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\l "_Tc20843" 【題型1 二次函數(shù)中直角三角形的存在性問(wèn)題】 PAGEREF _Tc20843 \h 1
\l "_Tc21520" 【題型2 二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問(wèn)題】 PAGEREF _Tc21520 \h 3
\l "_Tc24518" 【題型3 二次函數(shù)中等腰直角三角形的存在性問(wèn)題】 PAGEREF _Tc24518 \h 5
\l "_Tc5221" 【題型4 二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問(wèn)題】 PAGEREF _Tc5221 \h 7
\l "_Tc30517" 【題型5 二次函數(shù)中矩形的存在性問(wèn)題】 PAGEREF _Tc30517 \h 9
\l "_Tc29936" 【題型6 二次函數(shù)中菱形的存在性問(wèn)題】 PAGEREF _Tc29936 \h 11
\l "_Tc20653" 【題型7 二次函數(shù)中正方形的存在性問(wèn)題】 PAGEREF _Tc20653 \h 13
\l "_Tc10330" 【題型8 二次函數(shù)中角度問(wèn)題的存在性問(wèn)題】 PAGEREF _Tc10330 \h 15
【題型1 二次函數(shù)中直角三角形的存在性問(wèn)題】
【例1】（2022?柳州）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（m，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．
（1）求b，c，m的值；
（2）如圖1，點(diǎn)D是拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E，作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，當(dāng)四邊形DEFG的周長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，將△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB與y軸交于點(diǎn)Q，在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使得△PQB是以QB為直角邊的直角三角形，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【變式1-1】（2022?桐梓縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，它的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，直線L經(jīng)過(guò)C，D兩點(diǎn)，連接AC．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線L的函數(shù)表達(dá)式；
（2）探索直線L上是否存在點(diǎn)E，使△ACE為直角三角形，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
【變式1-2】（2022秋?日喀則市月考）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+5的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，M為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求△MBC的面積；
（3）坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)N，使得以B，C，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式1-3】（2022?平南縣二模）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且A（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝2．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）直線l過(guò)點(diǎn)A與拋物線交于點(diǎn)P，當(dāng)∠PAB＝45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【題型2 二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問(wèn)題】
【例2】（2022?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（4，0），交y軸于點(diǎn)C．連接BC，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC交拋物線于點(diǎn)D（異于點(diǎn)A）．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸，交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，連接PG．求△PEG面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，將拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）水平向右平移個(gè)單位，得到新拋物線y1，在y1的對(duì)稱軸上確定一點(diǎn)M，使得△BDM是以BD為腰的等腰三角形，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)，并任選其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出求解過(guò)程．
【變式2-1】（2022?湘西州）定義：由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax2+2ax+c組成一個(gè)開口向上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點(diǎn)A（﹣3，0）、B（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為G、H（0，﹣1）．
（1）求拋物線C2的解析式和點(diǎn)G的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)M是x軸下方拋物線C1上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線C2于點(diǎn)D，求線段MN與線段DM的長(zhǎng)度的比值．
（3）如圖②，點(diǎn)E是點(diǎn)H關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接EG，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式2-2】（2022秋?永嘉縣校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別是y軸正半軸，x軸正半軸上兩動(dòng)點(diǎn)，OA＝2k，OB＝2k+3，以AO，BO為鄰邊構(gòu)造矩形AOBC，拋物線y3x+k交y軸于點(diǎn)D，P為頂點(diǎn)，PM⊥x軸于點(diǎn)M．
（1）求OD，PM的長(zhǎng)（結(jié)果均用含k的代數(shù)式表示）．
（2）當(dāng)PM＝BM時(shí)，求該拋物線的表達(dá)式．
（3）在點(diǎn)A在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若存在△ADP是等腰三角形，請(qǐng)求出所有滿足條件的k的值．
【變式2-3】（2022?杭州校級(jí)自主招生）如圖，拋物線y＝ax2﹣5ax+4經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，已知BC∥x軸，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸上，且AC＝BC．
（1）求拋物線的對(duì)稱軸；
（2）求A點(diǎn)坐標(biāo)并求拋物線的解析式；
（3）若點(diǎn)P在x軸下方且在拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【題型3 二次函數(shù)中等腰直角三角形的存在性問(wèn)題】
【例3】（2022?順城區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和B（5，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，與BC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)E在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)Q在直線BC上方的拋物線上，是否存在以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式3-1】（2022?碑林區(qū)校級(jí)三模）已知拋物線C1：yx2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線C1的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）將拋物線C1沿x軸平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，所得新的拋物線記作C2，C2的頂點(diǎn)為D′，與拋物線C1交于點(diǎn)E，在平移過(guò)程中，是否存在△DED′是等腰直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出滿足條件的拋物線C2的表達(dá)式，并寫出平移過(guò)程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式3-2】（2022?瓊海二模）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（3，0）、B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為x軸上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PF，AF．
（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，﹣4），求出此時(shí)△AFP面積的最大值；
（3）如圖2，是否存在點(diǎn)F，使得△AFP是以AP為腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式3-3】（2022?棗莊）如圖①，已知拋物線L：y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3），B（1，0），過(guò)點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，∠AOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的關(guān)系式；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)△OPE面積最大時(shí)，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）將拋物線L向上平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△OAE內(nèi)（包括△OAE的邊界），求h的取值范圍；
（4）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對(duì)稱軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【題型4 二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問(wèn)題】
【例4】（2022?墾利區(qū)二模）已知拋物線y＝ax2+bx+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，有一動(dòng)點(diǎn)D在線段AC上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，AB＝4，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AE、CE，當(dāng)△ACE的面積最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是 ；
（3）當(dāng)m＝﹣2時(shí)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以B，C，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式4-1】（2022?澄邁縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．
①在圖1中，當(dāng)﹣3＜t＜0時(shí)，求△PBO的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；
②在圖2中，若點(diǎn)P在該拋物線上，點(diǎn)E在該拋物線的對(duì)稱軸上，且以A，O，P，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
【變式4-2】（2022?福山區(qū)一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且OC＝3OA，拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；
（3）若點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交直線BC于點(diǎn)Q，試探究是否存在以點(diǎn)E，D，P，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形．若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式4-3】（2022?青羊區(qū)校級(jí)模擬）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖1，點(diǎn)P在線段AC上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)（不與A，C重合），過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，PD交AC于點(diǎn)E．作PF⊥AC，垂足為F，求△PEF的面積的最大值；
（3）如圖2，點(diǎn)Q是拋物線的對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A，P，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
【題型5 二次函數(shù)中矩形的存在性問(wèn)題】
【例5】（2022?齊齊哈爾三模）綜合與實(shí)踐
如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+c的圖象交x軸于點(diǎn)A、點(diǎn)B，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），過(guò)點(diǎn)A、C的直線交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)D．
（1）求二次函數(shù)和直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）連接DB，則△DAB的面積為 6 ；
（3）在y軸上確定點(diǎn)Q，使得∠AQB＝135°，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 ；
（4）點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)M、點(diǎn)N為頂點(diǎn)的四邊形是以AD為邊的矩形？若存在，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式5-1】（2022?博山區(qū)一模）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），直線BC的解析式為yx﹣4．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC交拋物線于點(diǎn)D（異于點(diǎn)A），P是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸，交AD于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QR⊥BC于點(diǎn)R，連接PR．求△PQR面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）如圖2，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C′，將拋物線沿射線C′A的方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到新的拋物線y′，新拋物線y′與原拋物線交于點(diǎn)M，原拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)N，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在一點(diǎn)K，使得以D，M，N，K為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式5-2】（2022?綏化）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交y軸于點(diǎn)A（0，﹣4），并經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（6，0），過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸交拋物線于點(diǎn)B，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，D點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），連接AD，BC，BD．點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著射線AD運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為m秒，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F，以EF為對(duì)角線作正方形EGFH．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)G隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)BC上時(shí)，求此時(shí)m的值和點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在以B，G，C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，如果存在，直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式5-3】（2022?黔東南州）如圖，拋物線y＝ax2+2x+c的對(duì)稱軸是直線x＝1，與x軸交于點(diǎn)A，B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，DM交直線BC于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)N，使得以A，C，N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）已知點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【題型6 二次函數(shù)中菱形的存在性問(wèn)題】
【例6】（2022?煙臺(tái)一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸上，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C（4，﹣5）兩點(diǎn)，且與直線DC交于另一點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）P為y軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為Q，連接EQ，AP．試求EQ+PQ+AP的最小值；
（3）N為平面內(nèi)一點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E，A為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式6-1】（2022?邵陽(yáng)縣模擬）如圖，直線l：y＝﹣3x﹣6與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、C；經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C的拋物線C：與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B，其頂點(diǎn)為點(diǎn)D，對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線C的對(duì)稱軸．
（2）將直線l向右平移得到直線l1．
①如圖①，直線l1與拋物線C的對(duì)稱軸DE相交于點(diǎn)P，要使PB+PC的值最小，求直線l1的解析式．
②如圖 ②，直線l1與直線BC相交于點(diǎn)F，直線l1上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式6-2】（2022?嘉定區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖）中，已知拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0）、B（4，1）兩點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)為C點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）求四邊形OABC的面積；
（3）設(shè)拋物線y＝ax2+bx+3的對(duì)稱軸是直線l，點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于直線l對(duì)稱，在線段BC上是否存在一點(diǎn)E，使四邊形ADCE是菱形，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式6-3】（2022?山西模擬）綜合與探究
如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），點(diǎn)E是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直線PE⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，交直線BC于點(diǎn)F．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)O，B重合），恰有線段PFEF，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）試探究：若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)C，F(xiàn)，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【題型7 二次函數(shù)中正方形的存在性問(wèn)題】
【例7】（2022?鐵鋒區(qū)二模）綜合與探究
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+b與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，過(guò)A，B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C，且OA＝20C，點(diǎn)F是直線AB下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接FA，F(xiàn)B．
（1）求拋物線解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)F與拋物線的頂點(diǎn)重合時(shí)，△ABF的面積為 ；
（3）求四邊形FAOB面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．
（4）在（3）的條件下，點(diǎn)Q為平面內(nèi)y軸右側(cè)的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q及平面內(nèi)另一點(diǎn)M，使得以A，F(xiàn)，Q，M為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
【變式7-1】（2022?隴縣二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（﹣2，0），兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B是該拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線L1的表達(dá)式；
（2）將L1平移后得到拋物線L2，點(diǎn)D，E在L2上（點(diǎn)D在點(diǎn)E的上方），若以點(diǎn)A，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，求拋物線L2的解析式．
【變式7-2】（2022秋?南寧期中）如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）Q是拋物線上第一象限除點(diǎn)P外一點(diǎn)，△BCQ與△BCP的面積相等，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）若M、N為拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)M、N作直線BC的垂線段，垂足分別為D、E．是否存在點(diǎn)M、N使四邊形MNED為正方形？如果存在，求正方形MNED的邊長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式7-3】（2022?南充）如圖，拋物線頂點(diǎn)P（1，4），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于點(diǎn)A，B．
（1）求拋物線的解析式．
（2）Q是拋物線上除點(diǎn)P外一點(diǎn)，△BCQ與△BCP的面積相等，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（3）若M，N為拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)M，N作直線BC的垂線段，垂足分別為D，E．是否存在點(diǎn)M，N使四邊形MNED為正方形？如果存在，求正方形MNED的邊長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【題型8 二次函數(shù)中角度問(wèn)題的存在性問(wèn)題】
【例8】（2022?西寧）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在直線AB上，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D（1，0），將△ACD沿CD所在直線翻折，使點(diǎn)A恰好落在拋物線上的點(diǎn)E處．
（1）求拋物線解析式；
（2）連接BE，求△BCE的面積；
（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式8-1】（2022?鄂爾多斯）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過(guò)A（，0），B（3，）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P在拋物線上，過(guò)P作PD⊥x軸，交直線BC于點(diǎn)D，若以P、D、O、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使∠QCB＝45°？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式8-2】（2022?運(yùn)城二模）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣8與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線PE∥y軸，交直線BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)F，以PD為斜邊，在PD的右側(cè)作等腰直角△PDF．
（1）求拋物線的表達(dá)式，并直接寫出直線BC的表達(dá)式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜3），在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)?shù)妊苯恰鱌DF的面積為9時(shí)，請(qǐng)求出m的值；
（3）連接AC，該拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使∠ACO+∠BCM＝∠ABC，若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式8-3】（2022?羅湖區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知拋物線yx2+bx+c交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，連接AC、BC．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）連接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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21.1 二次函數(shù)

版本： 滬科版（2024）

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