專(zhuān)題6.2 特殊三角形二十個(gè)必考點(diǎn) 【浙教版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc2309" 【考點(diǎn)1 利用勾股定理求線段長(zhǎng)度】  PAGEREF _Toc2309 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc17696" 【考點(diǎn)2 以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積】  PAGEREF _Toc17696 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc4263" 【考點(diǎn)3 勾股定理在網(wǎng)格中的應(yīng)用】  PAGEREF _Toc4263 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc21115" 【考點(diǎn)4 勾股定理在翻折中的應(yīng)用】  PAGEREF _Toc21115 \h 14  HYPERLINK \l "_Toc29689" 【考點(diǎn)5 利用勾股定理求最值】  PAGEREF _Toc29689 \h 18  HYPERLINK \l "_Toc7679" 【考點(diǎn)6 勾股定理的證明】  PAGEREF _Toc7679 \h 23  HYPERLINK \l "_Toc27160" 【考點(diǎn)7 判斷是否是直角三角形】  PAGEREF _Toc27160 \h 30  HYPERLINK \l "_Toc1598" 【考點(diǎn)8 利用勾股定理構(gòu)造圖形解決實(shí)際問(wèn)題】  PAGEREF _Toc1598 \h 34  HYPERLINK \l "_Toc21423" 【考點(diǎn)9 利用勾股定理確定在幾何體中的最短距離】  PAGEREF _Toc21423 \h 37  HYPERLINK \l "_Toc23588" 【考點(diǎn)10 勾股定理中的規(guī)律探究】  PAGEREF _Toc23588 \h 42  HYPERLINK \l "_Toc11550" 【考點(diǎn)11 作等腰三角形】  PAGEREF _Toc11550 \h 45  HYPERLINK \l "_Toc1297" 【考點(diǎn)12 利用三線合一求值】  PAGEREF _Toc1297 \h 49  HYPERLINK \l "_Toc16066" 【考點(diǎn)13 利用三線合一證明】  PAGEREF _Toc16066 \h 53  HYPERLINK \l "_Toc9863" 【考點(diǎn)14 利用等角對(duì)等邊證明邊長(zhǎng)相等】  PAGEREF _Toc9863 \h 58  HYPERLINK \l "_Toc25691" 【考點(diǎn)15 利用等角對(duì)等邊證明】  PAGEREF _Toc25691 \h 62  HYPERLINK \l "_Toc28771" 【考點(diǎn)16 等邊三角形的判定與性質(zhì)】  PAGEREF _Toc28771 \h 68  HYPERLINK \l "_Toc19699" 【考點(diǎn)17 垂直平分線的判定與性質(zhì)】  PAGEREF _Toc19699 \h 78  HYPERLINK \l "_Toc441" 【考點(diǎn)18 等腰三角形中的新定義問(wèn)題】  PAGEREF _Toc441 \h 87  HYPERLINK \l "_Toc24244" 【考點(diǎn)19 角平分線的判定與性質(zhì)的綜合求值】  PAGEREF _Toc24244 \h 95  HYPERLINK \l "_Toc1490" 【考點(diǎn)20 角平分線的判定與性質(zhì)的綜合證明】  PAGEREF _Toc1490 \h 101  【考點(diǎn)1 利用勾股定理求線段長(zhǎng)度】 【例1】（2022·重慶八中八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，，，，且四邊形ABCD的面積為49，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_____． 【答案】 【分析】在Rt△ACD中由勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再由四邊形ABCD的面積求出BC的長(zhǎng)，最后在Rt△ABC中由勾股定理求出AB的長(zhǎng)． 【詳解】解：∵，，， ∴Rt△ACD中由勾股定理可知：， ∵四邊形ABCD的面積為49，且 ∴，代入數(shù)據(jù)：，，， ∴， 在Rt△ABC中由勾股定理可知：， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理求線段長(zhǎng)、勾股定理的應(yīng)用等，本題屬于基礎(chǔ)題，計(jì)算過(guò)程中細(xì)心即可． 【變式1-1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，矩形中，，，將矩形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，邊與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____． 【答案】 【分析】連接，過(guò)點(diǎn)作，設(shè)，分別解得的長(zhǎng)，繼而證明 ，由全等三角形的性質(zhì)得到，由此解得，最后在中，利用勾股定理解得的值，據(jù)此解題． 【詳解】如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作， 設(shè)，則矩形中 在與中， 在中， ， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵． 【變式1-2】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ACB和Rt△DCE中，AC＝BC＝2，CD＝CE，∠CBD＝15°，連接AE，BD交于點(diǎn)F，則BF的長(zhǎng)為（????） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知證得，進(jìn)而確定三個(gè)內(nèi)角的大小，求得，進(jìn)而可得到答案． 【詳解】解：∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵在等腰直角三角形中 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理；熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵． 【變式1-3】（2022·全國(guó)·二模）七巧板是我國(guó)祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造，被譽(yù)為“東方魔板”．由邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD可以制作一副如圖中圖1所示的七巧板，現(xiàn)將這副七巧板在正方形EFGH內(nèi)拼成如圖中圖2所示的“拼搏兔”造型（其中點(diǎn)Q，R分別與圖2中的點(diǎn)E，G重合，點(diǎn)P在邊EH上），則“拼搏兔”所在正方形EFGH的邊長(zhǎng)是_____． 【答案】 【分析】根據(jù)題意連接EG，GM⊥EN交EN的延長(zhǎng)線于M，利用勾股定理解決問(wèn)題即可． 【詳解】解：如圖2中，連接EG，作GM⊥EN交EN的延長(zhǎng)線于M． ∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6， ∴PD=DR=RC=， ∴PR==6，PQ=RQ=3， ∴GM＝PR=6，EM＝3+3+6+6＝18， ∴EG＝， ∴EH＝， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，七巧板，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題． 【考點(diǎn)2 以直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的圖形面積】 【例2】（2022·黑龍江·綏棱縣克音河鄉(xiāng)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，∠ACB=90°，分別以AB，BC，AC為直徑作三個(gè)半圓，則陰影部分的面積等于（??????）cm2 A．18 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】陰影部分面積可以看成是以AC、BC為直徑的兩個(gè)半圓加上一個(gè)直角三角形ABC的面積減去一個(gè)以AB為直徑的半圓的面積． 【詳解】解：S陰影=直徑為AC的半圓的面積+直徑為BC的半圓的面積+S△ABC-直徑為AB的半圓的面積 = = = = = cm2， 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查了不規(guī)則圖形面積的計(jì)算公式和勾股定理的應(yīng)用，陰影部分可以看作是幾個(gè)規(guī)則圖形的面積的和或差，學(xué)會(huì)把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形是解題的關(guān)鍵． 【變式2-1】（2022·廣東·東莞市南城開(kāi)心實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°．若AB=15，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為（???） A．150 B．200 C．225 D．無(wú)法計(jì)算 【答案】C 【分析】根據(jù)勾股定理列式求解，從而得出答案． 【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°， 由勾股定理得，， ∴正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為225， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，正方形的面積等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵． 【變式2-2】（2022·河南·靈寶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，以直角三角形的三邊a，b，c為邊，向外作正方形，等腰直角三角形，等邊三角形和半圓，上述四種情況的面積關(guān)系滿足的圖形有（????） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【答案】D 【分析】根據(jù)勾股定理得到三角形三邊a、b、c的關(guān)系，根據(jù)等邊三角形、半圓形、等腰直角三角形及正方形的面積求法，逐一驗(yàn)證是否成立，即可得出答案． 【詳解】由勾股定理得， 第一個(gè)圖形中，，，，滿足； 第二個(gè)圖形中，，，，滿足； 第三個(gè)圖形中，，，，滿足； 第四個(gè)圖形中，，，滿足； 綜上所述，滿足題意的圖形有4個(gè)， 故選D． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形、等邊三角形、圓和正方形面積求法，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵． 【變式2-3】（2022·浙江杭州·八年級(jí)期末）已知中，=90°，如圖，作三個(gè)等腰直角三角形，，，，，為斜邊，陰影部分的面積分別為，，，． （1）當(dāng)=6，=8時(shí)， ①求的值； ②求--的值； （2）請(qǐng)寫(xiě)出，，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由． 【答案】（1）① 9；② 9；（2），見(jiàn)解析 【分析】（1）①在等腰直角三角形中，根據(jù)勾股定理==即可； ②設(shè)，則，利用勾股定理得出，即可求解； （2）設(shè)，假設(shè)一個(gè)等腰直角三角形的斜邊為a，則面積為，利用勾股定理得出，則，即，依此即可求解． 【詳解】解：（1）① 是等腰直角三角形，=6， ==， ； ② =90°，=6，=8， =10， 和是等腰直角三角形， ，， 設(shè) ； （2）設(shè)， 如圖，等腰直角三角形的面積公式 ， ∵等腰直角三角形，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，有一定難度，解題關(guān)鍵是將勾股定理和直角三角形的面積公式進(jìn)行靈活的結(jié)合和應(yīng)用． 【考點(diǎn)3 勾股定理在網(wǎng)格中的應(yīng)用】 【例3】（2022·廣東·湛江市雷陽(yáng)實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形變成都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)按下列要求畫(huà)圖： (1)畫(huà)一個(gè)三角形△ABC，使它的三邊長(zhǎng)分別為，，3. (2)求方格圖中所畫(huà)的△ABC的面積 【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)3 【分析】（1）分別畫(huà)出三邊長(zhǎng)為，，3的線段，順次連線即可； （2）利用三角形面積公式計(jì)算即可． （1） 解：如圖， ∵，，BC=3， ∴△ABC即為所求； （2） △ABC的面積=． 【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理作圖，計(jì)算網(wǎng)格中圖形的面積，正確掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵． 【變式3-1】（2022·江西景德鎮(zhèn)·八年級(jí)期中）（1）已知三邊長(zhǎng)分別為，，，小迪在解決這一問(wèn)題時(shí)有以下思路：先畫(huà)如圖①的正方形網(wǎng)格（小正方形邊長(zhǎng)均為1），再畫(huà)出格點(diǎn)三角形ABC，利用外接長(zhǎng)方形面積減去周?chē)齻€(gè)直角三角形的面積，即可求出的面積．請(qǐng)你幫助小迪計(jì)算出的面積； （2）若三邊長(zhǎng)分別為，，，在圖②的正方形網(wǎng)格（小正方形邊長(zhǎng)均為a）中，畫(huà)出格點(diǎn)三角形DEF，并求出的面積； （3）若三邊長(zhǎng)分別為，，，在圖③的長(zhǎng)方形網(wǎng)格（小長(zhǎng)方形長(zhǎng)均為m，寬均為n）中，畫(huà)出格點(diǎn)三角形OPQ，并求出的面積． 【答案】（1）5；（2）作圖見(jiàn)解析，；（3）作圖見(jiàn)解析， 【分析】（1）用長(zhǎng)為4寬為3的長(zhǎng)方形面積減去周?chē)齻€(gè)三角形的面積求解即可； （2）先根據(jù)勾股定理的確定周?chē)齻€(gè)三角形的邊長(zhǎng)，再作圖即可，再利用外接長(zhǎng)方形面積減去周?chē)齻€(gè)直角三角形的面積，即可求出面積； （3）先根據(jù)勾股定理的確定周?chē)齻€(gè)三角形的邊長(zhǎng)，再作圖即可，再利用外接長(zhǎng)方形面積減去周?chē)齻€(gè)直角三角形的面積，即可求出面積． 【詳解】（1）的面積， 所以，的面積為5； （2）是直角邊長(zhǎng)分別為的直角三角形的斜邊長(zhǎng)，是直角邊長(zhǎng)分別為的直角三角形的斜邊長(zhǎng)，是直角邊長(zhǎng)分別為的直角三角形的斜邊長(zhǎng)， 作圖如下： 的面積； （3）是直角邊長(zhǎng)分別為的直角三角形的斜邊長(zhǎng)，是直角邊長(zhǎng)分別為的直角三角形的斜邊長(zhǎng)，是直角邊長(zhǎng)分別為的直角三角形的斜邊長(zhǎng)， 格點(diǎn)三角形OPQ如圖所示： 的面積． 【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用及三角形的面積問(wèn)題，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵． 【變式3-2】（2022·福建·莆田市城廂區(qū)南門(mén)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫(huà)三角形． (1)使三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，2，（在圖①中畫(huà)一個(gè)即可）； (2)使三角形為鈍角三角形，且面積為6（在圖②中畫(huà)一個(gè)即可）． 【答案】(1)見(jiàn)解析 (2)見(jiàn)解析 【分析】（1）先在正方形網(wǎng)格中取線段長(zhǎng)為整數(shù)的線段BC＝3，然后根據(jù)勾股定理找出點(diǎn)A的位置； （2）先在正方形網(wǎng)格中取EF＝2；然后由三角形的面積公式入手，求得EF邊上的高線的長(zhǎng)度，最后根據(jù)鈍角三角形的定義確定點(diǎn)D的位置． （1） 解：如圖所示，BC＝3，AB＝，AC＝， △ABC即為所求； （2） 解：如圖所示：根據(jù)三角形的面積公式知， ，即， 解得． △DEF是符合題意的鈍角三角形． 【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，作圖﹣﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖．此題屬于開(kāi)放題，答案不唯一，利用培養(yǎng)發(fā)散思維能力． 【變式3-3】（2022·江西贛州·八年級(jí)期末）在8×8的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，僅用無(wú)刻度的直尺完成以下作圖（保留必要的作圖痕跡）． (1)在圖1中，畫(huà)一個(gè)面積為5的正方形． (2)在圖2中，畫(huà)一個(gè)面積為的正方形． 【答案】(1)詳見(jiàn)解析 (2)詳見(jiàn)解析 【分析】（1）根據(jù)題意以及格點(diǎn)和勾股定理找到為的線段作為正方形的邊長(zhǎng)即可求解． （2）同理找到長(zhǎng)為的線段，即可求解． （1） 如圖面積為5的正方形 ， 正方形的邊長(zhǎng)為， 正方形的面積為5 （2） 如圖，面積為的正方形 根據(jù)格點(diǎn)可得邊長(zhǎng)為，則正方形的面積為 【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)刻度的直尺作圖，勾股定理與網(wǎng)格，利用網(wǎng)格和勾股定理構(gòu)造長(zhǎng)為以及的線段是解題的關(guān)鍵． 【考點(diǎn)4 勾股定理在翻折中的應(yīng)用】 【例4】（2022·山東·濟(jì)南市章丘區(qū)寧家埠中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6，BC＝8．現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD的長(zhǎng)為（　?。? A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AC＝AE＝6，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝∠DEB＝90°，利用勾股定理列式求出AB，從而求出BE，設(shè)CD＝DE＝x，表示出BD，然后在Rt△DEB中，利用勾股定理列式計(jì)算即可得解． 【詳解】解：∵△ACD與△AED關(guān)于AD成軸對(duì)稱(chēng)， ∴AC＝AE＝6，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝∠DEB＝90°， 在Rt△ABC中， ， ∴AB＝10， BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4， 設(shè)CD＝DE＝x，則DB＝BC﹣CD＝8﹣x， 在Rt△DEB中，由勾股定理，得， 解得x＝3， 即CD＝3， 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)并表示出Rt△DEB的三邊，然后利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵． 【變式4-1】（2022·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)期中）如圖所示，把一張矩形紙片ABCD按所示方法進(jìn)行兩次折疊，得到直角三角形BEF，若BC=1，則BE的長(zhǎng)度為（???） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】首先根據(jù)矩形的性質(zhì)，得出，，，然后再根據(jù)折疊的性質(zhì)，得出，進(jìn)而得出，利用勾股定理，得出的長(zhǎng)，再由第二次折疊，得出，進(jìn)而得出，最后利用線段的關(guān)系，即可得出結(jié)果． 【詳解】解：由折疊補(bǔ)全圖形如圖所示， ∵四邊形是矩形， ∴，，， 由第一次折疊得：，， ∴， ∴， 在中， 根據(jù)勾股定理得，， 由第二次折疊可知，， ∴， ∴． 故選：A 【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的折疊和勾股定理，搞清楚折疊中線段的數(shù)量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵． 【變式4-2】（2022·江蘇·揚(yáng)州市梅嶺中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，把矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，若CD＝2，AD＝3，則邊AE的長(zhǎng)為_(kāi)____． 【答案】## 【分析】根據(jù)勾股定理列方程可求解 【詳解】根據(jù)折疊知， , 設(shè) ，則 ． 根據(jù)勾股定理，得： 解得， ． 故答案為： 【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問(wèn)題，勾股定理的應(yīng)用，利用折疊的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的關(guān)系為關(guān)鍵． 【變式4-3】（2022·山西·太原師范學(xué)院附屬中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6，DE⊥AC，CD＝BC，DE＝2，P是直線AC上一點(diǎn)，把△CDP沿DP所在的直線翻折后，點(diǎn)C落在直線DE上的點(diǎn)H處，CP的長(zhǎng)是 _____． 【答案】或 【分析】分兩種情況：當(dāng)P點(diǎn)在E點(diǎn)左邊時(shí)；當(dāng)P點(diǎn)在E點(diǎn)右邊時(shí)．分別畫(huà)出圖形，利用折疊性質(zhì)和勾股定理解答即可． 【詳解】解：當(dāng)P點(diǎn)在E點(diǎn)左邊時(shí)，如圖1， 由折疊性質(zhì)得PC＝PH，DC＝DH， ∵∠BAC＝90°，AC＝8，AB＝6， ∴BC＝10， ∵CD＝BC， ∴， ∵DE⊥AC，DE＝2 ∴， ∴DH＝CD＝， ∴EH＝ED+DH＝2+＝， 設(shè)PC＝x，則PH＝x，PE＝x-， ∵， ∴ ， 解得，x＝， 即CP＝； 當(dāng)P點(diǎn)在E點(diǎn)右邊時(shí)，如圖2， 由折疊知，DH＝DC＝， ∴EH＝DH﹣DE＝， 設(shè)PC＝a，則PE＝CE-PC＝-a，PH＝a， ∵ ， ∴， 解得，a＝， 即PC＝； 綜上，PC＝或． 故答案為：或． 【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，注意分類(lèi)討論的思想是解答本題的關(guān)鍵． 【考點(diǎn)5 利用勾股定理求最值】 【例5】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，等邊的邊長(zhǎng)為2，是邊上的中線，是上的動(dòng)點(diǎn)，是邊上的中點(diǎn)，若，求的最小值為（????） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先連接BM，再根據(jù)MB=MC，將EM+CM轉(zhuǎn)化為EM+BM，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，求得BE的長(zhǎng)，即為EM+CM的最小值． 【詳解】解：連接BM， ∵等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線 ∴AD是BC邊上的高線，即AD垂直平分BC ∴MB=MC 當(dāng)B、M、E三點(diǎn)共線時(shí)，EM+CM=EM+BM=BE ∵等邊△ABC中，E是AC邊的中點(diǎn) ∴直角三角形ABE中，BE= 即的最小值 故選D. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握和運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．解題時(shí)注意，最小值問(wèn)題一般需要考慮兩點(diǎn)之間線段最短或垂線段最短等結(jié)論． 【變式5-1】（2022·廣東湛江·八年級(jí)期末）如圖Rt△ABC，，AB=5，BC=3，若動(dòng)點(diǎn)P在邊AB上移動(dòng)，則線段CP的最小值是_______． 【答案】##2.4## 【分析】過(guò)作于，由垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置時(shí)，CP最小，由勾股定理可得出，再由，即可得出答案． 【詳解】解：過(guò)作于， 由垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置時(shí)，CP最小， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴則線段CP的最小值是:， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、垂線段最短，等面積法求高，掌握勾股定理和垂線段最短是解題的關(guān)鍵． 【變式5-2】（2022·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，鐵路上、兩站相距8km，、為兩個(gè)村莊，，，垂足分別為、，已知，，現(xiàn)在要在鐵路上修建一個(gè)中轉(zhuǎn)站，使得到、兩村的距離和最短．請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出點(diǎn)的位置，并求出的最小值． 【答案】圖見(jiàn)解析， 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)求最短路線作出C點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接C′D即可得出P點(diǎn)位置，再利用勾股定理得出C′D即為中轉(zhuǎn)站P到C、D兩村莊的距離和最小值． 【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接與的交點(diǎn)就是點(diǎn) 過(guò)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn) 則， ∴ 在中???? ∴ ∴的最小值為． 【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用軸對(duì)稱(chēng)求最短路線問(wèn)題，根據(jù)已知得出P點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵． 【變式5-3】（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB＝8，BC＝10，折疊紙片的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，AE為折痕，請(qǐng)回答下列問(wèn)題： （1）求線段DE的長(zhǎng)度； （2）若點(diǎn)P為線段AE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP和FP，則線段BP+FP的最小值是 　 ?。? 【答案】（1）5；（2） 【分析】（1）由折疊知AF＝AD＝10，設(shè)DE＝EF＝x，則EC＝DC?DE＝8?x，在Rt△CEF中，利用勾股定理列方程即可得出答案； （2）由折疊知：D、F關(guān)于AE對(duì)稱(chēng)，得PF＝PD，則BP＋PF＝BP＋PD≥BD，最小值即為BD的長(zhǎng)．利用勾股定理求出其長(zhǎng)度即可． 【詳解】解：（1）長(zhǎng)方形紙片ABCD中，折疊紙片，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處， 則AF＝AD＝BC＝10， BF＝， FC＝BC?BF＝10?6＝4， ∵折疊紙片，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為AE， ∴DE＝EF， 設(shè)DE＝EF＝x， 則EC＝DC?DE＝8?x， 又∵△EFC為直角三角形， ∴FC2＋EC2＝FE2， 即42＋（8?x）2＝x2， ∴x＝5， ∴DE＝5； （2）連接BP，PF，PD，BD， ∵折疊紙片，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為AE， ∴D、F關(guān)于AE對(duì)稱(chēng)， ∴PF＝PD， 則BP＋PF＝BP＋PD≥BD， ∴BP＋PF最小為BD， BD＝， ∴BP＋PF最小值為：． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，明確點(diǎn)D、F關(guān)于AE對(duì)稱(chēng)是解題的關(guān)鍵． 【考點(diǎn)6 勾股定理的證明】 【例6】（2022·安徽省安慶市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期中）閱讀理解： 【問(wèn)題情境】 教材中小明用4張全等的直角三角形紙片拼成圖1，利用此圖，可以驗(yàn)證勾股定理嗎？ 【探索新知】 從面積的角度思考，不難發(fā)現(xiàn)： 大正方形的面積＝小正方形的面積＋4個(gè)直角三角形的面積 從而得數(shù)學(xué)等式：　 ??；（用含字母a、b、c的式子表示） 化簡(jiǎn)證得勾股定理：a2＋b2＝c2 【初步運(yùn)用】 （1）如圖1，若b＝2a，則小正方形面積：大正方形面積＝　 ??； （2）現(xiàn)將圖1中上方的兩直角三角形向內(nèi)折疊，如圖2，若a＝4，b＝6此時(shí)空白部分的面積為　 ??； 【遷移運(yùn)用】 如果用三張含60°的全等三角形紙片，能否拼成一個(gè)特殊圖形呢？帶著這個(gè)疑問(wèn)，小麗拼出圖3的等邊三角形，你能否仿照勾股定理的驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)含60°的三角形三邊a、b、c之間的關(guān)系，寫(xiě)出此等量關(guān)系式及其推導(dǎo)過(guò)程． 知識(shí)補(bǔ)充：如圖4，含60°的直角三角形，已知． 【答案】【探索新知】a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab；【初步運(yùn)用】（1）5：9；（2）28；【遷移運(yùn)用】a2＋b2＋ab＝c2，理由見(jiàn)解析 【探索新知】根據(jù)大正方形的面積＝小正方形的面積＋4個(gè)直角三角形的面積，構(gòu)建關(guān)系式即可解決問(wèn)題； 【初步運(yùn)用】（1）如圖1，求出小正方形的面積，大正方形的面積即可． （2）根據(jù)空白部分的面積＝小正方形的面積-2個(gè)直角三角形的面積計(jì)算即可． 【遷移運(yùn)用】根據(jù)大正三角形面積＝三個(gè)全等三角形面積＋小正三角形面積，構(gòu)建關(guān)系式即可． 【詳解】解：[探索新知]由題意：大正方形的面積＝（a＋b）2＝c2＋4×ab， ∴a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab， ∴a2＋b2＝c2， 故答案為：a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab； [初步運(yùn)用]（1）由題意：b＝2a， ∴， ∴小正方形面積：大正方形面積， 故故答案為5：9． （2）由題意得：空白部分的面積＝小正方形的面積-2個(gè)直角三角形的面積 ∴空白部分的面積為． 故答案為28． [遷移運(yùn)用]結(jié)論：a2＋b2＋ab＝c2． 理由：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥EM于H，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F， 由題意：，， ∵大正三角形面積＝三個(gè)全等三角形面積＋小正三角形面積 ∴， ∴（a＋b）2＝3ab＋c2， ∴a2＋b2＋ab＝c2． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的證明，正確理解題意是解題的關(guān)鍵． 【變式6-1】（2022·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）（1）【閱讀】 公元前6世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了直角三角形的三邊之間的數(shù)量關(guān)系：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于__________，這個(gè)結(jié)論在中國(guó)稱(chēng)之為“勾股定理”． （2）【驗(yàn)證】 我國(guó)三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽利用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖1的“弦圖”（史稱(chēng)“趙爽弦圖”），其中四邊形ABDE和四邊形CFGH都是正方形，巧妙地用面積法給出了勾股定理的證明過(guò)程，請(qǐng)你將他下面的證明過(guò)程補(bǔ)充完整： 已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c． 求證： 證明：由圖可知 ∵，________，正方形FCHG邊長(zhǎng)為_(kāi)_______， 即． （3）【操作】 如圖2，將等腰直角三角板ABD頂點(diǎn)A放在直線l上，過(guò)點(diǎn)B作，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥l，垂足分別為C、E． 求證：CE＝BC＋DE． （4）【發(fā)現(xiàn)】聰聰認(rèn)真觀察圖2后發(fā)現(xiàn)：如果設(shè)AC＝b，BC＝a，AB＝c，此圖也可以利用面積法證明勾股定理．請(qǐng)你幫聰聰完成證明過(guò)程． （5）【拓展】 如圖3．將圖1中的這四個(gè)直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（粗線）的周長(zhǎng)為24，OC＝3，直接寫(xiě)出該飛鏢狀圖案的面積． 【答案】（1）斜邊的平方；（2）ab，(a﹣b)；（3）見(jiàn)解析；（4）見(jiàn)解析；（5）飛鏢狀圖案的面積＝24 【分析】（1）由勾股定理內(nèi)容可知； （2）根據(jù)圖形可得； （3）證明Rt△ABC≌Rt△DAE，可得BC=AE，AC=DE，轉(zhuǎn)化線段即可； （4）運(yùn)用等面積法表示梯形BCED的面積，變形即可； （5）首先求出AB=5，可知OB=3，OA=4，可求飛鏢圖形的面積． 【詳解】（1）斜邊的平方． （2）S△ABC＝ab，正方形FCHG邊長(zhǎng)為（a﹣b）． （3）解：在等腰直角三角板ABD中 由已知得AD＝AB，∠BAD＝90° ∴∠BAC＋∠DAE＝90° 又∵BC⊥l，DE⊥l ∴∠BCA＝∠DEA＝90°，∠BAC＋∠ABC＝90° ∴∠DAE＝∠ABC ∴Rt△ABC≌Rt△DAE（AAS） ∴BC＝AE，AC＝DE 又∵CE＝AC＋AE ∴CE＝BC＋DE． （4）解：由上可知BC＝AE＝a，AC＝DE＝b ∴S梯形BCED＝(BC＋DE)×CE＝(a＋b)2＝a2＋ab＋b2 又∵S梯形BCED＝S△ABC＋S△ABD＋S△ADE＝ab＋c2＋ab ∴a2＋ab＋b2＝ab＋c2＋ab 整理得a2＋b2＝c2 （5）解：∵飛鏢模型的周長(zhǎng)為24，觀察可知4（AB+AC）=24 ∴AB+AC=6 ∵OB=OC ∴AB=5，OB=3，OA=4 ∴飛鏢狀圖案的面積＝4S△ABO＝4××3×4＝24． 【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的驗(yàn)證和運(yùn)用，理解勾股定理解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 【變式6-2】（2022·貴州·仁懷市周林學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖①所示的大正方形，中間也是一個(gè)正方形，它是美麗的弦圖，其中四個(gè)直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為a， b （a

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