考卷信息：
本套訓(xùn)練卷共50題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可深化學(xué)生對等腰三角形工具的應(yīng)用及構(gòu)造等腰三角形！
一．解答題（共50小題）
1．（2022秋?勃利縣期末）如圖：△ABC的邊AB的延長線上有一個(gè)點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求證：△ABC為等腰三角形．
2．（2022秋?淮安區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，求∠DBC的度數(shù)．
3．（2022秋?林州市期末）已知△ABC的兩邊長a和b滿足（b﹣4）2＝0．
（1）若第三邊長為c，求c的取值范圍．
（2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周長．
4．（2022秋?河?xùn)|區(qū)校級期中）如圖1，點(diǎn)A、D在y軸正半軸上，點(diǎn)B、C分別在x軸上，CD平分∠ACB與y軸交于D點(diǎn)，∠CAO＝90°﹣∠BDO．
（1）求證：AC＝BC；
（2）如圖2，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC的長．
5．（2022秋?武岡市期中）已知如圖，△ABC中，EF∥BC，交AB、AC于E、F，∠B的平分線交EF于O點(diǎn)．
（1）求證：EO＝BE；
（2）若EF＝BE+CF，求證：OC平分∠ACB．
6．（2022秋?盤龍區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求證：△DEF是等腰三角形；
（2）當(dāng)∠A＝50°時(shí)，求∠DEF的度數(shù)．
7．（2022秋?大石橋市期末）如圖，△ABC是等邊三角形，延長BC到點(diǎn)E，使CEBC，若D是AC的中點(diǎn)，連接ED并延長交AB于點(diǎn)F．
（1）若AF＝3，求AD的長；
（2）證明：DE＝2DF．
8．（2022春?大埔縣期末）如圖，△ABC是等邊三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC＝120°，AE＝CE，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，連接AF．
（1）直接寫出∠BAE的度數(shù)為 ；
（2）判斷AF與CE的位置關(guān)系，并說明理由．
9．（2022秋?寧明縣期末）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于點(diǎn)D，且DE＝DC．求證：△CEB為等邊三角形．
10．（2022春?二七區(qū)校級期中）在△ABC中，AB＝AC，D是直線BC上一點(diǎn)，以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，連接CE．設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．
（1）如圖（1），點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)時(shí)，①角α與β之間的數(shù)量關(guān)系是 ；
②若線段BC＝2，點(diǎn)A到直線BC的距離是3，則四邊形ADCE周長的最小值是 ；
（2）如圖（2），點(diǎn)D在線段BC的延長線上移動(dòng)時(shí)，
①請問（1）中α與β之間的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果成立，請說明理由；
②線段BC、DC、CE之間的數(shù)量是 ．
11．（2022秋?臺(tái)江區(qū)期末）如圖，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．
（1）求證：∠ACB＝∠ACD；
（2）過點(diǎn)E作ME∥AB，交AC的延長線于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MP⊥DC，交DC的延長線于點(diǎn)P．
①連接PE，交AM于點(diǎn)N，證明AM垂直平分PE；
②點(diǎn)O是直線AE上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MO+PO的值最小時(shí)，證明點(diǎn)O與點(diǎn)E重合．
12．（2022春?市南區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一點(diǎn)，BD＝BC，過點(diǎn)D作AB的垂線交AC于點(diǎn)E，求證：BE垂直平分CD．
13．（2022秋?平房區(qū)期末）如圖，點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求證：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接寫出圖中除△ABC與△ADE外所有的等腰三角形．
14．（2022秋?河西區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度數(shù)．
15．（2022秋?鞏義市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q分別從點(diǎn)B、A同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．
（1）用含t的式子表示線段AP、AQ的長；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是以PQ為底邊的等腰三角形？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC？
16．（2022秋?清江浦區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．
（1）BP＝ （用t的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒后，△PQB是等腰三角形？
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā) 秒后，△BCQ是以BC或BQ為底邊的等腰三角形？
17．（2022春?渠縣校級期末）已知：如圖，AB＝AC，D是AB上一點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)E，ED的延長線交CA的延長線于點(diǎn)F．求證：△ADF是等腰三角形．
18．（2022秋?北侖區(qū)期中）（1）如圖1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF∥BC分別交AB、AC于E、F．
①求證：OE＝BE；
②若△ABC 的周長是25，BC＝9，試求出△AEF的周長；
（2）如圖2，若∠ABC的平分線與∠ACB外角∠ACD的平分線相交于點(diǎn)P，連接AP，試探求∠BAC 與∠PAC的數(shù)量關(guān)系式．
19．（2022秋?余干縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC．
求證：BC＝DC．
20．（2022春?焦作期末）如圖，在等邊三角形ABC中∠B，∠C的平分線相交于點(diǎn)O，作BO，CO的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E和點(diǎn)F．小明說：“E，F(xiàn)是BC的三等分點(diǎn)．”你同意他的說法嗎？請說明理由．
21．（2022秋?工業(yè)園區(qū)期末）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)．
（1）求證：△BED是等腰三角形：
（2）當(dāng)∠BCD＝ °時(shí)，△BED是等邊三角形．
22．（2022春?梅州校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1．將三角板中30°角的頂點(diǎn)D放在AB邊上移動(dòng)，使這個(gè)30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC，BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且使DE始終與AB垂直．
（1）△BDF是什么三角形？請說明理由；
（2）設(shè)AD＝x，CF＝y(tǒng)，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（不用寫出自變量x的取值范圍）
（3）當(dāng)移動(dòng)點(diǎn)D使EF∥AB時(shí)，求AD的長．
23．（2022秋?陽新縣校級期末）如圖1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°AC＝1點(diǎn)D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以BD為邊作等邊△BDE，EA的延長線交BC的延長線于F，設(shè)CD＝n，
（1）當(dāng)n＝1時(shí)，則AF＝ ；
（2）當(dāng)0＜n＜1時(shí)，如圖2，在BA上截取BH＝AD，連接EH，求證：△AEH為等邊三角形．
24．（2022?寧德一模）如圖，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑的弧分別交AC，AB于點(diǎn)D，E，連接BD，ED．
（1）寫出圖中所有的等腰三角形；
（2）若∠AED＝114°，求∠ABD和∠ACB的度數(shù)．
25．（2022秋?平輿縣期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，點(diǎn)P為邊BC上的一點(diǎn)，BC＝3BP，且∠PAB＝15°，點(diǎn)C關(guān)于直線PA的對稱點(diǎn)為D，連接BD，又△APC的PC邊上的高為AH
（1）求∠BPD的大??；
（2）判斷直線BD，AH是否平行？并說明理由；
（3）證明：∠BAP＝∠CAH．
26．（2022春?本溪縣期中）如圖，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，且BD＝DE．
（1）若∠BAE＝40°，求∠C的度數(shù)；
（2）若△ABC周長為20cm，AC＝8cm，求DC長．
27．（2022秋?澧縣期末）如圖，一只船從A處出發(fā)，以18海里/時(shí)的速度向正北航行，經(jīng)過10小時(shí)到達(dá)B處．分別從A、B處望燈塔C，測得∠NAC＝42°，∠NBC＝84度．求B處與燈塔C距離．
28．（2022春?西安期末）如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AE＝5cm，△ABD的周長為17cm，求△ABC的周長．
29．（2022春?嵩縣期末）如圖所示．點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，點(diǎn)M、N分別是點(diǎn)P關(guān)于直線OA、OB的對稱點(diǎn)，線段MN交OA、OB于點(diǎn)E、F．
（1）若MN＝20cm，求△PEF的周長．
（2）若∠AOB＝35°，求∠EPF的度數(shù)．
30．（2022秋?沂南縣期末）如圖，AD為△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF交AD于點(diǎn)O．
（1）求證：AD垂直平分EF；
（2）若∠BAC＝60°，寫出DO與AD之間的數(shù)量關(guān)系，不需證明．
31．（2022秋?張家港市校級期末）如圖：AD為△ABC的高，∠B＝2∠C，用軸對稱圖形說明：CD＝AB+BD．
32．（2022春?錦江區(qū)校級期末）操作實(shí)驗(yàn)：
如圖，把等腰三角形沿頂角平分線對折并展開，發(fā)現(xiàn)被折痕分成的兩個(gè)三角形成軸對稱．
所以△ABD≌△ACD，所以∠B＝∠C．
歸納結(jié)論：如果一個(gè)三角形有兩條邊相等，那么這兩條邊所對的角也相等．
根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：
思考驗(yàn)證：如圖（4），在△ABC中，AB＝AC．試說明∠B＝∠C的理由；
探究應(yīng)用：如圖（5），CB⊥AB，垂足為B，DA⊥AB，垂足為A．E為AB的中點(diǎn)，AB＝BC，CE⊥BD．
（1）BE與AD是否相等，為什么？
（2）小明認(rèn)為AC是線段DE的垂直平分線，你認(rèn)為對嗎？說說你的理由；
（3）∠DBC與∠DCB相等嗎？試說明理由．
33．（2022?海豐縣模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上．求證：BE＝CE（要求：不用三角形全等的方法）
34．（2022春?余杭區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AM平分∠BAC，D為AC的中點(diǎn)，E為BC延長線上一點(diǎn)，且CEBC．
（1）求ME的長；
（2）求證：△DMC是等腰三角形．
35．（2022?白城校級模擬）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是線段BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．
（1）如圖1，如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝ ；
（2）如圖2，設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β．當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)時(shí)，請寫出α，β之間的數(shù)量關(guān)系，請說明理由．
36．（2022秋?樂亭縣期末）若a、b是△ABC的兩邊且|a﹣3|+（b﹣4）2＝0
（1）試求a、b的值，并求第三邊c的取值范圍．
（2）若△ABC是等腰三角形，試求此三角形的周長．
（3）若另一等腰△DEF，其中一內(nèi)角為x°，另一個(gè)內(nèi)角為（2x﹣20）°試求此三角形各內(nèi)角度數(shù)．
37．（2022秋?盂縣期末）將一副直角三角板如圖擺放，等腰直角板ABC的斜邊BC與含30°角的直角三角板DBE的直角邊BD長度相同，且斜邊BC與BE在同一直線上，AC與BD交于點(diǎn)O，連接CD．
求證：△CDO是等腰三角形．
38．（2022秋?龍門縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E、F分別在BC、AB、AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求證：△DEF是等腰三角形；
（2）求證：∠B＝∠DEF；
（3）當(dāng)∠A＝40°時(shí)，求∠DEF的度數(shù)．
39．（2022春?靜安區(qū)校級期末）已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．
求證：AC﹣AB＝2BE．
40．（2022秋?秦淮區(qū)校級期中）在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足為E．求證：AC＝2BE．
41．（2022秋?滑縣校級期末）已知△ABC為等邊三角形，D為AC的中點(diǎn)，∠EDF＝120°，DE交線段AB于E，DF交直線BC于F．
（1）如圖（1），求證：DE＝DF；
（2）如圖（2），若BE＝3AE，求證：CFBC．
（3）如圖（3），若BEAE，則CF＝ BC；在圖（1）中，若BE＝4AE，則CF＝ BC．
42．（2022春?嶧城區(qū)期末）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：△CEF是等腰三角形；
（2）若CD＝2，求DF的長．
43．（2022秋?紅山區(qū)期末）如圖1，點(diǎn)P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，
（1）連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；
（2）何時(shí)△PBQ是直角三角形？
（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．
44．（2022?南京模擬）數(shù)一數(shù)甲圖中有幾個(gè)角（小于平角）？乙圖中有幾個(gè)等腰三角形？丙圖中有幾對全等三角形？丁圖中有幾對等邊三角形？
45．（2022秋?五河縣期末）如圖，過等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，且PA＝CQ，連PQ交AC邊于D．
（1）求證：PD＝DQ；
（2）若△ABC的邊長為1，求DE的長．
46．（2022?南京模擬）如圖，∠BAC＝30°，點(diǎn)P是∠BAC的平分線上的一點(diǎn)，PD⊥AC于D，PE∥AC交AB于E，已知AE＝10cm，求PD的長度．
47．（2022春?青浦區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是過A的一條直線，且B，C在AE的兩側(cè)，D在A，E之間，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求證：BD＝DE+CE．
48．（2022秋?龍華區(qū)期末）如圖，已知直線l1∥l2∥l3，點(diǎn)E、F分別在l3、l1上，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C在直線l1上，點(diǎn)B在直線l2上，點(diǎn)A在直線l3上，l2與AC交于點(diǎn)D，且∠BAC＝25°，∠BAE＝25°．
（1）求證：△ABD是等腰三角形；
（2）求∠BCF的度數(shù)．
49．（2022春?電白區(qū)期末）如圖，已知△ABC是邊長為3cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），則
（1）BP＝ cm，BQ＝ cm．（用含t的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形？
50．（2022?南京模擬）如圖，在等邊△ABC的三邊上分別取點(diǎn)D、E、F，使AD＝BE＝CF．
（1）試說明△DEF是等邊三角形；
（2）連接AE、BF、CD，兩兩相交于點(diǎn)P、Q、R，則△PQR為何種三角形？試說明理由．

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13.3.1 等腰三角形

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