一、基本概念
平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫圓.
二、基本性質(zhì)、定理與公式
1、圓的四種方程
（1）圓的標準方程：，圓心坐標為(a,b)，半徑為
（2）圓的一般方程：，圓心坐標為，半徑
（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是
（4）圓的參數(shù)方程：
①的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；
②的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.
注：對于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動點的坐標設(shè)為（為參數(shù)，(a,b)為圓心，r為半徑），以減少變量的個數(shù)，建立三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值.
2、點與圓的位置關(guān)系判斷
（1）點與圓的位置關(guān)系：
①點P在圓外；
②點P在圓上；
③點P在圓內(nèi).
（2）點與圓的位置關(guān)系：
①點P在圓外；
②點P在圓上；
③點P在圓內(nèi).
三、直線與圓的位置關(guān)系
直線與圓的位置關(guān)系有3種，相離，相切和相交
四、直線與圓的位置關(guān)系判斷
1、幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）
圓心到直線的距離，則：
則直線與圓相交，交于兩點，；
直線與圓相切；
直線與圓相離
2、代數(shù)方法（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個數(shù)）
由，消元得到一元二次方程，判別式為，則：
則直線與圓相交；
直線與圓相切；
直線與圓相離.
五、兩圓位置關(guān)系的判斷
用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：
設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：
則兩圓相交；
兩圓外切；
兩圓相離
兩圓內(nèi)切；
兩圓內(nèi)含（時兩圓為同心圓）
【典型例題】
例1．（2024·高二·安徽六安·期末）圓心在軸上，半徑為1，且過點的圓的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因為圓心在軸上，所以可設(shè)所求圓的圓心坐標為，
則圓的方程為，又點在圓上，
所以，解得，
所以所求圓的方程為．
故選：A
例2．（2024·高三·全國·專題練習）在平面直角坐標系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線相切，則圓O的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】依題意，圓O的半徑r等于原點O到直線的距離，
即，
所以圓O的方程為.
故選：A.
例3．（2024·高三·全國·專題練習）已知圓，O為坐標原點，則以O(shè)C為直徑的圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由圓，可得圓心，
又由，在以為直徑的圓的圓心為，半徑為，
則所求圓的方程為．
故選：C．
例4．（2024·高二·四川成都·期末）圓關(guān)于直線對稱后的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因為圓，所以圓的圓心為，半徑為，
設(shè)點關(guān)于直線對稱的點為，
所以，解得：，
所以所求圓的圓心為，半徑為,
故所求圓的方程為：.
故選：A.
例5．（2024·廣東·一模）過，，三點的圓與軸交于，兩點，則（ ）
A．3B．4C．8D．6
【答案】D
【解析】設(shè)圓的方程為，代入點，，，
則，解得，
可得，整理得符合題意，
所以圓的方程為，
令，可得，解得，所以．
故選：D.
例6．（2024·陜西西安·二模）設(shè)直線與圓交于兩點，則（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
【解析】圓的圓心為，半徑為，
∵圓心到直線的距離，
.
故選：B.
例7．（2024·河南·一模）已知圓，則下列說法錯誤的是（ ）
A．點在圓外B．直線平分圓
C．圓的周長為D．直線與圓相離
【答案】D
【解析】由可知圓心坐標為，圓的半徑為1．
對于選項A：由點到圓心的距離
所以點在圓外，故A正確；
對于選項B：因為圓心在直線上，
所以圓關(guān)于直線對稱，故B正確；
對于選項C，圓的周長為，故C正確；
對于選項D，因為圓心到直線的距離為，
所以直線與圓相切，故D錯誤．
故選：D．
例8．（2024·高三·云南昆明·階段練習）若點在圓O：外，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】圓化成標準方程為，
點在圓O外，則有，
即，解得或.
故選：D．
例9．（2024·高二·陜西西安·階段練習）已知，則兩圓的位置關(guān)系為（ ）
A．相切B．外離C．內(nèi)含D．相交
【答案】D
【解析】因為可化為
則，半徑，
因為可化為，
則，半徑，
則，因為，
所以兩圓相交.
故選：D.
例10．（2024·高三·全國·專題練習）若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示圓，則實數(shù)t的取值范圍是（ ）
A．{t|－1＜t＜}
B．{t|－＜t＜1}
C．{t|－1＜t＜}
D．{t|1＜t＜2}
【答案】B
【解析】由D2＋E2－4F＞0，得7t2－6t－1＜0，解得－＜t＜1.
例11．（2024·遼寧·二模）已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】圓，圓心，半徑，
，圓心，半徑，
由題意知，是圓和圓圓心連線的垂直平分線，
，，的中點，
圓心連線的斜率為，則直線的斜率為，
故的方程：，即,故C正確．
故選：C．
例12．（2024·北京朝陽·一模）已知直線和圓相交于A，B兩點.若，則（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】D
【解析】圓的圓心為：，半徑為，
則圓心到直線的距離為，
由垂徑定理可得.
故選：D.
例13．（2024·四川·模擬預測）若兩條直線與圓的四個交點能構(gòu)成矩形，則（ ）
A．B．1C．2D．
【答案】D
【解析】由題意，直線平行，且與圓的四個交點構(gòu)成矩形，則可知圓心到兩直線的距離相等且，
由圓的圓心為，
圓心到的距離為，
圓心到：的距離為，
所以，整理得到，
由，所以．
故選：D．
例14．（2024·全國·模擬預測）若直線和圓的方程分別為，則“”是“直線和圓沒有公共點”的（ ）
A．充要條件B．既不充分也不必要條件
C．充分不必要條件D．必要不充分條件
【答案】C
【解析】因為表示圓，所以，即．
若圓與直線沒有公共點，則圓心到直線的距離大于半徑，
即，解得或．
所以“”是“直線和圓沒有公共點”的充分不必要條件．
故選：C
例15．（2024·廣東韶關(guān)·二模）過點作斜率為的直線，若光線沿該直線傳播經(jīng)軸反射后與圓相切，則（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】如圖，設(shè)經(jīng)過點的直線交x軸于點，反射直線與圓相切于點，
直線，即，
令，解得，即，
又，所以，
所以直線，即，
則點到直線直線的距離為，
即.
故選：D
例16．（2024·新疆·二模）從直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【解析】圓化為，圓心為，半徑為1，
直線上的點向圓引切線，設(shè)切點為，
則，
要使切線長的最小，則最小，即直線上的點與圓心的距離最小，
由點到直線的距離公式可得，.
所以切線長的最小值為.
故選：B.
例17．（2024·高三·河南·階段練習）已知直線與圓相交于兩點，若，則（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【解析】如圖所示：
設(shè)坐標原點到直線的距離為，則.
設(shè)線段的中點為，則，根據(jù)勾股定理，有.
由，得，故，解得，故.
故選：B.
例18．（2024·廣東廣州·二模）若直線與圓相切，則圓與圓（ ）
A．外切B．相交C．內(nèi)切D．沒有公共點
【答案】B
【解析】直線與圓相切，
則圓心到直線的距離等于圓的半徑1，
即，得.
圓的圓心坐標為，半徑為，
其圓心在圓上，所以兩圓相交.
故選：B
例19．（2024·高三·山東青島·期末）圓與圓相交于A、B兩點，則（ ）
A．2B．C．D．6
【答案】D
【解析】兩圓方程相減得直線的方程為，
圓化為標準方程，
所以圓的圓心為，半徑，
圓心到直線的距離為，
弦長，
所以.
故選：D
例20．（2024·高三·全國·專題練習）過點作曲線的兩條切線，切點分別為，則直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由曲線，可化為，可得圓心，半徑為，
因為分別切圓于，所以四點在以為直徑的圓，半徑為，
故圓的方程為：，即上，
兩圓的方程相減，可得兩圓公共弦所在直線的方程為，
即直線的方程為.
故選：A.
例21．（2024·山西·模擬預測）寫出一個過點且與圓相切的直線方程 ．
【答案】或（答案不唯一，寫出一個即可）
【解析】依題意，將圓化為標準方程可得，則圓表示以為圓心，半徑的圓，
當切線的斜率不存在時，過的直線正好與圓相切；
當切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為，則，解得，此時切線方程為．
由于只需寫出一個過點且與圓相切的直線方程，
故答案為：或（答案不唯一，寫出一個即可）
例22．（2024·高三·北京順義·階段練習）已知直線（為常數(shù)）與圓交于點，當變化時，若的最小值為2，則 .
【答案】
【解析】可知圓心為，半徑．
圓心到直線的距離：．
由垂徑定理可知：，
當時，取得最小值，并且，
故答案為：．
例23．（2024·天津·一模）已知圓與圓外切，此時直線被圓所截的弦長為 .
【答案】
【解析】由得，
將化為標準方程，得，，
因為兩圓外切，所以，即，解得.
到直線的距離，如下圖：
則直線被圓所截的弦長.
故答案為：.
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2024·云南昆明·模擬預測）已知是圓的切線，點為切點，若，則點的軌跡方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為，所以點到圓心的距離恒為，
所以點的軌跡方程是以為圓心，為半徑的圓，即，
故選：B
2．（2024·遼寧大連·一模）過點和，且圓心在x軸上的圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令該圓圓心為，半徑為，則該圓方程為，
則有，解得，
故該圓方程為.
故選：D.
3．（2024·浙江·一模）圓的圓心坐標和半徑分別為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】圓，即，
它的圓心坐標和半徑分別為.
故選：A.
4．（2024·高二·河北滄州·期末）已知點為直線上任意一點，為坐標原點．則以為直徑的圓除過定點外還過定點（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)垂直于直線，垂足為，則直線方程為：，
由圓的性質(zhì)可知：以為直徑的圓恒過點，
由得：，以為直徑的圓恒過定點.
故選：D.
5．（2024·高二·全國·課時練習）點與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．點在圓上B．點在圓內(nèi)C．點在圓外D．不確定
【答案】C
【解析】因為，所以點在圓外，
故選：C
6．（2024·高三·北京西城·開學考試）已知圓經(jīng)過點，且點到點的距離為3，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意知：，整理得：①
又由點到點的距離為3可得：②
聯(lián)立①②，解得：或.
故.
故選：B.
7．（2024·四川南充·二模）已知圓，直線與圓C（ ）
A．相離B．相切C．相交D．相交或相切
【答案】D
【解析】根據(jù)題意，直線的方程為，恒過定點，
設(shè)為，又由圓，即，
其圓心為，半徑，
由，則在圓上，
則直線與圓相交或相切.
故選：D．
8．（2024·高三·重慶九龍坡·階段練習）若直線與圓相交所得的弦長為，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】圓的圓心坐標為，半徑為，
圓心到直線的距離為，
由勾股定理得，，解得.
故選：B.
9．（2024·遼寧·模擬預測）已知圓：與圓：交于A，B兩點，當變化時，的最小值為，則（ ）
A．0B．±1C．±2D．
【答案】C
【解析】兩圓的公共弦所在線的方程為：，圓心到直線的距離為，
，因為，所以，
所以，解得.
故選：C
10．（2024·高三·重慶·階段練習）已知圓，直線與圓相離，點是直線上的動點，過點作圓的兩條切線，切點分別為A，，若四邊形的面積最小值為，則（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】圓的圓心為，半徑，
由題意可知：，
解得，即的最小值為，可知的最小值為，
即圓心到直線的距離為，解得或.
故選：C.
11．（2024·高三·河南周口·開學考試）過圓外一點作圓的切線，切點分別為，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
如圖，由題意知，，，，
所以，根據(jù)圓的對稱性易知，
則，解得．
故選：A．
12．（2024·云南昆明·一模）過點作圓：的兩條切線，切點分別為，，則四邊形的面積為（ ）
A．4B．C．8D．
【答案】C
【解析】由，得,則圓心，
則，則，
則四邊形的面積為.
故選：C
13．（2024·高二·全國·專題練習）已知圓和圓，則圓與圓的公切線有（ ）
A．1條B．2條C．3條D．4條
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，圓，即，
其圓心，半徑，
圓，其圓心，半徑，
兩圓的圓心距，
因此兩圓外切；
則圓與圓的公切線有3條．
故選：C．
14．（2024·高三·山東棗莊·期末）已知圓，圓，則兩圓的公切線條數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】由題意圓是以為圓心1為半徑的圓；
即是以為圓心3為半徑的圓；
圓心距滿足，所以兩圓相離，
所以兩圓的公切線條數(shù)為4.
故選：D.
15．（2024·高三·河北衡水·階段練習）圓與圓的公切線條數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由可知圓心為，半徑，
由，即，
則圓心為，半徑，
則兩圓圓心距離為，，，
故，即兩圓相交，故公切線條數(shù)為2條.
故選：B.
16．（2024·高三·江蘇蘇州·期中）圓與圓的公切線的條數(shù)是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】圓化成標準方程為，知
圓化成標準方程為，知
圓心距，可知兩圓內(nèi)切，則兩圓有1條公切線.
故選：A
二、多選題
17．（2024·廣東韶關(guān)·一模）已知圓，點，下列命題正確的是（ ）
A．圓的圓心為
B．過點的直線可能與圓相切
C．圓上的點到點距離的最大值為
D．若以為圓心的圓和圓內(nèi)切，則圓的半徑為
【答案】ACD
【解析】選項A：變形為，
圓心為，A正確；
選項B：，故點在圓內(nèi)，
故過點的直線不可能與圓相切，B錯誤
選項C：圓上的點到點距離的最大值為圓心到的距離加上半徑，
即，C正確；
選項D：兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)切，且點P在圓M的內(nèi)部，則圓的半徑為，D正確.
故選：ACD
18．（2024·高三·湖南邵陽·階段練習）已知圓，則下列命題正確的是（ ）
A．圓的圓心是B．點在圓內(nèi)
C．圓的最大弦長為D．過原點可以作圓的兩條切線
【答案】BC
【解析】將圓的方程化為標準方程可得，則圓的圓心坐標為，半徑為，
則圓的最大弦長為，
因為，則原點在圓上，則過原點可以作圓的一條直線，
BC對，AD錯.
故選：BC.
19．（2024·遼寧葫蘆島·二模）過四點中的三點的圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】對于A，點在圓上，故A正確；
對于B，點在圓上，故B正確；
對于C，點都不在圓上，故C錯誤；
對于D，點都不在圓上，故D錯誤；
故選：AB.
20．（2024·云南紅河·二模）若圓與圓交于兩點，則下列選項中正確的是（ ）
A．點在圓內(nèi)
B．直線的方程為
C．圓上的點到直線距離的最大值為
D．圓上存在兩點，使得
【答案】BC
【解析】對于A，因為，所以點在圓外，故A錯誤；
對于B，因為圓和圓相交，將兩圓方程作差可得：，
即公共弦AB所在直線的方程為，故B正確；
對于C，圓的圓心坐標為，半徑為，
圓心到直線：的距離為，
所以圓上的點到直線距離的最大值為，故C正確；
對于D，直線AB經(jīng)過圓的圓心，而，
所以線段AB是圓的直徑，故圓中不存在比AB長的弦，故D錯誤.
故選：BC.
21．（2024·河北滄州·模擬預測）已知圓，圓，則下列選項正確的是（ ）
A．直線的方程為
B．圓和圓共有4條公切線
C．若P，Q分別是圓和圓上的動點，則的最大值為10
D．經(jīng)過點，的所有圓中面積最小的圓的面積為
【答案】ACD
【解析】由題意得，圓的圓心，半徑，
圓的圓心，半徑，
對于A，直線的方程為，即，所以A正確；
對于B，因為且，可得，
所以圓與圓外切，所以兩圓的公切線共有3條，所以B錯誤；
對于C，因為，所以的最大值為，所以C正確；
對于D，當為圓的直徑時，該圓在經(jīng)過點，的所有圓中面積最小，
此時圓的面積為，所以D正確．
故選：ACD.
22．（2024·高二·湖南郴州·期末）已知圓，則下列命題正確的是（ ）
A．圓心坐標為
B．直線與圓相交所得的弦長為8
C．圓與圓有三條公切線.
D．圓上恰有三個點到直線的距離為，則或
【答案】ABD
【解析】對于A中，由圓，可化為，
可得圓心，半徑為，所以A正確；
對于B中，由圓心到直線的距離為，
則相交弦長為，所以B正確；
對于C中，由圓，可得圓心，半徑，
可得，且，則，
所以圓與圓相交，可得兩圓有兩條公共切線，所以C錯誤；
對于D中，由圓上恰有三個點到直線的距離為，
則滿足圓心到直線的距離為，即，
解得或，所以D正確.
故選：ABD.
23．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知圓，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．若圓和圓外離，則
B．若圓和圓外切，則
C．當時，圓和圓有且僅有一條公切線
D．當時，圓和圓相交
【答案】BCD
【解析】.
若和外離，則，解得或，故A錯誤；
若和外切，，解得，故B正確；
當時，和內(nèi)切，故C正確；
當時，和相交，故D正確.
故選：BCD
三、填空題
24．（2024·高三·河北·階段練習）已知圓C滿足以下兩個條件：①圓C的半徑為；②直線被圓C所截得的弦長為2．寫出一個符合以上條件的圓C的標準方程為 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】設(shè)圓C的圓心坐標為，因為直線被圓C所截得的弦長為2，圓的半徑為，
所以，整理得或，所以或．
可取，此時圓．
故答案為：（答案不唯一）
25．（2024·高三·浙江湖州·期末）已知圓的圓心在直線上且與軸相切，請寫出一個同時滿足上述條件的圓的標準方程： .
【答案】（答案不唯一，）
【解析】因為圓的圓心在直線上，不妨設(shè)其圓心，
又因為圓與軸相切，則半徑為，
所以圓的標準方程為，
取，則一個同時滿足上述條件的圓的標準方程為.
故答案為：（答案不唯一，）
26．（2024·高三·全國·專題練習）圓心在直線上的圓與軸交于，兩點，則圓的方程為 .
【答案】
【解析】由題意設(shè)圓心，因為，
所以，解得，
則半徑，圓心為，
則圓的方程為.
故答案為：
27．（2024·全國·模擬預測）若過點的圓與兩坐標軸都相切，則該圓的半徑為 ．
【答案】或
【解析】由題意可得所求的圓在第一象限，設(shè)圓心為，，
則圓的方程為，
再將點代入，得.
故答案為：.
28．（2024·高三·海南省直轄縣級單位·階段練習）寫出一個圓心在軸上，且與直線相切的圓的標準方程： .
【答案】（答案不唯一）
【解析】結(jié)合題意：設(shè)圓的標準方程為，
因為該圓與直線相切，
所以圓心到該直線的距離，即，
則該圓的標準方程為：，
不妨取，故此時圓的標準方程為：.
故答案為：（答案不唯一）.
29．（2024·廣西·模擬預測）已知圓：關(guān)于直線對稱的圓為 .
【答案】
【解析】設(shè)圓：關(guān)于直線對稱的圓的圓心為，
則，解得，即，
故圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為，
即,
故答案為：
30．（2024·高三·江蘇揚州·階段練習）已知圓經(jīng)過點，，且圓心在軸上，則圓的標準方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)圓心為，設(shè)圓的標準方程為，將代入圓的方程中，，解得
故圓的標準方程為：.
故答案為：.
31．（2024·廣東佛山·二模）在平面直角坐標系中，已知，，，則的外接圓的標準方程為 ．
【答案】；
【解析】依題意，設(shè)的外接圓的一般方程為，
則，解得，
所以所求圓的一般方程為，
則其標準方程為.
故答案為：.
32．（2024·高二·河北保定·期中）已知圓M經(jīng)過點，，，則圓M的標準方程為 ．
【答案】
【解析】設(shè)圓M的一般式方程為：，
因為圓M經(jīng)過點，，，
所以，解得，
得圓M的一般式方程為：，
故圓M的標準方程為：.
故答案為：
33．（2024·全國·模擬預測）函數(shù)的圖像與坐標軸交于點A，B，C，則過A，B，C三點的圓的方程為 ．
【答案】
【解析】函數(shù)的圖像與坐標軸的交點分別為，，，
則線段的垂直平分線為，線段的垂直平分線為．
所以過A，B，C三點的圓的圓心坐標為，半徑，
所以所求圓的方程為．
故答案為：.
34．（2024·陜西安康·模擬預測）已知拋物線的頂點為，與坐標軸交于三點，則過四點中的三點的一個圓的標準方程為 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】令，則，
解得，不妨設(shè)；
令0，得，則；拋物線的頂點的坐標為.
設(shè)所求圓的方程為.
當圓過三點時，,
所以圓的方程為.
當圓過三點時，,
所以圓的方程為.
當圓過三點時，,
所以圓的程為.
當圓過三點時，,
當圓過三點方程為.
故答案為：（答案不唯一）
35．（2024·高三·河南周口·階段練習）已知圓C：不經(jīng)過第三象限，則實數(shù)m的最大值為 ．
【答案】
【解析】圓方程整理為，則圓心，
，因為圓不經(jīng)過第三象限，
所以，解得，則.
故答案為：.
36．（2024·高三·河南南陽·期末）若點在圓的外部，則實數(shù)a的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】由在圓的外部，
得，解得，或，
故答案為：
37．（2024·高三·江蘇·期末）已知的頂點是，，，則的外接圓的方程是 ．
【答案】
【解析】設(shè)所求圓的一般方程為，
因為點，，在圓上，
所以，
解得，
則所求圓的一般方程為：，
.故答案為：.
38．（2024·高二·上海徐匯·期中）對任意實數(shù)，圓恒過定點，則定點坐標為 ．
【答案】或
【解析】，即，
令，解得，，或，，
所以定點的坐標是或．
故答案為：或.
39．（2024·高三·北京海淀·階段練習）已知直線經(jīng)過點，則原點到點的距離可以是 ．（答案不唯一，寫出你認為正確的一個常數(shù)就可以）
【答案】2（答案不唯一）
【解析】由于直線經(jīng)過點，
即，即，
故在以為圓心，2為半徑的圓上，
由于，即原點在該圓內(nèi)，
故，則原點到點的距離可以是2，
故答案為：2
40．（2024·高三·江蘇南通·期中）已知直線與：交于，兩點，寫出滿足“三角形面積為2”的的一個值 .
【答案】1(或-1)
【解析】直線過定點，點也在上，故可設(shè)，
，三角形面積為2，則點到軸的距離為2，
點在上，則有或，代入直線方程解得或.
故答案為：1(或-1)
41．（2024·高三·四川綿陽·階段練習）已知點在圓外，則直線與圓O的位置關(guān)系是 ．
【答案】相交
【解析】點在圓外，
圓心 到直線 的距離: ,
直線 與圓 相交.
故答案為：相交.
42．（2024·山東煙臺·一模）若圓關(guān)于直線對稱的圓恰好過點，則實數(shù)的值為 .
【答案】4
【解析】依題意，點關(guān)于直線的對稱點在圓上，
則，解得，因此點在圓上，
則，解得，
所以實數(shù)的值為4.
故答案為：4
43．（2024·山西臨汾·一模）已知點在圓內(nèi)，則直線與圓的位置關(guān)系是 .
【答案】相離
【解析】因為點在圓內(nèi)，所以，
圓的圓心到直線的距離為，
又，則，所以直線與圓相離.
故答案為：相離.
44．（2024·北京海淀·一模）已知，線段是過點的弦，則的最小值為 .
【答案】
【解析】由，故點在圓的內(nèi)部，
且該圓圓心為，半徑為，
設(shè)圓心到直線的距離為，
由垂徑定理可得，即，
故當取最大值時，有最小值，
又，
故.
故答案為：.
45．（2024·全國·模擬預測）已知圓，若過點的直線l與圓C相交所得弦的長為2，則直線l的斜率為 .
【答案】
【解析】由，可得，所以圓心，半徑.
由已知得圓心C到直線l的距離，
易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，
則C到直線l的距離，解得，所以直線l的斜率為.
故答案為：.
46．（2024·湖南常德·三模）已知曲線在處的切線與圓相交于、兩點，則 ．
【答案】
【解析】由，定義域為，，
則切線斜率，又，
所以切線方程為：，化簡為：；
又因為圓的圓心，半徑，
設(shè)圓心到直線的距離為，則，
則.
故答案為：
47．（2024·高二·湖南長沙·期中）已知的圓心為，且與直線相切，則圓C的面積為 .
【答案】
【解析】因為圓M與直線.相切，
所以點到直線：的距離即為圓M的半徑，
所以，圓C的面積為.
故答案為：
48．（2024·云南昭通·模擬預測）已知直線與圓交于兩點，以線段為直徑作圓，該圓的面積的取值范圍為 .
【答案】
【解析】直線可化為，
所以直線過定點，
圓可化為，
圓心，半徑，
設(shè)圓心到直線的距離為，
則，
所以當，即直線過圓心時，最大，則，
所求圓面積最大，為，
當最大時，即直線與垂直時最小，則,
所求圓面積最小，為，
所求圓面積取值范圍為，
故答案為：.
49．（2024·高三·上海浦東新·期中）已知圓，圓，若兩圓相交，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【解析】圓化為標準方程得，
則圓心，半徑，
圓化為標準方程得，
則，半徑，
因為兩圓相交，
所以，
即，解得（舍去），
所以實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
50．（2024·高三·重慶·階段練習）已知圓和圓交于兩點，則 .
【答案】
【解析】將圓和圓的方程作差得.
圓心到直線的距離為，
所以.
故答案為：.
51．（2024·高三·湖南長沙·階段練習）若圓和圓恰有三條公切線，則實數(shù) ．
【答案】
【解析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系可知，
兩圓恰有三條公切線時當且僅當兩圓外切，所以圓心距等于兩圓半徑之和，
易知圓的圓心為，半徑，
圓的圓心為，半徑；
即可得，得．
故答案為：
四、解答題
52．（2024·高二·河北石家莊·期中）已知圓過點和，且圓心在直線上.
(1)求圓的標準方程；
(2)若圓與圓：相交于兩點，求兩個圓公共弦的長.
【解析】（1）設(shè)圓的標準方程為，
所以有；
（2）由，或，即，
所以.
53．（2024·高二·江西·階段練習）已知.
(1)求點到直線的距離；
(2)求的外接圓的方程.
【解析】（1）直線的方程為，
化簡可得，
所以點到直線的距離.
（2）設(shè)的外接圓的方程為，
將的坐標代入，得
，即
解得；
故所求圓的方程為.

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