【典例1】數(shù)軸是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．小白在草稿紙上畫了一條數(shù)軸進(jìn)行操作探究：
操作一：
（1）折疊紙面，若使表示的點(diǎn)1與﹣1表示的點(diǎn)重合，則﹣2表示的點(diǎn)與 表示的點(diǎn)重合；
操作二：
（2）折疊紙面，若使1表示的點(diǎn)與﹣3表示的點(diǎn)重合，回答以下問題：
①表示的點(diǎn)與數(shù) 表示的點(diǎn)重合；
②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間距離為8（A在B的左側(cè)），且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合，則A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是 ；
操作三：
（3）在數(shù)軸上剪下9個(gè)單位長(zhǎng)度（從﹣1到8）的一條線段，并把這條線段沿某點(diǎn)折疊，然后在重疊部分某處剪一刀得到三條線段（如圖）．若這三條線段的長(zhǎng)度之比為1：1：2，則折痕處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所表示的數(shù)可能是 ．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)對(duì)稱性找到折痕的點(diǎn)為原點(diǎn)O，可以得出﹣2與2重合；
（2）根據(jù)對(duì)稱性找到折痕的點(diǎn)為﹣1，
①設(shè)表示的點(diǎn)與數(shù)a表示的點(diǎn)重合，根據(jù)對(duì)稱性列式求出a的值；
②因?yàn)锳B＝8，所以A到折痕的點(diǎn)距離為4，因?yàn)檎酆蹖?duì)應(yīng)的點(diǎn)為﹣1，由此得出A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)；
（3）分三種情況進(jìn)行討論：設(shè)折痕處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所表示的數(shù)是x，如圖1，當(dāng)AB：BC：CD＝1：1：2時(shí)，所以設(shè)AB＝a，BC＝a，CD＝2a，得a+a+2a＝9，a，得出AB、BC、CD的值，計(jì)算也x的值，同理可得出如圖2、3對(duì)應(yīng)的x的值．
【解題過程】
解：操作一，
（1）∵表示的點(diǎn)1與﹣1表示的點(diǎn)重合，
∴折痕為原點(diǎn)O，
則﹣2表示的點(diǎn)與2表示的點(diǎn)重合，
故答案為：2；
操作二：
（2）∵折疊紙面，若使1表示的點(diǎn)與﹣3表示的點(diǎn)重合，
則折痕表示的點(diǎn)為﹣1，
①設(shè)表示的點(diǎn)與數(shù)a表示的點(diǎn)重合，
則（﹣1）＝﹣1﹣a，
a＝﹣2；
②∵數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間距離為8，
∴數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)到折痕﹣1的距離為4，
∵A在B的左側(cè)，
則A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別是﹣5和3；
故答案為：①﹣2，②﹣5和3；
操作三：
（3）設(shè)折痕處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所表示的數(shù)是x，
如圖1，
當(dāng)AB：BC：CD＝1：1：2時(shí)，
設(shè)AB＝a，BC＝a，CD＝2a，
a+a+2a＝9，
a，
∴AB，BC，CD，
x＝﹣1，
如圖2，
當(dāng)AB：BC：CD＝1：2：1時(shí)，
設(shè)AB＝a，BC＝2a，CD＝a，
a+a+2a＝9，
a，
∴AB，BC，CD，
x＝﹣1，
如圖3，
當(dāng)AB：BC：CD＝2：1：1時(shí)，
設(shè)AB＝2a，BC＝a，CD＝a，
a+a+2a＝9，
a，
∴AB，BC＝CD，
x＝﹣1，
綜上所述：則折痕處對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所表示的數(shù)可能是或或．
故答案為：或或．
1．（2021秋?海曙區(qū)期末）如圖，面積為5的正方形ABCD的頂點(diǎn)A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為1，若點(diǎn)E在數(shù)軸上，（點(diǎn)E在點(diǎn)A的右側(cè)）且AB＝AE，則E點(diǎn)所表示的數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)是面積的算術(shù)平方根得AD＝AE，結(jié)合A點(diǎn)所表示的數(shù)及AE間距離可得點(diǎn)E所表示的數(shù)．
【解題過程】
解：∵正方形ABCD的面積為5，且AD＝AE，
∴AD＝AE，
∵點(diǎn)A表示的數(shù)是1，且點(diǎn)E在點(diǎn)A左側(cè)，
∴點(diǎn)E表示的數(shù)為1．
故選：B．
2．（2021秋?拱墅區(qū)期末）如圖，實(shí)數(shù)1在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)可能是（ ）
A．A點(diǎn)B．B點(diǎn)C．C點(diǎn)D．D點(diǎn)
【思路點(diǎn)撥】
先確定的范圍，再推出的范圍，從而得解．
【解題過程】
解：∵，
∴，
∴在在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)可能是C．
故選：C．
3．（2021?福州模擬）若實(shí)數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則①a＞﹣4；②b+d＜0；③|a|＜c2；④c的結(jié)論中，正確的是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．③④
【思路點(diǎn)撥】
①根據(jù)在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的大即可判斷；
②根據(jù)異號(hào)兩數(shù)的加法法則判斷；
③注意到c是一個(gè)真分?jǐn)?shù)，所以c2＜1，而|a|＞3，從而作出判斷；
④先判斷c2與d的大小，再開方即可．
【解題過程】
解：①根據(jù)在數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的大可知：a＞﹣4，符合題意；
②異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大數(shù)的符號(hào)，取d的符號(hào)正號(hào)，所以b+d＞0，不符合題意；
③∵|a|＞3，c2＜1，∴|a|＞c2，不符合題意；
④∵c2＜1，d＞2，∴c2＜d，∴c，符合題意；
故選：B．
4．（2021秋?瑞安市期中）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是1，點(diǎn)B，C分別位于點(diǎn)A兩側(cè)，且到點(diǎn)A的距離相等．若點(diǎn)B表示的數(shù)是，則點(diǎn)C表示的數(shù)是（ ）
A．B．1C．2D．2
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)點(diǎn)A、B表示的實(shí)數(shù)，確定出線段AB的長(zhǎng)度，就能求得此題結(jié)果．
【解題過程】
解：∵數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是1，點(diǎn)B表示的數(shù)是，
∴線段AC的長(zhǎng)度和線段AB的長(zhǎng)度為：1，
∴點(diǎn)C表示的數(shù)為1﹣（1）＝2，
故選：C．
5．（2021?福建模擬）已知實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列判斷正確的是（ ）
A．a(chǎn)+b≥﹣1B．a(chǎn)b＞﹣1C．1D．1
【思路點(diǎn)撥】
由數(shù)軸上的點(diǎn)得出a與b的正負(fù)及絕對(duì)值的大小，再結(jié)合運(yùn)算法則進(jìn)行判斷即可．
【解題過程】
解：由數(shù)軸可知，﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，
∴a+b＜0，但無法判斷與﹣1的大小關(guān)系，故A不符合題意；
∵2＜|a|＜3，1＜|b|＜2，
∴1＜|ab|＜6，
∴﹣6＜ab＜﹣1，故B不符合題意；
由上知，|a|＞|b|，
∴||＜1，
∴﹣10，故C符合題意，D不符合題意．
故選：C．
6．（2021春?天津期中）如圖，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為和4.1，則A，B兩點(diǎn)之間表示整數(shù)的點(diǎn)共有 個(gè)．
【思路點(diǎn)撥】
估計(jì)出的范圍即可求解．
【解題過程】
解：∵1＜2＜4，
∴12，
∴A，B兩點(diǎn)之間的整數(shù)有2，3，4三個(gè)，
故答案為：3．
7．（2021春?番禺區(qū)校級(jí)月考）如圖，實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)|a﹣π|+|a|的結(jié)果為 ．
【思路點(diǎn)撥】
此題觀察數(shù)a在數(shù)軸上表示數(shù)的大小，并判斷a﹣π，a的正負(fù)，最后去絕對(duì)值即可求解．
【解題過程】
解：由數(shù)軸上a的位置可知，
∵2＜a＜3，
∴a﹣π＜0，a＜0，
∴|a﹣π|+|a|＝﹣（a﹣π）﹣（a）＝﹣a+πa＝π．
故答案為：π．
8．（2021秋?鄞州區(qū)期中）已知在紙面上有一數(shù)軸，折疊紙面，使﹣1表示的點(diǎn)與5表示的點(diǎn)重合，則表示的點(diǎn)與數(shù) 表示的點(diǎn)重合．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)對(duì)稱的知識(shí)，若﹣1表示的點(diǎn)與5表示的點(diǎn)重合，則對(duì)稱中心是2，從而找到的對(duì)稱點(diǎn)．
【解題過程】
解：若﹣1表示的點(diǎn)與5表示的點(diǎn)重合，則對(duì)稱中心是2，
所以表示的點(diǎn)與數(shù)4表示的點(diǎn)重合；
故答案為4．
9．（2021秋?拱墅區(qū)期中）在數(shù)軸上，點(diǎn)M，N分別表示數(shù)m，n，則點(diǎn)M，N之間的距離為|m﹣n|．
（1）若數(shù)軸上的點(diǎn)M，N分別對(duì)應(yīng)的數(shù)為2和，則M，N間的距離為 2 ，MN中點(diǎn)表示的數(shù)是 ．
（2）已知點(diǎn)A，B，C，D在數(shù)軸上分別表示數(shù)a，b，c，d，且|a﹣c|＝|b﹣c||d﹣a|＝1（a≠b），則線段BD的長(zhǎng)度為 ．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)M，N間的距離為|2（）|＝2，得中點(diǎn)到M的距離為21，即可得出答案；
（2）先由|a﹣c|＝|b﹣c||d﹣a|＝1（a≠b），推得點(diǎn)C在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間，且C與A，C與B之間的距離均為1，D與A之間的距離為2.5，據(jù)此畫數(shù)軸草圖，因不知原點(diǎn)的具體位置，故不標(biāo)原點(diǎn)及數(shù)值，據(jù)此可解．
【解題過程】
解：（1）∵數(shù)軸上的點(diǎn)M，N分別對(duì)應(yīng)的數(shù)為2和，
∴M，N間的距離為|2（）|＝2，
∴中點(diǎn)到M的距離為21，
∴MN中點(diǎn)表示的數(shù)為21＝1，
故答案為：2；1；
（2）∵|a﹣c|＝|b﹣c|＝1
∴點(diǎn)C在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間，且AC＝BC＝1，
∵|d﹣a|＝1，
∴|d﹣a|＝1.5，
∴AD＝1.5，
不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，
如圖（1，點(diǎn)D在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，
線段BD的長(zhǎng)為3.5；
如圖（2），點(diǎn)D在A的右側(cè)時(shí)，
線段BD的長(zhǎng)為0.5，
故答案為：3.5或0.5．
10．（2021春?雨花區(qū)期中）實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中c為8的立方根，求代數(shù)式|b﹣a||2b|的值．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)c為8的立方根，求得c＝2，因?yàn)閍＜0，b﹣a＜0，b﹣c＜0，2b＜0，根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)化簡(jiǎn)即可．
【解題過程】
解：∵c為8的立方根，
∴c＝2，
∵a＜0，b﹣a＜0，b﹣c＜0，2b＜0，
∴原式＝|a|+|b﹣a|+|b﹣c|﹣|2b|
＝﹣a+a﹣b+c﹣b+2b
＝c＝2．
11．（2021春?廬江縣期末）數(shù)軸上的點(diǎn)A、B依次表示兩個(gè)實(shí)數(shù)．
（1）如圖，在數(shù)軸上描出點(diǎn)A和點(diǎn)B的大致位置；
（2）如果點(diǎn)C在數(shù)軸上，且點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是，求點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)兩個(gè)數(shù)的范圍找到其在數(shù)軸上的大致位置．
（2）利用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式即可計(jì)算．
【解題過程】
解：（1）如圖：
（2）設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)是x，則：
|x|＝2．
∴x或﹣3．
∴點(diǎn)C表示的數(shù)是或﹣3．
12．（2021秋?樂亭縣期末）如圖，一只螞蟻從點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向右爬了2個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)B，點(diǎn)A表示，設(shè)點(diǎn)B所表示的數(shù)為m．
（1）實(shí)數(shù)m的值是 ．
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）在數(shù)軸上還有C、D兩點(diǎn)分別表示實(shí)數(shù)c和d，且有|2c+4|與互為相反數(shù)，求2c+3d的平方根．
【思路點(diǎn)撥】
（1）通過A，B在數(shù)軸上表示的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算．
（2）化簡(jiǎn)絕對(duì)值進(jìn)行運(yùn)算．
（3）根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義進(jìn)行解答．
【解題過程】
解：∵點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)2個(gè)單位處，
∴點(diǎn)B所表示的數(shù)m為：2，即2．
故答案為：2．
，則m+1＞0，m﹣1＜0，
∴|m+1|+|m﹣1|＝m+1+1﹣m＝2；
答：|m+1|+|m﹣1|的值為2．
（3）∵|2c+4|與互為相反數(shù)，
∴，
∴|2c+4|＝0，且，
解得：c＝﹣2，d＝4，
∴2c+3d＝8，
∴2c+3d的平方根為±2．
答：2c+3d的平方根為±2．
13．（2021?玉田縣二模）如圖，數(shù)軸上有A、B、C三個(gè)點(diǎn)，它們所表示的數(shù)分別為a、b、c三個(gè)數(shù)，其中b＜0，且b的倒數(shù)是它本身，且a、c滿足（c﹣4）2+|a+3|＝0．
（1）計(jì)算：a2﹣2a的值；
（2）若將數(shù)軸折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，求與點(diǎn)C重合的點(diǎn)表示的數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與c的值，代入原式計(jì)算即可求出值；
（2）根據(jù)a，b的值，確定出中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出與C重合的點(diǎn)即可．
【解題過程】
解：（1）∵（c﹣4）2+|a+3|＝0，
∴c﹣4＝0，a+3＝0，
解得：a＝﹣3，c＝4，
則原式＝a2﹣2a（﹣3）2﹣2×（﹣3）9﹣（﹣6）﹣2＝13；
（2）∵b＜0，且b的倒數(shù)是它本身，
∴b＝﹣1，
∵a＝﹣3，
∴﹣3和﹣1重合，﹣3和﹣1的中點(diǎn)為﹣2，
∵c＝4，
∴與點(diǎn)C重合的點(diǎn)表示的數(shù)是﹣8；
14．（2021春?潢川縣月考）如圖甲，這是由8個(gè)同樣大小的立方體組成的魔方，總體積為Vcm3．
（1）這個(gè)魔方的棱長(zhǎng)是 ．（用代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)魔方體積V＝64cm3時(shí)，
①求出這個(gè)魔方的棱長(zhǎng)．
②圖甲中陰影部分是一個(gè)正方形ABCD，求出陰影部分的面積及其邊長(zhǎng)．
③把正方形ABCD放置在數(shù)軸上，如圖乙所示，使得點(diǎn)A與數(shù)1重合，則D在數(shù)軸上表示的數(shù)為 ．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)體積的計(jì)算方法，可表示其棱長(zhǎng)，
（2）①由魔方體積V＝64cm3，開立方可求出魔方的棱長(zhǎng)；
②求出每個(gè)小立方體的棱長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理可求出答案；
③求出點(diǎn)D所表示數(shù)的絕對(duì)值，再得出點(diǎn)D所表示的數(shù)．
【解題過程】
解：（1）因?yàn)槠闯傻哪Х襟w積為Vcm3，
所以這個(gè)魔方的棱長(zhǎng)為cm；
故答案為：；
（2）當(dāng)魔方體積V＝64cm3時(shí)，
①∵43＝64，
∴4，
所以這個(gè)魔方的棱長(zhǎng)為4cm；
②因?yàn)槟Х降睦忾L(zhǎng)為4cm；
所以每個(gè)小立方體的棱長(zhǎng)為4÷2＝2（cm），
所以陰影部分正方形ABCD的邊長(zhǎng)為（cm），
S正方形ABCD＝（）2＝8（cm2），
答：陰影部分正方形ABCD的面積是8cm2，邊長(zhǎng)為cm；
③點(diǎn)D到原點(diǎn)的距離為：1，
又因?yàn)辄c(diǎn)D在原點(diǎn)的左側(cè)，
所以點(diǎn)D所表示的數(shù)為﹣（1）＝1﹣，
故答案為：1﹣．
15．（2021秋?江干區(qū)校級(jí)期中）已知實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，其中b＝﹣1，且a，c滿足|a+5|+（c﹣7）2＝0．
（1）a＝ ，c＝ ；
（2）若點(diǎn)B保持靜止，點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)C以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AB＝ ，BC＝ （結(jié)果用含t的代數(shù)式表示）；這種情況下，5AB﹣BC的值是否隨著時(shí)間t的變化而變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求其值；
（3）若在點(diǎn)A、C開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)B向右運(yùn)動(dòng)，并且A，C兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度和運(yùn)動(dòng)方向與（2）中相同，當(dāng)t＝3時(shí)，AC＝2BC，求點(diǎn)B的速度．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)絕對(duì)值和偶次方的非負(fù)性即可求解出a和c的值；
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的方向好速度求解即可，列式計(jì)算5AB﹣BC是否為定值．
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間求出點(diǎn)A和點(diǎn)C所表示的數(shù)，進(jìn)而求出AC的距離，根據(jù)AC＝2BC，可求出BC的長(zhǎng)度，再根據(jù)等量關(guān)系求解即可．
【解題過程】
解：（1）|a+5|+（c﹣7）2＝0，
∵|a+5|≥0且（c﹣7）2≥0，
∴a＝﹣5，c＝7．
故答案為：﹣5，7．
（2）點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，
∴AB＝4+t，
點(diǎn)C以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，
∴BC＝8+5t，
故答案為：4+t，8+5t．
5AB﹣BC＝5（4+t）﹣（8+5t）＝12．
∴5AB﹣BC的值不會(huì)隨著時(shí)間t的變化而變化．
（3）當(dāng)點(diǎn)B在AC之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，
t＝3此時(shí)點(diǎn)A所表示的數(shù)為﹣（5+3×1）＝﹣8，
點(diǎn)C所表示的數(shù)為7+3×5＝22，
∴AC＝30，
∵AC＝2BC，
∴BC＝15，
設(shè)B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為x，
∴|BC|＝|23﹣3x|＝15，
∴x或，
∴點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)速度為每秒或個(gè)單位．
16．（2021春?二道區(qū)期末）如圖①，點(diǎn)O為數(shù)軸原點(diǎn)，OA＝3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OA方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，回答下列問題．
（1）點(diǎn)A表示的數(shù)為 ，點(diǎn)D表示的數(shù)為 ．
（2）t秒后點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為 （用含t的式子表示）．
（3）當(dāng)PD＝2時(shí)，求t的值．
（4）如圖②，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，作線段PE＝3，點(diǎn)E在點(diǎn)P右側(cè)，以PE為邊向上作正方形PEFG，當(dāng)正方形PEFG與正方形ABCD重疊面積為6時(shí)，直接寫出t的值．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)線段OA的長(zhǎng)和正方形的邊長(zhǎng)可以求解．
（2）根據(jù)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間得出運(yùn)動(dòng)路程，對(duì)應(yīng)數(shù)數(shù)軸得出結(jié)論．
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)過程P點(diǎn)處于不同位置進(jìn)行分類討論．
（4）根據(jù)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)確定正方形的位置再去討論重合面積為6時(shí)的t值．
【解題過程】
解：（1）∵OA＝3，且O為數(shù)軸原點(diǎn)，在O的右側(cè)，
∴A表示的數(shù)為3，
∵正方形的邊長(zhǎng)為6，
∴OD＝6+3＝9，
∴D表示的數(shù)為9．
故答案是3，9；
（2）∵P點(diǎn)從O點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)且速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度
∴OP＝2t，
故答案是2t．
（3）∵OP＝2t，OD＝9，
∴①當(dāng)P點(diǎn)在D點(diǎn)左側(cè)時(shí)，
9﹣2t＝2，
解得t＝3.5；
②當(dāng)P點(diǎn)在D點(diǎn)右側(cè)時(shí)，
2t﹣9＝2，
解得t＝5.5．
答：當(dāng)PD＝2時(shí)，t的值是3.5或5.5．
（4）由題意得：
①當(dāng)E點(diǎn)在D點(diǎn)左側(cè)時(shí)，AE＝2t，
∴2t×3＝6，
解得t＝1；
②當(dāng)E點(diǎn)在D點(diǎn)右側(cè)時(shí)，
（9﹣2t）×3＝6，
解得：t＝3.5．
答：當(dāng)正方形PEFG與正方形ABCD重疊面積為6時(shí)，t的值是1或3.5．
17．（2021秋?長(zhǎng)沙期末）如圖1，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是6，﹣6，∠DCE＝90°（C與O重合，D點(diǎn)在數(shù)軸的正半軸上）
（1）如圖1，若CF平分∠ACE，則∠AOF＝ ；
（2）如圖2，將∠DCE沿?cái)?shù)軸的正半軸向右平移t（0＜t＜3）個(gè)單位后，再繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30t度，作CF平分∠ACE，此時(shí)記∠DCF＝α．
①當(dāng)t＝1時(shí)，α＝ ；
②猜想∠BCE和α的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖3，開始∠D1C1E1與∠DCE重合，將∠DCE沿?cái)?shù)軸正半軸向右平移t（0＜t＜3）個(gè)單位，再繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30t度，作CF平分∠ACE，此時(shí)記∠DCF＝α，與此同時(shí)，將∠D1C1E1沿?cái)?shù)軸的負(fù)半軸向左平移t（0＜t＜3）個(gè)單位，再繞頂點(diǎn)C1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30t度，作C1F1平分∠AC1E1，記∠D1C1F1＝β，若α，β滿足|α﹣β|＝45°，請(qǐng)用t的式子表示α、β并直接寫出t的值．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)角平分線的定義進(jìn)行計(jì)算便可；
（2）①根據(jù)∠FCD＝∠ACF﹣∠ACD，求出∠ACF，∠ACD即可；
②猜想：∠BCE＝2α．根據(jù)∠BCE＝∠AOB﹣∠ECD﹣∠ACD計(jì)算即可；
（3）求出α，β（用t表示），構(gòu)建方程即可解決問題．
【解題過程】
（1）∵CF平分∠ACE，
∴∠AOF∠AOE＝45°，
故答案為：45°；
（2）①∵t＝1，
∴∠ACD＝30t＝30°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝120°，
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF＝60°，
∵∠DCF＝α，
∴α＝∠ACF﹣∠ACD＝30°，
故答案為：30°；
②∠BCE＝2α，
證明：∠BCE＝180°﹣（90°+30t）＝90°﹣30t
由平分知：90°﹣α＝α+30t
30t＝90°﹣2α
∴∠BCE＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α；
（3）α＝∠FCA﹣∠DCA（90°+30t）﹣30t＝45°﹣15t，
β＝∠AC1D1+∠AC1F1＝30t（90°﹣30t）＝45°+15t，
∵|α﹣β|＝45°，
∴|30t|＝45°，
∴t＝±，
∵0＜t＜3，
∴t．
18．（2021春?海珠區(qū)期中）如圖，數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，AB＝12，原點(diǎn)O是線段AB上的一點(diǎn)，OA＝2OB．
（1）寫出A，B兩點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)；
（2）若點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，且滿足AC＝CO+CB，求C點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)；
（3）若動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．
①當(dāng)t為何值時(shí)，2OP﹣OQ＝4；
②當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)的速度也向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M追上點(diǎn)Q后立即返回，以同樣的速度向點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，遇到點(diǎn)P后再立即返回，以同樣的速度向點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)，如此往返，直到點(diǎn)P、Q停止時(shí)，點(diǎn)M也停止運(yùn)動(dòng)，求在此過程中，點(diǎn)M行駛的總路程和點(diǎn)M最后位置在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
（1）由AO＝2OB可知，將12平均分成三份，AO占兩份為8，OB占一份為4，由圖可知，A在原點(diǎn)的左邊，B在原點(diǎn)的右邊，從而得出結(jié)論；
（2）分兩種情況：①點(diǎn)C在原點(diǎn)的左邊，即在線段OA上時(shí)，②點(diǎn)C在原點(diǎn)的右邊，即在線段OB上時(shí)，分別根據(jù)AC＝CO+CB列式即可；
（3）①分兩種情況：點(diǎn)P在原點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)時(shí)，OP表示的代數(shù)式不同，OQ＝4+t，分別代入2OP﹣OQ＝4列式即可求出t的值；
②點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間就是點(diǎn)P從點(diǎn)O開始到追到點(diǎn)Q的時(shí)間，設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，列式為t（2﹣1）＝8，解出即可解決問題．
【解題過程】
解：（1）∵AB＝12，AO＝2OB，
∴AO＝8，OB＝4，
∴A點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)為﹣8，B點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)為4；
（2）設(shè)C點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)為x，
分兩種情況：①點(diǎn)C在線段OA上時(shí)，則x＜0，如圖1，
∵AC＝CO+CB，
∴8+x＝﹣x+4﹣x，
3x＝﹣4，
x；
②點(diǎn)C在線段OB上時(shí)，則x＞0，如圖2，
∵AC＝CO+CB，
∴8+x＝4，
x＝﹣4（不符合題意，舍）；
綜上所述，C點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)是；
（3）①當(dāng)0＜t＜4時(shí)，如圖3，
AP＝2t，OP＝8﹣2t，BQ＝t，OQ＝4+t，
∵2OP﹣OQ＝4，
∴2（8﹣2t）﹣（4+t）＝4，
t1.6，
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，如圖4，
2t＝12+t，t＝12，
當(dāng)4＜t＜12時(shí)，如圖5，
OP＝2t﹣8，OQ＝4+t，
則2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，
t＝8，
綜上所述，當(dāng)t為1.6秒或8秒時(shí)，2OP﹣OQ＝4；
②當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，8÷2＝4，此時(shí)，OQ＝4+t＝8，即點(diǎn)Q所表示的實(shí)數(shù)為8，
如圖6，設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，
由題意得：2t﹣t＝8，
t＝8，
此時(shí)，點(diǎn)P表示的實(shí)數(shù)為8×2＝16，所以點(diǎn)M表示的實(shí)數(shù)也是16，
∴點(diǎn)M行駛的總路程為：3×8＝24，
答：點(diǎn)M行駛的總路程為24和點(diǎn)M最后位置在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為16．
19．（2021春?興寧區(qū)校級(jí)期中）如圖，在數(shù)軸上有兩個(gè)長(zhǎng)方形ABCD和EFGH，這兩個(gè)長(zhǎng)方形的寬都是3個(gè)單位長(zhǎng)度，長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)AD是6個(gè)單位長(zhǎng)度，長(zhǎng)方形EFGH的長(zhǎng)EH是10個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)E在數(shù)軸上表示的數(shù)是5．且E、D兩點(diǎn)之間的距離為14．
（1）填空：點(diǎn)H在數(shù)軸上表示的數(shù)是 ，點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是 ．
（2）若線段AD的中點(diǎn)為M，線段EH上一點(diǎn)N，ENEH，M以每秒4個(gè)單位的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，N以每秒3個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，原點(diǎn)為O．當(dāng)OM＝2ON時(shí)，求x的值．
（3）若長(zhǎng)方形ABCD以每秒2個(gè)單位的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)方形EFGH固定不動(dòng)，設(shè)長(zhǎng)方形ABCD運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（t＞0）秒，兩個(gè)長(zhǎng)方形重疊部分的面積為S，當(dāng)S＝12時(shí)，求此時(shí)t的值．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離，可求得點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)；
（2）根據(jù)題意，可表達(dá)出點(diǎn)M和點(diǎn)N對(duì)應(yīng)數(shù)，進(jìn)而表達(dá)OM和ON的長(zhǎng)，根據(jù)OM＝2ON，建立等式，求解即可；
（3）根據(jù)數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題，圖形動(dòng)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)動(dòng)，根據(jù)題意求解即可．
【解題過程】
解：（1）由題意可得，點(diǎn)H在數(shù)軸上表示的數(shù)為：5+10＝15；
點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)為：5﹣14﹣6＝﹣15．
故答案為：15；﹣15．
（2）∵點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)M表示的數(shù)為5﹣1412，
又∵ENEH，
∴點(diǎn)N在數(shù)軸上表示的數(shù)為：5（15﹣5），
由題意可得，x秒時(shí)，
點(diǎn)M在數(shù)軸上表示的數(shù)為：﹣12+4x，
點(diǎn)N在數(shù)軸上表示的數(shù)為：3x，
∴OM＝|4x﹣12|，ON＝|3x|，
∵OM＝2ON，
∴|4x﹣12|＝2|3x|
∴4x﹣12＝2（3x）或4x﹣12＝﹣2（3x），
解得x或x．
故答案為：或．．
（3）當(dāng)CD與EF重合時(shí)，所用時(shí)間為7秒，
由題意得：AD與EH重合的部分為4，如圖1所示，

設(shè)長(zhǎng)方形ABCD從EF運(yùn)動(dòng)到AD與EH重疊部分為4時(shí)，所用的時(shí)間為t1秒，
∴t12，
∴第一次重疊面積為12時(shí)，時(shí)間t為2+7＝9（秒）；
當(dāng)AD與EH重疊部分為4時(shí)，如圖2所示，
設(shè)長(zhǎng)方形ABCD從EF運(yùn)動(dòng)到AD與EH重疊部分為4時(shí)，所用的時(shí)間為t2秒，
∴t26，
∴第二次重疊面積S＝12時(shí)，時(shí)間t為6+7＝13（秒）；
∴當(dāng)長(zhǎng)方形ABCD與長(zhǎng)方形EFGH重疊部分的面積為12時(shí)，t的值為9或13．
20．（2021春?岳麓區(qū)月考）如圖1，數(shù)軸上O點(diǎn)與C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是0、90（單位：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度），將一根質(zhì)地均勻的直尺AB放在數(shù)軸上（A在B的左邊），若將直尺在數(shù)軸上水平移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B的位置時(shí)，B與C重合；當(dāng)點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)A的位置時(shí)，A與O重合．
（1）直尺AB的長(zhǎng)為 個(gè)單位長(zhǎng)度．
（2）若直尺AB在數(shù)軸上移動(dòng)，且滿足BC＝5OA，請(qǐng)借助圖2求此時(shí)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)；
（3）如圖3，在數(shù)軸前面放一個(gè)以O(shè)C為邊不透明的長(zhǎng)方形擋板，將直尺AB放在擋板后數(shù)軸上的某處（看不到直尺的任何部分，A在B的左邊），將直尺AB沿?cái)?shù)軸以5個(gè)單位/秒的速度分別向左、向右移動(dòng)，直到直尺完全被看到．
①若向左移動(dòng)所經(jīng)歷時(shí)間是向右移動(dòng)所經(jīng)歷時(shí)間的2倍，求直尺起初放置時(shí)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為多少？
②若不透明的擋板與直尺AB同時(shí)出發(fā)，擋板沿?cái)?shù)軸以1個(gè)單位/秒的速度向右移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為多少時(shí)，向左、向右移動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間相差2秒？
【思路點(diǎn)撥】
（1）線段OA、AB、BC長(zhǎng)度相等以及線段OC的長(zhǎng)度，求出線段AB的長(zhǎng)度；
（2）需對(duì)直尺AB與點(diǎn)O、點(diǎn)C的位置進(jìn)行分類討論，表示出線段BC與OA的長(zhǎng)度，利用方程求點(diǎn)A表示的數(shù)；
（3）①由“速度×?xí)r間＝路程”，結(jié)合線段長(zhǎng)度求A對(duì)應(yīng)的數(shù)；
②利用追擊問題和相遇問題，求點(diǎn)A表示的數(shù)．
【解題過程】
解：（1）∵將直尺在數(shù)軸上水平移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B的位置時(shí)，B與C重合；當(dāng)點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)A的位置時(shí)，A與O重合，
∴OC＝3OA＝3AB＝3BC，
∵O點(diǎn)與C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是0、90，
∴OC＝90，
∴AB＝OA＝BC＝30（單位長(zhǎng)度），
故答案為：30．
（2）設(shè)點(diǎn)A表示的數(shù)為x，則：點(diǎn)B表示的數(shù)為（30+x），
①如圖（1），當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)O左側(cè)時(shí)，
OA＝﹣x，BC＝90﹣（30+x）＝60﹣x，
∵BC＝5OA，
∴60﹣x＝﹣5x，
解得：x＝﹣15，
∴點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣15．
②如圖（2），當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)O右側(cè)，點(diǎn)B在點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，
OA＝x，BC＝60﹣x，
∵BC＝5OA，
∴60﹣x＝5x，
解得：x＝10，
∴點(diǎn)A表示的數(shù)為10．
③如圖（3），當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，
很顯然，OA＞BC，
∴BC＝5OA不成立．
綜上所述：當(dāng)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為﹣15或10時(shí)，BC＝5OA．
（3）①∵向左、向右移動(dòng)的速度相同，向左的時(shí)間是向右時(shí)間的2倍，
∴向左的路程是向右路程的2倍，即：OB＝2AC，
設(shè)OB＝2a，AC＝a，則：
2a+a﹣30＝90，
解得：a＝40，
∴OB＝80，
∴OA＝80﹣30＝50，
∴點(diǎn)A表示的數(shù)為50．
②設(shè)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為m，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為（m+30），則：
OA＝m，BC＝60﹣m，
（i）當(dāng)左移時(shí)間大于右移時(shí)間時(shí)，
，解得：m＝46.8，
（ii）當(dāng)左移時(shí)間小于右移時(shí)間時(shí)，
，解得：m＝37.2，
綜上所述：點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為46.8或37.2時(shí)，右移和左移時(shí)間相差2秒．

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2021學(xué)年6.2 實(shí)數(shù)精品課時(shí)練習(xí)

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