第2章 特殊三角形章末題型過關(guān)卷 【浙教版】 參考答案與試題解析 一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分） 1．（2022秋?徐州期中）下列四個(gè)瀏覽器的圖標(biāo)中，屬于軸對稱圖形的是（　?。?A． B． C． D． 【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可． 【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意； B、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意； C、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意； D、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意； 故選：D． 【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形概念． 2．（2022?昆明一模）如圖，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根據(jù)“HL”證明Rt△ABE≌Rt△DCF，則還要添加一個(gè)條件是（　?。? A．AB＝DC B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AE＝BF 【分析】根據(jù)垂直定義求出∠CFD＝∠AEB＝90°，再根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可． 【詳解】解：條件是AB＝CD， 理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠CFD＝∠AEB＝90°， 在Rt△ABE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）， 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵． 3．（2022春?富陽區(qū)期末）用反證法證明：“一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角大于或等于60°”．應(yīng)假設(shè)（　?。?A．一個(gè)三角形中沒有一個(gè)角大于或等于60° B．一個(gè)三角形中至少有一個(gè)角小于60° C．一個(gè)三角形中三個(gè)角都大于等于60° D．一個(gè)三角形中有一個(gè)角大于等于60° 【分析】根據(jù)反證法的步驟，假設(shè)的命題肯定不成立．從這一點(diǎn)出發(fā)，一一判斷即可． 【詳解】解：要證明原命題成立，則反證法假設(shè)的命題肯定不成立．從這一點(diǎn)出發(fā)，可以排除B，D這兩個(gè)選項(xiàng)；反證法的核心是假設(shè)出原命題的相反面（或者說除原命題外的其他情況），證明假設(shè)的命題不成立，進(jìn)而間接的證明原命題成立！原命題中出現(xiàn)“至少有一個(gè)”，則其對立面應(yīng)該是“沒有”、“不存在”、“沒有一個(gè)”，所以應(yīng)假設(shè)：一個(gè)三角形中沒有一個(gè)角大于或等于60° 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查反證法，解題的關(guān)鍵是作為反證法的步驟，屬于中考?？碱}型． 4．（2022秋?倉山區(qū)期末）如圖，在3×3的正方形的網(wǎng)格中，格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形，圖中的△ABC為格點(diǎn)三角形，在圖中最多能畫出（　?。﹤€(gè)格點(diǎn)三角形與△ABC成軸對稱． A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè) 【分析】根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)分別確定出不同的對稱軸，然后作出軸對稱三角形即可得解 【詳解】解：如圖，最多能畫出6個(gè)格點(diǎn)三角形與△ABC成軸對稱． 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對稱變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)并準(zhǔn)確找出對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，本題難點(diǎn)在于確定出不同的對稱軸． 5．（2022春?蘇州期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B﹣∠A＝10°，D是AB上一點(diǎn)，將△ACD沿CD翻折后得到△CED，邊CE交AB于點(diǎn)F．若△DEF中有兩個(gè)角相等，則∠ACD的度數(shù)為（　?。? A．15°或20° B．20°或30° C．15°或30° D．15°或25° 【分析】由三角形的內(nèi)角和定理可求解∠A＝40°，設(shè)∠ACD＝x°，則∠CDF＝（40+x）°，∠ADC＝（140﹣x）°，由折疊可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°，可分三種情況：當(dāng)∠DFE＝∠E＝40°時(shí)；當(dāng)∠FDE＝∠E＝40°時(shí)；當(dāng)∠DFE＝∠FDE時(shí)，根據(jù)∠ADC＝∠CDE列方程，解方程可求解x值，即可求解． 【詳解】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠B+∠A＝90°， ∵∠B﹣∠A＝10°， ∴∠A＝40°，∠B＝50°， 設(shè)∠ACD＝x°，則∠CDF＝（40+x）°，∠ADC＝180°﹣40°﹣x°＝（140﹣x）°， 由折疊可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°， 當(dāng)∠DFE＝∠E＝40°時(shí)， ∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°， ∴∠FDE＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴140﹣x＝100+40+x， 解得x＝0（不存在）； 當(dāng)∠FDE＝∠E＝40°時(shí)， ∴140﹣x＝40+40+x， 解得x＝30， 即∠ACD＝30°； 當(dāng)∠DFE＝∠FDE時(shí)， ∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°， ∴∠FDE， ∴140﹣x＝70+40+x， 解得x＝15， 即∠ACD＝15°， 綜上，∠ACD＝15°或30°， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)∠ADC＝∠CDE分三種情況列方程是解題的關(guān)鍵． 6．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，AD和CE相交于點(diǎn)O，BO的延長線交AC于點(diǎn)F，則圖中全等的直角三角形有（　?。Γ? A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】全等三角形有△ABF≌△CBF，△ADB≌△CEB，△COD≌△AOE，△COF≌△AOF，△ADC≌△CEA，△EOB≌△DOB，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理證明即可． 【詳解】解：全等三角形有△ABF≌△CBF，△ADB≌△CEB，△COD≌△AOE，△COF≌△AOF，△ADC≌△CEA，△EOB≌△DOB，共6對， 理由是：∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠CEB＝∠ADB＝90°，∠AEC＝∠CDA＝90°， 在△ADB和△CEB中， ， ∴△ADB≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，BD＝BE，∠DCO＝∠EAO， ∵AB＝CB， ∴BC﹣BD＝AB﹣BE， 即CD＝AE， 在△CDO和△AEO中， ， ∴△CDO≌△AEO（ASA）， ∴CO＝AO，DO＝EO， 在△COB和△AOB中， ， ∴△COB≌△AOB（SSS）， ∴∠CBF＝∠ABF， 在△ABF和△CBF中， ， ∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴CF＝AF， 在Rt△AFO和Rt△CFO中， ， ∴Rt△AFO≌Rt△CFO（HL）， 同理：△ADC≌△CEA（HL）， 在△EOB和△DOB中， ， ∴△EOB≌△DOB（SSS） 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，能正確運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和判定定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL；②全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等． 7．（2022春?交城縣期中）勾股定理是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，如所示四幅幾何圖形中，不能用于證明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【分析】用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理． 【詳解】解：A．根據(jù)圖形可知： ＝2ab+b2﹣2ab+a2 ＝a2+b2， ∵， ∴a2+b2＝c2；故A選項(xiàng)不符合題意； B．不能用于證明勾股定理，故B選項(xiàng)符合題意； C．根據(jù)圖形可知：S大正方形＝4ab+c2＝2ab+c2， S大正方形＝（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴2ab+c2＝a2+2ab+b2， ∴a2+b2＝c2，故C選項(xiàng)不符合題意； D．根據(jù)圖形可知：S大正方形＝c2， S大正方形（b+b+a）×b（a+b+a）×a﹣2ab＝a2+b2， ∴a2+b2＝c2，故D選項(xiàng)不符合題意， 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明及其應(yīng)用，掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵． 8．（2022秋?江夏區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝48°，點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠OAB＝12°，∠OBC＝18°，則∠ACO+∠AOB＝（　?。? A．190° B．195° C．200° D．210° 【分析】根據(jù)已知易證CA＝CB，所以想到等腰三角形的三線合一性質(zhì)，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，延長BO交CD與點(diǎn)P，然后連接AP，易證∠CAP＝∠CBP＝18°，從而求出∠PAO＝18°，再利用三角形的外角求出∠POA的度數(shù)，放在直角三角形中求出∠ACP的度數(shù)，進(jìn)而證△ACP≌△AOP，可得AC＝AO，最后放在等腰三角形ACO中求出∠ACO即可． 【詳解】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，延長BO交CD與點(diǎn)P，連接AP， ∵∠OBC＝18°，∠CBA＝48°， ∴∠ABP＝∠CBA﹣∠OBC＝30°， ∵∠CAB＝∠CBA＝48°， ∴CA＝CB， ∵CD⊥AB， ∴CD是AB的垂直平分線， ∴PA＝PB， ∴∠PAB＝∠PBA＝30°， ∴∠CAP＝∠CAB﹣∠PAB＝18°， ∵∠AOP是△AOB的一個(gè)外角， ∴∠AOP＝∠OAB+∠OBA＝42°， ∵∠CDA＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠CAD＝42°， ∴∠AOP＝∠ACD， ∵∠PAB＝30°，∠OAB＝12°， ∴∠PAO＝∠PAB﹣∠OAB＝18°， ∴∠CAP＝∠OAP， ∵AP＝AP， ∴△ACP≌△AOP（AAS）， ∴AC＝AO， ∵∠CAO＝∠CAP+∠OAP＝36°， ∴∠ACO＝∠AOC＝72°， ∵∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝138°， ∴∠ACO+∠AOB＝210°， 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)添加輔助線是解題的關(guān)鍵． 9．（2022秋?萬州區(qū)期末）Rt△ABC和Rt△CDE按如圖所示的位置擺放，頂點(diǎn)B、C、D在同一直線上，AC＝CE，∠B＝∠D＝90°，AB＞BC．將Rt△ABC沿著AC翻折，得到Rt△AB'C，將Rt△CDE沿著CE翻折，得Rt△CD'E，點(diǎn)B、D的對應(yīng)點(diǎn)B'、D'與點(diǎn)C恰好在同一直線上，若AC＝13，BD＝17，則B'D'的長度為（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)證明△BAC≌ECD，可得BC＝DE，AC＝CE＝13，然后根據(jù)勾股定理可以解決問題． 【詳解】解：由翻折可知：∠ACB＝∠ACB′，∠ECD＝∠ECD′， ∵∠ACB+∠ACB′+∠ECD+∠ECD′＝180°， ∴∠ACB+∠ECD＝90°， ∵∠ACB+∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠ECD， 在△BAC和ECD中， ， ∴△BAC≌ECD（AAS）， ∴BC＝DE，AC＝CE＝13， 在RtCDE中，根據(jù)勾股定理，得 CD2+DE2＝CE2， ∴（17﹣BC）2+BC2＝132， 解得BC＝5或BC＝12（舍去）， ∴B′C＝5，CD＝17﹣5＝12， ∴B′D′＝CD′﹣B′C＝12﹣5＝7． 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到∠ACE＝90°． 10．（2022春?洪雅縣期末）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，∠ABC的平分線BE交AC于點(diǎn)E，AD、BE相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG∥AB，過點(diǎn)B作BG⊥DG交DG于點(diǎn)G．有以下結(jié)論：①∠AFB＝135°；②∠BDG＝2∠CBE；③BC平分∠ABG；④∠BEC＝∠FBG．其中正確的個(gè)數(shù)是（　?。? A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【分析】由三角形的內(nèi)角和與角平分線的定義求∠AFB，由DG∥AB和BE平分∠ABC判斷②，結(jié)合DG⊥DG求∠GBC與∠ABC的關(guān)系判斷③，由三角形的內(nèi)角和與平行線的性質(zhì)判斷④． 【詳解】解：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAF＝∠CAF∠BAC，∠FBA＝∠CBE∠ABC， ∵∠C＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣90°＝90°， ∴∠FAB+∠FBA（∠BAC+∠ABC）＝45°， ∴∠AFB＝180°﹣（∠FAB+∠FBA）＝180°﹣45°＝135°，故①正確，符合題意； ∵DG∥AB， ∴∠BDG＝∠ABC， ∵∠CBE∠ABC， ∴∠BDG＝2∠CBE，故②正確，符合題意； ∵BG⊥DG， ∴∠G＝90°， ∴∠GDB+∠GBD＝90°， 又∵∠GDB＝∠ABC， ∴∠ABC+∠GBD＝90°，無法判定∠GBD＝∠ABC，故③錯(cuò)誤，不符合題意； 又∵∠BAC+∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠GBD， ∵∠ABF＝∠EBC， ∴∠ABF+∠BAC＝∠EBC+∠GBD， ∴∠BEC＝∠EBG，故④正確，符合題意； 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和與外角和、平行線的性質(zhì)、垂直的定義和角平分線的定義，整體思想的應(yīng)用是判斷①的關(guān)鍵，解題的時(shí)候要多次應(yīng)用等量代換． 二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分） 11．（2022春?錦江區(qū)校級(jí)期末）已知△ABC為等邊三角形，AB＝10，M在AB邊所在直線上，點(diǎn)N在AC邊所在直線上，且MN＝MC，若AM＝16，則CN的長為 　4或36?。? 【分析】分兩種情形：①當(dāng)點(diǎn)M在AB的延長線上時(shí)，作MD⊥AC于D．②當(dāng)點(diǎn)M在BA的延長線上時(shí)，作MD⊥CN于D．分別求解即可． 【詳解】解：由題意可知，BM＝AN＝6， ①如圖，當(dāng)點(diǎn)M在AB的延長線上時(shí)，作MD⊥AC于D． 在Rt△AMD中， ∵∠ADM＝90°，∠A＝60°，AM＝16， ∴ADAM＝8， ∴CD＝AC﹣AD＝2， ∵M(jìn)N＝MC，MD⊥CN， ∴DN＝CD， ∴CN＝2CD＝4． ②如圖，當(dāng)點(diǎn)M在BA的延長線上時(shí)，作MD⊥CN于D， 在Rt△AMD中， ∵∠ADM＝90°，∠DAM＝60°，AM＝16， ∴ADAM＝8， ∴CD＝AD+AC＝18， ∵M(jìn)N＝MC，MD⊥CN， ∴DN＝CD， ∴CN＝2CD＝36， 故答案為：4或36． 【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線面構(gòu)造直角三角形解決問題． 12．（2022春?菏澤期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，兩銳角的角平分線交于點(diǎn)P，點(diǎn)E、F分別在邊BC、AC上，且都不與點(diǎn)C重合，若∠EPF＝45°，連接EF，當(dāng)AC＝6，BC＝8，AB＝10時(shí)，則△CEF的周長為 　4　． 【分析】如圖，過點(diǎn)P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一點(diǎn)J，使得MJ＝FN，連接PJ．利用全等三角形的性質(zhì)證明EF＝EM+FN，可得結(jié)論． 【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一點(diǎn)J，使得MJ＝FN，連接PJ． ∵BP平分∠BC，PA平分∠CAB，PM⊥BC，PN⊥AC，PK⊥AB， ∴PM＝PK，PK＝PN， ∴PM＝PN， ∵∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°， ∴四邊形PMCN是矩形， ∴四邊形PMCN是正方形， ∴CM＝PM， ∴∠MPN＝90°， 在△PMJ和△PNF中， ， ∴△PMJ≌△PNF（SAS）， ∴∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF， ∴∠JPF＝∠MPN＝90°， ∵∠EPF＝45°， ∴∠EPF＝∠EPJ＝45°， 在△PEF和△PEJ中， ， ∴△PEF≌△PEJ（SAS）， ∴EF＝EJ， ∴EF＝EM+FN， ∴△CEF的周長＝CE+EF+CF＝CE+EM+CF+FN＝2CM＝2PM， ∵S△ABC?BC?AC（AC+BC+AB）?PM， ∴PM＝2， ∴△ECF的周長為4， 故答案為：4． 【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，正方形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，證明EF＝EM+FN是本題的突破點(diǎn)． 13．（2022春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）已知一個(gè)等腰三角形腰上的高與底邊的夾角為37°，則這個(gè)等腰三角形的頂角等于　74　度． 【分析】此題要分兩種情況推論： （1）設(shè)等腰三角形的頂角是鈍角時(shí)，腰上的高在三角形的外部，根據(jù)三角形的內(nèi)角和求解； （2）設(shè)等腰三角形的頂角是銳角時(shí)，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，求得底角，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°，得頂角的度數(shù)． 【詳解】 解：如圖 （1）頂角是鈍角時(shí)， ∵等腰三角形腰上的高與底邊的夾角為37°， ∴∠OCB＝37°， ∵OC⊥OB， ∴∠ABC＝90°﹣37°＝53°， ∴∠BAC＝180°﹣53°﹣53°＝74°， 即△ABC為銳角三角形，頂角是鈍角這種情況不成立； （2）頂角是銳角時(shí)，∠B＝90°﹣37°＝53°， ∠A＝180°﹣2×53°＝74°． 因此，頂角為74°． 故答案為：74． 【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理；本題考查分情況討論，但要注意，假設(shè)頂角是鈍角，但求出后卻是銳角，所以一定要舍去． 14．（2022秋?余姚市期末）如圖，∠BAC＝90°，點(diǎn)B是射線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)C是射線AN上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且線段BC的長度不變，點(diǎn)D是點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)，連接AD，若2AD＝BC，則∠ABD的度數(shù)是　30°或150°　． 【分析】分兩種情況，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE，依據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，即可得到△ADE是等邊三角形，進(jìn)而依據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出∠ABD的度數(shù)． 【詳解】解：分兩種情況： 如圖，當(dāng)AB＞AC時(shí)，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE， 則AE＝DEBC， 即BC＝2AE＝2DE， 又∵BC＝2AD， ∴AD＝AE＝DE， ∴△ADE是等邊三角形， ∴∠AED＝60°， 又∵BC垂直平分AD， ∴∠AEC＝30°， 又∵BE＝AE， ∴∠ABC∠AEC＝15°， ∴∠ABD＝2∠ABC＝30°； 如圖，當(dāng)AB＜AC時(shí)，同理可得∠ACD＝30°， 又∵∠BAC＝∠BDC＝90°， ∴∠ABD＝150°， 故答案為：30°或150°． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)的運(yùn)用，如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線． 15．（2022秋?江夏區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD、CE分別平分∠ABC和∠ACB且BD、CE相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作FO⊥BD交AB于點(diǎn)F，連FD．若∠A﹣∠ACB＝α（0°＜α＜60°），則∠AFD＝　45°α?。? 【分析】連接AO，過O點(diǎn)作OM⊥AB于M，作ON⊥AC于點(diǎn)N，則∠FMO＝∠DNO＝90°，由∠BAC＝90°，∠BAC﹣∠ACB＝α知∠ACB＝90°﹣α，∠ABC＝α，∠ABDα，根據(jù)FO⊥BD可得∠AFO＝90°α，再證明△MOF≌△NOD求得∠OFD＝45°，進(jìn)而可求解． 【詳解】解：如圖，連接AO，過O點(diǎn)作OM⊥AB于M，作ON⊥AC于點(diǎn)N，則∠FMO＝∠DNO＝90， ∵∠BAC＝90°，∠BAC﹣∠ACB＝α， ∴∠ACB＝90°﹣α，∠MON＝90°， ∴∠ABC＝α， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABDα， ∵FO⊥BD， ∴∠BOF＝∠FOD＝90°， ∴∠MOF＝∠NOD，∠AFO＝∠BOF+∠ABD＝90°α， ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴AO平分∠BAC， ∴∠OAD＝45°，MO＝NO， 在△MOF和△NOD中， ， ∴△MOF≌△NOD（ASA）， ∴OF＝OD， ∴∠OFD＝45°， ∴∠AFD＝∠AFO﹣∠OFD＝45°α， 故答案為：45°α． 【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合問題，主要考查了等腰直角三角形，三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是證明△MOF≌△NOD． 16．（2022秋?慈溪市期中）如圖，點(diǎn)A和動(dòng)點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為Q，以AQ為邊作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4．直線l上有一點(diǎn)C在點(diǎn)P右側(cè)，PC＝4cm，過點(diǎn)C作射線CD⊥l，點(diǎn)F為射線CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AF．當(dāng)△AFC與△ABQ全等時(shí)，AQ＝　12或2或　cm． 【分析】根據(jù)直角三角形的全等的判定解答即可． 【詳解】解：當(dāng)P在A點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，AC不可能等于AQ，要使三角形全等，只能AC＝AB 要使△AFC與△ABQ全等， 則應(yīng)滿足， ∵AQ：AB＝3：4，AQ＝AP，PC＝4cm， 設(shè)AQ＝3x，AB＝4x，則有4x﹣3x＝4， ∴x＝4， ∴AQ＝12（cm）， 當(dāng)P在A點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，若AC＝AQ（即C，Q重合），可得AQ長為2； 若AC＝AB，可得AQ長為， 故答案為：12或2或． 【點(diǎn)睛】此題考查直角三角形的全等問題，關(guān)鍵是根據(jù)SAS證明三角形的全等． 三．解答題（共7小題，滿分52分） 17．（2022?松北區(qū)三模）如圖，在小正方形的邊長均為1的方格紙中，有線段AB和線段CD，點(diǎn)A．B．C．D均在小正方形的頂點(diǎn)上． （1）在方格紙中畫出以AB為斜邊的直角三角形ABE，點(diǎn)E小正方形的頂點(diǎn)上，且△ABE的面積為5； （2）在方格紙中畫出以CD為一邊的△CDF，點(diǎn)F在小正方形的頂點(diǎn)上，且△CDF的面積為4，CF與（1）中所畫線段BE平行，連接AF，請直接寫出線段AF的長． 【分析】（1）根據(jù)題意可知：AB，因?yàn)?、、恰好?gòu)成以AB為斜邊的直角三角形，由此畫出圖形即可； （2）根據(jù)題意可知：CD，以CD為底，高為的三角形面積為4，由此畫出圖形，根據(jù)勾股定理求出AF的長即可． 【詳解】解：（1）作圖如下： （2）AF5． 【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理運(yùn)用，三角形的面積計(jì)算方法，靈活利用數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，結(jié)合圖形解決問題． 18．（2022春?渭濱區(qū)期末）如圖，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝4∠A，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，DE⊥AC交AB于點(diǎn)E，連接CE． （1）求∠A的度數(shù)； （2）求證：BE＝2AE． 【分析】（1）設(shè)∠A的度數(shù)為x，則∠ACB＝4∠A＝4x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠A＝x，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出x+x+4x＝180°，再求出x即可； （2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE＝CE，求出∠ECA＝∠A＝30°，求出∠BCE，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出即可． 【詳解】（1）解：設(shè)∠A的度數(shù)為x，則∠ACB＝4∠A＝4x， ∵AC＝BC， ∴∠B＝∠A＝x， 在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴x+x+4x＝180°， 解得：x＝30°， ∴∠A＝30°， 答：∠A的度數(shù)是30°； （2）證明：∵點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，DE⊥AC， ∴AE＝CE ∴∠ECA＝∠A＝30° 又∠ACB＝4∠A＝120°， ∴∠BCE＝90°， 又∵∠B＝30° ∴BE＝2CE， ∴BE＝2AE． 【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，能熟記線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解此題的關(guān)鍵． 19．（2022秋?永定縣校級(jí)期中）（1）如圖1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是過A點(diǎn)的一條直線，且B、C在AE的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求證：BD＝DE+CE． （2）若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)（BD＜CE），其余條件不變，問BD與DE、CE的關(guān)系如何？請予以證明． 【分析】根據(jù)已知利用AAS判定△ABD≌△CAE從而得到BD＝AE，AD＝CE，因?yàn)锳E＝AD+DE，所以BD＝DE+CE； 根據(jù)已知利用AAS判定△ABD≌△CAE從而得到BD＝AE，AD＝CE，因?yàn)锳D+AE＝BD+CE，所以BD＝DE﹣CE． 【詳解】解：（1）∵∠BAC＝90°，BD⊥AE，CE⊥AE， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°， ∵∠ABD+∠BAE＝90°，∠CAE+∠BAE＝90° ∴∠ABD＝∠CAE， ∵AB＝AC， 在△ABD和△CAE中， ∵， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∵AE＝AD+DE， ∴BD＝DE+CE； （2）BD＝DE﹣CE； ∵∠BAC＝90°，BD⊥AE，CE⊥AE， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°， ∴∠ABD+∠DAB＝∠DAB+∠CAE， ∴∠ABD＝∠CAE， ∵AB＝AC， 在△ABD和△CAE中， ∵， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴AD+AE＝BD+CE， ∵DE＝BD+CE， ∴BD＝DE﹣CE． 【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對全等三角形的判定方法的理解及運(yùn)用，常用的判定方法有SSS，SAS，AAS等．這種類型的題目經(jīng)?？嫉剑⒁庹莆眨?20．（2022秋?咸豐縣期末）如圖，等邊△ABC的邊長為12cm，D為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，E為AB延長線上一動(dòng)點(diǎn)，DE交CB于點(diǎn)P，點(diǎn)P為DE中點(diǎn) （1）求證：CD＝BE； （2）若DE⊥AC，求BP的長． 【分析】（1）作DF∥AB交BC于F，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，由平行線的性質(zhì)得出∠CDF＝∠A＝60°，∠DFC＝∠ABC＝60°，∠DFP＝∠EBP，證出△CDF是等邊三角形，得出CD＝DF，由AAS證明△PDF≌△PEB，得出對應(yīng)邊相等DF＝BE，即可得出結(jié)論； （2）由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出ADAE，證出BP＝BE，得出BP＝BE＝CD，設(shè)BP＝x，則BE＝CD＝x，AD＝12﹣x，得出方程12+x＝2（12﹣x），解方程即可． 【詳解】（1）證明：作DF∥AB交BC于F，如圖所示： ∵△ABC是等邊三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°， ∵DF∥AB， ∴∠CDF＝∠A＝60°，∠DFC＝∠ABC＝60°，∠DFP＝∠EBP， ∴△CDF是等邊三角形， ∴CD＝DF， ∵點(diǎn)P為DE中點(diǎn)， ∴PD＝PE， 在△PDF和△PEB中，， ∴△PDF≌△PEB（AAS）， ∴DF＝BE， ∴CD＝BE； （2）解：∵DE⊥AC， ∴∠ADE＝90°， ∴∠E＝90°﹣∠A＝30°， ∴ADAE，∠BPE＝∠ACB﹣∠E＝30°＝∠E， ∴BP＝BE， 由（1）得：CD＝BE， ∴BP＝BE＝CD， 設(shè)BP＝x，則BE＝CD＝x，AD＝12﹣x， ∵AE＝2AD， ∴12+x＝2（12﹣x）， 解得：x＝4， 即BP的長為4． 【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度適中，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵． 21．（2022秋?臨河區(qū)期末）在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長線上，且AE＝BD， （1）當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，求證：EC＝ED； （2）當(dāng)點(diǎn)E不是AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖2，過點(diǎn)E作EF∥BC，求證：△AEF是等邊三角形； （3）在第（2）小題的條件下，EC與ED還相等嗎，請說明理由． 【分析】（1）根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)可得∠ECB＝30°，∠ABC＝60°，根據(jù)AE＝EB＝BD，可得∠ECB∠ACB＝30°，∠EDB＝∠DEB∠ACB＝30°，根據(jù)等角對等邊即可證得結(jié)論； （2）根據(jù)平行線的性質(zhì)證得∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠C＝60°，即可證得結(jié)論； （3）先求得BE＝FC，然后證得△DBE≌△EFC即可； 【詳解】證明：（1）如圖1，在等邊△ABC中，AB＝BC＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°， ∵AE＝EB＝BD， ∴∠ECB∠ACB＝30°，∠EDB＝∠DEB∠ACB＝30°， ∴∠EDB＝∠ECB， ∴EC＝ED； （2）如圖2，∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠C＝60°， ∴△AEF為等邊三角形； （3）EC＝ED； 理由：∵∠AEF＝∠ABC＝60°， ∴∠EFC＝∠DBE＝120°， ∵AB＝AC，AE＝AF， ∴AB﹣AE＝AC﹣AF，即BE＝FC， 在△DBE和△EFC中， ， ∴△DBE≌△EFC（SAS）， ∴ED＝EC． 【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵． 22．（2022春?無錫期中）如圖①，△ABC的角平分線BD、CE相交于點(diǎn)P． （1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)； （2）如圖②，過P點(diǎn)作直線MN，分別交AB和AC于點(diǎn)M和N，且MN平行于BC，試求∠MPB+∠NPC的度數(shù)（用含∠A的代數(shù)式表示）； （3）將（2）中的直線MN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，分別交線段AB于點(diǎn)M（不與A、B重合），交直線AC于N，試探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 【分析】（1）利用角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和計(jì)算即可； （2）利用角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和計(jì)算即可； （3）利用角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和計(jì)算即可． 【詳解】解：（1）∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）， ∵∠PBC，∠PCB， ∴∠PBC+∠PCB， ∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠PBC+∠PCB°﹣∠A）， ∵∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）， ∴∠BPC＝180° ＝90°， ∵∠A＝80°， ∴∠BPC＝90°+40°＝130°； （2）由（1）得，∠BPC＝90°∠A， 又∵∠BPC+∠MPB+∠NPC＝180°， ∴∠MPB+∠NPC＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A， 即∠MPB+∠NPC＝90°∠A； （3）點(diǎn)M在線段AB上，點(diǎn)N在直線AC上， 所以分三種情況： ①點(diǎn)N在線段AC上時(shí)，如備用圖1， 結(jié)論同（2），∠MPB+∠NPC＝90°∠A； ②點(diǎn)N在AC的延長線上時(shí)，如備用圖2， ∵∠MPB+∠BPN＝180°， ∠BPN＝∠BPC﹣∠NPC，∠BPC＝90°， ∴∠MPB+∠BPC﹣∠NPC＝180° ∴∠MPB﹣∠NPC＝180°﹣∠BPC ＝90°∠A， 即∠MPB﹣∠NPC＝90°∠A； ③點(diǎn)N在CA的延長線上時(shí)，如備用圖3， ∵∠MPB+∠NPC+∠BPC＝360°， ∴∠MPB+∠NPC＝360°﹣∠BPC ＝360°﹣（90°∠A） ＝270°∠A， 即∠MPB+∠NPC＝270°∠A． 【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和與角平分線，解題的關(guān)鍵是畫出正確圖形，會(huì)利用內(nèi)角和表示角之間的關(guān)系． 23．（2022秋?婺城區(qū)校級(jí)期末）已知等邊△ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到△ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h1，h2，h3，△ABC的高為h．回答以下問題： （1）如圖（1），若點(diǎn)P在一邊BC上，此時(shí)h3＝0，可得結(jié)論　h＝h1+h2?。ńY(jié)論用h1，h2，h3，h的關(guān)系式表示） （2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，此時(shí)可得結(jié)論　h＝h1+h2+h3?。ńY(jié)論用h1，h2，h3，h的關(guān)系式表示） （3）如圖（3），當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外，上述結(jié)論是否成立？若成立，請予以證明；若不成立，h1，h2，h3和h之間又有怎樣的關(guān)系，并說明理由． 【分析】（1）連接AP，根據(jù)S△ABC＝S△ABP+S△APC可知BC?AMAB?PDAC?PF，再把AB＝BC＝AC及AM＝h，PD＝h1，PF＝h2，代入即可得出結(jié)論； （2）連接AP、BP、CP，根據(jù)S△ABC＝S△ABP+S△BPC+S△ACP即可得出結(jié)論； （3）連接PB，PC，PA，由三角形的面積公式得：S△ABC＝S△PAB+S△PAC﹣S△PBC，即BC?AMAB?PDAC?PEBC?PF，再由AB＝BC＝AC即可得出結(jié)論． 【詳解】解：（1）h＝h1+h2，理由如下： 連接AP，則 S△ABC＝S△ABP+S△APC ∴BC?AMAB?PDAC?PF 即 BC?hAB?h1AC?h2 又∵△ABC是等邊三角形 ∴BC＝AB＝AC， ∴h＝h1+h2． 故答案為：h＝h1+h2． （2）h＝h1+h2+h3 ，理由如下： 連接AP、BP、CP，則 S△ABC＝S△ABP+S△BPC+S△ACP ∴BC?AMAB?PDAC?PFBC?PE 即 BC?hAB?h1AC?h2+BC?h3 又∵△ABC是等邊三角形， ∴BC＝AB＝AC． ∴h＝h1+h2+h3． 故答案為：h＝h1+h2+h3； （3）h＝h1+h2﹣h3． 當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外時(shí)，結(jié)論h1+h2+h3＝h不成立．此時(shí)，它們的關(guān)系是h1+h2﹣h3＝h． 理由如下：連接PB，PC，PA 由三角形的面積公式得：S△ABC＝S△PAB+S△PAC﹣S△PBC， 即BC?AMAB?PDAC?PEBC?PF， ∵AB＝BC＝AC， ∴h1+h2﹣h3＝h， 即h1+h2﹣h3＝h． 【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出三角形，根據(jù)三角形的面積公式求解是解答此題的關(guān)鍵．

英語朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)浙教版（2024）八年級(jí)上冊電子課本

章節(jié)綜合與測試

版本： 浙教版（2024）

年級(jí)： 八年級(jí)上冊

切換課文
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號(hào)注冊
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號(hào)注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部