【典例1】在ABC中，AB＝AC，AE是ABC的中線，G、H分別為射線BA、AC上一點，且滿足∠GEH+∠BAC＝180°．
(1)如圖1，若∠CAE＝45°，且G、H分別在線段BA、AC上，求證：AEH≌BEG；
(2)在（1）的條件下，AG＝3，求線段CH的長度；
(3)如圖2，延長AE至點D，使DE＝AE，過點E作EF⊥BD于點F，當點G在線段BA的延長線上，點H在線段AC的延長線上時，探求線段BF、CH、BG三者之間的數(shù)量關系，并說明理由．
【思路點撥】
（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和已知條件，先證∠BAC＝90°，，， 再結(jié)合∠GEH+∠BAC＝180°，證明∠GEH＝90°，進而證明∠AEH＝∠BEG，最后利用ASA即可證明AEH≌BEG；
（2）利用（1）中結(jié)論，參照（1）中方法利用ASA即可證明CEH≌AEG，即可得出；
（3）作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ＝BI，連接EJ．先利用AAS證明JEG≌CEH，推出，再證明BFE≌BIE，推出BF＝BI，即可得出．
【解題過程】
解：（1）證明：如圖所示：
∵AB＝AC，AE是ABC的中線，
∴∠C＝∠B，AE⊥BC，
又∵∠CAE＝45°，
∴∠C＝∠CAE＝45°，
∴∠B＝∠C＝∠CAE＝∠BAE＝45°，
∴∠BAC＝90°，，，
∵∠GEH+∠BAC＝180°，∠BAC＝90°，
∴∠GEH＝90°，
∴∠AEH+∠AEG＝∠AEG +∠BEG＝90°，
∴∠AEH＝∠BEG，
在AEH和BEG中，
，
∴AEH≌BEG；
（2）由（1）知∠C＝∠BAE＝45°，，∠GEH＝90°，AE⊥BC，
∴∠AEC＝∠GEH＝90°，
∴∠AEH+∠CEH＝∠AEH +∠AEG＝90°，
∴∠CEH＝∠AEG，
在CEH和AEG中，
，
∴CEH≌AEG，
∴；
（3），
理由如下：
如圖，作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ＝BI，連接EJ．
則EI是線段BJ的垂直平分線，
∴，
∵E是BC的中點，
∴，
∴．
∵∠GEH+∠BAC＝180°，∠GAH+∠BAC＝180°，
∴∠GEH＝∠GAH，
又∵∠GOA＝∠HOE，
∴∠JGE＝∠CHE，
∵，，
∴∠EJB＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠EJG＝∠ECH，
在JEG和CEH中，
，
∴JEG≌CEH，
∴，
∵AE⊥BC，DE＝AE，
∴BD＝AB，
∴∠ABE＝∠DBE，
∵EI⊥AB，EF⊥BD，
∴∠BIE＝∠BFE＝90°，
又∵BE＝BE，
∴BFE≌BIE，
∴BF＝BI，
∴．
1．（2021·福建省永春崇賢中學九年級階段練習）如圖，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△DBE，且點E落在AB上，DE的延長線與AC相交于點F，連接DA，BF，若，．
(1)求證△ADF≌△BDF；
(2)若，求DF的長．
2．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學八年級期中）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是線段BC上一點，連接AP，延長BC至點Q，使得，過點作于點，交于點．
(1)若∠CAP=20°，則= °．
(2)判斷AP與QM的數(shù)量關系，并證明．
3．（2022·山西·運城市鹽湖區(qū)教育科技局教學研究室七年級期末）已知：等腰直角，，，，將沿CE折疊，使CA落在直線CH上，BM是的平分線，交AC于M，交CH于N，連接EN．
(1)請說明：
(2)試判斷CE與BM的關系，并說明理由．
4．（2021·廣東·沙田第一中學七年級期末）如圖，△ABC和△ECD都是等邊三角形，B，C，D三點共線，AD與BE相交于點O，AD與CE交與點F，AC與BE交于點G．
(1)找出圖中一對全等三角形，并說明理由．
(2)求∠BOD度數(shù)．
(3)連接GF，判斷△CGF形狀，并說明理由．
5．（2022·福建省尤溪縣梅仙中學八年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形AOB，點C為x軸正半軸上一動點（），連接BC，以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形CBD，直線DA交y軸于點E．
(1)求證：OC＝AD．
(2)∠CAD的度數(shù)是______．
(3)當點C運動到什么位置時，以A，E，C為頂點的三角形是等腰三角形？
6．（2022·全國·八年級專題練習）已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作等邊△ADE（頂點A、D、E按逆時針方向排列），連接CE．
(1)如圖1，當點D在邊BC上時，求證：
①BD＝CE，
②AC＝CE＋CD；
(2)如圖2，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結(jié)論AC＝CE＋CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關系，并說明理由．
7．（2022·四川省彭州中學實驗學校八年級期中）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC的外角平分線AD上一點，DE⊥AC交CA的延長線于點E，連接DB．
(1)求證：∠CAB＝2∠ADE；
(2)如圖2，F(xiàn)是AC上一點，且DF＝DB，若∠CAB＝60°，求證：AC﹣AE＝AF．
8．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．已知∠AOB＝110°．
(1)求證：△COD是等邊三角形；
(2)當α＝150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
(3)探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形．
9．（2022·江西·崇仁縣第二中學七年級階段練習）已知：在△ABC中，AC=7．
(1)如圖①，分別以AB，BC為邊，向外作等邊△ABD和等邊△BCE，連接AE，CD，則AE CD（填“＞”“＜”或“=”）；
(2)如圖②，分別以AB，BC為腰，向內(nèi)作等腰△ABD和等腰△BCE，∠ABD=∠CBE且小于∠ABC，連接AE，CD，請猜想AE與CD的數(shù)量關系，并說明理由；
(3)如圖③，以AB為腰向內(nèi)作等腰△ABD，以BC為腰向外作等腰△BCE，且∠ABD=∠CBE，已知點A到直線DE的距離為2，AE=8，求點D到直線AE的距離．
10．（2022·山東煙臺·七年級期末）已知在中，滿足，
(1)【問題解決】如圖1，當，為的角平分線時，在上取一點使得，連接，求證：．
(2)【問題拓展】如圖2，當，為的角平分線時，在上取一點使得，連接，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請你證明：若不成立，請說明理由．
(3)【猜想證明】如圖3，當為的外角平分線時，在的延長線上取一點使得，連接，線段、、又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明．
11．（2022·四川成都·七年級期末）如圖，已知是等邊三角形．
(1)如圖1，D是上一點，以為邊作等邊，連接，求證：；
(2)在（1）的條件下，于F，若，求的長；
(3)如圖2，為穿越的一條射線，點P是點C關于的對稱點，連接并延長交于Q，連接．已知，觀察、猜測并證明，，之間的關系．
12．（2022·遼寧沈陽·七年級期末）如圖①，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，動點P以每秒1cm的速度從點A出發(fā)，沿線段AB向點B運動．設點P的運動時間為t（t>0）秒．（知識儲備：一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）
(1)當t＝5時，求證：△PAC是直角三角形；
(2)如圖②，若另一動點Q在線段CA上以每秒2cm的速度由點C向點A運動，且與點P同時出發(fā)，點Q到達終點A時點P也隨之停止運動．當△PAQ是直角三角形時，直接寫出t的值；
(3)如圖③，若另一動點Q從點C出發(fā)，以每秒1cm的速度沿射線BC方向運動，且與點P同時出發(fā)．當點P到達終點B時點Q也隨之停止運動，連接PQ交AC于點D，過點P作PE⊥AC于E．在運動過程中，線段DE的長度是否發(fā)生變化？若不變，直接寫出DE的長度；若變化，說明如何變化．
13．（2022·福建·莆田哲理中學八年級期末）如圖1，在△ABD中，點E，F(xiàn)分別是AB和AD上的點，滿足AE=EF，連接EF并延長交BD延長線于點C．
(1)若DC=DF=EF，求證：AB=BC；
(2)如圖2，過B作BG⊥AD，垂足為G．
（i）求證：∠ABG=∠GBD+∠C；
（ii）如圖3，連接AC，若∠GBD=30°，AF=BD，△BDG的面積為4，求△AFC的面積．
14．（2021·福建省長樂第七中學八年級階段練習）已知∠ABC＝60°，AB＝BC，D是BC邊上一點，延長AD到點E，使得AD＝DE，連接CE，過點D作BC的垂線，交CE的垂直平分線于點F，連接EF．
(1)如圖1，當點D與點C重合時，證明：BF＝2DF；
(2)如圖2，當點D不與B，C兩點重合時，（1）中的結(jié)論是否還成立？并說明理由．
15．（2021·北京市朝陽區(qū)芳草地國際學校富力分校八年級期中）是等邊三角形，，點關于對稱的點為，點是直線上的一個動點，連接，作交射線于點．
(1)若點在線段上（不與點，點重合）．
①如圖1，若點是線段的中點，則的長為 ；
②如圖2，點是線段上任意一點，求證：；
(2)若點在線段的延長線上．
①依題意補全圖3；
②直接寫出線段，，之間的數(shù)量關系為： ．
16．（2022·四川成都·七年級期末）在等邊ABC中，點D、E分別是AB、AC上的點，BD＝AE，BE與CD交于點O．
(1)如圖1，填空：∠BOD＝ °；
(2)如圖2，以CO為邊作等邊OCF，連接AO、BF，那么BF與AO相等嗎？并說明理由；
(3)如圖3，在（2）的條件下，若點G是BC的中點，連接GO，判斷BF與GO有什么數(shù)量關系？并說明理由．
17．（2022·遼寧大連·八年級期末）已知點D是△ABC外一點，連接AD，BD，CD，．
(1)【特例體驗】
如圖1，AB＝BC，α＝60°，則∠ADB的度數(shù)為 ；
(2)【類比探究】
如圖2，AB＝BC，求證：∠ADB＝∠BDC；
(3)【拓展遷移】
如圖3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于點E，AC＝kDE，直接寫出的值（用k的代數(shù)式表示）．
18．（2022·山東淄博·七年級期末）如圖，點E是等邊三角形ABC中邊AC上的一個定點，點D是邊BC所在直線上的一個動點，以DE為邊作等邊三角形DEF，連接CF．
(1)如圖1，求證：CE+CF＝CD；
(2)如圖2，當點D在邊BC的延長線上時，問CE，CF，CD之間存在怎樣的數(shù)量關系？并加以說明．
19．（2022·遼寧·沈陽市第一二六中學七年級階段練習）等腰△ABC，CA＝CB，D為直線AB上一動點，以CD為腰作等腰三角形△CDE，頂點C、D、E按逆時針方向排列，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，連接BE．
(1)若∠ACB＝60°，當點D在線段AB上時，如圖（1）所示，此時AD與BE的數(shù)量關系為______；
(2)若∠ACB＝90°，當點D在線段BA延長線上時，如圖（2）所示，AD與BE有什么關系，說明理由；
(3)當時，若△CAD中最小角為15°，試探究∠CDA的度數(shù)（直接寫出結(jié)果）．
20．（2022·山東淄博·七年級期末）數(shù)學課上，王老師出示了如下框中的題目．
在等邊三角形中，點在上，點在的延長線上，且，如圖，試確定線段與的大小關系，并說明理由．
小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：
(1)特殊情況，歸納猜想：當點為的中點時，如圖1，確定線段與的大小關系，請你直接寫出結(jié)論：（填“＞”，“＜”或“＝”）．
(2)特例啟發(fā)，演繹證明：如圖2，當點為邊上任意一點時，線段與的大小關系是：（填“＞”，“＜”或“＝”），小敏和小聰過點作，交于點，請幫助小敏和小聰完成接下來的證明過程．
(3)拓展延伸，問題解決：在等邊三角形中，點在直線上，點在直線上，且．若等邊三角形的邊長為1，，求的長．（請自己畫圖，并完成解答）．

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