一．橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語言表示為：
注明：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.
二．橢圓的方程、圖形與性質(zhì)
橢圓的方程、圖形與性質(zhì)
三、雙曲線的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于零且小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線（這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)）.用集合表示為
.
注（1）若定義式中去掉絕對(duì)值，則曲線僅為雙曲線中的一支.
（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以和為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線.
（3）時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.
在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí)注意以下兩點(diǎn)：
= 1 \* GB3 ①條件“”是否成立； = 2 \* GB3 ②要先定型（焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上），再定量（確定，的值），注意的應(yīng)用.
四、雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)
雙曲線的方程、圖形及性質(zhì).
五、拋物線的定義
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線.
注若在定義中有，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為的垂線，垂足為點(diǎn).
六、拋物線的方程、圖形及性質(zhì)
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：，其中一次項(xiàng)與對(duì)稱軸一致，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開口方向
三、拋物線中常用的結(jié)論
1、點(diǎn)與拋物線的關(guān)系
（1）在拋物線內(nèi)（含焦點(diǎn)）.
（2）在拋物線上.
（3）在拋物線外.
2、焦半徑
拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，.
3、的幾何意義
為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即焦準(zhǔn)距，越大，拋物線開口越大.
4、焦點(diǎn)弦
若為拋物線的焦點(diǎn)弦，，，則有以下結(jié)論：
（1）.
（2）.
（3）焦點(diǎn)弦長公式1：，，當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)弦取最小值，即所有焦點(diǎn)弦中通徑最短，其長度為.
焦點(diǎn)弦長公式2：（為直線與對(duì)稱軸的夾角）.
（4）的面積公式：（為直線與對(duì)稱軸的夾角）.
【典型例題】
例1．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在拋物線上，是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，則 （ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【解析】由題意可得，即，
由焦點(diǎn)弦公式可得：.
故選：D.
例2．（2024·寧夏固原·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)為，上一點(diǎn)位于第二象限，若，則直線的斜率為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，則有，，
則有，即，
故，故.
故選：D.
例3．（2024·高三·河南·階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)均在軸上，橢圓的面積為，且橢圓的離心率為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，
則解得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故選：A．
例4．（2024·陜西榆林·二模）已知為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若，且為等腰三角形，則的離心率為（ ）
A．B．2C．或D．2或3
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以可設(shè)，
依題意可得：，則的離心率；
或，則的離心率.
故選：C
例5．（2024·高三·四川綿陽·階段練習(xí)）過雙曲線：左焦點(diǎn)為和點(diǎn)直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】由題意得雙曲線：左焦點(diǎn)為，
則直線l的斜率為，
故直線l的方程為，而雙曲線的漸近線方程為，
故直線l與平行，且l過雙曲線的左焦點(diǎn)，
故直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是1，
故選：B
例6．（2024·高三·湖北·開學(xué)考試）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)關(guān)于其準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為，則的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意，設(shè)拋物線的方程為，
可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，
設(shè)焦點(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為，可得，解得，
因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于其準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為，可得，解得，
所以拋物線的方程為.
故選：A.
例7．（2024·四川瀘州·二模）已知點(diǎn)P在橢圓C：上，C的左焦點(diǎn)為F，若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓上，則的值為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】因?yàn)闄E圓C：
所以該橢圓，，則，
設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，記線段的中點(diǎn)為，連接，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，
又，所以.
故選：B.
例8．（2024·陜西商洛·三模）已知點(diǎn)在拋物線上，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)也在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)為，則線段的長為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
如圖，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，依題知是的中位線，可知，過向準(zhǔn)線做垂線，垂足分別為，
同理是的中位線，，由拋物線定義知，故得，
又，則點(diǎn)橫坐標(biāo)是，代入可得其縱坐標(biāo)為，故.
故選：C．
例9．（2024·四川綿陽·一模）已知雙曲線的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的焦距為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
即點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，又由拋物線的準(zhǔn)線方程為，則，則拋物線的焦點(diǎn)為，
則雙曲線的左頂點(diǎn)為，即
點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，則其漸近線方程為，由雙曲線的性質(zhì)，可得，
則，則焦距為，
故選：B
例10．（2024·高二·山西太原·階段練習(xí)）已知橢圓，則“”是“橢圓的離心率為”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由可得橢圓，此時(shí)離心率為，
此時(shí)充分性成立；
若橢圓的離心率為，當(dāng)時(shí)，可得離心率為，解得，
即必要性不成立；
綜上可知，“”是“橢圓的離心率為”的充分不必要條件.
故選：A
例11．（2024·北京房山·一模）雙曲線的離心率是 ．
【答案】
【解析】由雙曲線可得：，
所以雙曲線的離心率是.
故答案為：.
例12．（2024·湖南·二模）已知橢圓與雙曲線，橢圓的短軸長與長軸長之比大于，則雙曲線離心率的取值范圍為 .
【答案】
【解析】依題意，對(duì)于橢圓方程，對(duì)于雙曲線方程，.
不妨設(shè)，則，于是，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故，即，故雙曲線離心率的取值范圍為.
故答案為：.
例13．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且，過點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）．若直線關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的斜率為 ．
【答案】
【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，解得，
所以拋物線，
設(shè)直線，代入拋物線方程，
消去并整理得
，代入，得，
，
設(shè)直線的斜率為直線關(guān)于直線對(duì)稱，，
直線，同理可得，
則直線的斜率．
故答案為：.
例14．（2024·全國·模擬預(yù)測）關(guān)于雙曲線，四位同學(xué)給出了四個(gè)說法：
小明：雙曲線的實(shí)軸長為8；
小紅：雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3；
小強(qiáng)：雙曲線的離心率為；
小同：雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為1；
若這4位同學(xué)中只有1位同學(xué)的說法錯(cuò)誤，則說法錯(cuò)誤的是 ．（橫線上填“小明”、“小紅”、“小強(qiáng)”或“小同”）
【答案】小強(qiáng)
【解析】假設(shè)小明說法正確，則，即，
又小紅說法正確，則雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，
則此時(shí)雙曲線為，則，雙曲線的離心率為，
雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為，
綜上，小明、小紅、小同的說法正確的，小強(qiáng)的說法錯(cuò)誤.
故答案為：小強(qiáng).
例15．（2024·安徽池州·二模）造紙術(shù)是中國四大發(fā)明之一，彰顯了古代人民的智慧.根據(jù)史料記載盛唐時(shí)期折紙藝術(shù)開始流行，19世紀(jì)折紙與數(shù)學(xué)研究相結(jié)合，發(fā)展成為折紙幾何學(xué).在一次數(shù)學(xué)探究課上，學(xué)生們研究了圓錐曲線的包絡(luò)線折法.如圖，在一張矩形紙片上取一點(diǎn)，記矩形一邊所在直線為，將點(diǎn)折疊到上（即），不斷重復(fù)這個(gè)操作，就可以得到由這些折痕包圍形成的拋物線，這些折痕就是拋物線的包絡(luò)線.在拋物線的所有包絡(luò)線中，恰好過點(diǎn)的包絡(luò)線所在的直線方程為 .

【答案】
【解析】依題意，拋物線的每條包絡(luò)線與該拋物線相切，
顯然過點(diǎn)的包絡(luò)線所在的直線斜率存在，設(shè)方程為，
由消去并整理得：，
則，解得，
所以所求直線方程為.
故答案為：
例16．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知M，N為拋物線C：上不關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離為3，則直線的方程可能是 .（寫出滿足條件的一個(gè)方程即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】設(shè)直線，，聯(lián)立，，
，，
，
因?yàn)榫€段的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離為3，拋物線的準(zhǔn)線為：，
所以，所以.
令，得，直線的方程可能是.
故答案為：（答案不唯一）
例17．（2024·北京朝陽·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，則 ；設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，若，則 .
【答案】 /0.5
【解析】由拋物線準(zhǔn)線方程為，故，
則，，由在拋物線上，
故，
由，可得，
即，即.
故答案為：；.
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2024·四川南充·二模）已知，是實(shí)數(shù)，則“”是“曲線是焦點(diǎn)在軸的雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】若曲線是焦點(diǎn)在軸的雙曲線，則，，所以，故必要性成立，
若，滿足，但是曲線是焦點(diǎn)在軸的雙曲線，故充分性不成立，
所以“”是“曲線是焦點(diǎn)在軸的雙曲線”的必要不充分條件.
故選：B
2．（2024·廣東·一模）雙曲線的頂點(diǎn)到其漸近線的距離為（ ）
A．B．1C．D．
【答案】C
【解析】依題意，雙曲線的頂點(diǎn)為，漸近線方程為，
所以雙曲線的頂點(diǎn)到其漸近線的距離為.
故選：C
3．（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知橢圓，A，B為G的短軸端點(diǎn)，P為G上異于A，B的一點(diǎn)，則直線，的斜率之積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】設(shè)，則有，即有，
由橢圓方程不妨設(shè)短軸端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，
則.
故選：C.
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的焦距為6，直線與雙曲線的一條漸近線平行，則（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【解析】雙曲線的漸近線方程為，依題意，，
由雙曲線焦距為6，得，所以.
故選：A
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，且的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意知，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故選：A．
6．（2024·陜西西安·一模）已知圓，直線，若圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上，則點(diǎn)必在（ ）
A．一個(gè)離心率為的橢圓上B．一個(gè)離心率為2的雙曲線上
C．一個(gè)離心率為的橢圓上D．一個(gè)離心率為的雙曲線上
【答案】D
【解析】圓的圓心為，
依題意可知直線過圓的圓心，則，
所以點(diǎn)必在雙曲線即上，且該雙曲線的離心率．
故選：D.
7．（2024·湖南·二模）若橢圓的焦距為2，則該橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【解析】當(dāng)時(shí)，，解得，
則離心率為，
當(dāng)時(shí)，，解得，
則離心率為.
故選：C
8．（2024·山西朔州·一模）已知橢圓與雙曲線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，若橢圓的離心率為，則橢圓的短軸長為（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)闄E圓與雙曲線有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，橢圓的左右頂點(diǎn)與雙曲線的頂點(diǎn)重合，
而雙曲線的頂點(diǎn)為，故，
設(shè)橢圓的半焦距為，則，故，故短軸長為，
故選：D.
二、多選題
9．（2024·江蘇南通·二模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，直線是C的一條漸近線，P是l上一點(diǎn)，則（ ）
A．C的虛軸長為B．C的離心率為
C．的最小值為2D．直線PF的斜率不等于
【答案】AD
【解析】雙曲線的漸近線方程為，依題意，，解得，
對(duì)于A，的虛軸長，A正確；
對(duì)于B，的離心率，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，點(diǎn)到直線的距離，即的最小值為，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，直線的斜率為，而點(diǎn)不在上，點(diǎn)在上，則直線PF的斜率不等于，D正確.
故選：AD
10．（2024·湖北·一模）某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，設(shè)其焦點(diǎn)為，若為其圖象上任意一點(diǎn)，則（ ）
A．是它的一條對(duì)稱軸B．它的離心率為
C．點(diǎn)是它的一個(gè)焦點(diǎn)D．
【答案】ABD
【解析】反比例函數(shù)的圖象為等軸雙曲線，故離心率為，
容易知道是實(shí)軸，是虛軸，坐標(biāo)原點(diǎn)是對(duì)稱中心，
聯(lián)立實(shí)軸方程與反比例函數(shù)表達(dá)式得實(shí)軸頂點(diǎn)，
所以，其中一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)為而不是，
由雙曲線定義可知．
故選：ABD.
11．（2024·河北邯鄲·三模）已知雙曲線，則（ ）
A．的取值范圍是B．的焦點(diǎn)可在軸上也可在軸上
C．的焦距為6D．的離心率的取值范圍為
【答案】AC
【解析】對(duì)于A，表示雙曲線，，解得，故A正確；
對(duì)于B，由A項(xiàng)可得，故，的焦點(diǎn)只能在軸上，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，設(shè)的半焦距為，則，，即焦距為，故C正確；
對(duì)于D，離心率，，，的取值范圍是，故D錯(cuò)誤．
故選：AC.
12．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，P是C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．離心率
C．面積的最大值為12
D．以線段為直徑的圓與圓相切
【答案】BCD
【解析】因?yàn)闄E圓，則，
由橢圓的定義可知，，故A錯(cuò)誤；
由橢圓離心率公式可得，故B正確；
因?yàn)樵O(shè)點(diǎn)到軸的距離為，顯然，
則面積的最大值為，故C正確；
線段的中點(diǎn)為，則以線段為直徑的圓的方程為，
其圓心為，半徑，
且圓的圓心為，半徑，
則兩圓的圓心距為，
即兩圓外切，故D正確；
故選：BCD
13．（2024·海南·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則點(diǎn)的軌跡為橢圓
B．若，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線
C．若，則點(diǎn)的軌跡為一條直線
D．若，則點(diǎn)的軌跡為圓
【答案】BCD
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：，則點(diǎn)的軌跡為線段，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：，則點(diǎn)的軌跡是雙曲線，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)：設(shè)，
由，可得，
化簡得，表示一條直線，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D：由，可得，
則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，故D正確.
故選：BCD.
14．（2024·高三·新疆·階段練習(xí)）連接橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為，記橢圓C的右焦點(diǎn)為，則（ ）
A．B．橢圓的離心率為
C．橢圓的焦距為D．橢圓上存在點(diǎn)P，使
【答案】BD
【解析】橢圓的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，
因?yàn)檫B接橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為，
若為左、右頂點(diǎn)與上（下）頂點(diǎn)時(shí)，則，解得，符合題意；
若為上、下頂點(diǎn)與左（右）頂點(diǎn)時(shí)，則，解得，符合題意；
綜上可得，故A錯(cuò)誤；
則橢圓方程為，所以，則橢圓的離心率，故B正確；
橢圓的焦距為，故C錯(cuò)誤，
因?yàn)闄E圓C的右焦點(diǎn)為，所以，即，
所以在橢圓上存在點(diǎn)P，使，故D正確.
故選：BD
15．（2024·高三·云南楚雄·期末）已知橢圓：，則（ ）
A．的長軸長為B．當(dāng)時(shí)，的焦點(diǎn)在軸上
C．的焦距可能為4D．的短軸長與長軸長的平方和為定值
【答案】BCD
【解析】若，則橢圓焦點(diǎn)在軸上，，長軸長為：，A錯(cuò)誤.
當(dāng)時(shí)，，則的焦點(diǎn)在軸上，B正確.
當(dāng)時(shí)，的焦距為4，C正確.
因?yàn)?，所以，D正確.
故選：BCD
16．（2024·高三·遼寧撫順·期末）直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與交于M，N兩點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．的最小值為6D．的最小值為12
【答案】BD
【解析】對(duì)于A，B，由直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，故A錯(cuò)誤，B正確；
對(duì)于C，D，當(dāng)直線垂直于軸，即時(shí)，取得最小值，且最小值為．故C錯(cuò)誤，D正確．
故選：BD．
17．（2024·云南昭通·模擬預(yù)測）已知橢圓，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．橢圓的離心率為
B．橢圓的長軸長為2
C．若直線的方程為，則右焦點(diǎn)到的距離為
D．若直線過點(diǎn)，且與軸平行，則
【答案】AC
【解析】由題意知，
對(duì)于A選項(xiàng)：,則A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)：長軸為：,故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)：的方程為，
所以右焦點(diǎn)到的距離為，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)：方法過且與軸平行，
為通徑，.
方法過且與軸平行，
的方程為，由，故D錯(cuò)誤，
故選：AC.
18．（2024·高三·云南·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)在直線上，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】由于焦點(diǎn)在直線上，
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，令，可得，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)知，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，令，可得，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)知，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
故選：BC．
19．（2024·福建廈門·一模）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與交于A，B兩點(diǎn)，若，且的周長為8，則（ ）
A．B．的離心率為
C．可以為D．可以為直角
【答案】AC
【解析】由，如下圖周長為，故，
所以，橢圓離心率為，A對(duì)，B錯(cuò)；
當(dāng)軸，即為通徑時(shí)，且，
所以，故可以為，C對(duì)；
由橢圓性質(zhì)知：當(dāng)為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)最大，此時(shí)，
且，故，即不可能為直角，D錯(cuò).
故選：AC
三、填空題
20．（2024·四川成都·二模）若拋物線過點(diǎn)，則該拋物線的焦點(diǎn)為 ．
【答案】
【解析】將代入拋物線方程，可得，即，
所以拋物線的焦點(diǎn)為．
故答案為：.
21．（2024·高三·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）已知定點(diǎn)B（3,0），點(diǎn)A在圓x2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)，∠AOB的平分線交線段AB于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡方程是 ．
【答案】．
【解析】設(shè)，則，
設(shè)，
由為的角平分線，
可得，
即有，
可得,，
即，，
可得，，
則，
即為．
故答案為：．
22．（2024·河南鄭州·二模）拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實(shí)數(shù)a的值為 .
【答案】/
【解析】依題可知，
則，
故答案為：.
23．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為2的直線l與C交于P、Q兩點(diǎn)，則 .
【答案】
【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，
過F且斜率為2的直線l方程為：，設(shè)，，
聯(lián)立得：，則，
所以.
故答案為：.
24．（2024·高三·天津南開·階段練習(xí)）已知拋物線上的點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為，則等于 ．
【答案】
【解析】拋物線，即，
所以準(zhǔn)線方程為，
因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為，
所以，解得.
故答案為：
25．（2024·黑龍江吉林·二模）橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，過焦點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，，若的面積是4，則 .
【答案】/
【解析】由題意，則，
因?yàn)椋?br>所以.
故答案為：.
26．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓：（）的左、右頂點(diǎn)分別為，，左焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，成等差數(shù)列，則的離心率為 ．
【答案】/
【解析】由，，成等差數(shù)列，
得，即，
所以，即，
又，得．
故答案為：
27．（2024·甘肅·一模）若曲線，且經(jīng)過這三點(diǎn)中的兩點(diǎn)，則曲線的離心率可能為 .（寫出一個(gè)即可）.
【答案】（或填或）
【解析】當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，得，解得，
此時(shí)曲線方程，
此時(shí)離心率為；
當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，得，解得，
此時(shí)曲線方程，
此時(shí)離心率為；
當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，得，解得，
此時(shí)曲線方程，
此時(shí)離心率為；
故答案為：（或填或）.
28．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知為橢圓的兩焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，若的最大值為3，且焦距為2，則橢圓C的方程為
【答案】
【解析】設(shè)橢圓C的焦距為2c，由題意知，從而
又因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以，解得，則，
從而橢圓C的方程為
故答案為：
29．（2024·河北滄州·一模）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，直線為的準(zhǔn)線，則點(diǎn)到直線的距離為 ．
【答案】8
【解析】根據(jù)拋物線方程可知，拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以點(diǎn)到直線的距離為8.
故答案為：8.
30．（2024·廣西柳州·三模）已知過原點(diǎn)O的一條直線l與圓C：相切，且l與拋物線交于O，P兩點(diǎn)，若，則 ．
【答案】3
【解析】由于圓心為，半徑為，故直線一定有斜率，
設(shè)方程為，則，解得，
故直線方程為，
聯(lián)立與可得或，
故，故，
故答案為：3
31．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則C的離心率為 .
【答案】
【解析】由直線的斜率為，故有，
即，則.
故答案為：.
32．（2024·湖南衡陽·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），（為坐標(biāo)原點(diǎn)），，則 ．
【答案】
【解析】作拋物線的準(zhǔn)線，記準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，
過作軸的垂線，垂足分別為，如下所示：
設(shè)，
在△中，由拋物線定義可得：，
則，解得；
在△中，由拋物線定義可得：，
則，解得；
由題可知：，，解得；則.
故答案為：.
33．（2024·高三·陜西安康·階段練習(xí)）在水平地面豎直定向爆破時(shí)，在爆破點(diǎn)炸開的每塊碎片的運(yùn)動(dòng)軌跡均可近似看作是拋物線的一部分．這些碎片能達(dá)到的區(qū)域的邊界和該區(qū)域軸截面的交線也是拋物線的一部分（如圖中虛線所示），稱該條拋物線為安全拋物線．若某次定向爆破中安全拋物線達(dá)到的最大高度為30米，碎片距離爆炸中的最遠(yuǎn)水平距離為60米，則這次爆破中，安全拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為 米．
【答案】60
【解析】如圖，以安全拋物線達(dá)到的最大高度點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于底面的直線為x軸，
和地面垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則拋物線方程為，由題意可知，
代入可得，
即安全拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為60米，
故答案為：60
34．（2024·高三·江蘇·專題練習(xí)）已知分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，為的左頂點(diǎn)，若，則的離心率為 ．
【答案】/
【解析】
由得：，即，
，即，整理可得：，的離心率.
故答案為：.
35．（2024·北京門頭溝·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，若，則到直線的距離為： ．
【答案】4
【解析】由點(diǎn)在上，的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，知到直線的距離等于.
而，故到直線的距離為.
設(shè)的坐標(biāo)為，由到直線的距離為，知，所以或.而，故.
所以到直線的距離為.
故答案為：.
36．（2024·陜西西安·二模）過拋物線C：焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，則直線AB的斜率為 ．
【答案】
【解析】拋物線C：的焦點(diǎn)，而，
由，得點(diǎn)在線段的中垂線上，
設(shè)，則，解得，
所以直線的斜率.
故答案為：
焦點(diǎn)的位置
焦點(diǎn)在軸上
焦點(diǎn)在軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
統(tǒng)一方程
參數(shù)方程
第一定義
到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2，即（）
范圍
且
且
頂點(diǎn)
、
、
、
、
軸長
長軸長短軸長
長軸長短軸長
對(duì)稱性
關(guān)于軸、軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱
焦點(diǎn)
、
、
焦距
離心率
點(diǎn)和橢圓
的關(guān)系
通徑
過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=（最短的過焦點(diǎn)的弦）
弦長公式
設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，,,
則弦長
（其中是消后關(guān)于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
y
x
B1
B2
F2
A2
A1
F1
B1
F1
x
y
A1
F2
B2
A2
焦點(diǎn)坐標(biāo)
，
，
對(duì)稱性
關(guān)于，軸成軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱
頂點(diǎn)坐標(biāo)
，
，
范圍
實(shí)軸、
虛軸
實(shí)軸長為，虛軸長為
離心率
漸近線方程
令，
焦點(diǎn)到漸近線的距離為
令，
焦點(diǎn)到漸近線的距離為
點(diǎn)和雙曲線
的位置關(guān)系
共漸近線的雙曲線方程
弦長公式
設(shè)直線與雙曲線兩交點(diǎn)為，，.
則弦長，
，其中“”是消“”后關(guān)于“”的一元二次方程的“”系數(shù).
通徑
通徑（過焦點(diǎn)且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其長為
標(biāo)準(zhǔn)方程
y
x
O
F
l
y
x
O
F
l
F
y
x
O
l
圖形
y
x
O
F
l
對(duì)稱軸
軸
軸
頂點(diǎn)
原點(diǎn)
焦點(diǎn)坐標(biāo)
準(zhǔn)線方程

相關(guān)學(xué)案

專題41 數(shù)列求和 -2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義：

這是一份專題41 數(shù)列求和 -2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義，文件包含專題41數(shù)列求和原卷版docx、專題41數(shù)列求和解析版docx等2份學(xué)案配套教學(xué)資源，其中學(xué)案共31頁， 歡迎下載使用。

專題38 圓錐曲線常規(guī)解答題 -2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義：

這是一份專題38 圓錐曲線常規(guī)解答題 -2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義，文件包含專題38圓錐曲線常規(guī)解答題原卷版docx、專題38圓錐曲線常規(guī)解答題解析版docx等2份學(xué)案配套教學(xué)資源，其中學(xué)案共50頁， 歡迎下載使用。

專題37 圓錐曲線重點(diǎn)?？碱}型之軌跡方程 -2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義：

這是一份專題37 圓錐曲線重點(diǎn)?？碱}型之軌跡方程 -2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義，文件包含專題37圓錐曲線重點(diǎn)常考題型之軌跡方程原卷版docx、專題37圓錐曲線重點(diǎn)?？碱}型之軌跡方程解析版docx等2份學(xué)案配套教學(xué)資源，其中學(xué)案共29頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

專題35 圓的方程快速基礎(chǔ)能力提升 -2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義

專題35 圓的方程快速基礎(chǔ)能力提升 -2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義
專題27 統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用-2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義

專題27 統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用-2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義
專題24 立體幾何基礎(chǔ)提分小題 -2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義

專題24 立體幾何基礎(chǔ)提分小題 -2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義
專題01 集合-2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義

專題01 集合-2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部