理解并掌握等腰三角形的性質(zhì).
經(jīng)歷等腰三角形的性質(zhì)的探究過程，能初步運用等腰三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問題.
生活中的“等腰三角形”
定義及相關(guān)概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.
剪一剪：把一張長方形的紙按圖中的紅線對折，并剪去陰影部分（一個直角三角形），再把得到的直角三角形展開，得到的三角形ABC有什么特點？
折一折：△ABC 是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？
折痕所在的直線是它的對稱軸.
等腰三角形是軸對稱圖形.
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對折，找出其中重合的線段和角.
猜一猜： 由這些重合的角，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)嗎？說一說你的猜想.
已知：△ABC中，AB=AC,
思考：如何構(gòu)造兩個全等的三角形？
猜想:等腰三角形的兩個底角相等
如何證明兩個角相等呢？
可以運用全等三角形的性質(zhì)“對應(yīng)角相等”來證
已知： 如圖，在△ABC中，AB=AC.求證： ∠B= ∠C.
作底邊的中線AD，則BD=CD.
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共邊)，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的對應(yīng)角相等).
在△BAD和△CAD中
方法一：作底邊上的中線
作頂角的平分線AD，則∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共邊),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
方法二：作頂角的平分線
思考：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你還可以得到那些相等的線段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的發(fā)現(xiàn)？
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性質(zhì)易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，即AD是等腰△ABC底邊BC上的中線、頂角∠BAC的角平分線、底邊BC上的高線 .
性質(zhì)1:等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角).
如圖,在△ABC中, ∵AB=AC(已知),∴∠B=∠C(等邊對等角).
性質(zhì)2:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合(三線合一）.
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.
∵AB=AC, BD=CD (已知)，∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三線合一）.
綜上可得：如圖,在△ABC中,
1.等腰三角形的頂角一定是銳角.2.等腰三角形的底角可能是銳角或者直角、鈍角都可以.3.鈍角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的頂角平分線一定垂直底邊.5.等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合.6.等腰三角形底邊上的中線一定平分頂角.
例1 如圖，在△ABC中 ，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù).
【分析】（1）找出圖中所有相等的角；
（2）指出圖中有幾個等腰三角形？
∠C=∠BDC=∠ABC；
（3）觀察∠BDC與∠A、∠ABD的關(guān)系，∠ABC、∠C呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（4）設(shè)∠A=x°,請把△ ABC的內(nèi)角和用含x的式子表示出來.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，∴ x+2x+2x=180 °,
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.設(shè)∠A=x,則∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,從而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，解得x=36 ° ，在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
【點睛】在含多個等腰三角形的圖形中求角時，常常利用方程思想，通過內(nèi)角、外角之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解.
如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數(shù).
解：∵AB=AD=DC ∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC 設(shè) ∠C=x，則 ∠DAC=x， ∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x， 在△ABC中， 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得 2x+x+26°+x=180°， 解得x=38.5°. ∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°.
例2 等腰三角形的一個內(nèi)角是50°，則這個三角形的底角的大小是(　　)A．65°或50° B．80°或40°C．65°或80° D．50°或80°
【解析】當(dāng)50°的角是底角時，三角形的底角就是50°；當(dāng)50°的角是頂角時，兩底角相等，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理易得底角是65°.故選A.
【點睛】等腰三角形的兩個底角相等，已知一個內(nèi)角，則這個角可能是底角也可能是頂角，要分兩種情況討論．
例3 已知點D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.(1)如圖①，若AD＝AE，求證：BD＝CE；(2)如圖②，若BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點，求證：AF⊥BC.
證明：(1)如圖①，過A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；(2)∵BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
【點睛】在等腰三角形有關(guān)計算或證明中，有時需要添加輔助線，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線．
2.如圖，在△ABC中，AB=AC，過點A作AD∥BC，若∠1=70°，則∠BAC的大小為（　?。〢．40° B．30° C．70° D．50°
1.等腰三角形有一個角是90°，則另兩個角分別是（　）A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70°
3.(1)等腰三角形一個底角為75°,它的另外兩個角為_________；(2)等腰三角形一個角為36°,它的另外兩個角為____________________；(3)等腰三角形一個角為120°,它的另外兩個角為__________.
72°,72°或36°,108°
4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交得的銳角為50°，則底角的大小為___________．
【點睛】當(dāng)題目未給定三角形的形狀時，一般需分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進行討論.
5.如圖，在△ABC中，AB = AC，D是BC邊上的中點， ∠B = 30°，求 ∠BAD 和 ∠ADC的度數(shù).
解：∵AB=AC，D是BC邊上的中點，
∴ ∠C= ∠ B=30°，∠BAD = ∠ DAC，∠ADC = 90°.
∴∠ BAC =180° - 30°-30° = 120°.
6.如圖，已知△ABC為等腰三角形，BD、CE為底角的平分線，且∠DBC＝∠F，求證：EC∥DF.
∴∠DBC＝∠ECB.∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F， ∴EC∥DF.
證明：∵△ABC為等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BD、CE為底角的平分線，∴

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2.2 等腰三角形

版本： 浙教版

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