《一只闖蕩幾何叢林的螞蟻》教學(xué)設(shè)計(jì)——勾股定理的應(yīng)用之空間最短路徑問題教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能1、掌握勾股定理的簡單應(yīng)用，探究空間最短路徑問題；2、能夠借助勾股定理解決有一定難度的實(shí)際問題。過程與方法經(jīng)歷運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題的過程，在數(shù)學(xué) 闖關(guān)活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的探究意識(shí)情感態(tài)度與價(jià)值觀敢于面對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的困難，增加遇到困難時(shí)選擇其他方法的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，發(fā)展運(yùn)用數(shù)學(xué)的信心和能力。教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)1、能熟練運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題，掌握空間最短路徑問題；2、探索空間與平面圖形之間的關(guān)系。難點(diǎn)熟練運(yùn)用勾股定理解決最短路徑實(shí)際問題，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。教學(xué)準(zhǔn)備Ppt課件、正方形和長方形磁力片教學(xué)過程創(chuàng)設(shè)情境 引入課題師：今天老師給大家?guī)砹艘晃粍?dòng)物朋友，請(qǐng)大家猜猜它是誰：“身體雖不大，力氣可不小，有時(shí)搬糧食，有時(shí)挖地道，團(tuán)結(jié)又互助，勇敢又勤勞。”生：螞蟻（板書課題）師：有這樣一只螞蟻，它一直闖蕩在幾何叢林中，螞蟻媽媽在樹下給它留下了一份禮物，需要它在幾何叢林以最短的時(shí)間闖過八個(gè)關(guān)卡，才能得到禮物，我們來一起幫幫螞蟻君好不好！生：沒問題師：好的，那么我跟著螞蟻君開始闖關(guān)！闖關(guān)活動(dòng)第一關(guān) 師：螞蟻君進(jìn)入了一個(gè)平面，如果要從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，怎樣爬路線最短？      生：連接AB，兩點(diǎn)之間，線段最短。師：這一關(guān)主要是研究了平面最短路徑問題，順利過關(guān)。下面我們進(jìn)入下一關(guān)卡。 第二關(guān)師：螞蟻君來到了邊長為1正方體面前，它要從A頂點(diǎn)沿著正方體的外表面爬到B頂點(diǎn)，該怎樣爬路徑最短，最短路徑是多少？      師：這個(gè)問題研究的是空間最短路徑問題。還記得我們?cè)谇罂臻g最短路徑問題時(shí)，是怎樣做的嗎？生：把圖形展開。師：很好。空間最短路徑問題千年不變的解題思想就是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，萬年不變的具體操作就是將幾何體外表面展開，我們把正方體的外表面分別稱作上下左右前后六個(gè)面，從A點(diǎn)出發(fā)，到B點(diǎn)有幾種展開方式？（用磁力片展示）前右左后展開                      前上和后下                     左上右下這六種路線是兩兩相對(duì)的，選取其中一種，因此從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)就3種路徑，如圖：又因?yàn)檎襟w的邊長都一樣，這三種路徑的平面圖如圖：             只要沿著這條路徑爬就是最短的，大家算一算，最短路徑是多少？生：由勾股定理得：AB==螞蟻從A到B的最短路徑是。師：真棒！第二關(guān)也順利通關(guān)了，有沒有信心往下走？生：有！師：下一關(guān) 第三關(guān)師：螞蟻君來到長為2，寬為1，高為3的長方體中，它從A頂點(diǎn)沿著長方體的外表面爬到B頂點(diǎn)的最短路徑是多少？幫它算算吧？方法同正方體一樣展開，有幾種方式？能不能分別畫出它們來？請(qǐng)一位同學(xué)用磁力片在黑板上拼出展開圖。          生：三種。 下右                           前右                           前上展開圖：      分別算出三種長度因?yàn)?/span><<所以最短路徑為，即為。師：大家有沒有發(fā)現(xiàn)這三種展開圖的邊長有沒有什么規(guī)律？生：長寬高兩兩相加師：很好。大家只要記住這個(gè)規(guī)律，再碰到這種類型的長方體就能很快的畫出它的展開圖了。又掌握了一種新技能。我們來一起看看下一關(guān)卡吧。 第四關(guān)師：螞蟻君爬到一個(gè)高為8，底面的半徑為5的圓柱體A點(diǎn)處，則它沿圓柱表面爬到右上角B點(diǎn)，怎么爬，爬多少？       生：把圓柱體側(cè)面展開，如圖：         根據(jù)勾股定理可以得出最短路徑是 第五關(guān)師：螞蟻君來到邊長為1的無蓋立方體，它要從A點(diǎn)沿著外表面爬一周到達(dá)C，怎樣爬最短，最短路徑是多少？        提示一下，螞蟻爬一周要爬幾個(gè)面？畫出它的展開圖你就能算出來！ 生：展開圖是四個(gè)并排的正方形，A，C在對(duì)角頂點(diǎn)，連接AC，沿著AC爬最短，一條直角邊是4，一條直角邊在1，根據(jù)勾股定理求出AC的長為          師：五關(guān)順利通過，螞蟻君真的要謝謝你們了哈！我們來總結(jié)一下，求空間最短路徑的解題方法，首先先確定最短路徑，正方體一般是兩個(gè)正方形的面展開，而長方體的展開方式有三種，直角邊長分別是長寬高兩兩相加，圓柱體把側(cè)面展開后注意的地方就是有一條直角邊是底面周長的一半或是剛好等于底面周長，依次連接兩點(diǎn)的連線，確定最短路徑；接下來就是求最短路徑用勾股定理求斜邊！老師發(fā)現(xiàn)你們前五關(guān)掌握的技能非常棒，有沒有信心后面三關(guān)開掛？生：當(dāng)然有啦！ 第六關(guān)螞蟻君來到一個(gè)矩形場地，長和寬分別為3.6米和3米，如圖堆放著一根長方形的木塊，木塊的棱與矩形場地的邊平行，且木塊的正視圖是邊長為0.2米的長方形，它要從A處爬到C處需要走的最短路程是多少米？好好想一想，它要在木樁上爬幾個(gè)面？比沒有木樁的情況下多走幾個(gè)面，能不能畫出它的展開圖？       生：多走2個(gè)長方體的側(cè)面，就可以把矩形場地和長方體木樁拉開，如圖一條直角邊為3.6+0.2×2＝4，另一條直角邊是3，就可以算出最短路程是5。   終極關(guān)卡我們讓螞蟻君休息一下，不爬了，來繞線球。如圖，長方體的底面邊長分別為3cm和1cm，高為6cm，如果從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞1圈到達(dá)B點(diǎn)，那么所用細(xì)線最短需要多少cm，纏繞2圈呢？纏繞n圈呢？          我們先來看1圈的，前面我們已經(jīng)做了正方體繞1圈的，仿照它來畫畫長方體的一圈展開圖，算算最短需要多少細(xì)線？ 生：經(jīng)過長方體4個(gè)側(cè)面展開，連接對(duì)角頂點(diǎn)，一條直角邊為8，另一條直角邊為6勾股定理算得斜邊為10，需要10cm細(xì)線。         師：纏繞2圈，經(jīng)過幾個(gè)側(cè)面？畫出展開圖！ 生：經(jīng)過8個(gè)側(cè)面展開，相當(dāng)于繞一圈的2倍，連接對(duì)角頂點(diǎn)，一條直接邊是16＝8×2，另一條直角邊為6，算的斜邊為cm。          師：n圈呢？有沒有規(guī)律？生：有規(guī)律，n圈就是展開n次4個(gè)側(cè)面，一條直角邊為8n，另一條為6，算的斜邊為cm。        師：你們真的很不錯(cuò)，幫助螞蟻君順利通關(guān)了！通過這節(jié)課我們研究了平面最短路徑，空間最短路徑和平面和空間結(jié)合的最短路徑，相信你們通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，以后再碰到這種類型的題目一定所向披靡！我們和螞蟻君來一起開寶箱吧！看看螞蟻媽媽留給螞蟻君什么禮物？“事雖難，做則成，路雖遠(yuǎn)，行則至”    這一路走來，所碰到的層層關(guān)卡，我們都是積極面對(duì)，通過大家的努力都順利通關(guān)了！數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)之路也一樣，人生也是一樣，面對(duì)一些難題，我們也應(yīng)該積極面對(duì)，不能退縮，相信你們只要抱著這樣的學(xué)習(xí)態(tài)度和生活態(tài)度，一切難事都不存在！奮斗吧！少年！這節(jié)課我們就愉快的結(jié)束了！謝謝大家！作業(yè)布置專題練習(xí)見附件 板書設(shè)計(jì)一只闖蕩幾何叢林的螞蟻        平面最短路徑        空間最短路徑    平面和空間結(jié)合    外表面展開  勾股定理求斜邊    繞幾何體n圈       附件：《勾股定理之最短路徑問題》練習(xí)題1.如圖一只螞蟻要從正方體一個(gè)頂點(diǎn)A爬到另一個(gè)頂點(diǎn)B，如果正方體棱長是2，求最短路線長_____________.
 2.如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是___________．
 3.如圖，圓柱的底面半徑為3cm，高為4πcm，一只螞蟻從A點(diǎn)沿著圓柱的側(cè)面爬行到與點(diǎn)A相對(duì)的B點(diǎn)，則最短路線長為（           ）cm.
 A.（6+4π）cm      B.2cm        C.7πcm               D.5πcm4.如圖，圓柱形玻璃杯，高為12cm，底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底3cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為_______________cm．
   5. 問題：如圖(1)，一圓柱的底面半徑為5分米，高AB為5分米，BC是底面直徑，求一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)C的最短路線．小明設(shè)計(jì)了兩條路線：
路線1：側(cè)面展開圖中的線段AC．如圖(2)所示：設(shè)路線1的長度為l1，則l12=AC2=AB2+BC2=52+(5π)2=25+25π2
路線2：高線AB+底面直徑BC．如圖(1)所示：設(shè)路線2的長度為l2，則l22=(AB+BC)2=(5+10)2=225，∵l12-l22＞0，
∴l12＞l22，∴l1＞l2，所以要選擇路線2較短．

(1)小明對(duì)上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1分米，高AB為5分米”繼續(xù)按前面的路線進(jìn)行計(jì)算．請(qǐng)你幫小明完成下面的計(jì)算：
路線1：l12=AC2=______；
路線2：l22=(AB+BC)2=______．∴l1______l2 ( 填＞或＜)，所以應(yīng)選擇路線______(填1或2)較短．
(2)請(qǐng)你幫小明繼續(xù)研究：在一般情況下，當(dāng)圓柱的底面半徑為r，高為h時(shí)，應(yīng)如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點(diǎn)的路線最短． 

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17.1 勾股定理

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