考卷信息：
本套訓練卷共50題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可深化學生對等腰三角形工具的應(yīng)用及構(gòu)造等腰三角形！
一．解答題（共50小題）
1．（2022秋?開福區(qū)校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，BD所在的直線垂直平分線段AC，過點A作AF∥BC交CD于F，延長AB、DC交于點E．
（1）求證：AC平分∠EAF；
（2）求證：∠FAD＝∠E；
（3）若∠EAD＝90°，AE＝5，AF＝3，求CF的長．
【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BA＝BC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC＝∠BCA，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CAF＝∠BCA，等量代換證明結(jié)論；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA＝DC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAC＝∠DCA，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)證明即可；
（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠E+∠ADE＝90°，由（2）知，∠FAD＝∠E，求得∠AFD＝∠AFE＝90°，根據(jù)勾股定理得到EF4，設(shè)DF＝x，求得DF，得到AD，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝CD，于是得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵BD所在的直線垂直平分線段AC，
∴BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵BC∥AF，
∴∠CAF＝∠BCA，
∴∠CAF＝∠BAC，
即AC平分∠EAF；
（2）證明：∵BD所在的直線垂直平分線段AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠DCA是△ACE的一個外角，
∴∠DCA＝∠E+∠EAC，
∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF，
∵∠CAF＝∠EAC，
∴∠FAD＝∠E；
（3）解：∵∠EAD＝90°，
∴∠E+∠ADE＝90°，
由（2）知，∠FAD＝∠E，
∴∠DAF+∠ADE＝90°，
∴∠AFD＝∠AFE＝90°，
∵AE＝5，AF＝3，
∴EF4，
設(shè)DF＝x，
∵DE2﹣AE2＝AD2＝AF2+DF2，
∴（4+x）2﹣52＝32+x2，
解得x，
∴DF，
∴DE，
∴AD，
∵BD所在的直線垂直平分線段AC，
∴AD＝CD，
∴CF．
【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．
2．（2022秋?鐵西區(qū)期末）如圖1，點A、B分別在射線OM、ON上運動（不與點O重合），AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，BC延長線交OM于點G．
（1）若∠MON＝60°，則∠ACG＝ 60 度；
（2）若∠MON＝n°，則∠ACG＝ （90） 度；（用含n的代數(shù)式表示）
（3）如圖2，若∠MON＝72°，過點C作CF∥OA交AB于點F，求∠BGO與∠ACF的數(shù)量關(guān)系．
【分析】（1）先由∠MON＝60°求得∠ABO+∠BAO＝120°，然后由AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線求得∠CAB+∠CBA＝60°，最后結(jié)合三角形的外角性質(zhì)求得∠ACG的度數(shù)；
（2）根據(jù)（1）中的過程，用含有n的式子表示即可得到結(jié)果；
（3）先由CF∥OA得到∠ACF＝∠CAG，然后由∠BGO是△ACG的外角得到∠BGO﹣∠ACF＝∠BGO﹣∠CAG＝∠ACG，再由（2）得∠ACG＝90°72°＝54°，最后得到∠BGO和∠ACF的數(shù)量關(guān)系．
【詳解】解：（1）∵∠MON＝60°，
∴∠ABO+∠BAO＝180°﹣60°＝120°，
∵AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，
∴∠ABC+∠BAC（∠ABO+∠BAO）＝60°，
∵∠ACG是△ABC的外角，
∴∠ACG＝∠ABC+∠BAC＝60°，
故答案為：60．
（2）∵∠MON＝n°，
∴∠ABO+∠BAO＝180°﹣n°，
∵AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，
∴∠ABC+∠BAC（180°﹣n°）＝（90）°，
∵∠ACG是△ABC的外角，
∴∠ACG＝∠ABC+∠BAC＝（90）°，
故答案為：（90）．
（3）∵CF∥OA，
∴∠ACF＝∠CAG，
∴∠BGO﹣∠ACF＝∠BGO﹣∠CAG＝∠ACG，
由（2）得：∠ACG＝90°72°＝54°，
∴∠BGO﹣∠ACF＝54°．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和與外角和定理、角平分線的定義，整體思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
3．（2022秋?單縣期末）如圖，已知點A、C分別在∠GBE的邊BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分線與AD交于點D，連接CD．求證：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．
【分析】①由平行線的性質(zhì)得∠ADB＝∠DBC，再由角平分線的定義得∠ABD＝∠DBC，則∠ABD＝∠ADB，然后由等腰三角形的判定即可得到AB＝AD；
②由平行線的性質(zhì)得∠ADC＝∠DCE，再由①知AB＝AD，則AC＝AD，然后由等腰三角形的性質(zhì)得∠ACD＝∠ADC，則∠ACD＝∠DCE，即可得到結(jié)論．
【詳解】證明：①∵AD∥BE，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD；
②∵AD∥BE，
∴∠ADC＝∠DCE，
由①知，AB＝AD，
又∵AB＝AC，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴CD平分∠ACE．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2022秋?巴彥縣期末）如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一點，點E在邊AC上，且BD＝CE，∠BAD＝∠CDE，∠ADE＝∠C．
（1）如圖1，求證：△ADE是等腰三角形；
（2）如圖2，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與∠CDE相等的角（∠CDE除外）．
【分析】（1）根據(jù)平角的定義和三角形的內(nèi)角和定理得到∠ADB＝∠DEC，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠C＝∠B，根據(jù)角平分線定義得到∠ADE＝∠CDE，等量代換得到結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵∠ADE＝∠C，∠ADB＝180°﹣∠ADE﹣∠CDE，∠DEC＝180°﹣∠CDE﹣∠C，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ADB與△DEC中，
，
∴△ADB≌△DEC（AAS），
∴AD＝DE，
∴△ADE是等腰三角形；
（2）∵△ADB≌△DEC，
∴∠C＝∠B，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵∠BAD＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠B＝∠C＝∠ADE＝∠CDE，
故圖中所有與∠CDE相等的角有∠B，∠C，∠ADE，∠BAD．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線定義，證得△ADB≌△DEC是解題的關(guān)鍵．
5．（2022秋?石家莊期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D為AC上一點，且滿足AD＝BD＝BC．點E是AB的中點，連接ED并延長，交BC的延長線于點F，連接AF．
（1）求∠BAC和∠ACB的度數(shù)；
（2）求證：△ACF是等腰三角形．
【分析】（1）設(shè)∠BAC＝x°，由AD＝BD＝BC知∠A＝∠ABD＝x°，∠BDC＝∠BCD＝2x°，由∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°列方程求解可得；
（2）依據(jù)E是AB的中點，即可得到FE⊥AB，AE＝BE，可得FE垂直平分AB，進而得出∠BAF＝∠ABF，依據(jù)∠ABD＝∠BAD，即可得到∠FAD＝∠FBD＝36°，再根據(jù)∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，可得∠CAF＝∠AFC＝36°，進而得到AC＝CF．
【詳解】解：（1）設(shè)∠BAC＝x°，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝x°，
∴∠BDC＝2x°，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝2x°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2x°，
由∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°可得x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
則∠BAC＝36°，∠ACB＝72°；
（2）∵E是AB的中點，AD＝BD，
∴DE⊥AB，即FE⊥AB；
∴AF＝BF，
∴∠BAF＝∠ABF，
又∵∠ABD＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠FBD＝36°，
又∵∠ACB＝72°，
∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，
∴∠CAF＝∠AFC＝36°，
∴AC＝CF，即△ACF為等腰三角形．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是綜合運用等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．
6．（2022秋?思明區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求證：BE（AC﹣AB）．（提示：延長BE交AC于點F）．
【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，根據(jù)角的和差、等量代換，可得∠CBF＝∠C，根據(jù)等腰三角形的判定，可得BF＝CF，根據(jù)線段的和差、等式的性質(zhì)，可得答案．
【詳解】證明：如圖：延長BE交AC于點F，
∵BF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEF．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠FAE
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（ASA）
∴∠ABF＝∠AFB，AB＝AF，BE＝EF．
∵∠C+∠CBF＝∠AFB＝∠ABF，
∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝3∠C，
∴∠C+2∠CBF＝3∠C，
∴∠CBF＝∠C．
∴BF＝CF，
∴BEBFCF．
∵CF＝AC﹣AF＝AC﹣AB，
∴BE（AC﹣AB）．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等量代換，等式的性質(zhì)，利用等量代換得出∠CBF＝∠C是解題關(guān)鍵．
7．（2022秋?賽罕區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，過點O作BC的平行線分別交AB、AC于點M、N．
（1）求證：MO＝MB；
（2）若AB＝7，AC＝6，求△AMN的周長．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠MBO＝∠OBC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠OBC＝∠MOB，然后求出∠MBO＝∠MOB，再根據(jù)等角對等邊可得OM＝BM；
（2）同理可得ON＝CN，從而確定出等腰三角形，再求出△AMN的周長＝AB+AC，然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．
【詳解】（1）證明：∵BO平分∠ABC，
∴∠MBO＝∠OBC，
∵MN∥BC，
∴∠OBC＝∠MOB，
∴∠MBO＝∠MOB，
∴OM＝BM；
（2）解：由（1）知，OM＝BM，
∵CO平分∠ACB，
∴∠NCB＝∠BCO，
∵MN∥BC，
∴∠BCO＝∠NOC，
∴∠NOC＝∠NCO，
∴ON＝CN，
∴△AMN的周長＝AM+MN+AN，
＝AM+OM+ON+AN，
＝AM+BM+CN+AN，
＝AB+AC，
∵AB＝7，AC＝6，
∴△AMN的周長＝7+6＝13．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵，用阿拉伯數(shù)字加弧線表示角更形象直觀．
8．（2022秋?建陽區(qū)期中）如圖所示，已知點A，C分別在∠GBE的邊BG，BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分線BD與AD交于點D，連接CD．
（1）求證：AC＝AD；
（2）猜想：∠BAC與∠BDC之間有何數(shù)量關(guān)系，并對你的猜想加以證明．
【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得∠ADB＝∠CBD，再由角平分線的定義得∠ABD＝∠CBD，從而得∠ABD＝∠ADB，則有AB＝AD，即可得證AC＝AD；
（2）由（1）知AC＝AD，有∠ACD＝∠ADC，由平行線的性質(zhì)得∠ADC＝∠DCE，從而得∠ACD＝∠DCE，再由角平分線的定義得∠ABC＝2∠DBC，利用三角形的外角性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）證明：∵AD∥BE，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠GBE的平分線BD與AD交于點D，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵AB＝AC，
∴AC＝AD；
（2）解：∠BAC＝2∠BDC，
證明如下：由（1）可知：AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵AD∥BE，
∴∠ADC＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠DCE，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝2∠DCE，
∵∠GBE的平分線BD與AD交于點D，
∴∠ABC＝2∠DBC，
∵∠DCE是△BCD的一個外角，
∴∠DCE＝∠DBC+∠BDC，
即∠BDC＝∠DCE﹣∠DBC，
∵∠ACE是△ABC的一個外角，
∴∠ACE＝∠ABC+∠BAC，
即∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝2∠DCE﹣2∠DBC＝2（∠DCE﹣∠DBC）＝2∠BDC，
∴∠BAC＝2∠BDC．
【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，角平分線，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚角與角，邊與邊之間的關(guān)系．
9．（2022秋?微山縣期中）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，AC⊥BC于點C．
（1）若∠B＝75°，求∠D的度數(shù)；
（2）求證：AB＝2CD．
【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得到∠ACB＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠BAC＝15°，根據(jù)角平分線的定義得到∠DAC＝∠BAC＝15°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DCA＝∠BAC＝15°，于是得到答案；
（2）取AB的中點E，連接CE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CE＝AEAB，得到∠EAC＝∠ACE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAC＝∠ACD，由角平分線的定義得到∠BAC＝∠DAC，推出AD∥CE，得到四邊形AECD是平行四邊形，于是得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝75°，
∴∠BAC＝15°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC＝15°，
∵CD∥AB，
∴∠DCA＝∠BAC＝15°，
∴∠D＝180°﹣∠CAD﹣∠DCA＝150°；
（2）證明：取AB的中點E，連接CE，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴CE＝AEAB，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵∠EAC＝∠ACE，∠DAC＝∠EAC，
∴∠ACE＝∠CAD，
∴AD∥CE，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∴AE＝CD，
∴AB＝2CD．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
10．（2022秋?高港區(qū)期中）如圖，△ABC中，AD是高，CE是中線，點G是CE的中點，DG⊥CE，點G為垂足．
（1）求證：DC＝BE；
（2）若∠AEC＝75°，求∠BCE的度數(shù)．
【分析】（1）連接ED，先利用線段垂直平分線的性質(zhì)說明ED＝DC，再在直角△ABD中，利用斜邊中線與斜邊的關(guān)系得到BE＝DE，從而問題得證；
（2）利用外角，用∠BCE表示出∠BDE，再在等腰△AED中，用∠BCE和∠AEC表示出∠ADE，根據(jù)直角得方程，求解即可．
【詳解】（1）證明：連接ED．
∵點G是CE的中點，DG⊥CE，
∴DE＝DC．
∵AD是高，CE是中線，
∴DE＝BE＝AE．
∴BE＝CD．
（2）解：∵DE＝BE＝AE＝DC，
∴∠BCE＝∠DEC，∠BAD＝∠ADE．
∴∠EDB＝2∠BCE，
∠ADE

．
∵AD是高，
∴∠EDB+∠ADE＝90°．
即2∠BCE．＝90°．
∴3∠BCE＝75°．
∴∠BCE＝25°．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識點，掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定、線段垂直平分線上的點到線段兩端的的距離相等、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解決本題的關(guān)鍵．
11．（2022秋?播州區(qū)期末）已知△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于點D，DE∥BC．
（1）如圖1，如果點E是邊AC的中點，AC＝8，求DE的長；
（2）如圖2，若DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC邊上取點F使BF＝DF，若BC＝9，求DF的長．
【分析】（1）根據(jù)角平分線定義得到∠BCD＝∠ACD，由于DE∥BC，根據(jù)平行線性質(zhì)得∠EDC＝∠BCD，則∠EDC＝∠ACD，然后根據(jù)等腰三角形的判定得ED＝EC，由點E是邊AC的中點，AC＝8，得EC＝4，所以DE＝4；
（2）作DG⊥BC于點G，易求GB、GF的長，再根據(jù)在直角三角形中30°的銳角所對的直角邊是斜邊的一半即可求出DF的長．
【詳解】解：（1）∵DC平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴ED＝EC，
∵點E是邊AC的中點，AC＝8，
∴ECAC＝4，
∴DE＝4；
（2）∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠CDE＝∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC．
如圖2，作DG⊥BC于點G，
∵DB＝DC，DG⊥BC，
∴GBBC9＝4.5，
∵∠ABC＝30°，BF＝DF，
∴∠BDF＝∠B＝30°，
∴∠DFG＝∠B+∠BDF＝60°，
∴∠FDG＝30°，
∴BF＝DF＝2FG，
∴GF＝1.5，
∴DF＝2FG＝3．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及在直角三角形中30°的銳角所對的直角邊是斜邊的一半的性質(zhì)，熟記各種幾何圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．（2022春?漢陽區(qū)校級期中）如圖，已知在△ABC中，CF平分∠ACB，且AF⊥CF于點F，BE平分△ABC的一個外角，且AE⊥BE于點E．
（1）求證：EF∥BC．
（2）若BC＝5，AC＝4，EF＝4，求AB的長．
【分析】（1）延長AF交BCA于M，延長AE交CB的延長線與N，根據(jù)角平分線的定義得到∠ACF＝∠MCF，根據(jù)全等三角形的選擇得到AF＝NF，同理AE＝NE，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：延長AF交BCA于M，延長AE交CB的延長線與N，
∵AF⊥CF，
∴∠AFC＝∠MFC＝90°，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠MCF，
在△ACF和△MCF中，
，
∴△ACF≌△MCF（ASA），
∴AF＝MF，
同理AE＝NE，
∴EF∥MN，
∴EF∥BC；
（2）解：∵AF＝MF，AE＝NE，
∴MN＝2EF＝2×4＝8，
∵AC＝4，
∴CM＝AC＝4，
∴CN＝MN+CM＝12，
∵BC＝5，
∴AB＝BN＝CN﹣BC＝7．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
13．（2022春?桓臺縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分線BE交AC于點D，AF⊥AB交BE于點F．
（1）如圖1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度數(shù)．
（2）如圖2，若BD⊥AC，垂足為D，BF＝8，求DF的長．
【分析】（1）由角平分線求出∠ABF的度數(shù)，再利用外角的性質(zhì)即可；
（2）證出△ABD≌△CBD，得出△ABC是等邊三角形即可解決問題．
【詳解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝35°，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∴∠AFE＝125°．
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝CDB＝90°，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴三角形ABC是等邊三角形，
∴∠ABF＝30°，
∴AF＝4，
在Rt△ADF中，
DF＝2．
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和角平分線，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，證出△ABC是等邊三角形是解決本題的關(guān)鍵，是一道中檔題．
14．（2022秋?新興縣期中）在△ABC中，BD是∠ABC的平分線，AD⊥BD，垂足是D．
（1）求證：∠2＝∠1+∠C；
（2）若ED∥BC，∠ABD＝28°，求∠ADE的度數(shù)．
【分析】（1）如圖延長AD交BC于H．證明△BDA≌△BDH（ASA）即可解決問題．
（2）求出∠AHC，再利用平行線的性質(zhì)即可解決問題．
【詳解】解：（1）如圖延長AD交BC于H．
∵BD⊥AH，
∴∠BDA＝∠BDH＝90°，
∵∠ABD＝∠HBD，BD＝BD，
∴△BDA≌△BDH（ASA），
∴BA＝BH，∠2＝∠BHA，
∵∠BHA＝∠1+∠C，
∴∠2＝∠1+∠C．
（2）∵∠ABD＝28°，∠BDA＝90°，
∴∠2＝62°，
∴∠AHB＝∠2＝62°，
∴∠AHC＝180°﹣62°＝118°，
∵DE∥EB，
∴∠ADE＝∠AHC＝118°．
【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
15．（2022秋?浦城縣期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分線AF交CD于點E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延長線交AB于點N．
（1）求證：EM＝FM；
（2）求證：AC＝AN．
【分析】（1）由已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，CM⊥AF，從而證得三個直角三角形，即：∠AED+∠DAE＝90°，∠EFC+∠CAE＝90°，再通過已知，∠BAC的平分線AF和對頂角得∠CEF＝∠CFE，即得△ECF為等腰三角形，EM＝FM．
（2）根據(jù)SAS證得△AMN≌△AMC，即可證得AC＝AN．
【詳解】（1）證明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，∠CFE+∠CAE＝90°，
又∵∠BAC的平分線AF交CD于E，
∴∠DAE＝∠CAE，
∴∠AED＝∠CFE，
又∵∠AED＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠CFE，
又∵CM⊥AF，
∴EM＝FM．
（2）證明：∵CN⊥AF，
∴∠AMC＝∠AMN＝90°，
在△AMN和△AMC中，
，
∴△AMN≌△AMC（ASA），
∴AC＝AN．
【點睛】此題考查的知識點是等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、定理是解題的關(guān)鍵．
16．（2022春?鳳翔縣期末）如圖，在△ABC中，BC＝8cm，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的平分線，且PD∥AB，PE∥AC．
（1）求△PDE的周長；
（2）若∠A＝50°，求∠BPC的度數(shù)．
【分析】（1）分別利用角平分線的性質(zhì)和平行線的判定，求得△DBP和△ECP為等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)得BD＝PD，CE＝PE，那么△PDE的周長就轉(zhuǎn)化為BC邊的長，即為8cm．
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的性質(zhì)即可求得．
【詳解】解：（1）∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周長＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝8cm．
（2）∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∴∠ABC∠ACB＝65°，
∵∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝65°，
∴∠BPC＝180°﹣65°＝115°．
【點睛】此題主要考查了平行線的判定，內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)等知識點．本題的關(guān)鍵是將△PDE的周長就轉(zhuǎn)化為BC邊的長．
17．（2022春?宣漢縣期末）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，點E、F分別是邊AB、AC上的點，且EF∥BC．
（1）試說明△AEF是等腰三角形；
（2）試比較DE與DF的大小關(guān)系，并說明理由．
【分析】（1）首先利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，再結(jié)合平行線的性質(zhì)得到∠AEF＝∠AFE，利用等角對等邊即可證得；
（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證得AD是線段EF的垂直平分線，然后根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)即可證得．
【詳解】解：（1）∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C．
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，即△AEF是等腰三角形；
（2）DE＝DF．理由如下：
∵AD是等腰三角形ABC的底邊上的高，
∴AD也是∠BAC的平分線．
又∵△AEF是等腰三角形，
∴AG是底邊EF上的高和中線，
∴AD⊥EF，GE＝GF，
∴AD是線段EF的垂直平分線，
∴DE＝DF．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及線段的垂直平分線的性質(zhì)，正確證明AD是線段EF的垂直平分線是關(guān)鍵．
18．（2022春?未央?yún)^(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，點D在線段BC上運動（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E．
（1）當∠BDA＝115°時，∠EDC＝ 25 °，∠DEC＝ 115 °；點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變 小 （填“大”或“小”）；
（2）當DC等于多少時，△ABD≌△DCE，請說明理由；
（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出∠BDA的度數(shù)．若不可以，請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)∠BDA＝115°以及∠ADE＝40°，即可得出∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，進而求出∠DEC的度數(shù)，
（2）當DC＝2時，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝2，即可得出△ABD≌△DCE，
（3）當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形．
【詳解】解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，
∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，
∠BDA逐漸變小；
故答案為：25°，115°，??；
（2）當DC＝2時，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
又∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
又∵AB＝DC＝2，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
（3）當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形，
理由：∵∠BDA＝110°時，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°，
∴∠DAC＝∠AED，
∴△ADE的形狀是等腰三角形；
∵當∠BDA的度數(shù)為80°時，
∴∠ADC＝100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴△ADE的形狀是等腰三角形．
【點睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定等知識，熟練地應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
19．（2022秋?雨花區(qū)校級月考）已知△ABC中，∠ACB的平分線CD交AB于點D，DE平分∠ADC，DE∥BC．
（1）如圖1，如果點E是邊AC的中點，AC＝10，求DE的長；
（2）在（1）的條件下，求證：△ADC是等腰三角形．
（3）如圖2，若∠ABC＝30°，在BC邊上取點F使BF＝DF，若BC＝18，求DF的長．
【分析】由條件可證△EDC是等腰三角形可求DE長，構(gòu)造全等三角形可證△ADC是等腰三角形，求出△DFC是直角三角形可求DF長
【詳解】（1）解∵DE平分∠ADC，CD平分∠ACB，
∴∠ADE＝∠CDE，∠ACD＝∠BCD，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB＝∠EC D，
∴DE＝EC，
∵E是AC中點，
∴DE＝ECAC＝5．
（2）證明：延長DE到G使EG＝DE，
∵∠AEG＝∠DEC，AE＝EC，
∴△AEG≌△CED（SAS），
∴AG＝DC，∠G＝∠CDE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠G＝∠ADE，
∴AD＝AG，
∴AD＝DC，
∴△ADC是等腰三角形．
（3）∵BF＝DF，
∴∠BDF＝∠B＝30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠ADE＝30°，
∴∠FDC＝90°，
∵∠DCF＝∠EDC＝30°，
∴DFFC，
∴DFBC18＝6．
【點睛】此題考查平行線的性質(zhì)，三角形全等，等腰三角形判定的知識點
20．（2022秋?莊浪縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若點M從點B出發(fā)以2cm/s的速度向點A運動，點N從點A出發(fā)以1cm/s的速度向點C運動，設(shè)M、N分別從點B、A同時出發(fā)，運動的時間為ts．
（1）用含t的式子表示線段AM、AN的長；
（2）當t為何值時，△AMN是以MN為底邊的等腰三角形？
（3）當t為何值時，MN∥BC？并求出此時CN的長．
【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∴AM＝AN，列方程即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
∵AB＝10cm，
∴AM＝AB﹣BM＝10﹣2t，AN＝t；
（2）∵△AMN是以MN為底的等腰三角形，
∴AM＝AN，即10﹣2t＝t，
∴當t時，△AMN是以MN為底邊的等腰三角形；
（3）當MN⊥AC時，MN∥BC．
∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°
∵MN∥BC，
∴∠NMA＝30°
∴ANAM，
∴t（10﹣2t），解得t，
∴當t時，MN∥BC，
CN＝51．
【點睛】本題考查的是等腰三角形的判定及平行線的判定與性質(zhì)，熟知等腰三角形的兩腰相等是解答此題的關(guān)鍵．
21．（2022秋?蘭陵縣期中）如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，BP⊥AD，垂足為P．已知AB＝5，BP＝2，AC＝9．試說明∠ABC＝3∠ACB．
【分析】先延長BP，交AC于E，根據(jù)已知條件、結(jié)合ASA易證△ABP≌△AEP，從而有BP＝PE，AE＝AB，∠AEB＝∠ABE，
易求BE＝4，AE＝5，那么CE＝4，于是可知△BCE是等腰三角形，那么∠EBC＝∠C，結(jié)合三角形外角性質(zhì)可證
∠ABE＝2∠C，也就易得∠BAC＝3∠C．
【詳解】證明：延長BP，交AC于E，
∵AD平分∠BAC，BP⊥AD，
∴∠BAP＝∠EAP，∠APB＝∠APE，
又∵AP＝AP，
∴△ABP≌△AEP，
∴BP＝PE，AE＝AB，∠AEB＝∠ABE，
∴BE＝BP+PE＝4，AE＝AB＝5，
∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4，
∴CE＝BE，
∴△BCE是等腰三角形，
∴∠EBC＝∠C，
又∵∠ABE＝∠AEB＝∠C+∠EBC，
∴∠ABE＝2∠C，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝3∠C．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)．關(guān)鍵是作輔助線，求證△BCE是等腰三角形．
22．（2022春?浦東新區(qū)期末）已知△ABC中，∠A＝70°，BP是∠ABC的平分線，CP是∠ACD的平分線．
（1）如圖1，求∠P的度數(shù)；
（2）過點P作EF∥BC與邊AB、AC分別交于點E、點F（如圖2），判斷線段BE、EF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【分析】（1）BP是∠ABC的平分線，CP是∠ACD的平分線，可得∠PBC∠ABC，∠PCD∠ACD，然后由三角形外角的性質(zhì)求得∠P∠A；
（2）由BP是∠ABC的平分線，CP是∠ACD的平分線與EF∥BC，易證得△PEB與△PFC是等腰三角形，繼而得到線段BE、EF、CF之間的數(shù)量關(guān)系．
【詳解】解：（1）∵BP是∠ABC的平分線，CP是∠ACD的平分線，
∴∠PBC∠ABC，∠PCD∠ACD，
∴∠P＝∠PCD﹣∠PBD∠ACD∠ABC（∠ACD﹣∠ABC）∠A70°＝35°；
（2）BE＝EF+CF．
理由：∵BP是∠ABC的平分線，CP是∠ACD的平分線，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCD，
∵EF∥BC，
∴∠EPB＝∠PBD，∠EPC＝∠PCD，
∴∠ABP＝∠EPB，∠ACP＝∠EPC，
∴BE＝PE，CF＝PF，
∵PE＝EF+PF，
∴BE＝EF+CF．
【點睛】此題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
23．（2022秋?天心區(qū)校級期中）如圖，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，點D在AB邊上運動（D不與A、B重合），連接CD．作∠CDE＝30°，DE交AC于點E．
（1）當DE∥BC時，△ACD的形狀按角分類是 直角三角形 ；
（2）在點D的運動過程中，△ECD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出∠AED的度數(shù)；若不可以，請說明理由．
【分析】（1）由DE∥BC得到∠BCD＝∠CDE＝30°，再由∠ACB＝120°，得到∠ACD＝120°﹣30°＝90°，則△ACD是直角三角形．
（2）分類討論：當∠CDE＝∠ECD時，EC＝DE；當∠ECD＝∠CED時，CD＝DE；當∠CED＝∠CDE時，EC＝CD；然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理進行計算．
【詳解】解：（1）∵△ABC中，AC＝BC，
∴∠A＝∠B30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
又∵∠CDE＝30°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝30°+30°＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴△ACD是直角三角形；
故答案為：直角三角形；
（2）△ECD可以是等腰三角形．理由如下：
①當∠CDE＝∠ECD時，EC＝DE，
∴∠ECD＝∠CDE＝30°，
∵∠AED＝∠ECD+∠CDE，
∴∠AED＝60°，
②當∠ECD＝∠CED時，CD＝DE，
∵∠ECD+∠CED+∠CDE＝180°，
∴∠CED75°，
∴∠AED＝180°﹣∠CED＝105°，
③當∠CED＝∠CDE時，EC＝CD，
∠ACD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠ACB＝120°，
∴此時，點D與點B重合，不合題意．
綜上，△ECD可以是等腰三角形，此時∠AED的度數(shù)為60°或105°．
【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為180°．也考查了分類討論思想的運用以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．
24．（2022秋?香坊區(qū)校級月考）已知BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，交AB于點E．
（1）如圖1，求證：BE＝DE．
（2）如圖2，在過點D作DF∥AB，連接EF，過點E作EG⊥BC，若EG＝3，BF＝5，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出面積等于的所有三角形．
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得結(jié)論；
（2）先證明四邊形EBFD是平行四邊形，求得?EBFD的面積＝15，根據(jù)平行四邊形的對角線平分面積可得結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD是△ABC的角平分線，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE；
（2）∵ED∥BF，DF∥BE，
∴四邊形EBFD是平行四邊形，
∵EG⊥BC，且EG＝3，
∴S?EBFD＝BF?EG＝3×5＝15，
∴S△EFD＝S△BEF＝S△BED＝S△BFD＝．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定、平行線的性質(zhì)、三角形和平行四邊形的面積，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握這些性質(zhì)是關(guān)鍵．
25．（2022春?萊州市期末）已知，如圖，在△ABC中，過點A作AD平分∠BAC，交BC于點F，過點C作CD⊥AD，垂足為D，在AC上取一點E，使DE＝CE，求證：DE∥AB．
【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定證明即可．
【詳解】證明：∵CD⊥AD，
∴∠DAC+∠ACD＝∠ADE+∠EDC＝90°，
∵DE＝CE，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴DE∥AB．
【點睛】此題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定解答．
26．（2022春?蓮池區(qū)期中）如圖①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于O點，過O點作BC平行線交AB、AC于E、F． 試說明：EO＝BE
探究一：請寫出圖①中線段EF與BE、CF間的關(guān)系，并說明理由．
探究二：如圖②，△ABC若∠ABC的平分線與△ABC的外角平分線交于O，過點O作BC的平行線交AB于E，交AC于F．這時EF與BE、CF的關(guān)系又如何？請直接寫出關(guān)系式，不需要說明理由．
【分析】由O平分∠ABC與EF∥BC，易證得∠ABO＝∠EOB，即可證得EO＝BE；
探究一：同上題，可得OE＝BE，OF＝CF，繼而可證得EF＝BE+CF．
探究二：同理可證得：OE＝BE，OF＝CF，繼而可證得EF＝BE﹣CF．
【詳解】證明：∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠ABO＝∠EOB，
∴EO＝BE；
探究一：EF＝BE+CF．
理由：∵EO＝BE，
同理可證：OF＝CF，
∴EF＝BE+CF；
探究二：EF＝BE﹣CF．
理由：∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC，
∴∠ABO＝∠EOB，
∴EO＝BE；
同理可得：OF＝CF，
∴EF＝OE﹣OF＝BE﹣CF．
【點睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定以及平行線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
27．（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．
（1）出發(fā)2秒后，求△ABP的周長．
（2）問t為何值時，△BCP為等腰三角形？
（3）另有一點Q，從點C開始，按C→B→A→C的路徑運動，且速度為每秒2cm，若P、Q兩點同時出發(fā)，當P、Q中有一點到達終點時，另一點也停止運動．當t為何值時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分？
【分析】（1）根據(jù)速度為每秒1cm，求出出發(fā)2秒后CP的長，然后就知AP的長，利用勾股定理求得PB的長，最后即可求得周長．
（2）因為AB與CB，由勾股定理得AC＝4 因為AB為5cm，所以必須使AC＝CB，或CB＝AB，所以必須使AC或AB等于3，有兩種情況，△BCP為等腰三角形．
（3）分類討論：當P點在AC上，Q在AB上，則PC＝t，BQ＝2t﹣3，t+2t﹣3＝6；當P點在AB上，Q在AC上，則AC＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，t﹣4+2t﹣8＝6．
【詳解】解：（1）如圖1，由∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4，動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1cm，
∴出發(fā)2秒后，則CP＝2，
∵∠C＝90°，
∴PB（cm），
∴△ABP的周長為：AP+PB+AB＝2+5（7）cm．
（2）①如圖2，若P在邊AC上時，BC＝CP＝3cm，
此時用的時間為3s，△BCP為等腰三角形；
②若P在AB邊上時，有三種情況：
i）如圖3，若使BP＝CB＝3cm，此時AP＝2cm，P運動的路程為2+4＝6cm，
所以用的時間為6s，△BCP為等腰三角形；
ii）如圖4，若CP＝BC＝3cm，過C作斜邊AB的高，根據(jù)面積法求得高為2.4cm，
作CD⊥AB于點D，
在Rt△PCD中，PD1.8（cm），
所以BP＝2PD＝3.6cm，
所以P運動的路程為9﹣3.6＝5.4cm，
則用的時間為5.4s，△BCP為等腰三角形；
ⅲ）如圖5，若BP＝CP，此時P應(yīng)該為斜邊AB的中點，P運動的路程為4+2.5＝6.5cm
則所用的時間為6.5s，△BCP為等腰三角形；
綜上所述，當t為3s、5.4s、6s、6.5s時，△BCP為等腰三角形
（3）如圖6，當P點在AC上，Q在AB上，則PC＝t，BQ＝2t﹣3，
∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，
∴t+2t﹣3＝3，
∴t＝2；
如圖7，當P點在AB上，Q在AC上，則AP＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，
∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，
∴t﹣4+2t﹣8＝6，
∴t＝6，
∴當t為2或6秒時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分．
【點睛】此題考查學生對等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，但是此題涉及到了動點，對于初二學生來說是個難點，尤其是第（2）由兩種情況，△BCP為等腰三角形，因此給這道題又增加了難度，因此這是一道難題．
28．（2022秋?莆田期末）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分線BD交邊AC于點D．
（1）求證：△BCD為等腰三角形；
（2）若∠BAC的平分線AE交邊BC于點E，如圖2，求證：BD+AD＝AB+BE；
（3）若∠BAC外角的平分線AE交CB延長線于點E，請你探究（2）中的結(jié)論是否仍然成立？直接寫出正確的結(jié)論．
【分析】（1）如圖1，先根據(jù)三角形內(nèi)角和得：∠ABC＝70°，由角平分線及已知角可得：∠DBC＝∠ACB＝35°，可得結(jié)論；
（2）證法一：如圖2，在AC上截取AH＝AB，連接EH，證明△ABE≌△AHE，則BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°，所以EH＝HC，得AB+BE＝AH+HC＝AC＝AD+CD＝BD+AD；
證法二：如圖3，在AB的延長線上取AF＝AC，連接EF，證明△AEF≌△AEC，則∠F＝∠C＝35°，得BF＝BE，可得結(jié)論；
（3）正確畫圖4，作輔助線，構(gòu)建等腰三角形，根據(jù)角的大小證明：AF＝AC＝EF，由線段的和與差可得結(jié)論．
【詳解】證明：（1）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC∠ABD＝35°，
∴∠DBC＝∠ACB＝35°，
∴△BCD為等腰三角形；
（2）證法一：如圖2，在AC上截取AH＝AB，連接EH，
由（1）得：△BCD為等腰三角形，
∴BD＝CD，
∴BD+AD＝CD+AD＝AC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAB＝∠EAH，
∴△ABE≌△AHE（SAS），
∴BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°，
∴∠HEC＝∠AHE﹣∠ACB＝35°，
∴EH＝HC，
∴AB+BE＝AH+HC＝AC，
∴BD+AD＝AB+BE；
證法二：如圖3，在AB的延長線上取AF＝AC，連接EF，
由（1）得：△BCD為等腰三角形，且BD＝CD，
∴BD+AD＝CD+AD＝AC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAF＝∠EAC，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴∠F＝∠C＝35°，
∴BF＝BE，
∴AB+BE＝AB+BF＝AF，
∴BD+AD＝AB+BE；
（3）探究（2）中的結(jié)論不成立，正確結(jié)論：BD+AD＝BE﹣AB，理由是：
如圖4，在BE上截取BF＝AB，連接AF，
∵∠ABC＝70°，
∴∠AFB＝∠BAF＝35°，
∵∠BAC＝75°，
∴∠HAB＝105°，
∵AE平分∠HAB，
∴∠EAB∠HAB＝52.5°，
∴∠EAF＝52.5°﹣35°＝17.5°＝∠AEF＝17.5°，
∴AF＝EF，
∵∠AFC＝∠C＝35°，
∴AF＝AC＝EF，
∴BE﹣AB＝BE﹣BF＝EF＝AC＝AD+CD＝AD+BD．
【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
29．（2022秋?黃埔區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE∥AC交AB于E，過E作EF⊥AD，垂足為H，并交BC延長線于F．
（1）求證：AE＝ED；
（2）請猜想∠B與∠CAF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
【分析】（1）感覺平行線的性質(zhì)和角平分線的定義即刻得到結(jié)論；
（2）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)證明FA＝FD，得到∠FAD＝∠FDA，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠FDA＝∠B+∠BAD，∠FAD＝∠FAC+∠CAD，根據(jù)等量代換得到答案．
【詳解】證明：（1）∵DE∥AC，
∴∠EDA＝∠DAC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAC，
∴∠EAD＝∠EDA∴AE＝ED；
（2）∠B＝∠CAF，
證明：∵AE＝ED，EF⊥AD，
∴EF是AD的垂直平分線，
∴FA＝FD，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠FDA＝∠B+∠BAD，∠FAD＝∠FAC+∠CAD，
∴∠B＝∠CAF．
【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義和三角形的外角的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．
30．（2022秋?淶水縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，點D在BC邊上，△ABD、△AFD關(guān)于AD所在的直線對稱，∠FAC的角平分線交BC邊于點G，連接FG．
（1）求∠DFG的度數(shù)．
（2）設(shè)∠BAD＝θ，當θ為何值時，△DFG為等腰三角形？
【分析】（1）由軸對稱可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B＝∠AFD，AB＝AF，在證明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG＝∠C，就可以求出∠DFG的值；
（2）當GD＝GF時，就可以得出∠GDF＝80°，根據(jù)∠ADG＝40+θ，就有40°+80°+40°+θ+θ＝180°就可以求出結(jié)論；當DF＝GF時，就可以得出∠GDF＝50°，就有40°+50°+40°+2θ＝180°，當DF＝DG時，∠GDF＝20°，就有40°+20°+40°+2θ＝180°，從而求出結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝40°．
∵△ABD和△AFD關(guān)于直線AD對稱，
∴△ADB≌△ADF，
∴∠B＝∠AFD＝40°，AB＝AF∠BAD＝∠FAD＝θ，
∴AF＝AC．
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAG＝∠CAG．
在△AGF和△AGC中，
，
∴△AGF≌△AGC（SAS），
∴∠AFG＝∠C．
∵∠DFG＝∠AFD+∠AFG，
∴∠DFG＝∠B+∠C＝40°+40°＝80°．
答：∠DFG的度數(shù)為80°；
（2）當GD＝GF時，
∴∠GDF＝∠GFD＝80°．
∵∠ADG＝40°+θ，
∴40°+80°+40°+θ+θ＝180°，
∴θ＝10°．
當DF＝GF時，
∴∠FDG＝∠FGD．
∵∠DFG＝80°，
∴∠FDG＝∠FGD＝50°．
∴40°+50°+40°+2θ＝180°，
∴θ＝25°．
當DF＝DG時，
∴∠DFG＝∠DGF＝80°，
∴∠GDF＝20°，
∴40°+20°+40°+2θ＝180°，
∴θ＝40°．
∴當θ＝10°，25°或40°時，△DFG為等腰三角形．
【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，等腰三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形的全等是關(guān)鍵．
31．（2022秋?富源縣校級期中）如圖所示，在△ABC中，D、E分別是AB，AC上的一點，BE與CD交于點O，給出下列四個條件：
①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；④OB＝OC．
（1）上述四個條件中，哪兩個可以判定△ABC是等腰三角形．
（2）選擇第（1）題中的一種情形為條件，試說明△ABC是等腰三角形；
（3）在上述條件中，若∠A＝60°，BE平分∠B，CD平分∠C，則∠BOC的度數(shù)？
【分析】（1）根據(jù)已知條件即可找到證明∠ABC＝∠ACB的組合；
（2）要證△ABC是等腰三角形，就要證∠ABC＝∠ACB，根據(jù)已知條件即可找到證明∠ABC＝∠ACB的組合；
（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，利用三角形內(nèi)角和定理即可求得∠BOC的度數(shù)．
【詳解】解：（1）上述四個條件中，①③，①④，②③，②④組合可判定△ABC是等腰三角形．
（2）選擇①③證明．
∵∠DBO＝∠ECO，BD＝CE，∠DOB＝∠EOC，
∴△DOB≌△EOC，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形；
（3）∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BE平分∠B，CD平分∠C，
∴∠OBC＝∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝180﹣30﹣30＝120°，
答：∠BOC的度數(shù)為120°．
【點睛】此題主要考查利用等角對等邊來判定等腰三角形；題目對學生的要求比較高，利用等量加等量和相等是正確解答本題的關(guān)鍵．
32．如圖1，DB為△ABC的角平分線，CE為∠ACB的外角平分線，過點A作AF⊥BD，交射線BD于點F，作AG⊥CE于G，連接EG．
（1）求證：FG∥BC；
（2）如圖2，射線BD與CE相交于點M，若∠M＝45°，AB＝FG＝6，求AD的長．
【分析】（1）延長AF交BC的延長線于K，延長AG交BC的延長線于N．利用全等三角形的性質(zhì)證明FG是△AKN的中位線即可解決問題；
（2）延長AF交BC的延長線于K，延長AG交BC的延長線于N．作DT⊥BC于T．設(shè)AC＝b，BC＝a．承辦方構(gòu)建方程組求出a，b，再證明△BDA≌△BDT（HL），推出BA＝BT＝6，TC＝10﹣6＝4，設(shè)DA＝DT＝m，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題；
【詳解】（1）證明：延長AF交BC的延長線于K，延長AG交BC的延長線于N．
∵AF⊥BF，
∴∠BFA＝∠BFK＝90°，
∵BF＝BF，∠FBA＝∠FBK，
∴△BFA≌△BFK（ASA），
∴AF＝FK，
同理可證：AG＝GN，
∴FG∥KN，即FG∥BC．
（2）解：延長AF交BC的延長線于K，延長AG交BC的延長線于N．作DT⊥BC于T．設(shè)AC＝b，BC＝a．
由（1）可知：AB＝AK＝6，AC＝CN＝b，KN＝2FG＝12，
∴a+b﹣6＝12，
∴a+b＝18，
∵∠M＝45°，∠M＝∠MCN﹣∠MBC，∠BAC＝∠ACN﹣∠ABC＝2（∠MCN﹣∠MBC）＝90°，
∴a2＝62+b2，
解得a＝10，b＝8，
∵DA⊥BA，DT∠BC，BD平分∠ABC，
∴DA＝DT，
∵BD＝BD，
∴△BDA≌△BDT（HL），
∴BA＝BT＝6，TC＝10﹣6＝4，
設(shè)DA＝DT＝m，
在Rt△DCT中，（8﹣m）2＝m2+42，
∴m＝3，
∴AD＝3．
【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題，屬于中考?？碱}型．
33．（2022秋?平定縣期中）如圖，已知△ABC和△CDE均為等邊三角形，且點B、C、D在同一條直線上，連接AD、BE，交CE和AC分別于G、H點，連接GH．
（1）請說出AD＝BE的理由；
（2）試說出△BCH≌△ACG的理由；
（3）試猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以說明．
【分析】（1）證明△ACD≌△BCE即可得出答案；
（2）根據(jù)△ACD≌△BCE，∴∠CBH＝∠CAG，由∠ACB＝∠ECD＝60°，點B、C、D在同一條直線上，得出∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°
根據(jù)AC＝BC即可證明；
（3）由△ACG≌△BCH，∴CG＝CH，根據(jù)∠ACG＝60°即可證明；
【詳解】解：（1）∵△ABC和△CDE均為等邊三角形
∴AC＝BC，EC＝DC
∠ACB＝∠ECD＝60°
∴∠ACD＝∠ECB
∴△ACD≌△BCE
∴AD＝BE；
（2）∵△ACD≌△BCE
∴∠CBH＝∠CAG
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，點B、C、D在同一條直線上
∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°
又∵AC＝BC
∴△ACG≌△BCH；
（3）△CGH是等邊三角形，理由如下：
∵△ACG≌△BCH
∴CG＝CH（全等三角形的對應(yīng)邊相等）
又∵∠ACG＝60°
∴△CGH是等邊三角形（有一內(nèi)角為60度的等腰三角形為等邊三角形）；
【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，難度一般，關(guān)鍵是全等三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用．
34．（2022秋?海淀區(qū)校級期中）已知點C為線段AB上一點，分別以AC、BC為邊在線段AB同側(cè)作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直線AE與BD交于點F，
（1）如圖①，若∠ACD＝60°，則∠AFB＝ 120° ；如圖②，若∠ACD＝90°，則∠AFB＝ 90° ；如圖③，若∠ACD＝120°，則∠AFB＝ 60° ；
（2）如圖④，若∠ACD＝α，則∠AFB＝ 180°﹣α （用含α的式子表示）；
（3）將圖④中的△ACD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)任意角度（交點F至少在BD、AE中的一條線段上），變成如圖⑤所示的情形，若∠ACD＝α，則∠AFB與α的有何數(shù)量關(guān)系？并給予證明．
【分析】（1）如圖1，首先證明△BCD≌△ECA，得出∠EAC＝∠BDC，再根據(jù)∠AFB是△ADF的外角求出其度數(shù)．
如圖2，首先證明△ACE≌△DCB，得出∠AEC＝∠DBC，又有∠FDE＝∠CDB，進而得出∠AFB＝90°．
如圖3，首先證明△ACE≌△DCB，得出∠EAC＝∠BDC，又有∠BDC+∠FBA＝180°﹣∠DCB得到∠FAB+∠FBA＝120°，進而求出∠AFB＝60°．
（2）由∠ACD＝∠BCE得到∠ACE＝∠DCB，再由三角形的內(nèi)角和定理得∠CAE＝∠CDB，從而得出∠DFA＝∠ACD，得到結(jié)論∠AFB＝180°﹣α．
（3）由∠ACD＝∠BCE得到∠ACE＝∠DCB，通過證明△ACE≌△DCB得∠CBD＝∠CEA，由三角形內(nèi)角和定理得到結(jié)論∠AFB＝180°﹣α．
【詳解】解：（1）如圖1，CA＝CD，∠ACD＝60°，
所以△ACD是等邊三角形．
∵CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，
所以△ECB是等邊三角形．
∵AC＝DC，∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠BCD＝∠BCE+∠DCE，
又∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCD．
∵AC＝DC，CE＝BC，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠EAC＝∠BDC．
∠AFB是△ADF的外角．
∴∠AFB＝∠ADF+∠FAD＝∠ADC+∠CDB+∠FAD＝∠ADC+∠EAC+∠FAD＝∠ADC+∠DAC＝120°．
如圖2，∵AC＝CD，∠ACE＝∠DCB＝90°，EC＝CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠AEC＝∠DBC，
又∵∠FDE＝∠CDB，∠DCB＝90°，
∴∠EFD＝90°．
∴∠AFB＝90°．
如圖3，∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD﹣∠DCE＝∠BCE﹣∠DCE．
∴∠ACE＝∠DCB．
又∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
∴∠EAC＝∠BDC．
∵∠BDC+∠FBA＝180°﹣∠DCB＝180°﹣（180﹣∠ACD）＝120°，
∴∠FAB+∠FBA＝120°．
∴∠AFB＝60°．
故填120°，90°，60°．
（2）∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE．
∴∠ACE＝∠DCB．
∴∠CAE＝∠CDB．
∴∠DFA＝∠ACD．
∴∠AFB＝180°﹣∠DFA＝180°﹣∠ACD＝180°﹣α．
（3）∠AFB＝180°﹣α；
證明：∵∠ACD＝∠BCE＝α，則∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
即∠ACE＝∠DCB．
在△ACE和△DCB中，
則△ACE≌△DCB（SAS）．
則∠CBD＝∠CEA，由三角形內(nèi)角和知∠EFB＝∠ECB＝α．
∠AFB＝180°﹣∠EFB＝180°﹣α．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識．
35．（2022?承德縣模擬）已知：在等邊△ABC中，點D、E、F分別為邊AB、BC、AC的中點，點G為直線BC上一動點，當點G在CB延長線上時，有結(jié)論“在直線EF上存在一點H，使得△DGH是等邊三角形”成立（如圖①），且當點G與點B、E、C重合時，該結(jié)論也一定成立．
問題：當點G在直線BC的其它位置時，該結(jié)論是否仍然成立？請你在下面的備用圖②③④中，畫出相應(yīng)圖形并證明相關(guān)結(jié)論．
【分析】連接DE、EF、DF．（1）當點G在線段BE上時，如圖①，在EF上截取EH使EH＝BG．由D、E、F是等邊△ABC三邊中點，可得△DEF、△DBE也是等邊三角形且DEAB＝BD，可證明△DBG≌△DEH，然后即可證明；
（2）當點G在射線EC上時，如圖②，在EF上截取EH使EH＝BG．由（1）可證△DBG≌△DEH．可得DG＝DH，∠BDG＝∠EDH．由∠BDE＝∠BDG﹣∠EDG＝60°，可得∠GDH＝∠EDH﹣∠EDG＝60°，即可證明．
（3）當點G在BC延長線上時，如圖③，與（2）同理可證，結(jié)論成立．
【詳解】證明：連接DE、EF、DF．
（1）當點G在線段BE上時，如圖①，
在EF上截取EH使EH＝BG．
∵D、E、F是等邊△ABC三邊中點，
∴△DEF、△DBE也是等邊三角形且DEAB＝BD．
在△DBG和△DEH中，，
∴△DBG≌△DEH（SAS），
∴DG＝DH．
∴∠BDG＝∠EDH．
∵∠BDE＝∠GDE+∠BDG＝60°，
∴∠GDH＝∠GDE+∠EDH＝60°
∴在直線EF上存在點H使得△DGH是等邊三角形．
（2）當點G在射線EC上時，如圖②，
在EF上截取EH使EH＝BG．
由（1）可證△DBG≌△DEH．
∴DG＝DH，∠BDG＝∠EDH．
∵∠BDE＝∠BDG﹣∠EDG＝60°，
∴∠GDH＝∠EDH﹣∠EDG＝60°．
∴在直線EF上存在點H使得△DGH是等邊三角形．
（3）當點G在BC延長線上時，如圖③，與（2）同理可證，結(jié)論成立．
綜上所述，點G在直線BC上的任意位置時，該結(jié)論成立．
【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，難度較大，關(guān)鍵是巧妙地作出輔助線進行解題．
36．（2022?徐州）如圖1，△ABC為等邊三角形，面積為S．D1、E1、F1分別是△ABC三邊上的點，且AD1＝BE1＝CF1AB，連接D1E1、E1F1、F1D1，可得△D1E1F1是等邊三角形，此時△AD1F1的面積S1S，△D1E1F1的面積S1S．
（1）當D2、E2、F2分別是等邊△ABC三邊上的點，且AD2＝BE2＝CF2AB時如圖2，
①求證：△D2E2F2是等邊三角形；
②若用S表示△AD2F2的面積S2，則S2＝ S ；若用S表示△D2E2F2的面積S2′，則S2′＝ S ．
（2）按照上述思路探索下去，并填空：
當Dn、En、Fn分別是等邊△ABC三邊上的點，ADn＝BEn＝CFnAB時，（n為正整數(shù)）△DnEnFn是 等邊 三角形；
若用S表示△ADnFn的面積Sn，則Sn＝ ；若用S表示△DnEnFn的面積Sn′，則S′n＝ ．
【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)和已知條件可證△AD2F2≌△BE2D2≌△CF2E2，得D2E2＝E2F2＝F2D2所以△D2E2F2為等邊三角形．
（2）（3）由等邊三角形的性質(zhì)和面積公式可求．
【詳解】解：（1）①∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝60°，（1分）
由已知得AD2AB，BE2BC，
∴AF2AC，BD2AB
∴AD2＝BE2，AF2＝BD2（2分）
△AD2F2≌△BE2D2（3分）
∴D2E2＝F2D2
同理可證△AD2F2≌△CF2E2
F2D2＝E2F2（4分）
∴D2E2＝E2F2＝F2D2
∴△D2E2F2為等邊三角形；（5分）
②；（6分）
S′2＝SS×3S（7分）
（2）由（1）可知：△DnEnFn等邊三角形；（8分）
由（1）的方法可知：，S3S，；（9分）
S2′S，S3′．（10分）
【點睛】本題考查了等邊三角形等性質(zhì)，和等邊三角形等判斷，以及內(nèi)接等邊三角形的面積規(guī)律．
37．（2022春?和平縣期末）如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊BC、AC上，若CD＝3，過點D作DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F．
（1）求證：△CDE為等邊三角形；
（2）求EF的長．
【分析】先證明△DEC是等邊三角形，再在Rt△DEC中求出EF即可解決問題．
【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝60°，
∴△EDC是等邊三角形，
（2）∵△EDC是等邊三角形，
∴DE＝DC＝3，
在Rt△DEF中，∵∠DEF＝90°，DE＝3，
∴DF＝2DE＝6，
∴EF3．
【點睛】考查等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形中30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是利用特殊三角形解決問題，屬于中考常考題型．
38．（2022秋?韶關(guān)期末）已知：如圖，△ABC、△CDE都是等邊三角形，AD、BE相交于點O，點M、N分別是線段AD、BE的中點．
（1）求證：AD＝BE；
（2）求∠DOE的度數(shù)；
（3）求證：△MNC是等邊三角形．
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，求出∠ACD＝∠BCE，證△ACD≌△BCE即可；
（2）根據(jù)全等求出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可；
（3）求出AM＝BN，根據(jù)SAS證△ACM≌△BCN，推出CM＝CN，求出∠NCM＝60°即可．
【詳解】解：（1）∵△ABC、△CDE都是等邊三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE．
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵等邊三角形DCE，
∴∠CED＝∠CDE＝60°，
∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED，
＝∠ADC+60°+∠BED，
＝∠CED+60°，
＝60°+60°，
＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，
答：∠DOE的度數(shù)是60°．
（3）證明：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC
又∵點M、N分別是線段AD、BE的中點，
∴AMAD，BNBE，
∴AM＝BN，
在△ACM和△BCN中
，
∴△ACM≌△BCN，
∴CM＝CN，
∠ACM＝∠BCN，
又∠ACB＝60°，
∴∠ACM+∠MCB＝60°，
∴∠BCN+∠MCB＝60°，
∴∠MCN＝60°，
∴△MNC是等邊三角形．
【點睛】本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識點的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)性質(zhì)進行推理，此題綜合性比較強，有一定的代表性．
39．（2022秋?萊蕪區(qū)期末）如圖：在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD與BE相交于點P，BQ⊥AD于Q．
求證：①△ADC≌△BEA；
②BP＝2PQ．
【分析】（1）由已知可得△ABC是等邊三角形，從而得到∠BAC＝∠C＝60°，根據(jù)SAS即可判定△ADC≌△BEA；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到∠ABE＝∠CAD，再根據(jù)等角的性質(zhì)即可求得∠BPQ＝60°，再根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠PBQ＝30°，根據(jù)在直角三角形中30°的角對的邊是斜邊的一半即可證得結(jié)果．
【詳解】證明：（1）∵AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等邊三角形．
∴∠BAC＝∠C＝60°．
∵AB＝AC，AE＝CD，
∴△ADC≌△BEA．
（2）∵△ADC≌△BEA，
∴∠ABE＝∠CAD．
∵∠CAD+∠BAD＝60°，
∴∠ABE+∠BAD＝60°．
∴∠BPQ＝60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ＝30°．
∴BP＝2PQ．
【點睛】此題主要考查學生對等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)等知識點的綜合運用能力．
40．（2022秋?烏海期末）如圖．在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）試判定△ODE的形狀，并說明你的理由；
（2）線段BD、DE、EC三者有什么關(guān)系？寫出你的判斷過程．
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得到△ODE是等邊三角形；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可得到∠DBO＝∠DOB，根據(jù)等角對等邊可得到DB＝DO，同理可證明EC＝EO，因為DE＝OD＝OE，所以BD＝DE＝EC．
【詳解】解：（1）△ODE是等邊三角形，
其理由是：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，（2分）
∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°（3分）
∴△ODE是等邊三角形；（4分）
（2）答：BD＝DE＝EC，
其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝∠OBD＝30°，（6分）
∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠ABO＝30°，
∴∠DBO＝∠DOB，
∴DB＝DO，（7分）
同理，EC＝EO，
∵DE＝OD＝OE，
∴BD＝DE＝EC．（8分）
【點睛】此題主要考查學生對等邊三角形的判定及性質(zhì)的理解及運用．
41．（2022秋?桐城市期末）如圖，已知D是△ABC的邊BC上的一點，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中線．
（1）若∠B＝60°，求∠C的值；
（2）求證：AD是∠EAC的平分線．
【分析】（1）根據(jù)已知條件得到∠BAD＝∠BDA＝60°，于是得到AB＝AD，等量代換得到CD＝AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAC＝∠C，推出∠BDA＝∠DAC+∠C＝2∠C，即可得到結(jié)論；
（2）證明：延長AE到M，使EM＝AE，連接DM，推出△ABE≌△MDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠MDE，AB＝DM，根據(jù)全等三角形的判定定理得到△MAD≌△CAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠MAD＝∠CAD于是得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵∠B＝60°，∠BDA＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠BDA＝60°，
∴AB＝AD，
∵CD＝AB，
∴CD＝AD，
∴∠DAC＝∠C，
∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝2∠C，
∵∠BAD＝60°，
∴∠C＝30°；
（2）證明：延長AE到M，使EM＝AE，連接DM，
在△ABE和△MDE中，
，
∴△ABE≌△MDE，
∴∠B＝∠MDE，AB＝DM，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠MDE+∠BDA＝∠ADM，
在△MAD與△CAD，，
∴△MAD≌△CAD，
∴∠MAD＝∠CAD，
∴AD是∠EAC的平分線．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中線的定義，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
42．（2022?陽城縣模擬）數(shù)學課上，李老師出示了如下的題目：
“在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED＝EC，如圖，試確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由”．
小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：
（1）特殊情況，探索結(jié)論
當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AE ＝ DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
（2）特例啟發(fā)，解答題目
解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE ＝ DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F．（請你完成以下解答過程）
（3）拓展結(jié)論，設(shè)計新題
在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED＝EC．若△ABC的邊長為1，AE＝2，求CD的長（請你直接寫出結(jié)果）．
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出∠D＝∠ECB＝30°，求出∠DEB＝30°，求出BD＝BE即可；
（2）過E作EF∥BC交AC于F，求出等邊三角形AEF，證△DEB和△ECF全等，求出BD＝EF即可；
（3）當D在CB的延長線上，E在AB的延長線式時，由（2）求出CD＝3，當E在BA的延長線上，D在BC的延長線上時，求出CD＝1．
【詳解】解：（1）故答案為：＝．
（2）過E作EF∥BC交AC于F，
∵等邊三角形ABC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠BED＝∠ECF，
在△DEB和△ECF中
，
∴△DEB≌△ECF，
∴BD＝EF＝AE，
即AE＝BD，
故答案為：＝．
（3）解：CD＝1或3，
理由是：分為兩種情況：①如圖1
過A作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC于N，
則AM∥EN，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CMBC，
∵DE＝CE，EN⊥BC，
∴CD＝2CN，
∵AB＝1，AE＝2，
∴AB＝BE＝1，
∵EN⊥DC，AM⊥BC，
∴∠AMB＝∠ENB＝90°，
在△ABM和△EBN中，
，
∴△AMB≌△ENB（AAS），
∴BN＝BM，
∴CN＝1，
∴CD＝2CN＝3；
②如圖2，作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC于N，
則AM∥EN，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CMBC，
∵DE＝CE，EN⊥BC，
∴CD＝2CN，
∵AM∥EN，
∴MN＝1，
∴CN＝1，
∴CD＝2CN＝1，
即CD＝3或1．
【點睛】本題綜合考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，解（2）小題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等的三角形后求出BD＝EF，解（3）小題的關(guān)鍵是確定出有幾種情況，求出每種情況的CD值，注意，不要漏解?。?br>43．（2022秋?松山區(qū)校級月考）如圖，點P在等邊△ABC內(nèi)，點D在△ABC外，且∠ABP＝∠ACD，BP＝CD，問：△APD是什么形狀三角形，試說明理由．
【分析】先證△ABP≌△ACD得AP＝AD，再證∠PAD＝60°，從而得出△APD是等邊三角形．
【詳解】解：△APD為等邊三角形．
證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝AC．
在△ABP與△ACQ中，
∵，
∴△ABP≌△ACD（SAS）．
∴AP＝AD，∠BAP＝∠CAD．
∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，
∴∠PAD＝∠CAD+∠PAC＝60°，
∴△APD是等邊三角形．
【點睛】考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定方法，注意條件與問題之間的聯(lián)系．
44．（2022春?江岸區(qū)校級期中）（1）如圖1，△ADE為等邊三角形，AD∥EB，且EB＝DC，求證：△ABC為等邊三角形．
（2）相信你一定能從（1）中得到啟示并在圖2中作一個等邊△ABC，使三角形的三個定點A、B、C分別在直線l1、l2、l3上，（l1∥l2∥l3且這三條平行線兩兩之間的距離不相等）．請你畫出圖形，并寫出簡要作法．
（3）①如圖3，當所作△ABC的三個定點A、B、C分別在直線l2、l3、l1上時，如圖所示，請結(jié)合圖形填空：
a：先作等邊△ADE，延長DE交l3于B點，在l1上截取EC＝ BD ，連AC、BC，則△ABC即為所求．
b：證明△ABC為等邊三角形時，可先證明 △AEC ≌ △ADB 從而為證明等邊三角形創(chuàng)造條件．
②若使等邊△ABC的三個定點A、B、C分別在直線l3、l1、l2上時，請在圖4中用類似的方法作出圖形，并將構(gòu)造的全等三角形用陰影標出．（只需畫出圖形，不要求寫作法及證明過程）
【分析】（1）由△ADE為等邊三角形，得出AE＝AD，∠DAE＝60°，由AD∥EB，得出∠DAE＝∠ABE，且EB＝DC，證得△ABE≌△ACD，得出∠DAC＝∠EAB，AB＝AC進一步推出結(jié)論；
（2）作法如下：
①l1、l2、l3三條平行線間距離不等，不仿設(shè)l2、l3間距離大點．②在l1、l3的正中間做一條直線d與它們平行．③作一條垂線分別交l1、l3于A、M，以AM為邊作正三角形AMG，第三個頂點G就在d上．過G作CG垂直AG交直線l2于C，連AC．在直線l3上AM的左側(cè)截取BM等于CG，連AB、BC．則三角形ABC就是所要求作的正三角形；
（3）①結(jié)合（1）的證明直接填空即可；②利用①所給的畫法做出圖形．
【詳解】（1）證明：∵△ADE為等邊三角形，
∴AE＝AD，∠DAE＝60°，
∵AD∥EB，
∴∠DAE＝∠AEB，
又∵EB＝DC，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠DAC＝∠EAB，AB＝AC，
∵∠DAE＝∠DAC﹣∠CAE＝∠EAB﹣∠CAE＝∠BAC＝60°，
∴△ABC為等邊三角形．
（2）解：作圖如下：
（3）解：作圖如下：
【點睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，尺規(guī)作圖等知識點，并且滲透類比思想．
45．（2022秋?盤龍區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形外一點，且∠ABD＝60°，BD+DC＝AB．求證：∠ACD＝60°．
【分析】首先延長BD至E，使CD＝DE，連接AE，AD，由BD+DC＝AB，易得△ABE是等邊三角形，繼而證得△ACD≌△ADE，則可證得：∠ACD＝∠E＝60°．
【詳解】證明：延長BD至E，使CD＝DE，連接AE，AD，
∵BD+CD＝AB，BE＝BD+DE，
∴BE＝AB，
∵∠ABD＝60°，
∴△ABE是等邊三角形，
∴AE＝AB＝AC，∠E＝60°，
在△ACD和△ADE中，
，
∴△ACD≌△ADE（SSS），
∴∠ACD＝∠E＝60°．
【點睛】此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
46．（2022秋?雨城區(qū)校級期中）如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．
（1）△COD是什么三角形？說明理由；
（2）若AO＝n2+1，AD＝n2﹣1，OD＝2n（n為大于1的整數(shù)），求α的度數(shù)；
（3）當α為多少度時，△AOD是等腰三角形？
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CO＝CD，∠OCD＝60°，根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形解答；
（2）利用勾股定理逆定理判定△AOD是直角三角形，并且∠ADO＝90°，從而求出∠ADC＝150°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小可得α＝∠ADC；
（3）根據(jù)周角為360°用α表示出∠AOD，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)表示出∠ADO，然后利用三角形的內(nèi)角和定理表示出∠DAO，再分∠AOD＝∠ADO，∠AOD＝∠DAO，∠ADO＝∠DAO三種情況討論求解．
【詳解】解：（1）△COD是等邊三角形．
理由如下：∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，
∴CO＝CD，∠OCD＝60°，
∴△COD是等邊三角形；
（2）∵AD2+OD2＝（n2﹣1）2+（2n）2
＝n4﹣2n2+1+4n2
＝n4+2n2+1
＝（n2+1）2
＝AO2，
∴△AOD是直角三角形，且∠ADO＝90°，
∵△COD是等邊三角形，
∴∠CDO＝60°，
∴∠ADC＝∠ADO+∠CDO＝90°+60°＝150°，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，α＝∠ADC＝150；
（3）∵α＝∠ADC，∠CDO＝60°，
∴∠ADO＝α﹣60°，
又∵∠AOD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∴∠DAO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝180°﹣190°+α﹣α+60°＝50°，
∵△AOD是等腰三角形，
∴①∠AOD＝∠ADO時，190°﹣α＝α﹣60°，
解得α＝125°，
②∠AOD＝∠DAO時，190°﹣α＝50°，
解得α＝140°，
③∠ADO＝∠DAO時，α﹣60°＝50°，
解得α＝110°，
綜上所述，α為125°或140°或110°時，△AOD是等腰三角形．
【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小的性質(zhì)，勾股定理逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，（3）用α表示出△AOD的各個內(nèi)角是解題的關(guān)鍵，注意要分情況討論．
47．（2022?饒平縣校級模擬）已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．
（1）如圖①，若∠AOB＝∠COD＝60°，求證：①AC＝BD②∠APB＝60°．
（2）如圖②，若∠AOB＝∠COD＝α，則AC與BD間的等量關(guān)系式為 AC＝BD ，∠APB的大小為 α （直接寫出結(jié)果，不證明）
【分析】（1）①根據(jù)已知先證明∠AOC＝∠BOD，再由SAS證明△AOC≌△BOD，所以AC＝BD．
②由△AOC≌△BOD，可得∠OAC＝∠OBD，再結(jié)合圖形，利用角的和差，可得∠APB＝60°．
（2）由（1）小題的證明可知，AC＝BD，∠APB＝α．
【詳解】解：（1）①證明：∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD．
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD；
②證明：∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB，
∴∠OAC+60°＝∠OBD+∠APB，
∴∠APB＝60°；
（2）AC＝BD，∠APB＝α．
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確運用等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
48．（2022秋?濠江區(qū)校級期中）如圖△ABC為等邊三角形，直線a∥AB，D為直線BC上任一動點，將一60°角的頂點置于點D處，它的一邊始終經(jīng)過點A，另一邊與直線a交于點E．
（1）若D恰好在BC的中點上（如圖1）求證：△ADE是等邊三角形；
（2）若D為直線BC上任一點（如圖2），其他條件不變，上述（1）的結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)題意得出EC＝CD＝DB，進而可證得△ABD≌△ACE，從而可判斷出結(jié)論．
（2）在AC上取點F，使CF＝CD，連接DF，從而證得△ADF≌△EDC，進而得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵a∥AB，且△ABC為等邊三角形，
∴∠ACE＝∠BAC＝∠ABD＝60°，AB＝AC，
∵BD＝CD，
∴AD⊥BC
∵∠ADE＝60°，
∴∠EDC＝30°，
∴∠DOC＝180°﹣∠EDC﹣∠ACB＝90°，
∴∠DEC＝∠DOC﹣∠ACE＝30°，
∴∠EDC＝∠DEC，
∴EC＝CD＝DB，
∴△ABD≌△ACE．
∴AD＝AE，且∠ADE＝60°，
∴△ADE是等邊三角形；
（2）在AC上取點F，使CF＝CD，連接DF，
∵∠ACB＝60°，
∴△DCF是等邊三角形，
∵∠ADF+∠FDE＝∠EDC+∠FDE＝60°，
∴∠ADF＝∠EDC，
∵∠DAF+∠ADE＝∠DEC+∠ACE，
∴∠DAF＝∠DEC，
∴△ADF≌△EDC（AAS），
∴AD＝ED，
又∵∠ADE＝60°，
∴△ADE是等邊三角形．
【點睛】本題考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)，難度較大，注意基本性質(zhì)的掌握及熟練應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵．
49．（2022?浙江模擬）如圖，等邊△ABC的邊長為10，點P是邊AB的中點，Q為BC延長線上一點，CQ：BC＝1：2，過P作PE⊥AC于E，連PQ交AC邊于D，求DE的長？
【分析】過P點作PF∥BC交AC于F點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定求出△APF是等邊三角形，推出AP＝AF＝PF＝CQ，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AE＝EF，根據(jù)AAS證△PFD和△QCD全等，求出FD＝CD，推出DEAC，代入求出即可．
【詳解】解：過P點作PF∥BC交AC于F點，
∵等邊△ABC的邊長為10，點P是邊AB的中點，CQ：BC＝1：2，
∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝∠A＝60°，
∴AP＝CQ，
∵PF∥AB，
∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，
∴∠A＝∠APF＝∠AFP＝60°，
∴△APF是等邊三角形，
∵PE⊥AC，
∴EFAF，
∵△APF是等邊三角形，AP＝CQ，
∴PF＝CQ
∵PF∥AB，
∴∠Q＝∠FPD，
在△PDF和△QDC中
∵，
∴△PDF≌△QDC，
∴DF＝CD，
∴DFCF，
∴DE＝EF+DFAFCFAC，
∴ED＝5．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)等知識點，主要考查學生運用定理進行推理的能力，題目綜合性比較強，是一道比較好的題目．
50．（2022秋?東海縣校級期中）為了使同學們更好地解答本題，我們提供了思路點撥，你可以依照這個思路填空，并完成本題解答的全過程，當然你也可以不填空，只需按照解答的一般要求，進行解答即可．
如圖，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，延長BC，使CE＝CD，連接DE，求證：BC+DC＝AC．
思路點撥：
（1）由已知條件AB＝AD，∠BAD＝60°，可知：△ABD是 等邊 三角形；
（2）同理由已知條件∠BCD＝120°得到∠DCE＝ 60° ，且CE＝CD，可知 △DCE是等邊三角形 ；
（3）要證BC+DC＝AC，可將問題轉(zhuǎn)化為兩條線段相等，即 AC ＝ BE ；
（4）要證（3）中所填寫的兩條線段相等，可以先證明…．請你完成證明過程：
【分析】（1）連接BD，根據(jù)等邊三角形判定推出即可；
（2）求出∠DCE＝60°，得到等邊三角形DCE即可；
（3）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)推出AD＝BD，CD＝DE，∠ADB＝∠CDE＝60°，推出∠ADC＝∠BDE，證△ADC≌△BDE即可；
（4）由（3）即可得出答案．
【詳解】（1）解：連接BD，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD是等邊三角形，
故答案為：等邊．
（2）解：∵∠BCD＝120°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝180°﹣120°＝60°，
∵CE＝CD，
∴△DCE是等邊三角形，
故答案為：60°，△DCE是等邊三角形．
（3）證明：∵等邊三角形ABD和DCE，
∴AD＝BD，CD＝DE，∠ADB＝∠CDE＝60°，
∴∠ADB+∠BDC＝∠CDE+∠BDC，
即∠ADC＝∠BDE，
在△ADC和△BDE中，
，
∴△ADC≌△BDE，
∴AC＝BE＝BC+CE，
故答案為：BE＝AC．
（4）解：由（3）知：證△BED≌△ACD．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)推出△ADC≌△BDE，通過做此題培養(yǎng)了學生運用性質(zhì)進行推理的能力，題目較好，難度適中．

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初中數(shù)學浙教版（2024）八年級上冊電子課本

2.2 等腰三角形

版本： 浙教版（2024）

年級： 八年級上冊

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