【典例1】如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠DOE＝80°，∠DOF：∠AOD＝2：3，射線OE平分∠BOF，則∠BOC的度數(shù)為（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【思路點(diǎn)撥】
設(shè)∠DOF＝2x，根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念用x表示出∠BOF，根據(jù)角平分線的定義求出∠FOE，根據(jù)題意列式求出x，根據(jù)對(duì)頂角相等解答即可．
【解題過程】
解：設(shè)∠DOF＝2x，則∠AOD＝3x，
∴∠AOF＝5x，
∴∠BOF＝180°﹣5x，
∵OE平分∠BOF，
∴∠FOE∠BOF＝90°x，
∵∠DOE＝80°，
∴∠DOF+∠FOE＝80°，
即2x+90°x＝80°，
解得：x＝20°，
則∠AOD＝3x＝60°，
∴∠BOC＝∠AOD＝60°，
故選：B．
1．（2021春?汝南縣期中）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠DOE＝α，∠DOF：∠AOD＝2：3，射線OE平分∠BOF，則∠BOC＝（ ）
A．30°B．40°
C．540°﹣5αD．540°﹣6α
【思路點(diǎn)撥】
設(shè)∠DOF＝2x，根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念用x表示出∠BOF，根據(jù)角平分線的定義求出∠FOE，根據(jù)題意列式求出x，根據(jù)對(duì)頂角相等解答即可．
【解答過程】
解：設(shè)∠DOF＝2x，則∠AOD＝3x，
∴∠AOF＝5x，
∴∠BOF＝180°﹣5x，
∵OE平分∠BOF，
∴∠FOE∠BOF＝90°x，
∵∠DOE＝α，
∴∠DOF+∠FOE＝α，即2x+90°x＝α，
解得，x＝180°﹣2α，
則∠AOD＝3x＝540°﹣6α，
∴∠BOC＝∠AOD＝540°﹣6α，
故選：D．
2．（2020春?荔灣區(qū)期末）如圖，直線AB交CD于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠BOE＝4：1，則∠AOF等于（ ）
A．130°B．100°
C．110°D．120°
【思路點(diǎn)撥】
先設(shè)出∠BOE＝α，再表示出∠DOE＝α∠AOD＝4α，建立方程求出α，最用利用對(duì)頂角，角之間的和差即可．
【解答過程】
解：設(shè)∠BOE＝α，
∵∠AOD：∠BOE＝4：1，
∴∠AOD＝4α，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝∠BOE＝α
∴∠AOD+∠DOE+∠BOE＝180°，
∴4α+α+α＝180°，
∴α＝30°，
∴∠AOD＝4α＝120°，
∴∠BOC＝∠AOD＝120°，
∵OF平分∠COB，
∴∠COF∠BOC＝60°，
∵∠AOC＝∠BOD＝2α＝60°，
∴∠AOF＝∠AOC+∠COF＝120°，
故選：D．
3．（2021春?前郭縣月考）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE把∠BOD分成兩部分，若∠AOC＝70°，且∠BOE：∠EOD＝2：3．求∠AOE的度數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)對(duì)頂角相等，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)的性質(zhì)作答．
【解答過程】
解：設(shè)∠BOE＝2x，∠EOD＝3x，則∠DOB＝5x，
∴∠DOB＝∠AOC＝5x＝70°，
解得x＝14°，∠DOE＝3x＝42°，
又∵∠AOD＝180°﹣∠AOC＝110°，
∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝152°．
4．（2021?武昌區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，且∠1：∠2＝1：4，求∠EOF的度數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
先根據(jù)OE平分∠BOD，可得∠1＝∠BOE，再根據(jù)∠1：∠2＝1：4，計(jì)算出∠DOB和∠DOE的度數(shù)，然后計(jì)算出∠EOC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可得∠EOF＝75°．
【解答過程】
解：∵OE平分∠BOD，
∴∠1＝∠BOE，
∵∠1：∠2＝1：4，
∴設(shè)∠1＝x°，則∠EOB＝x°，∠AOD＝4x°，
∴x+x+4x＝180°，
解得：x＝30，
∴∠1＝30°，∠DOB＝60°，
∴∠COE＝150°，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF＝75°．
5．（2021春?江津區(qū)校級(jí)月考）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成兩個(gè)角，且∠AOE：∠EOC＝2：3，OF平分∠BOE，求∠COF的度數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)對(duì)頂角相等求出∠AOC的度數(shù)，設(shè)∠AOE＝2x，根據(jù)題意列出方程，解方程即可；
【解答過程】
解：∵∠AOE：∠EOC＝2：3．
∴設(shè)∠AOE＝2x，則∠EOC＝3x，
∴∠AOC＝5x，
∵∠AOC＝∠BOD＝75°，
∴5x＝75°，
解得：x＝15°，
則2x＝30°，3x＝45°，
∴∠AOE＝30°，∠EOC＝45°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝150°，
∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF∠BOE＝75°，
∴∠COF＝∠EOF﹣∠EOC＝75°﹣45°＝30°．
6．（2020春?福清市期中）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC，F(xiàn)O⊥CD于點(diǎn)O，若∠BOD：∠EOB＝2：3，求∠AOF的度數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
設(shè)∠BOD＝2x，∠EOB＝3x；根據(jù)題意列出方程3x+3x+2x＝180°，得出x＝22.5°，求出∠AOC＝∠BOD＝45°，即可求出∠AOF＝90°﹣∠AOC＝45°．
【解答過程】
解：設(shè)∠BOD＝2x，∠EOB＝3x；
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠EOB＝3x，
則3x+3x+2x＝180°，
解得：x＝22.5°，
∴∠BOD＝45°，
∴∠AOC＝∠BOD＝45°，
∵FO⊥CD，
∴∠AOF＝90°﹣∠AOC＝90°﹣45°＝45°．
7．（2020秋?郾城區(qū)期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OA平分∠EOC．
（1）若∠EOC＝70°，求∠BOD的度數(shù)．
（2）若∠EOC：∠EOD＝4：5，求∠BOD的度數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)角平分線的定義求出∠AOC的度數(shù)，根據(jù)對(duì)頂角相等得到答案；
（2）設(shè)∠EOC＝4x，根據(jù)鄰補(bǔ)角的概念列出方程，解方程求出∠EOC＝80°，根據(jù)角平分線的定義和對(duì)頂角相等計(jì)算即可得到答案．
【解答過程】
解：（1）∵∠EOC＝70°，OA平分∠EOC，
∴∠AOC＝35°，
∴∠BOD＝∠AOC＝35°；
（2）設(shè)∠EOC＝4x，則∠EOD＝5x，
∴5x+4x＝180°，
解得x＝20°，
則∠EOC＝80°，
又∵OA平分∠EOC，
∴∠AOC＝40°，
∴∠BOD＝∠AOC＝40°．
8．（2021春?江西月考）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，已知∠BOC＝75°，ON將∠AOD分成兩個(gè)角，且∠AON：∠NOD＝2：3．
（1）求∠AON的度數(shù)．
（2）若OM平分∠BON，則OB是∠COM的平分線嗎？判斷并說明理由．
【思路點(diǎn)撥】
（1）設(shè)∠AON＝2x，∠NOD＝3x，根據(jù)角的倍數(shù)關(guān)系可得答案；
（2）先計(jì)算∠BOM的度數(shù)，判斷∠BOM、∠BOC是否相等，即可說明理由．
【解答過程】
解：（1）∵∠AON：∠NOD＝2：3，
設(shè)∠AON＝2x，∠NOD＝3x，
∴∠AOD＝5x，
∵∠BOC＝75°，
∴∠AOD＝5x＝75°，
∴x＝15°，
∴∠AON＝30°；
（2）OB是∠COM的平分線，理由如下：
∵∠AON＝30°，
∴∠BON＝180°﹣∠AON＝150°，
∵OM平分∠BON，
∴∠BOM＝75°，
∴∠BOM＝∠BOC，
∴OB是∠COM的角平分線．
9．（2020秋?姜堰區(qū)期末）如圖，已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠COE＝90°．
（1）若∠BOE＝54°，求∠AOC的度數(shù)；
（2）若∠BOE：∠BOC＝2：5，求∠AOE的度數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
（1）先根據(jù)余角的定義求得∠BOD的度數(shù)，再根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)可求∠AOC的度數(shù)；
（2）設(shè)∠BOE＝2x，∠BOC＝5x，表示出∠BOC的度數(shù)進(jìn)而求得x，求出∠BOE的度數(shù)，利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求得∠AOE的度數(shù)．
【解答過程】
解：（1）∵∠COE＝90°，
∴∠DOE＝90°，
∵∠BOE＝54°，
∴∠BOD＝∠DOE﹣∠BOE＝90°﹣54°＝36°，
∴∠AOC＝∠BOD＝36°；
（2）設(shè)∠BOE＝2x，∠BOC＝5x，則∠COE＝3x，
∵∠COE＝90°，
∴3x＝90°，
解得x＝30°，
∴∠BOE＝2×30°＝60°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣60°＝120°．
10．（2020秋?九龍坡區(qū)期末）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOE＝90°．
（1）如圖1，若OC平分∠AOE，求∠AOD的度數(shù)；
（2）如圖2，若∠BOC＝4∠FOB，且OE平分∠FOC，求∠EOF的度數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
（1）依據(jù)角平分線的定義，即可得到∠AOC的度數(shù)，進(jìn)而得出∠AOD的度數(shù)；
（2）設(shè)∠BOF＝α，則∠BOC＝4α，∠COF＝3α，依據(jù)∠BOE＝90°，即可得到α的值，進(jìn)而得出∠EOF的度數(shù)．
【解答過程】
解：（1）∵∠AOE＝90°，OC平分∠AOE，
∴∠AOC＝45°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝135°；
（2）設(shè)∠BOF＝α，則∠BOC＝4α，∠COF＝3α，
∵OE平分∠FOC，
∴∠EOF＝1.5α，
∵∠BOE＝90°，
∴1.5α+α＝90°，
∴α＝36°，
∴∠EOF＝54°．
11．（2020秋?平昌縣期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC，∠FOD＝90°．
（1）若∠AOF＝42°，求∠BOE的度數(shù)；
（2）若∠BOD：∠BOE＝6：7，求∠AOF的度數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
（1）利用對(duì)頂角和角平分線的定義可得，∠AOD＝∠BOC＝132°，∠BOE∠BOC＝62°；
（2）設(shè)∠BOD＝6x，∠BOE＝7x，則有6x+7x+7x＝180°，求出x＝9°，再求∠AOF即可．
【解答過程】
解：（1）∵∠FOD＝90°，∠AOF＝42°，
∴∠AOD＝132°，
∵∠AOD＝∠BOC，
∴∠BOC＝132°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE∠BOC＝62°；
（2）∵∠BOD：∠BOE＝6：7，
設(shè)∠BOD＝6x，∠BOE＝7x，
∵∠BOE＝∠COE，
∴6x+7x+7x＝180°，
∴x＝9°，
∴∠BOD＝54°，
∴∠COA＝∠BOD＝54°，
∴∠AOF＝90°﹣54°＝36°．
12．（2021春?饒平縣校級(jí)期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成兩個(gè)角，且∠AOE：∠EOC＝2：3．
（1）求∠AOE的度數(shù)；
（2）若OF平分∠BOE，問：OB是∠DOF的平分線嗎？試說明理由．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)對(duì)頂角相等求出∠AOC的度數(shù)，設(shè)∠AOE＝2x，根據(jù)題意列出方程，解方程即可；
（2）根據(jù)角平分線的定義求出∠BOF的度數(shù)即可．
【解答過程】
解：（1）∵∠AOE：∠EOC＝2：3．
∴設(shè)∠AOE＝2x，則∠EOC＝3x，
∴∠AOC＝5x，
∵∠AOC＝∠BOD＝75°，
∴5x＝75°，
解得：x＝15°，
則2x＝30°，
∴∠AOE＝30°；
（2）OB是∠DOF的平分線；理由如下：
∵∠AOE＝30°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝150°，
∵OF平分∠BOE，
∴∠BOF＝75°，
∵∠BOD＝75°，
∴∠BOD＝∠BOF，
∴OB是∠COF的角平分線．
13．（2020秋?定州市期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O．已知∠AOD＝105°，OE把∠AOC分成兩個(gè)角，且∠AOE：∠EOC＝2：3．
（1）求∠AOE的度數(shù)；
（2）若OF是∠BOE的平分線，那么OB是∠DOF的平分線嗎？請(qǐng)說明理由．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠AOC的度數(shù)，設(shè)∠AOE＝2x，根據(jù)題意列出方程，解方程即可；
（2）根據(jù)角平分線的定義求出∠BOF的度數(shù)即可．
【解答過程】
解：（1）∵∠AOE：∠EOC＝2：3．
設(shè)∠AOE＝2x，則∠EOC＝3x，∠AOC＝5x，
由∠AOD＝105°可得∠AOC＝75°，
即5x＝75°，
解得：x＝15°，
則2x＝30°，
即∠AOE＝30°；
（2）OB是∠DOF的平分線；
理由如下：
∵∠AOE＝30°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝150°，
而OF平分∠BOE，
∴∠BOF∠BOE＝75°，
∵∠AOD＝105°，
∴∠BOD＝75°，
∴∠BOD＝∠BOF，
即OB是∠DOF的角平分線．
14．（2020秋?開州區(qū)期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOD，∠FOC＝90°，∠BOF∠AOE．求∠AOC和∠DOE的度數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)角平分線的概念得∠AOE與∠AOD的關(guān)系，根據(jù)余角性質(zhì)得∠BOF與∠BOD的關(guān)系，然后根據(jù)補(bǔ)角定義可得答案．
【解答過程】
解：∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE∠AOD，
∴∠BOF∠AOE∠AOD（180°﹣∠BOD），
∵∠FOC＝90°，
∴∠BOF＝90°﹣∠BOD，
∴（180°﹣∠BOD）＝90°﹣∠BOD，
∴∠BOD＝40°，
∴∠AOD＝140°，∠AOC＝∠BOD＝40°
∴∠DOE∠AOD＝70°．
15．（2021春?雙遼市期末）如圖，直線AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，且AB⊥CD，OG平分∠BOE，若∠EOG∠AOE，求∠DOF的度數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠EOG＝∠BOG，設(shè)∠EOG＝x°，進(jìn)而得到∠EOGx°，再根據(jù)平角為180°可得x+x+3x＝180，解出x可得∠EOG，進(jìn)而可得∠DOF的度數(shù)．
【解答過程】
解：∵OG平分∠BOE，
∴∠EOG＝∠BOG，
設(shè)∠EOG＝x°，
∵∠EOG，
∴∠AOE＝3x°，
∵x+x+3x＝180，
解得：x＝36，
∴∠AOE＝3×36°＝108°，
∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝180°﹣108°＝72°，
∵AB⊥CD，
∴∠AOD＝90°，
∴∠DOF＝∠AOD﹣∠AOF＝90°﹣72°＝18°．
所以∠DOF的度數(shù)18°．
16．（2020秋?東臺(tái)市期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OF⊥CD，OE平分∠BOC．
（1）若∠BOE＝65°，求∠DOE的度數(shù)；
（2）若∠BOD：∠BOE＝2：3，求∠AOF的度數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)角平分線的定義，得出∠EOC＝∠BOE＝65°，利用鄰補(bǔ)角定義求出∠DOE即可；
（2）根據(jù)角平分線的定義，∠BOD：∠BOE＝2：3，求出∠BOD，再根據(jù)對(duì)頂角可求出∠AOC，利用垂直，求出∠AOF．
【解答過程】
（1）∵OE平分∠BOC，∠BOE＝65°，
∴∠EOC＝∠BOE＝65°，
∴∠DOE＝180°﹣65°＝115°．
（2）∵∠BOD：∠BOE＝2：3，
設(shè)∠BOD＝x，則，
∵∠COE+∠BOE+∠BOD＝180°，
∴xxx＝180°，
∴x＝45°．即∠BOD＝45°，
∵OF⊥CD，∠AOC＝∠BOD＝45°，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOF＝90°﹣45°＝45°．
17．（2021春?陽(yáng)新縣月考）如圖，直線AB、EF交于點(diǎn)O，∠DOB＝90°，∠COE＝90°
（1）如果∠COD＝∠EOD﹣40°，求∠BOE的度數(shù)；
（2）如果5∠FOD＝4∠BOF，求∠COA的度數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
（1）先根據(jù)∠COE＝90°＝∠COD+∠EOD，由∠COD＝∠EOD﹣40°，相當(dāng)于解二元一次方程組可得∠EOD＝65°，最后根據(jù)兩個(gè)角互余可得結(jié)論；
（2）設(shè)∠AOF＝α，根據(jù)5∠FOD＝4∠BOF，列方程可得α的值，根據(jù)兩個(gè)角互余可得結(jié)論．
【解答過程】
解：（1）∵∠COE＝90°，
∴∠COD+∠EOD＝90°，
∵∠COD＝∠EOD﹣40°，
∴∠EOD＝65°，
∵∠DOB＝90°，
∴∠DOE+∠BOE＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣65°＝25°，
（2）設(shè)∠AOF＝α，
∵5∠FOD＝4∠BOF，
∴5（α+90°）＝4（180°﹣α），
α＝30°，
∵∠COE＝90°，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC+∠AOF＝90°，
∴∠AOC＝60°．
18．（2021春?武漢期中）如圖，直線AB、CD相交于O點(diǎn)，∠AOC與∠AOD的度數(shù)比為4：5，OE⊥AB，OF平分∠DOB，求∠EOF的度數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)鄰補(bǔ)角，可得∠AOC，根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)，可得∠BOD，根據(jù)垂直的定義，可得∠BOE，根據(jù)角的和差，可得∠DOE，根據(jù)角平分線的定義，可得∠DOF，根據(jù)角的和差，可得答案．
【解答過程】
解：設(shè)∠AOC＝4x，則∠AOD＝5x，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴4x+5x＝180°，解得x＝20°，
∴∠AOC＝4x＝80°，
∴∠BOD＝∠AOC＝80°，
∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝10°，
又∵OF平分∠DOB，
∴∠DOF∠BOD＝40°，
∴∠EOF＝∠EOD+∠DOF＝10°+40°＝50°．
19．（2021春?武昌區(qū)期中）如圖，直線MD、CN相交于點(diǎn)O，OA是∠MOC內(nèi)的一條射線，OB是∠NOD內(nèi)的一條射線，∠MON＝70°．
（1）若∠BOD∠COD，求∠BON的度數(shù)；
（2）若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)對(duì)頂角的定義可得∠COD的度數(shù)，再根據(jù)∠BOD∠COD可得∠BOD的度數(shù)，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得答案；
（2）設(shè)∠AOC＝x°，則∠BOC＝3x°，利用角的和差運(yùn)算即可解得x，進(jìn)而可得∠BON的度數(shù)．
【解答過程】
解：（1）∵∠MON＝70°，
∴∠COD＝∠MON＝70°，
∴∠BOD∠COD，
∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠BOD＝180°﹣70°﹣35°＝75°；
（2）設(shè)∠AOC＝x°，則∠BOC＝3x°，
∵∠COD＝∠MON＝70°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝3x°﹣70°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝x°+70°，
∵∠AOD＝2∠BOD，
∴x+70＝2（3x﹣70），
解得x＝42，
∴∠BOD＝3x°﹣70°＝3×42°﹣70°＝56°，
∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠DOB＝180°﹣70°﹣56°＝54°．
20．（2020秋?硯山縣期末）如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，∠AOM＝90°．
（1）如圖1，若OC平分∠AOM，求∠AOD的度數(shù)；
（2）如圖2，若∠BOC＝4∠NOB，且OM平分∠NOC，求∠MON的度數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)角平分線的定義求出∠AOC＝45°，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求解即可；
（2）設(shè)∠NOB＝x°，∠BOC＝4x°，根據(jù)角平分線的定義表示出∠COM＝∠MON∠CON，再根據(jù)∠BOM列出方程求解x，然后求解即可．
【解答過程】
解（1）∵∠AOM＝90°，OC平分∠AOM，
∴∠AOC∠AOM90°＝45°，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣45°＝135°，
即∠AOD的度數(shù)為135°；
（2）∵∠BOC＝4∠NOB
∴設(shè)∠NOB＝x°，∠BOC＝4x°，
∴∠CON＝∠COB﹣∠BON＝4x°﹣x°＝3x°，
∵OM平分∠CON，
∴∠COM＝∠MON∠CONx°，
∵∠BOMx+x＝90°，
∴x＝36°，
∴∠MONx°36°＝54°，
即∠MON的度數(shù)為54°．
21．（2021春?營(yíng)口期末）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥CD．
（1）如圖1，將射線OB沿著直線CD翻折得到射線OF，即∠BOD＝∠FOD．求證：OE平分∠AOF；
（2）如圖2，在（1）的條件下，過點(diǎn)O作OG⊥AB，當(dāng)∠FOG：∠AOE＝2：3時(shí)，求∠COG的度數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
（1）證明OE平分∠AOF，即證明∠AOE＝∠EOF，通過題目中角度的和差運(yùn)算可得；
（2）設(shè)出∠FOG的度數(shù)，表示出∠AOE的度數(shù)，找到等量關(guān)系，列出等式，求出未知數(shù)的值，即可．
【解答過程】
（1）證明：∵OE⊥OD，
∴∠DOE＝90°，
∴∠EOF+∠FOD＝90°，
∴2∠EOF+2∠FOD＝180°，
∵∠BOD＝∠FOD，
∴∠FOB＝2∠FOD，
∴2∠EOF＝180°﹣∠FOB＝∠AOF，
∴∠AOE＝∠EOF，
∴OE平分∠AOF．
（2）解：∵∠FOG：∠AOE＝2：3，
∴設(shè)∠FOG＝2α，則∠AOE＝3α，
∴∠EOG＝3α﹣2α＝α，
∵∠EOG+∠GOD＝90°，∠GOD+∠BOD＝90°，
∴∠EOG＝∠BOD＝α，
∴∠FOD＝∠BOD＝α，
∵A，O，B三點(diǎn)在一條直線上，
∴3α+3α+α+α＝180°，
解得α＝22.5°，
∴∠COG＝112.5°．
22．（2021?雨花區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，射線OC、OD把∠AOB分成三個(gè)角，且度數(shù)之比是∠AOC：∠COD：∠DOB＝2：3：4，射線OM平分∠AOC，射線ON平分∠BOD．
（1）若∠AOB＝144°，求∠COM的度數(shù)；
（2）若OM⊥ON，求∠COD的度數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)題意設(shè)∠AOC＝2x，∠COD＝3x，∠DOB＝4x，則9x＝144°，求出x，進(jìn)而求出∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線求解；
（2）根據(jù)題意設(shè)∠AOC＝2x，∠COD＝3x，∠DOB＝4x，則∠AOB＝9x，再根據(jù)角平分線的定義以及∠MON＝90°，即可求出∠COD的度數(shù)．
【解答過程】
解：（1）設(shè)∠AOC＝2x，
則∠COD＝3x，∠DOB＝4x，∠AOB＝9x，
∵∠AOB＝144°，
∴2x+3x+4x＝144°，
∴x＝16°，
∴∠AOC＝2x＝32°，∠COD＝3x＝48°，∠DOB＝4x＝64°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠COM∠AOC＝16°．
（2）設(shè)∠AOC＝2x，
則∠COD＝3x，∠DOB＝4x，∠AOB＝9x，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，
∴∠MOC＝x，∠NOD＝2x，
∴∠MON＝x+3x+2x＝6x，
∵OM⊥ON，
∴∠MON＝90°，
∴6x＝90°，
∴x＝15°，
∴∠COD＝45°．

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