浙教版（2024）七年級(jí)下冊(cè)1.3平行線的判定綜合訓(xùn)練題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【典例1】如圖，已知點(diǎn)A在EF上，點(diǎn)P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．
（1）求證：EF∥BC；
（2）若FP⊥AC，∠2+∠C＝90°，求證：∠1＝∠B；
（3）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，結(jié)合對(duì)頂角相等可得∠E＝∠BQM，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)垂直的定義可得∠PGC＝90°，由兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠EAC+∠C＝180°，結(jié)合∠2+∠C＝90°，可求得∠BAC＝90°，利用同位角相等兩直線平行可得AB∥FP，進(jìn)而可證明結(jié)論；
（3）根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)可判定AB∥FP，結(jié)合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B＝∠F，即可求解．
【解題過程】
（1）證明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，
∴∠E＝∠BQM，
∴EF∥BC；
（2）證明：∵FP⊥AC，
∴∠PGC＝90°，
∵EF∥BC，
∴∠EAC+∠C＝180°，
∵∠2+∠C＝90°，
∴∠BAC＝∠PGC＝90°，
∴AB∥FP，
∴∠1＝∠B；
（3）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，
∴∠3+∠MNF＝180°，
∴AB∥FP，
∴∠F+∠BAF＝180°，
∵∠BAF＝3∠F﹣20°，
∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，
解得∠F＝50°，
∵AB∥FP，EF∥BC，
∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，
∴∠B＝∠F＝50°．
1．（2021?鞍山一模）如圖，∠1＝∠2＝∠3＝56°，則∠4的度數(shù)是（）
A．56°B．114°C．124°D．146°
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)對(duì)頂角相等得到∠2＝∠5，結(jié)合∠1＝∠2，得到∠1＝∠5，即可判定l1∥l2，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠6＝56°，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求解即可．
【解題過程】
解：如圖，
∵∠1＝∠2，∠2＝∠5，
∴∠1＝∠5，
∴l(xiāng)1∥l2，
∴∠3＝∠6，
∵∠3＝56°，
∴∠6＝56°，
∵∠4+∠6＝180°，
∴∠4＝180°﹣56°＝124°，
故選：C．
2．（2021?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在三角形ABC中，CD平分∠ACB，∠1＝∠2＝36°，則∠3＝（）
A．36°B．52°C．72°D．80°
【思路點(diǎn)撥】
由平行線的判定定理可得AC∥DE，由平行線的性質(zhì)可得∠ACB＝∠3，由平分線的定義可得∠ACB＝2∠1＝72°，即得∠3的度數(shù)．
【解題過程】
解：∵∠1＝∠2＝36°，
∴AC∥DE，
∴∠ACB＝∠3，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠1＝72°，
∴∠3＝72°．
故選：C．
3．（2021春?單縣期末）如圖，AB⊥BC于點(diǎn)B，DC⊥BC于點(diǎn)C，DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F為線段CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠BAF＝∠EDF，則下列結(jié)論正確的有（）
①∠BAD+∠ADC＝180°；②AF∥DE；③∠DAF＝∠F．
A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)
【思路點(diǎn)撥】
①證明AB∥CD，可做判斷；
②根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)可做判斷；
③根據(jù)AF∥ED得內(nèi)錯(cuò)角相等和同位角相等，再由角平分線的定義得∠ADE＝∠CDE，從而可做判斷．
【解題過程】
解：①∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
故①正確；
②∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠BAF＝180°，
∵∠BAF＝∠EDF，
∴∠AFD+∠EDF＝180°，
∴AF∥DE，
故②正確；
③∵AF∥ED，
∴∠DAF＝∠ADE，∠F＝∠CDE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠DAF＝∠F，
故③正確；
故選：A．
4．（2021春?德宏州期末）如圖所示，AC⊥BC，DC⊥EC，則下列結(jié)論：①∠1＝∠3；②∠ACE+∠2＝180°；③若∠A＝∠2，則有AB∥CE；④若∠2＝∠E，則有∠4＝∠A．其中正確的有（）
A．①②③B．①②④C．③④D．①②③④
【思路點(diǎn)撥】
由已知可得∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，等量代換即可得出①結(jié)論；
延長(zhǎng)EC，如圖1，由已知條件可得∠1+∠5＝90°，∠1+∠2＝90°，可得∠2＝∠5，根據(jù)平角的性質(zhì)可得∠ACE+∠5＝180°，等量代換即可得出②結(jié)論；
由已知條件可得∠A＝∠2，∠ACE+∠2＝180°，等量代換可得∠A+∠ACE＝180°，根據(jù)平行線的判定即可得出③結(jié)論；
由平行線的性質(zhì)可得∠E＝∠4，由已知條件∠2＝∠E，∠2＝∠A，等量代換可得∠4＝∠A．即可得出④結(jié)論．
【解題過程】
證明：∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3．
故結(jié)論①正確；
延長(zhǎng)EC，如圖1，
∵DC⊥CE，AC⊥BC，
∴∠1+∠5＝90°，∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠5，
∵∠ACE+∠5＝180°，
∴∠ACE+∠2＝180°．
故結(jié)論②正確；
∵∠A＝∠2，∠ACE+∠2＝180°，
∴∠A+∠ACE＝180°，
∴AB∥CE．
故結(jié)論③正確；
∵AB∥CE，
∴∠E＝∠4，
∵∠2＝∠E，∠2＝∠A，
∴∠4＝∠A．
故結(jié)論④正確．
所以結(jié)論正確的有①②③④．
故選：D．
5．（2021春?漢川市期末）如圖，AD∥BC，∠B＝∠D，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E，連接CE，∠EAD和∠ECD的角平分線交于點(diǎn)P．下列三個(gè)結(jié)論：①AB∥CD；②∠AOC∠EAD+∠ECD；③若∠E＝60°，∠APC＝70°，則∠D＝80°．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）
A．0B．1C．2D．3
【思路點(diǎn)撥】
①根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定即可判斷；②∠AOC＝∠EAP+∠E，而∠EAP∠EAD，∠E＝∠ECD，即可判斷；③利用平行線的性質(zhì)和角平分線定義即可判斷．
【解題過程】
解：∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠B＝180，
∵∠B＝∠D，
∴∠BAD+∠D＝180，
∴AB∥CD，故①正確；
∵AB∥CD，
∴∠ECD＝∠E，
∵AP平分∠EAD，
∴∠EAP∠EAD
∵∠AOC＝∠EAP+∠E，
∴∠AOC∠EAD+∠ECD，故②正確；
∴∠ECD＝∠E＝60，
∵CP平分∠ECD，
∴∠ECP∠ECD＝30°，
∵∠APC＝70°，∠AOE＝∠COP，
∴∠EAP＝40°，
∵AP平分∠EAD，
∴∠EAD＝2∠EAP＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠EAD＝80°，故③正確；
故選：D．
6．（2021春?夏津縣期末）如圖，CB平分∠ACD，∠2＝∠3，若∠4＝60°，則∠5的度數(shù)是．
【思路點(diǎn)撥】
由∠2與∠3間關(guān)系，可得到AB與CD的位置關(guān)系，利用角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可求得∠5度數(shù)．
【解題過程】
解：∵CB平分∠ACD，
∴∠1＝∠2∠ACD．．
∵∠2＝∠3，
∴AB∥CD．
∴∠5＝∠2，∠4＝∠ACD＝60°．
∴∠5＝∠2＝30°．
故答案為：30°．
7．（2021秋?嵩縣期末）如圖，AE∥CF，∠ACF的平分線交AE于點(diǎn)B，G是CF上的一點(diǎn)，∠GBE的平分線交CF于點(diǎn)D，且BD⊥BC，下列結(jié)論：①BC平分∠ABG；②AC∥BG；③與∠DBE互余的角有2個(gè)；
④若∠A＝α，則∠BDF＝180°．其中正確的是．（請(qǐng)把正確結(jié)論的序號(hào)都填上）
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A和∠ACB的關(guān)系，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)找出圖中相等的角，由等角的余角相等即可得出結(jié)論．
【解題過程】
解：∵CBD＝90°，
∴∠ABC+∠EBD＝90°，
又∵∠DBG＝∠EBD，
∴∠ABC＝∠CBG，
∴BC平分∠ABG，
∴①正確，
∵∠GBC＝∠ABC＝∠ACB，
∴AC∥BG，
∴②正確，
∵∠DBE＝∠DBG，
∴與∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4個(gè)，
∴③錯(cuò)誤，
∵∠BDF＝180°﹣∠BDG，∠BDG＝90°﹣∠CBG＝90°﹣∠ACB，
又∵∠ACB（180°﹣α）＝90°，
∴∠BDF＝180°﹣[90°﹣（90°）]＝180°，
∴④錯(cuò)誤，
故答案為：①②．
8．（2021春?鳳山縣期末）如圖，已知∠1＝∠2，∠C＝∠F．請(qǐng)指出∠A與∠D的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)∠1＝∠2，∠3＝∠2，可得∠1＝∠3，得BF∥CE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ABF＝∠C，由∠C＝∠F，得∠ABF＝∠F，即可得出AC∥DF，得∠A和∠D的數(shù)量關(guān)系是相等．
【解題過程】
解：∠A和∠D的數(shù)量關(guān)系是相等．
理由是：如圖，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴BF∥CE，
∴∠ABF＝∠C，
∵∠C＝∠F，
∴∠ABF＝∠F，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠D．
9．（2021春?隴縣期末）如圖，∠AEM+∠CDN＝180°，EC平分∠AEF．若∠EFC＝62°，求∠C的度數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
根據(jù)同角的補(bǔ)角相等可得出∠AEM＝∠CDM，利用“同位角相等，兩直線平行”可得出AB∥CD，由“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”及∠EFC＝62°可求出∠AEF＝118°，結(jié)合角平分線的定義可求出∠AEC的度數(shù)，再利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”即可求出∠C的度數(shù)．
【解題過程】
解：∵∠CDM+∠CDN＝180°，
又∵∠AEM+∠CDN＝180°，
∴∠AEM＝∠CDM，
∴AB∥CD，
∴∠AEF+∠EFC＝180°，
∵∠EFC＝62°，
∴∠AEF＝118°，
∵EC平分∠AEF，
∴∠AEC＝59°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠AEC＝59°．
10．（2021春?江都區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，CD⊥AB，F(xiàn)G⊥AB，垂足分別為D、G，點(diǎn)E在AC上，且∠1＝∠2．
（1）那么DE與BC平行嗎？為什么？
（2）如果∠B＝40°，且∠A比∠ACB小10°，求∠DEC的度數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)CD⊥AB，F(xiàn)G⊥AB，可判定CD∥FG，利用平行線的性質(zhì)可知∠2＝∠BCD，已知∠1＝∠2，等量代換得∠1＝∠BCD，故可證DE與BC平行；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠ACB＝75°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．
【解題過程】
解：（1）DE∥BC，理由如下：
∵CD⊥AB，F(xiàn)G⊥AB，
∴CD∥FG．
∴∠2＝∠BCD，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DE∥BC；
（2）∵∠B＝40°，∠ACB﹣10°＝∠A，
∴∠ACB+（∠ACB﹣10°）+40°＝180°，
∴∠ACB＝75°，
由（1）知，DE∥BC，
∴∠DEC+∠ACB＝180°，
∴∠DEC＝105°．
11．（2021春?老河口市期末）如圖，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）求證：AD∥CE；
（2）若DA平分∠BDC，CE⊥AE于E，∠FAB＝55°，求∠1的度數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)同位角相等，兩直線平行可判定AB∥CD，得到∠2＝∠ADC，等量代換得出∠ADC+∠3＝180°，即可根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行得解；
（2）由CE⊥AE，AD∥CE得出∠DAF＝∠CEF＝90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出∠ADC＝∠2＝35°，再根據(jù)角平分線的定義即可得解．
【解題過程】
（1）證明：∵∠1＝∠BDC，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠ADC，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠ADC+∠3＝180°，
∴AD∥CE；
（2）解：∵CE⊥AE于E，
∴∠CEF＝90°，
由（1）知AD∥CE，
∴∠DAF＝∠CEF＝90°，
∴∠ADC＝∠2＝∠DAF﹣∠FAB，
∵∠FAB＝55°，
∴∠ADC＝35°，
∵DA平分∠BDC，∠1＝∠BDC，
∴∠1＝∠BDC＝2∠ADC＝70°．
12．（2021春?鎮(zhèn)江期中）已知：如圖所示，∠BAC和∠ACD的平分線交于E，AE交CD于點(diǎn)F，∠1+∠2＝90°．
（1）求證：AB∥CD；
（2）試探究∠2與∠3的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)角平分線定義得出∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，根據(jù)∠1+∠2＝90°得出∠BAC+∠ACD＝180°，根據(jù)平行線的判定得出即可；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線定義得出∠1＝∠3，即可求出答案．
【解題過程】
（1）證明：∵∠BAC和∠ACD的平分線交于E，
∴∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∠2+∠3＝90°，理由如下：
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠1，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2+∠3＝90°．
13．（2021秋?禪城區(qū)期末）已知：如圖，點(diǎn)B、C在線段AD的異側(cè)，點(diǎn)E、F分別是線段AB、CD上的點(diǎn)，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．
（1）求證：AB∥CD；
（2）若∠AGE+∠AHF＝180°，求證：∠B＝∠C；
（3）在（2）的條件下，若∠BFC＝4∠C，求∠D的度數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
（1）由對(duì)頂角相等可得∠AGE＝∠DGC，從而可得∠AEG＝∠C，則可判定AB∥CD；
（2）由平角的定義可得∠AGE+∠EGH＝180°，從而可求得∠EGH＝∠AHF，則可判定EC∥BF，則有∠B＝∠AEG，從而可求證；
（3）由（2）得BF∥EC，則有∠C+∠BFC＝180°，從而可求∠C的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和即可求∠D的度數(shù)．
【解題過程】
（1）證明：∵∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，
∴∠AEG＝∠C，
∴AB∥CD；
（2）證明：∵∠AGE+∠EGH＝180°，∠AGE+∠AHF＝180°，
∴∠EGH＝∠AHF，
∴EC∥BF，
∴∠B＝∠AEG，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠AEG，
∴∠B＝∠C；
（3）解：∵BF∥EC，
∴∠C+∠BFC＝180°，
∵∠BFC＝4∠C，
∴∠C+4∠C＝180°，
解得∠C＝36°，
∵∠C＝∠DGC，
∴∠DGC＝36°，
∴∠D＝180°﹣∠C﹣∠DGC＝108°．
14．（2021秋?南崗區(qū)期末）已知：在四邊形ABCD中，∠B＝∠D，點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，連接AE交CD于點(diǎn)F，若∠BAF+∠AFC＝180°．
（1）如圖1，求證：AD∥BC；
（2）如圖2，過點(diǎn)D作DG∥AE交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，若∠G＝∠B，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中除∠B以外的四個(gè)與∠G相等的角．
【思路點(diǎn)撥】
（1）由已知條件可得AB∥CD，從而有∠B＝∠ECD，則可求得∠D＝∠ECD，即可得AD∥BC；
（2）利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
【解題過程】
（1）證明：∵∠BAF+∠AFC＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠B＝∠ECD，
∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠ECD，
∴AD∥BC；
（2）∵DG∥AE，
∴∠G＝∠AEB，
由（1）得AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE，∠ADC＝∠DCG，
∴∠G＝∠DAE，
∵∠B＝∠ADC，∠G＝∠B，
∴∠G＝∠ADC＝∠DCG，
綜上所述，所∠G相等的角有：∠AEB，∠DAE，∠ADC，∠DCG．
15．（2021秋?安居區(qū)期末）如圖，∠ADE+∠BCF＝180°，AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F．
（1）AD與BC平行嗎？請(qǐng)說明理由．
（2）AB與EF的位置關(guān)系如何？為什么？
（3）若BE平分∠ABC．試說明：①∠ABC＝2∠E；②∠E+∠F＝90°．
【思路點(diǎn)撥】
（1）由∠ADE+∠BCF＝180°結(jié)合鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，可得出∠BCF＝∠ADC，再利用“同位角相等，兩直線平行”可得出AD∥BC；
（2）根據(jù)角平分線的定義及∠BAD＝2∠F，可得出∠BAF＝∠F，再利用“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”可得出AB∥EF；
（3）①由AB∥EF，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得出∠ABE＝∠E，結(jié)合角平分線的定義可得出∠ABC＝2∠E；
②由AD∥BC，利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”可得出∠BAD+∠ABC＝180°，再結(jié)合∠BAD＝2∠F，∠ABC＝2∠E可得出∠E+∠F＝90°．
【解題過程】
解：（1）AD∥BC，理由如下：
∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADC＝180°，
∴∠BCF＝∠ADC，
∴AD∥BC．
（2）AB∥EF，理由如下：
∵AF平分∠BAD，∠BAD＝2∠F，
∴∠BAF∠BAD＝∠F，
∴AB∥EF．
（3）①∠ABC＝2∠E，理由如下：
∵AB∥EF，
∴∠ABE＝∠E．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE＝2∠E．
②∠E+∠F＝90°，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°．
∵∠BAD＝2∠F，∠ABC＝2∠E，
∴2∠E+2∠F＝180°，
∴∠E+∠F＝90°．
16．（2021春?鐵西區(qū)期末）如圖，直線MN分別與直線AC、DG交于點(diǎn)B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分線BE交直線DG于點(diǎn)E，∠BFG的角平分線FC交直線AC于點(diǎn)C．
（1）請(qǐng)直接寫出直線AC與DG的位置關(guān)系；
（2）求證：BE∥CF；
（3）若∠C＝35°，求∠BED的度數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
（1）由對(duì)頂角相等可得∠ABF＝∠1，從而有∠ABF＝∠2，即可得AC∥DG；
（2）求出∠1＝∠BFG，根據(jù)平行線的判定得出AC∥DG，求出∠EBF＝∠BFC，根據(jù)平行線的判定得出即可；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠C＝∠CFG＝∠BEF＝35°，再求出答案即可．
【解題過程】
解：（1）AC∥DG，理由如下：
∵∠ABF＝∠1，∠1＝∠2，
∴∠ABF＝∠2，
∴AC∥DG；
（2）由（1）知AC∥DG，
∴∠ABF＝∠BFG，
∵∠ABF的角平分線BE交直線DG于點(diǎn)E，∠BFG的角平分線FC交直線AC于點(diǎn)C，
∴，∠CFB∠BFG，
∴∠EBF＝∠CFB，
∴BE∥CF．
（3）∵AC∥DG，∠C＝35°，
∴∠C＝∠CFG＝35°，
∵BE∥CF，
∴∠CFG＝∠BEG＝35°，
∴∠BED＝180°﹣∠BEG＝145°．
17．（2021春?廣陵區(qū)校級(jí)期中）如圖1，直線MN與直線AB、CD分別交于點(diǎn)E、F，∠1與∠2互補(bǔ)．
（1）試判斷直線AB與直線CD的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，∠AEF與∠EFC的角平分線交于點(diǎn)P，EP延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)G，點(diǎn)H是MN上一點(diǎn)，且PF∥GH，試判斷直GH與EG的位置關(guān)系，并說明理由．
【思路點(diǎn)撥】
（1）利用鄰補(bǔ)角的定義及已知得出∠1＝∠CFE，即可判定AB∥CD；
（2）利用（1）中平行線的性質(zhì)推知∠AEF+∠EFC＝180°，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理證得∠EPF＝90°，即EG⊥PF，故結(jié)合已知條件PF∥GH，易證GH⊥EG；
【解題過程】
解：（1）AB∥CD，理由如下：
∵∠1與∠2互補(bǔ)，
∴∠1+∠2＝180°，
又∵∠2+∠CFE＝180°，
∴∠1＝∠CFE，
∴AB∥CD；
（2）GH⊥EG，理由如下：
由（1）知，AB∥CD，
∴∠AEF+∠EFC＝180°．
又∵∠AEF與∠EFC的角平分線交于點(diǎn)P，
∴∠FEP+∠EFP（∠BEF+∠EFD）＝90°，
∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF，
∵PF∥GH，
∴GH⊥EG．
18．（2021秋?嵩縣期末）圖1展示了光線反射定律：EF是鏡面AB的垂線，一束光線m射到平面鏡AB上，被AB反射后的光線為n，則入射光線m，反射光線n與垂線EF所夾的銳角θ1＝θ2．
（1）在圖1中，證明：∠1＝∠2．
（2）圖2中，AB，BC是平面鏡，入射光線m經(jīng)過兩次反射后得到反射光線n，已知∠1＝30°，∠4＝60°，判斷直線m與直線n的位置關(guān)系，并說明理由．
（3）圖3是潛望鏡工作原理示意圖，AB，CD是平行放置的兩面平面鏡．請(qǐng)解釋進(jìn)入潛望鏡的光線m為什么和離開潛望鏡的光線n是平行的？
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)角的關(guān)系解答即可；
（2）求出∠5+∠6＝180°，根據(jù)平行線的判定得出即可；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)和平均的定義得到∠5＝∠6，根據(jù)平行線的判定得出即可．
【解題過程】
（1）證明：∵∠AFE＝∠BFE＝90°，
∵θ1＝θ2．
∴∠1＝∠2；
（2）解：直線m∥直線n，
理由：如圖2，
∵∠1＝∠2＝30°，∠3＝∠4＝60°，
∴∠5＝180°﹣∠1﹣∠2＝120°，∠6＝180°﹣∠3﹣∠4＝60°，
∴∠5+∠6＝180°，
∴直線m∥直線n；
（3）解：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4，
即：∠5＝∠6，
∴m∥n．
19．（2021秋?上蔡縣期末）已知：如圖，AB∥CD∥GH，GH過點(diǎn)P．
（1）如圖1，若∠BAP＝40°，∠DCP＝30°，則∠APC＝（直接寫出結(jié)果）；
（2）如圖2，直線MN分別交AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，點(diǎn)P在線段EF上，點(diǎn)Q在射線FC上．若∠MEB＝110°，∠PQF＝50°，求∠EPQ的度數(shù)；
（3）如圖3，點(diǎn)P在射線FN上，點(diǎn)Q在射線FD上，∠AEF的平分線交CD于點(diǎn)O．若∠PQF∠MEB，試判斷OE與PQ是否平行？并說明理由．
【思路點(diǎn)撥】
（1）依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠APG＝∠BAP＝40°，∠CPG＝∠DCP＝30，再根據(jù)∠APC＝∠APG+∠CPG進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）利用鄰補(bǔ)角的定義可得∠BEP＝180°﹣110°＝70°，利用（1）的結(jié)論即可得∠EPQ的度數(shù)；
（3）根據(jù)對(duì)頂角相等以及角平分線的定義可得∠PQF∠MEB∠AEF＝∠AEO，再根據(jù)平行線的性質(zhì)∠AEO＝∠EOF，可得∠PQF＝∠EOF，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行即可得OE∥PQ．
【解題過程】
解：（1）∵AB∥CD∥GH，
∴∠APG＝∠BAP＝40°，∠CPG＝∠DCP＝30，
∴∠APC＝∠APG+∠CPG＝40°+30°＝70°，
故答案為：70°；
（2）∵∠MEB＝110°，
∴∠BEP＝180°﹣110°＝70°，
由（1）可得：∠EPQ＝∠EPG+∠QPG＝∠BEP+∠PQF＝70°+50°＝120°；
（3）OE∥PQ．
理由：∵∠PQF∠MEB，∠MEB＝∠AEF，
∴∠PQF∠MEB∠AEF，
∵EO平分∠AEF．
∴∠PQF∠AEF＝∠AEO，
∵AB∥CD，
∴∠AEO＝∠EOF，
∴∠PQF＝∠EOF，
∴OE∥PQ．
20．（2021春?漢陽區(qū)期中）如圖1，已知兩條直線AB，CD被直線EF所截，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，EM平分∠AEF交CD于點(diǎn)M，且∠FEM＝∠FME．
（1）直線AB與直線CD的位置關(guān)系是；
（2）如圖2，點(diǎn)G是射線FD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)F重合），EH平分∠FEG交CD于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作HN⊥EM于點(diǎn)N，設(shè)∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中，若β＝56°，求α的度數(shù)；
②當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明．
【思路點(diǎn)撥】
（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠AEM＝∠FEM，由已知條件∠FEM＝∠FME，等量代換可得∠AEM＝∠FME，由平行線的判定即可得出答案；
（2）由平行線的性質(zhì)可得β＝∠GEB，由平角的性質(zhì)可得∠AED＝180°﹣∠GEB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠CEF，∠FEH，由∠CEH＝∠CEF+∠FEH可計(jì)算出度數(shù)，根據(jù)垂線的性質(zhì)可得α+∠CEH＝90°，代入計(jì)算即可得出答案；
（3）證明方法同（2）．
【解題過程】
證明：（1）∵EM平分∠AEF，
∴∠AEM＝∠FEM，
∵∠FEM＝∠FME，
∴∠AEM＝∠FME，
∴AB∥CD．
故答案為：AB∥CD；
（2）①∵AB∥CD，
∴β＝∠GEB＝56°，
∴∠AEG＝180°﹣∠GEB＝180°﹣56°＝124°，
∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠CEF，∠FEH，
∴∠CEH＝∠CEF+∠FEH，
∵HN⊥EM，
∴α+∠CEH＝90°，
∴α＝90°﹣∠CEH＝90°﹣62°＝28°；
②a．理由如下：
∵AB∥CD，
∴β＝∠GEB，
∴∠AED＝180°﹣∠GEB＝180°﹣β，
∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠CEF，∠FEH，
∴∠CEH＝∠CEF+∠FEH，
∵HN⊥EM，
∴α+∠CEH＝90°，
∴α90°，
即a．
21．（2021秋?南崗區(qū)校級(jí)期中）已知，直線EF分別與直線AB、CD相交于點(diǎn)G、H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如圖1，求證：AB∥CD．
（2）如圖2，點(diǎn)M在直線AB、CD之間，連接MG、HM，當(dāng)∠AGM＝32°，∠MHC＝68°時(shí)，求∠GMH的度數(shù)．
（3）只保持（2）中所求∠GMH的度數(shù)不變，如圖3，GP是∠AGM的平分線，HQ是∠MHD的平分線，作HN∥PG，則∠QHN的度數(shù)是否改變？若不發(fā)生改變，請(qǐng)求出它的度數(shù)．若發(fā)生改變，請(qǐng)說明理由．（本題中的角均為大于0°且小于180°的角）
【思路點(diǎn)撥】
（1）先由鄰補(bǔ)角得到∠AGE+∠BGE＝180°，然后結(jié)合∠AGE+∠DHE＝180°得到∠BGE＝∠DHE，最后得證AB∥CD；
（2）先由AB∥CD得到∠AGH+∠CHG＝180°，即∠AGM+∠MGH+∠MHG+∠MHC＝180°，再結(jié)合∠MGH+∠MHG+∠GMH＝180°得到∠GMH＝∠AGM+∠MHC，最后結(jié)合已知條件得到∠GMH的大?。?br>（3）先由（2）得到∠AGM+∠MHC＝∠GMH＝100°，∠MGH+∠MHG＝80°，然后結(jié)合角平分線的定義得到∠MGP和∠MHQ，再結(jié)合HN∥PG得到∠GHN＝∠PGH，最后由∠QHN＝∠GHN﹣∠GHQ求得∠QHN的大?。?br>【解題過程】
（1）證明：∵∠AGE+∠BGE＝180°，∠AGE+∠DHE＝180°，
∴∠BGE＝∠DHE，
∴AB∥CD．
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，即∠AGM+∠MGH+∠MHG+∠MHC＝180°，
∵∠MGH+∠MHG+∠GMH＝180°，
∴∠GMH＝∠AGM+∠MHC，
∵∠AGM＝32°，∠MHC＝68°，
∴∠GMH＝100°．
（3）解：∠QHN的度數(shù)不發(fā)生改變，理由如下，
由（2）得，∠AGM+∠MHC＝∠GMH＝100°，
∴∠MGH+∠MHG＝80°，
∵GP、HQ分別平分∠MGA和∠MHD，
∴∠MGP∠MGA，∠MHQ∠MHD（180°﹣∠MHC）＝90°∠MHC，
∴∠PGH＝∠MGP+∠MGH∠MGA+∠MGH，
∵HN∥PG，
∴∠GHN＝∠PGH∠MGA+∠MGH，
∴∠QHN＝∠GHN﹣∠GHQ＝（∠MGA+∠MGH）﹣（∠MHQ﹣∠MHG）∠MGA+∠MGH﹣∠MHQ+∠MHG∠MGA+80°﹣∠MHQ，
∴∠QHN∠MGA+80°﹣（90°∠MHC）＝﹣10°（∠MGA+∠MHC）＝﹣10°100°＝40°．
22．（2021秋?香坊區(qū)校級(jí)期中）點(diǎn)E在射線DA上，點(diǎn)F、G為射線BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足∠DBF＝∠DEF，∠BDG＝∠BGD，DG平分∠BDE．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在F右側(cè)時(shí)，求證：BD∥EF；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在BF左側(cè)時(shí)，求證：∠DGE＝∠BDG+∠FEG；
（3）如圖3，在（2）的條件下，P為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DM平分∠BDG，交BC于點(diǎn)M，DN平分∠PDM，交EF于點(diǎn)N，連接NG，若DG⊥NG，∠B﹣∠DNG＝∠EDN，求∠B的度數(shù)．
【思路點(diǎn)撥】
（1）通過證明∠DBF＝∠EFG，利用同位角相等，兩直線平行即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)E作GH∥BD，交AD于點(diǎn)H，利用（1）的結(jié)論和平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)∠BDM＝∠MDG＝α，則∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α，∠PDM＝180°﹣α；利用已知條件用含α的式子表示∠PDN，∠EDN，∠GDN，∠DNG，再利用∠B﹣∠DNG＝∠EDN，得到關(guān)于α的方程，解方程求得α的值，則∠B＝180°﹣4α，結(jié)論可求．
【解題過程】
證明：（1）∵DG平分∠BDE，
∴∠BDG＝∠ADG．
又∵∠BDG＝∠BGD，
∴∠ADG＝∠DGB．
∴AD∥BC．
∴∠DEF＝∠EFG．
∵∠DBF＝∠DEF，
∴∠DBF＝∠EFG．
∴BD∥EF．
（2）過點(diǎn)G作GH∥BD，交AD于點(diǎn)H，如圖，
∵BD∥EF，
∴GH∥EF．
∴∠BDG＝∠DGH，∠GEF＝∠HGE，
∵∠DGE＝∠DGH+∠HGE，
∴∠DGE＝∠BDG+∠FEG．
（3）設(shè)∠BDM＝∠MDG＝α，
則∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α．
∴∠PDM＝180°﹣α．
∵DN平分∠PDM
∴．
∴．
∴∠GDN＝∠MDN﹣∠MDG＝90°α＝90°．
∵DG⊥ON，
∴∠DNG＝90°．
∴．
∵DE∥BF，
∴∠B＝∠PDE＝180°﹣4α．
∵∠B﹣∠DNG＝∠EDN，
∴，
解得：α＝30°．
∴∠B＝180°﹣4α＝60°．

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