專(zhuān)題38 圓錐曲線常規(guī)解答題 -2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

一、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷
判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線的方程
代入圓錐曲線的方程，消去（也可以消去）得到關(guān)系一個(gè)變量的
一元二次方程，，即，消去后得
（1）當(dāng)時(shí)，即得到一個(gè)一元一次方程，則與相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，
若為雙曲線，則直線與雙曲線的漸近線平行；若為拋物線，則直線與拋物線
的對(duì)稱(chēng)軸平行
（2）當(dāng)時(shí)，，直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；，直線與曲
線相切，即有唯一的公共點(diǎn)（切點(diǎn)）；，直線與曲線
二、圓錐曲線的弦
連接圓錐曲線上兩點(diǎn)的線段稱(chēng)為圓錐曲線的弦
直線，曲線為與的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，坐標(biāo)分別為，則是方程組的兩組解，
方程組消元后化為關(guān)于的一元二次方程（），判別式
，應(yīng)有，所以是方程的根，由根與系數(shù)關(guān)
系（韋達(dá)定理）求出，所以兩點(diǎn)間的距離為
，即弦長(zhǎng)公式，弦長(zhǎng)
公式也可以寫(xiě)成關(guān)于的形式
三、定值問(wèn)題
解析幾何中定值問(wèn)題的證明可運(yùn)用函數(shù)的思想方法來(lái)解決．證明過(guò)程可總結(jié)為“變量—函數(shù)—定值”，具體操作程序如下：
（1）變量----選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞浚?br>（2）函數(shù)----把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù)．
（3）定值----化簡(jiǎn)得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值．
求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：
（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無(wú)關(guān)；
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理過(guò)程中消去變量，從而得到定值．
四、求最值問(wèn)題常用的兩種方法
（1）幾何法：題中給出的條件有明顯的幾何特征，則考慮用幾何圖形性質(zhì)來(lái)解決，這是幾何法．
（2）代數(shù)法：題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求該函數(shù)的最值．求函數(shù)的最值常見(jiàn)的方法有基本不等式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法和三角換元法等，這就是代數(shù)法．
五、求定值、最值等圓錐曲線綜合問(wèn)題的“三重視”
（1）重視定義在解題中的作用（把定義作為解題的著眼點(diǎn)）．
（2）重視曲線的幾何特征特別是平面幾何性質(zhì)與方程的代數(shù)特征在解題中的作用．
（3）重視根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的作用（涉及弦長(zhǎng)、中點(diǎn)要用根與系數(shù)的關(guān)系）．
【典型例題】
例1．（2024·河北衡水·一模）已知橢圓過(guò)和兩點(diǎn).分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓上的點(diǎn)（不在軸上），過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求的范圍.
例2．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知橢圓C：的離心率為，直線恒過(guò)右焦點(diǎn)F，交橢圓于，兩點(diǎn)，且．
(1)求橢圓C的方程；
(2)求的最小值．
例3．（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線C：過(guò)點(diǎn).
(1)求過(guò)點(diǎn)M的拋物線C的切線方程；
(2)若A，B是拋物線C上異于M的兩點(diǎn)記直線MA，MB的斜分別為，且，求點(diǎn)M到直線AB距離的最大值.
例4．（2024·廣西·二模）已知拋物線，過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線交于點(diǎn)P．
(1)證明：P在定直線上；
(2)若F為拋物線C的焦點(diǎn)，證明：．
例5．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知傾斜角為（）的直線l與拋物線C：（）只有1個(gè)公共點(diǎn)A，C的焦點(diǎn)為F，直線AF的傾斜角為．
(1)求證：；
(2)若，直線l與直線交于點(diǎn)P，直線AF與C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，求證：．
例6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知是軸上的動(dòng)點(diǎn)，是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且恰好在軸上，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，求證：點(diǎn)在曲線上．
例7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若橢圓上存在C，D兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)．
(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線l的方程．
例8．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)，且C與雙曲線有相同的焦點(diǎn).
(1)求C的方程；
(2)直線：不過(guò)第四象限，且與C交于A，B兩點(diǎn)，P為C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值，并求的最大值.
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
1．（2024·河南開(kāi)封·二模）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，且．
(1)求的離心率；
(2)射線與交于點(diǎn)，且，求的周長(zhǎng)．
2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求弦中點(diǎn)坐標(biāo).
3．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，拋物線的焦點(diǎn)均在軸上，的中心和的頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)，從，上分別取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：
(1)求和的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若和交于不同的兩點(diǎn)，求的值.
4．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左頂點(diǎn)是，一條漸近線的方程為．
(1)求雙曲線E的離心率；
(2)設(shè)直線與雙曲線E交于點(diǎn)P，Q，求線段PQ的長(zhǎng)．
5．（2024·高二·山東濟(jì)寧·期末）已知拋物線C：上一點(diǎn)M到其焦點(diǎn)的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為2．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若不過(guò)原點(diǎn)O的直線l：與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)m的值．
6．（2024·高三·上海靜安·期末）已知雙曲線：，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
(1)設(shè)直線過(guò)點(diǎn)，斜率為，它與雙曲線交于、兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)；
(2)設(shè)點(diǎn)在雙曲線上，是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．記，求的取值范圍．
7．（2024·高三·天津南開(kāi)·期末）設(shè)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且其左焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
(1)求橢圓的方程；
(2)對(duì)角線互相垂直的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在上，且兩條對(duì)角線均過(guò)的右焦點(diǎn)，求的最小值.
8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知F是拋物線E：的焦點(diǎn)，是拋物線E上一點(diǎn)，與點(diǎn)F不重合，點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P，且．
(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，求的最大值．
9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與交于兩點(diǎn)，且當(dāng)，時(shí)，．
(1)求拋物線的方程；
(2)若，求面積的最小值．
10．（2024·陜西漢中·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求直線的方程．
11．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上的一點(diǎn)，，原點(diǎn)到直線的距離為.
(1)求橢圓的離心率；
(2)平面上點(diǎn)B滿足，過(guò)與平行的直線交于兩點(diǎn)，若，求橢圓的方程.
12．（2024·河南·三模）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn).
(1)求的方程；
(2)若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點(diǎn)，求面積的最小值.
13．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為為的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作與軸不重合的直線，交于兩點(diǎn)，當(dāng)與軸平行時(shí)，.
(1)求的方程；
(2)為的左頂點(diǎn)，直線分別交直線于兩點(diǎn)，求的值.
14．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)，，且點(diǎn)在橢圓上．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且與以為直徑的圓交于兩點(diǎn)，證明：為定值．
15．（2024·河北唐山·二模）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，，
(1)求的方程；
(2)，，是上的三點(diǎn)，若，求點(diǎn)到直線距離的最大值．
16．（2024·陜西西安·二模）如圖，已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為.設(shè)為原點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn).當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，求的值.
17．（2024·江西·二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，，若的周長(zhǎng)為6，面積為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)，試判斷是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．
18．（2024·陜西西安·三模）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且右焦點(diǎn)為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．求直線的方程．
19．（2024·高三·陜西榆林·階段練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，A、B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，的面積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，點(diǎn)，若直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，求證：直線過(guò)定點(diǎn).
20．（2024·高三·黑龍江哈爾濱·開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓E：的離心率為，且過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓E的方程；
(2)若直線m過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)且與直線m平行.設(shè)直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)度.
21．（2024·高二·江西撫州·階段練習(xí)）若橢圓過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與雙曲線有相同的焦點(diǎn)．
(1)求橢圓E的方程；
(2)不過(guò)原點(diǎn)O的直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，求面積的最大值以及此時(shí)直線l的方程．
22．（2024·高三·山西·階段練習(xí)）已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．
(1)求的方程；
(2)已知點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，且直線的斜率之和為，證明：點(diǎn)在一條定拋物線上．
23．（2024·陜西漢中·一模）已知橢圓的焦距為，設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，左右焦點(diǎn)分別為，且是頂角為的等腰三角形.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知是橢圓上的兩點(diǎn)，以橢圓中心為圓心的圓的半徑為，且直線與此圓相切.證明：以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).
24．（2024·陜西漢中·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線:與拋物線交于兩點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求拋物線的方程;
(2)求證:直線恒過(guò)定點(diǎn).
25．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，點(diǎn)，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，直線為拋物線的準(zhǔn)線，點(diǎn)到直線的距離為，的最小值為5．
(1)求拋物線的方程；
(2)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，當(dāng)直線，的斜率存在，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出；若不存在，說(shuō)明理由．
26．（2024·高二·北京東城·期中）已知拋物線（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且.
(1)求拋物線的方程；
(2)不過(guò)原點(diǎn)的直線：與拋物線交于不同兩點(diǎn)，，若，求的值.
27．（2024·北京·三模）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓的方程及其離心率；
(2)若為橢圓上第一象限的點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，且有，求點(diǎn)的坐標(biāo).
28．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)若直線和橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的取值范圍．
29．（2024·高三·河南·階段練習(xí)）設(shè)為拋物線準(zhǔn)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B．
(1)證明：直線過(guò)定點(diǎn)；
(2)當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，直線交的準(zhǔn)線于，設(shè)為線段的中點(diǎn)，求面積的最小值．
30．（2024·陜西銅川·二模）已知橢圓的離心率為，直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且與橢圓交于點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(2)設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，求的內(nèi)切圓的半徑最大時(shí)的值.

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