一、教學(xué)目標(biāo)：
1.會(huì)運(yùn)用勾股定理求線段長及解決簡單的實(shí)際問題.
2.能從實(shí)際問題中抽象出直角三角形這一幾何模型，利用勾股定理建立已知邊與未知邊長度之間的聯(lián)系，并進(jìn)一步求出未知邊長.
二、教學(xué)重、難點(diǎn)：
重點(diǎn)：熟練運(yùn)用會(huì)用勾股定理解決簡單實(shí)際問題.
難點(diǎn)：熟練運(yùn)用會(huì)用勾股定理解決簡單實(shí)際問題.
三、教學(xué)過程：
復(fù)習(xí)回顧
如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC的長．
解：在Rt△ABD中，AB＝3，BD＝2，
由勾股定理得
AD2＝AB2－BD2＝32－22＝5.
在Rt△ACD中，CD＝1，
由勾股定理得
典例解析
例1 一個(gè)門框尺寸如圖所示，一塊長3m，寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內(nèi)穿過？為什么？

分析：可以看出木板橫著，豎著都不能通過，只能斜著.門框AC的長度是斜著能通過的最大長度，只要AC的長大于木板的寬就能通過.
解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，
AC2=AB2+BC2=12+22=5.
AC=≈2.24.
因?yàn)锳C大于木板的寬2.2m，所以木板能從門框內(nèi)通過.
【針對(duì)練習(xí)】有一根長的木棒，要放入長、寬、高分別是、、的木箱中（如圖），能放進(jìn)去嗎？試通過計(jì)算說明理由．
解：能放得進(jìn)去；理由如下：如圖所示：
根據(jù)已知條件得：，，，
連接、，
在中，
，
在中，
，
故能放得進(jìn)去．
例2 如圖，一架2.6m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)AO為2.4m，如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎？

解：在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理，
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，OB=1.
在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理，
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15，
OD=≈1.77.
BD=OD-OB≈1.77-1=0.77.
所以梯子的頂端沿墻下滑0.5m時(shí)，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移約0.77m.
【針對(duì)練習(xí)】如圖，在兩面墻之間有一個(gè)底端在A點(diǎn)的梯子，當(dāng)它靠在一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在B點(diǎn)；當(dāng)它靠在另一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在D點(diǎn)，已知∠???=60°，∠???=45°．點(diǎn)D到地面的垂直距離??=4米，求點(diǎn)A到墻壁BC的距離．
解：在中，，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：點(diǎn)A到墻面BC的距離為米．
【總結(jié)提升】利用勾股定理解決實(shí)際問題的一般步驟：
（1）讀懂題意，分析已知、未知間的關(guān)系；
（2）構(gòu)造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解決實(shí)際問題.
例3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(-3,5)，B(1,2)求A,B兩點(diǎn)間的距離.
解：如圖，過點(diǎn)A作x軸的垂線,過點(diǎn)B作x,y軸的垂線.相交于點(diǎn)C,連接AB.
∴AC=5-2=3，BC=3+1=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∴A,B兩點(diǎn)間的距離為5.
【點(diǎn)睛】兩點(diǎn)之間的距離公式：一般地，設(shè)平面上任意兩點(diǎn)
【針對(duì)練習(xí)】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(5，0)和B(0，4).求這兩點(diǎn)之間的距離.
解：由A(5，0)和B(0，4)可得，OA=5，OB=4.
在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理，
AB2=OA2+OB2=52+42=41，AB= .
因此，A、B兩點(diǎn)間的距離為 .
例4.如圖，有兩棵樹，一棵樹高AC是10米，另一棵樹高BD是4米，兩樹相距8米（即CD=8米），一只小鳥從一棵樹的樹梢A點(diǎn)處飛到另一棵樹的樹梢B點(diǎn)處，則小鳥至少要飛行多少米？
解：如圖，大樹高為AC=10米，小樹高為BD=4米，
過點(diǎn)B作BE⊥AC于E，則四邊形EBDC是長方形，連接AB，
∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米），
∴AE=AC-EC=10-4=6（米），
在中，（米），
答：小鳥至少飛行了10米．
例5.如圖，甲乙兩船同時(shí)從A港出發(fā)，甲船沿北偏東35°的方向，航速是12海里/時(shí)，2小時(shí)后，兩船同時(shí)到達(dá)了目的地．若C、B兩島的距離為30海里，問乙船的航速是多少？
解：根據(jù)題意得：，，
∴．
∴
∴．
∴乙船的航速是：（海里/時(shí)）．
例6.有一個(gè)圓柱形油罐，要以A點(diǎn)環(huán)繞油罐建梯子，正好建在A點(diǎn)的正上方點(diǎn)B處,問梯子最短需多少米(已知油罐的底面半徑是2m,高AB是5m,π取3）?
【分析】立體圖形中求兩點(diǎn)間的最短距離，一般把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線.
解：油罐的展開圖如圖，則AB′為梯子的最短距離.
∵AA′=2×3×2=12, A′B′=5,
在Rt△AA′B′中，由勾股定理得
即梯子最短需13米.
【針對(duì)練習(xí)】如圖，是一個(gè)邊長為1的正方體硬紙盒，現(xiàn)在A處有一只螞蟻，想沿著正方體的外表面到達(dá)B處吃食物，求螞蟻爬行的最短距離是多少.
解：由題意得AC =2，BC=1,
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=22+12=5
∴AB= ，
即最短路程為 .
課堂小結(jié)
1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？
【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生概括的能力。使知識(shí)形成體系，并滲透數(shù)學(xué)思想方法。
達(dá)標(biāo)檢測
1.如圖，書架上放了四個(gè)文件夾，已知∠ACB=90°，AC=24cm， BC=7cm， 則AB的長為( )
A.20cm B.23cm C. 25cm D.cm
2.如圖，一根12米高的電線桿CD垂直于地面，在其兩側(cè)各用15米的鐵絲固定，兩個(gè)固定點(diǎn)A, B(點(diǎn)A、D、B在同一直線上)之間的距離是( )
A.13米 B.9米 C.10米 D.18米
3.如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米.如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2米，那么小巷的寬度為( )
A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米
4.如圖，長方體的長為3,寬為2，高為4，則從點(diǎn)A1到C點(diǎn)(沿著長方體表面)的最短距離是( )
A. B. C.9 D.3
5.如圖是一個(gè)育苗棚，棚寬a=6m,棚高h(yuǎn)=2.5m,棚長d=10m，則覆蓋在棚斜面上的塑料薄膜的面積為______m2.
6.如果將一根細(xì)長木棒放進(jìn)長為3cm、寬為2cm、 高為6cm的長方體有蓋盒子中，那么細(xì)木棒最長可以是_____cm.
7.暑假中，小明和同學(xué)們到某海島去探寶旅游,按照如圖所示的路線探寶.他們登陸后先往東走8km，又往北走2km，遇到障礙后又往西走3km，再折向北走6km處往東拐,僅走1km就找到了寶藏，則登陸點(diǎn)到埋寶藏點(diǎn)的直線距離為______km.
8.如圖，池塘邊有兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)C是與BA方向成直角的AC方向上一點(diǎn)，測得CB=60m，AC=20m.求A、B兩點(diǎn)間的距離(結(jié)果取整數(shù)).
9.如圖，鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，于A，于B，已知，現(xiàn)在要在鐵路上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在距A站多少千米處？
10.如圖，在離水面高度為米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時(shí)繩子的長為米，此人以米每秒的速度收繩，秒后船移動(dòng)到點(diǎn)的位置，問船向岸邊移動(dòng)了多少米？（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號(hào)）
11.如圖，有一個(gè)圓柱體，它的高為12厘米，底面半徑為3厘米，在圓柱下底面的A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面與A點(diǎn)相對(duì)的B處的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π的值取3)
12.如圖，鐵路和公路在點(diǎn)O處交匯．公路上距離O點(diǎn)的A處與鐵路的距離是．如果火車行駛時(shí)，周圍以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么火車在鐵路上沿方向以的速度行駛時(shí)，A處受噪音影響的時(shí)間是多少？
【參考答案】
C
D
C
A
65
7
10
8.解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理， AB2=BC2-AC2=602-202=3200 AB=≈57
因此，A、B兩點(diǎn)間的距離約為57m.
9.解：設(shè)，
∵C、D兩村到E站的距離相等，
∴，即，
由勾股定理，得,
∴，
解得．
∴E點(diǎn)應(yīng)建在距A站10千米處．
10.解：在中：
，米，米，
米，
此人以米每秒的速度收繩，秒后船移動(dòng)到點(diǎn)的位置，
米，
米，
米，
答：船向岸邊移動(dòng)了米．
11.解:如圖，將圓柱體的側(cè)面展開得到Rt△ABC，則AB為這只螞蟻爬行的最短路程.
BC=-×2π×3=9 (厘米)
根據(jù)勾股定理，得
AB2=AC2+BC2=122+92=152
AB=15(厘米)
答:這只螞蟻爬行的最短路程是15厘米.
12.解：如圖：過點(diǎn)A作，，
∵公路上A處點(diǎn)距離O點(diǎn)，距離MN為，
∴，
當(dāng)火車到B點(diǎn)時(shí)對(duì)A處產(chǎn)生噪音影響，
此時(shí)，當(dāng)貨車到達(dá)D點(diǎn)后繼續(xù)再運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)A處不再產(chǎn)生影響，此時(shí)，
∵，，，
∴由勾股定理得：，
，
∴，
∵，
∴A處受噪音影響的時(shí)間為：．
四、教學(xué)反思：
從本節(jié)課的授課過程來看，靈活運(yùn)用了多種教學(xué)方法，既有教師的講解，又有討論，在教師指導(dǎo)下的自學(xué)，組織學(xué)生活動(dòng)等. 調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用. 課堂拓展了學(xué)生的學(xué)習(xí)空間，給學(xué)生充分發(fā)表意見的自由度.

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17.1 勾股定理

版本： 人教版（2024）

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