【典例1】如圖，三角形A'B'C'是由三角形ABC經(jīng)過某種平移得到的，點A與點A'，點B與點B'，點C與點C'分別對應，且這六個點都在格點上，觀察各點以及各點坐標之間的關系，解答下列問題：
（1）分別寫出點B和點B'的坐標，并說明三角形A'B'C'是由三角形ABC經(jīng)過怎樣的平移得到的．
（2）連接BC'，直接寫出∠CBC'與∠B'C'O之間的數(shù)量關系 ．
（3）若點M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC內(nèi)一點，它隨三角形ABC按（1）中方式平移后得到的對應點為點N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．
【思路點撥】
（1）利用坐標系可得點B和點B'的坐標，根據(jù)兩點坐標可得平移方法；
（2）利用平移的性質進行計算即可；
（3）利用（1）中的平移方式可得a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，再解即可．
【解題過程】
解：（1）B（2，1），B′（﹣1，﹣2），
△A'B'C'是由△ABC向左平移3個單位長度，再向下平移3個單位長度得到的；
（2）如圖，
由平移可得：∠CBC′＝BC′B′，
∵∠BC′B′＝∠BC′O+∠B′C′O＝90°+∠B′C′O，
∴∠CBC'＝90°+∠B′C′O；
（3）若M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC內(nèi)一點，
它隨△ABC按（1）中方式平移后得到對應點N（2a﹣7，4﹣b），
則a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，
解得：a＝3，b＝4．
1．（2022?重慶模擬）在平面直角坐標系中，將點A（﹣1，2）向下平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，得到點A′，則點A′的坐標是（ ）
A．（﹣3，﹣1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣4，4）
【思路點撥】
利用點平移的坐標規(guī)律，把A點的橫坐標加2，縱坐標減3即可得到點A′的坐標．
【解題過程】
解：將點A（﹣1，2）向下平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，得到點A′，
則點A′的坐標是（﹣1+2，2﹣3），即A′（1，﹣1）．
故選：B．
2．（2021秋?定遠縣校級期末）在平面直角坐標系中，將點P（x，y）先向左平移4個單位，再向上平移3個單位后得到點P′（1，2），則點P的坐標為（ ）
A．（2，6）B．（﹣3，5）C．（﹣3，1）D．（5，﹣1）
【思路點撥】
根據(jù)向左平移橫坐標減，向上平移縱坐標加即可得解．
【解題過程】
解：由題意知點P的坐標為（1+4，2﹣3），即（5，﹣1），
故選：D．
3．（2021春?禹城市期末）△ABC三個頂點的坐標分別為A（2，1），B（4，3），C（0，2），將△ABC平移到了△A′B′C′，其中A′（﹣1，3），則C′點的坐標為（ ）
A．（﹣3，6）B．（2，﹣1）C．（﹣3，4）D．（2，5）
【思路點撥】
直接利用坐標與圖形的性質得出對應點坐標變化規(guī)律，進而得出答案．
【解題過程】
解：∵△ABC頂點的A的坐標為A（2，1），將△ABC平移到了△A'B'C'，其中A'（﹣1，3），
∴橫坐標減3，縱坐標加2，
∵C（0，2），
∴對應點C′的坐標為：（﹣3，4）．
故選：C．
4．（2021秋?阜陽月考）已知點A（1，﹣3），點B（2，﹣1），將線段AB平移至A1B1．若點A1（a，1），點B1（3，﹣b），則a﹣b的值為（ ）
A．1B．﹣1C．5D．﹣5
【思路點撥】
利用平移的規(guī)律求出a，b即可解決問題．
【解題過程】
解：由題意得：a＝1+1＝2，﹣b＝﹣1+4＝3，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴a﹣b＝5，
故選：C．
5．（2021秋?任城區(qū)校級月考）在平面直角坐標系xOy中，線段AB的兩個端點坐標分別為A（﹣1，﹣1），B（1，2），平移線段AB，平移后其中一個端點的坐標為（3，﹣1），則另一端點的坐標為（ ）
A．（1，4）B．（5，2）
C．（1，﹣4）或（5，2）D．（﹣5，2）或（1，﹣4）
【思路點撥】
分兩種情形，利用平移的規(guī)律求解即可．
【解題過程】
解：當A（﹣1，﹣1）的對應點為（3，﹣1）時，B（1，2）的對應點（5，2），
當B（1，2）的對應點為（3，﹣1）時，A（﹣1，﹣1）的對應點（1，﹣4），
故選：C．
6．（2021春?夏津縣期末）在平面直角坐標系中，將點P（n﹣2，2n+4）向右平移m個單位長度后得到點的坐標為（4，6），則m的值為（ ）
A．1B．3C．5D．14
【思路點撥】
根據(jù)橫坐標，右移加，左移減可得點P（n﹣2，2n+4）向右平移m個單位長度可得P′（n﹣2+m，2n+4），進而得到n﹣2+m＝4，2n+4＝6，再解方程即可．
【解題過程】
解：：∵點P（n﹣2，2n+4），
∴向右平移m個單位長度可得P′（n﹣2+m，2n+4），
∵P′（4，6），
∴n﹣2+m＝4，2n+4＝6，
解得：n＝l，m＝5
故選：C．
7．（2021春?無為市月考）如圖，點A1（1，1），點A1向上平移1個單位，再向右平移2個單位，得到點A2；點A2向上平移2個單位，再向右平移4個單位，得到點A3；點A3向上平移4個單位，再向右平移8個單位，得到點A4，…，按這個規(guī)律平移得到點A2021，則點A2021的橫坐標為（ ）
A．22021﹣1B．22021C．22022﹣1D．22022
【思路點撥】
先求出點A1，A2，A3，A4的橫坐標，再從特殊到一般探究出規(guī)律，然后利用規(guī)律即可解決問題．
【解題過程】
解：∵點A1的橫坐標為1＝21﹣1，
點A2的橫坐為標3＝22﹣1，
點A3的橫坐標為7＝23﹣1，
點A4的橫坐標為15＝24﹣1，
…
按這個規(guī)律平移得到點An的橫坐標為為2n﹣1，
∴點A2021的橫坐標為22021﹣1，
故答案為：22021﹣1．
故選：A．
8．（2021春?新羅區(qū)期末）在平面直角坐標系中，將A（n2，1）沿著x的正方向向右平移3+n2個單位后得到B點．有四個點M（﹣2n2，1）、N（3n2，1）、P（n2，n2+4）、Q（n2+1，1），一定在線段AB上的是（ ）
A．點MB．點QC．點PD．點N
【思路點撥】
根據(jù)平移的過程以及四個點的坐標進行分析比較即可判斷．
【解題過程】
解：∵將A （n2，1）沿著x的正方向向右平移n2+3個單位后得到B點，
∴B（2n2+3，1），
∵n2≥0，
∴2n2+3＞0，
∴線段AB在第一象限，點B在點A右側，且與x軸平行，距離x軸1個單位，
因為點M（﹣2n2，1）距離x軸1個單位，在點A左側，當n＝0時，M點可以跟A點重合，點M不一定在線段AB上．
點N（3n2，1）距離x軸1個單位，沿著x的正方向向右平移2n2個單位后得到的，不一定在線段AB上，有可能在線段AB延長線上．不在線段AB上，
點P（n2+2，n2+4）在點A右側，且距離x軸n2+4個單位，不一定在線段AB上，
點Q（n2+1，1）距離x軸1個單位，是將A （n2，1）沿著x的正方向向右平移1個單位后得到的，一定在線段AB上．
所以一定在線段AB上的是點Q．
故選：B．
9．（2021春?南康區(qū)期末）將點P（2m+3，m﹣2）向上平移1個單位得到點Q，且點Q在x軸上，那么點Q的坐標是 （5，0） ．
【思路點撥】
先根據(jù)向上平移橫坐標不變，縱坐標相加得出Q的坐標，再根據(jù)x軸上的點縱坐標為0求出m的值，進而得到點Q的坐標．
【解題過程】
解：∵將點P（2m+3，m﹣2）向上平移1個單位得到Q，
∴Q的坐標為（2m+3，m﹣1），
∵Q在x軸上，
∴m﹣1＝0，解得m＝1，
∴點Q的坐標是（5，0）．
故答案為：（5，0）．
10．（2021春?麻城市校級月考）在△ABC內(nèi)的任意一點P（a，b）經(jīng)過平移后的對應點為P1（c，d），已知A（3，2）在經(jīng)過此次平移后對應點A1的坐標為（5，﹣1），則c+d﹣a﹣b的值為 ﹣1 ．
【思路點撥】
由A（3，2）在經(jīng)過此次平移后對應點A1的坐標為（5，﹣1），可得△ABC的平移規(guī)律為：向右平移2個單位，向下平移3個單位，由此得到結論．
【解題過程】
解：由A（3，2）在經(jīng)過此次平移后對應點A1的坐標為（5，﹣1）知c＝a+2、d＝b﹣3，
即c﹣a＝2、d﹣b＝﹣3，
則c+d﹣a﹣b＝2﹣3＝﹣1，
故答案為：﹣1．
11．（2021春?仙居縣期末）如圖，在平面直角坐標系中，將正方形①依次平移后得到正方形②，③，④…；相應地，頂點A依次平移得到A1，A2，A3，…，其中A點坐標為（1，0），A1坐標為（0，1），則A20的坐標為 （﹣19，8） ．
【思路點撥】
求出A3，A6，A9的坐標，觀察得出A3n橫坐標為1﹣3n，可求出A18的坐標，從而可得結論．
【解題過程】
解：觀察圖形可知：A3（﹣2，1），A6（﹣5，2），A9（﹣8，3），???，
∵﹣2＝1﹣3×1，﹣5＝1﹣3×2，﹣8＝1﹣3×3，
∴A18橫坐標為：1﹣3×6＝﹣17，
∴A18（﹣17，6），
把A18向左平移2個單位，再向上平移2個單位得到A20，
∴A20（﹣19，8）．
故答案為：（﹣19，8）．
12．（2021春?平原縣期末）如圖，第一象限內(nèi)有兩點P（m﹣3，n），Q（m，n﹣2），將線段PQ平移使點P、Q分別落在兩條坐標軸上，則點P平移后的對應點的坐標是 （0，2）或（﹣3，0） ．
【思路點撥】
設平移后點P、Q的對應點分別是P′、Q′．分兩種情況進行討論：①P′在y軸上，Q′在x軸上；②P′在x軸上，Q′在y軸上．
【解題過程】
解：設平移后點P、Q的對應點分別是P′、Q′．
分兩種情況：
①P′在y軸上，Q′在x軸上，
則P′橫坐標為0，Q′縱坐標為0，
∵0﹣（n﹣2）＝﹣n+2，
∴n﹣n+2＝2，
∴點P平移后的對應點的坐標是（0，2）；
②P′在x軸上，Q′在y軸上，
則P′縱坐標為0，Q′橫坐標為0，
∵0﹣m＝﹣m，
∴m﹣3﹣m＝﹣3，
∴點P平移后的對應點的坐標是（﹣3，0）；
綜上可知，點P平移后的對應點的坐標是（0，2）或（﹣3，0）．
故答案為（0，2）或（﹣3，0）．
13．（2021春?增城區(qū)期末）如圖，△ABC的頂點A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4個單位長度，再向下平移3個單位長度得到△A'B'C'，且點C的對應點坐標是C'．
（1）畫出△A'B'C'，并直接寫出點C'的坐標；
（2）若△ABC內(nèi)有一點P（a，b）經(jīng)過以上平移后的對應點為P'，直接寫出點P'的坐標；
（3）求△ABC的面積．
【思路點撥】
（1）首先確定A、B、C三點平移后的對應點位置，然后再連接即可；
（2）由平移的性質可求解；
（3）利用面積的和差關系可求解．
【解題過程】
解：（1）如圖所示：
∴點C（5，﹣2）；
（2）∵△ABC向右平移4個單位長度，再向下平移3個單位長度得到△A'B'C'，
∴點P'（a+4，b﹣3）；
（3）S△ABC＝5×53×52×35×2＝25﹣7.5﹣3﹣5＝9.5．
14．（2021春?宜城市期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，A、B、C三點的坐標分別為（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．
（1）畫出三角形ABC，并求其面積；
（2）如圖，△A′B′C′是由△ABC經(jīng)過怎樣的平移得到的？
（3）已知點P（a，b）為△ABC內(nèi)的一點，則點P在△A′B′C′內(nèi)的對應點P′的坐標（ a+4 ， b﹣3 ）．
【思路點撥】
（1）根據(jù)A，B，C的坐標作出圖形即可．
（2）根據(jù)平移變換的規(guī)律解決問題即可．
（3）利用平移規(guī)律解決問題即可．
【解題過程】
解：（1）如圖，△ABC即為所求．
S△ABC＝4×52×42×52×3＝8；
（2）先向右平移4個單位，再向下平移3個單位．
（3）由題意P′（a+4，b﹣3）．
故答案為：a+4，b﹣3．
15．（2021春?樟樹市期末）已知三角形ABC的頂點分別為A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3），三角形A'B'C'是三角形ABC經(jīng)過平移得到的，三角形ABC中任意一點P（x，y）平移后的對應點為P'（x+4，y+6）．
（1）請寫出三角形ABC平移的過程；
（2）請寫出點A'，B'的坐標；
（3）請在圖中畫出直角坐標系，求三角形A'B'C'的面積．
【思路點撥】
（1）由點P及其對應點P′的坐標知△ABC向右平移4格、向上平移6格得到的△A'B'C'，據(jù)此根據(jù)點的坐標的平移規(guī)律求解即可；
（2）根據(jù)（1）中P點坐標變化規(guī)律可得答案；
（3）首先建立坐標系，畫出△A′B′C′，然后再利用矩形面積減去周圍多余三角形的面積即可．
【解題過程】
解：（1）∵三角形ABC中任意一點P（x，y）平移后的對應點為P'（x+4，y+6），
∴平移后對應點的橫坐標加4，縱坐標加6，
∴三角形ABC先向右平移4個單位，再向上平移6個單位得到△A′B′C′；
（2）A′（0，5），B′（﹣1，2）；
（3）如圖，
三角形A′B′C′的面積：3×41×33×24×1＝5.5．
16．（2021春?海東市期末）如圖，三角形A'B'C'是由三角形ABC經(jīng)過某種平移得到的，點A與點A'，點B與點B'，點C與點C'分別對應，觀察點與點坐標之間的關系，解答下列問題．
（1）分別寫出點A、點B、點C、點A'、點B'、點C'的坐標，并說明三角形A'B'C'是由三角形ABC經(jīng)過怎樣的平移得到的．
（2）若點M（a+2，4﹣b）是點N（2a﹣3，2b﹣5）通過（1）中的平移變換得到的，求（b﹣a）2的值．
【思路點撥】
（1）由圖形可得出點的坐標和平移方向及距離；
（2）根據(jù)以上所得平移方式，利用“橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減”的規(guī)律列出關于a、b的方程，解之求得a、b的值，代入計算可得．
【解題過程】
解：（1）由圖知，A（0，3），B（2，1），C（3，4），
A′（﹣3，0），B′（﹣1，﹣2），C′（0，1），
且△ABC向左平移3個單位，向下平移3個單位可以得到△A′B′C′；
（2）由（1）中的平移變換得2a﹣3﹣3＝a+2，2b﹣5﹣3＝4﹣b，
解得a＝8，b＝4，
則（b﹣a）2
＝（4﹣8）2
＝（﹣4）2
＝16．
17．（2021春?硚口區(qū)月考）在平面直角坐標系中，已知A（﹣1，1），B（1，1），C（﹣3，3），平移線段BC得到對應線段DA（點C與點A對應）．
（1）畫出線段AD，并直接寫出點D的坐標；
（2）直接寫出線段BC掃過的面積；
（3）求線段AD與y軸的交點E的坐標．
【思路點撥】
（1）利用平移變換的性質分別作出B，C的對應點D，A即可；
（2）線段BC掃過的面積＝四邊形BCAD的面積＝四邊形BFTC的面積；
（3）設E（0，m），連接EC，EB．利用面積法求解即可．
【解題過程】
解：（1）如圖，線段AD即為所求；
（2）如圖，線段BC掃過的面積＝四邊形BCAD的面積＝四邊形BFTC的面積＝1×4＝4；
（3）設E（0，m），連接EC，EB．
則有：S△CBE?EH?（xB﹣xC）4，
∵H（0，1.5），
∴4×（1.5﹣m）＝2，
∴m＝0.5，
∴E（0，0.5）．
18．（2020春?金鄉(xiāng)縣期末）在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，4），線段MN的位置如圖所示，其中點M的坐標為（﹣3，﹣1），點N的坐標為（3，﹣2）．
（1）將線段MN平移得到線段AB，其中點M的對應點為A，點N的對應點為B．
①點M平移到點A的過程可以是：先向 右 平移 3 個單位長度，再向 上 平移 5 個單位長度；
②點B的坐標為 （6，3） ；
（2）在（1）的條件下，若點C的坐標為（4，0），連接AC，BC，求△ABC的面積．
（3）在y軸上是否存在點P，使以A、B、P三點為頂點的三角形的面積為3，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【思路點撥】
（1）①根據(jù)平移的性質解決問題即可．
②根據(jù)點B的位置即可解決問題．
（2）利用分割法求三角形的面積即可．
（3）設P（0，m），利用三角形的面積公式構建方程即可解決問題．
【解題過程】
解：（1）如圖，
①點M平移到點A的過程可以是：先向右平移3單位長度，再向上平移5個單位長度；
故答案為：右、3、上、5．
②B（6，3），
故答案為（6，3）．
（2）如圖，
（3）存在．設P（0，m），由題意|4﹣m|×6＝3，
解得m＝3或5，
∴點P坐標為（0，3）或（0，5）．
19．（2021春?南昌期末）如圖，點A（1，n），B（n，1），我們定義：將點A向下平移1個單位，再向右平移1個單位，同時點B向上平移1個單位，再向左平移1個單位稱為一次操作，此時平移后的兩點記為A1，B1，t次操作后兩點記為At，Bt．
（1）直接寫出A1，B1，At，Bt的坐標（用含n、t的式子表示）；
（2）以下判斷正確的是 B ．
A．經(jīng)過n次操作，點A，點B位置互換
B．經(jīng)過（n﹣1）次操作，點A，點B位置互換
C．經(jīng)過2n次操作，點A，點B位置互換
D．不管幾次操作，點A，點B位置都不可能互換
（3）t為何值時，At，Bt兩點位置距離最近？
【思路點撥】
（1）根據(jù)點在平面直角坐標系中的平移規(guī)律求解可得答案；
（2）由1+t＝n時t＝n﹣1，知n﹣t＝n﹣（n﹣1）＝1，據(jù)此可得答案；
（3）分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，得出對應的方程，解之可得n關于t的式子．
【解題過程】
解：（1）A1（2，n﹣1），B1（n﹣1，2），At（1+t，n﹣t），Bt（n﹣t，1+t）；
（2）當1+t＝n時，t＝n﹣1．
此時n﹣t＝n﹣（n﹣1）＝1，
故選：B；
（3）當n為奇數(shù)時：1+t＝n﹣t 解得t，
當n為偶數(shù)時：1+t＝n﹣t+1 解得t，
或1+t＝n﹣t﹣1 解得t．
20．（2021春?潢川縣期末）如圖所示，A（1，0）、點B在y軸上，將三角形OAB沿x軸負方向平移，平移后的圖形為三角形DEC，且點C的坐標為（﹣3，2）．
（1）直接寫出點E的坐標 （﹣2，0） ；
（2）在四邊形ABCD中，點P從點B出發(fā)，沿“BC→CD”移動．若點P的速度為每秒1個單位長度，運動時間為t秒，回答下列問題：
①當t＝ 2 秒時，點P的橫坐標與縱坐標互為相反數(shù)；
②求點P在運動過程中的坐標（用含t的式子表示，寫出過程）；
③當三角形PAB的面積為3.2時，求此時P點的坐標；
④P點在運動過程中，三角形PAB面積的最大值是 4 ．
【思路點撥】
（1）根據(jù)BC＝AE＝3，OA＝1，推出OE＝2，可得結論．
（2）①滿足條件的點P坐標為（﹣2，2），由此可得結論．
②分兩種情形：點P在線段BC上或點P在線段CD上，分別求解即可．
③首先判斷滿足條件的點P在線段CD上，設此時PD的長為m．構建方程求解即可．
④當點P與D重合時，△PAB的面積最大．
【解題過程】
解：（1）∵C（﹣3，2），A（1，0），
∴BC＝3，OA＝1，
∵BC＝AE＝3，
∴OE＝AE﹣AO＝2，
∴E（﹣2，0），
故答案為：（﹣2，0）．
（2）①由題意當P（﹣2，2）時，滿足條件，此時t＝2．
故答案為：2．
②當點P在線段BC上時，點P的坐標（﹣t，2），
當點P在線段CD上時，點P的坐標（﹣3，5﹣t）．
③當點P在線段BC上時，三角形PAB的面積最大為BC×OB3×2＝3，所以三角形PAB的面積為3.2時，P點只能在線段CD上．
如圖，設此時PD的長為m．
∵△PAB的面積＝四邊形ABCD的面積﹣△PBC的面積﹣△PAD的面積
（3+4）×2（2﹣m）×3m×4
＝7﹣3m﹣2m
＝4m，
∴4m＝3.2
m＝1.6
此時P點的坐標是（﹣3，1.6）．
④當點P與D重合時，△PAB的面積最大，最大值為4×2＝4，
故答案為：4．

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