)角平分線的定義可得∠BGE+∠DHF＝180°，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和等量關(guān)系，以及平行線的判定即可求解．
【解題過(guò)程】
證明：∵GM、HN分別平分∠BGE和∠DHF，且∠1+∠2＝90°，
∴∠BGE+∠DHF＝180°，
∵∠BGE+∠BGF＝180°，
∴∠BGF＝∠DHF，
∴AB∥CD．
13．如圖，已知：∠BAN＝92°，∠ACE＝136°，CE⊥CD，AF平∠BAN．求證：DC∥MB．
【思路點(diǎn)撥】
由角平分線可得∠BAF＝46°，從而可得∠MAC＝46°，再由CE⊥CD，∠ACE＝136°可得∠DCA＝134°，從而有∠DCA+∠MAC＝180°，即可判定DC∥MB．
【解題過(guò)程】
證明：∵AF平分∠BAN，∠BAN＝92°，
∴∠BAF＝46°，
∴∠MAC＝∠BAF＝46°，
∵CE⊥CD，∠ACE＝136°，
∴∠DCE＝90°，
∴∠DCA＝360°﹣∠DCE﹣∠ACE＝134°，
∴∠DCA+∠MAC＝180°，
∴DC∥MB．
14．（2021春?華容縣期末）如圖，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠1與∠2互余，試判斷直線AB，CD是否平行？為什么？
【思路點(diǎn)撥】
先用角平分線的性質(zhì)得到∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，再用∠1與∠2互余，即可得到∠ABD與∠BDC互補(bǔ)．
【解題過(guò)程】
解：直線AB，CD平行．
證明：∵∠1與∠2互余，
∴∠1+∠2＝90°，
∵BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，
∴∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，
∴∠ABD+∠BDC＝2∠1+2∠2＝2（∠1+∠2）＝180°，
∴AB∥DC．
15．（2020秋?秦都區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)E在直線DC上，射線EF平分∠AED，過(guò)E點(diǎn)作EB⊥EF，G為射線EC上一點(diǎn)，連接BG，且∠EBG+∠BEG＝90°．
（1）求證：∠DEF＝∠EBG；
（2）若∠EBG＝∠A，求證：AB∥EF．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)互相垂直的意義，以及同角的余角相等，得出結(jié)論；
（2）根據(jù)角平分線定義以及等量代換，得出∠A＝∠AEF，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，得出結(jié)論．
【解題過(guò)程】
證明：（1）∵EB⊥EF，
∴∠FEB＝90°，
∴∠DEF+∠BEG＝180°﹣90°＝90°．
又∵∠EBG+∠BEG＝90°，
∴∠DEF＝∠EBG；
（2）∵∠EBG＝∠A，∠DEF＝∠EBG，
∴∠A＝∠DEF．
∵EF平分∠AED，
∴∠AEF＝∠DEF，
∴∠A＝∠AEF，
∴AB//EF．
16．（2020秋?會(huì)寧縣期末）如圖，已知點(diǎn)E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF．
（1）求證：EA平分∠BEF；
（2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求證：AB∥CD．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)垂直的定義，角平分線的定義解答即可；
（2）根據(jù)平行線的判定解答即可．
【解題過(guò)程】
證明：（1）∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠2+∠3＝90°且∠1+∠4＝90°，
又∵EC平分∠DEF，
∴∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
∴EA平分∠BEF；
（2）∵∠1＝∠A，∠4＝∠C，
∴∠1+∠A+∠4+∠C＝2（∠1+∠4）＝180°，
∴∠B+∠D＝（180°﹣2∠1）+（180°﹣2∠4）＝360°﹣2（∠1+∠4）＝180°，
∴AB∥CD．
17．（2021?新洲區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)C，F(xiàn)，E，B在同一直線上，點(diǎn)A，D分別在直線BC的兩側(cè)，且DF平分∠ADC，AE平分∠DAB，∠B＝∠C．求證：AE∥DF．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義，可以得到∠FDO＝∠OAE，從而可以根據(jù)平行線的判定得到結(jié)論成立．
【解題過(guò)程】
證明：如圖，
∵∠B＝∠C，∠AOB＝∠DOC,
∴∠OAB＝∠ODC，
又∵DF平分∠ADC，AE平分∠DAB，
∴∠FDO∠ODC，∠OAE∠OAB，
∴∠FDO＝∠OAE，
∴AE∥DF．
18．（2021春?饒平縣校級(jí)期末）如圖所示，∠BED＝∠B+∠D，根據(jù)這一條件，你能得到AB∥CD嗎？請(qǐng)寫出過(guò)程．
【思路點(diǎn)撥】
過(guò)E作∠BEF＝∠B，再由條件∠BED＝∠B+∠D可得∠2＝∠D，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得EF∥CD，AB∥EF，進(jìn)而可得AB∥CD．
【解題過(guò)程】
解：可以得到AB∥CD，
過(guò)E作∠BEF＝∠B，
又∵∠BED＝∠B+∠D，
∴∠2＝∠D，
∴CD∥EF，
∵∠BEF＝∠B，
∴AB∥EF，
∴AB∥CD．
19．（2020秋?遂寧期末）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°）．
（1）猜想∠ACB與∠DCE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）當(dāng)∠ACE＜180°且點(diǎn)E在直線AC的上方時(shí)，這兩塊三角尺是否存在一組邊互相平行？若存在，請(qǐng)直接寫出∠ACE所有可能的度數(shù)及對(duì)應(yīng)情況下的平行線（不必說(shuō)明理由）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)①中的結(jié)論可提出猜想，再由∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠ACB+∠DCE＝90°+∠DCB+∠DCE可得出結(jié)論；
（2）分∠ACE＝30°，45°，120°，135°及165°進(jìn)行解答．
【解題過(guò)程】
解：（1）∠ACB+∠DCE＝180°；理由如下：
∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，
∴∠ACB+∠DCE＝90°+∠DCB+∠DCE＝90°+90°＝180°；
（2）存在，
當(dāng)∠ACE＝30°時(shí)，AD∥BC，理由如下，如圖1所示：
∵∠ACE＝∠DCB＝30°，∠D＝30°，
∴∠DCB＝∠D，
∴AD∥BC；
當(dāng)∠ACE＝∠E＝45°時(shí)，AC∥BE，理由如下，如圖2所示：
∵∠ACE＝∠DCB＝45°，∠B＝45°，
∴BE⊥CD，
又∵AC⊥CD，
∴AC∥BE；
當(dāng)∠ACE＝120°時(shí)，AD∥CE，理由如下，如圖3所示：
∵∠ACE＝120°，
∴∠DCE＝120°﹣90°＝30°，
又∵∠D＝30°，
∴∠DCE＝∠D，
∴AD∥CE；
當(dāng)∠ACE＝135°時(shí)，BE∥CD，理由如下，如圖4所示：
∵∠ACE＝135°，
∴∠DCE＝135°﹣90°＝45°，
∵∠E＝45°，
∴∠DCE＝∠E，
∴BE∥CD；
當(dāng)∠ACE＝165°時(shí)，BE∥AD．理由如下：
延長(zhǎng)AC交BE于F，如圖5所示：
∵∠ACE＝165°，
∴∠ECF＝15°，
∵∠E＝45°，
∴∠CFB＝∠ECF+∠E＝60°，
∵∠A＝60°，
∴∠A＝∠CFB，
∴BE∥AD．
20．（2021春?鹽都區(qū)月考）如圖1，直線EF上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠BAF＝110°，CD與AB在直線EF異側(cè)．
（1）若∠DCF＝70°，試判斷射線AB與CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）如圖2，若∠DCF＝60°，射線AB、CD分別繞A點(diǎn)，C點(diǎn)以1度/秒和6度/秒的速度同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t秒，在射線CD轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，是否存在某時(shí)刻，使得CD與AB平行？若存在，求出所有滿足條件的時(shí)間t．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到∠ACD＝180°﹣∠DCF＝110°，根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）分①AB與CD在EF的兩側(cè)，分別表示出∠ACD與∠BAC，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，列式計(jì)算即可得解；
②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式計(jì)算即可得解；
③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式計(jì)算即可得解．
【解題過(guò)程】
解：（1）AB∥CD，
理由：∵∠DCF＝70°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DCF＝110°，
∵∠BAF＝110°，
∴∠BAF＝∠ACD，
∴AB∥CD；
（2）解：存在．分三種情況：
如圖①，AB與CD在EF的兩側(cè)時(shí)，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，則∠ACD＝∠BAF，
即120°﹣（6t）°＝110°﹣t°，
解得t＝2；
此時(shí)（180°﹣60°）÷6＝20，
∴0＜t＜20；
②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)時(shí)，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝360°﹣（6t）°﹣60°＝300°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，則∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（6t）°＝110°﹣t°，
解得t＝38，
此時(shí)（360°﹣60°）÷6＝50，
∴20＜t＜50；
③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)時(shí)，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝（6t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（6t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣110°，
要使AB∥CD，則∠DCF＝∠BAC，
即（6t）°﹣300°＝t°﹣110°，
解得t＝38，
此時(shí)t＞50，
∵38＜50，
∴此情況不存在．
綜上所述，t為2秒或38秒時(shí)，CD與AB平行．

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