一、基本概念
斜率與傾斜角
我們把直線中的系數(shù)（）叫做這條直線的斜率，垂直于軸的直線，其斜率不存在．軸正方向與直線向上的方向所成的角叫這條直線的傾斜角．傾斜角，規(guī)定與軸平行或重合的直線的傾斜角為0，傾斜角不是的直線的傾斜角的正切值叫該直線的斜率，常用表示，即．
當(dāng)時(shí)，直線平行于軸或與軸重合；
當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨的增大而增大；
當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角隨的增大而減?。?br>二、基本公式
1、兩點(diǎn)間的距離公式
2、的直線斜率公式
3、直線方程的幾種形式
（1）點(diǎn)斜式：直線的斜率存在且過，
注：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)不存在時(shí)，
（2）斜截式：直線的斜率存在且過，
（3）兩點(diǎn)式：，不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線．
注：可表示經(jīng)過兩點(diǎn)的所有直線
（4）截距式：不能表示垂直于坐標(biāo)軸及過原點(diǎn)的直線．
（5）一般式：，能表示平面上任何一條直線（其中，向量是這條直線的一個(gè)法向量）
三、兩直線平行與垂直的判定
兩條直線平行與垂直的判定．
四、三種距離
1、兩點(diǎn)間的距離
平面上兩點(diǎn)的距離公式為．
特別地，原點(diǎn)O（0，．0）與任一點(diǎn)P（x，y）的距離
2、點(diǎn)到直線的距離
點(diǎn)到直線的距離
特別地，若直線為l：x=m，則點(diǎn)到l的距離；若直線為l：y=n，則點(diǎn)到l的距離
3、兩條平行線間的距離
已知是兩條平行線，求間距離的方法：
（1）轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點(diǎn)到另一條直線的距離．
（2）設(shè)，則與之間的距離
注：兩平行直線方程中，x，y前面對(duì)應(yīng)系數(shù)要相等．
【典型例題】
例1．（2024·高二·湖南衡陽·期末）已知直線的傾斜角滿足，則的斜率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2024·安徽合肥·三模）已知直線的一個(gè)方向向量為，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
例3．（2024·高三·山東青島·期末）對(duì)于直線，下列選項(xiàng)正確的為（ ）
A．直線傾斜角為
B．直線在軸上的截距為
C．直線的一個(gè)方向向量為
D．直線經(jīng)過第二象限
例4．（2024·高二·浙江麗水·期末）直線的傾斜角的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例5．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)，若直線與線段有交點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
例6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）平行直線與之間的距離為（ ）
A．B．C．D．
例7．（2024·高二·四川瀘州·階段練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍 （ ）
A．B．
C．D．
例8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若正方形一邊對(duì)角線所在直線的斜率為，則兩條鄰邊所在直線斜率分別為 ， .
例9．（2024·陜西西安·二模）已知直線過點(diǎn)和點(diǎn)，直線：，若，則 .
例10．（2024·高三·浙江·階段練習(xí)）直線與直線所成夾角大小為 ．
例11．（2024·高三·重慶九龍坡·階段練習(xí)）已知直線恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
例12．（2024·高三·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）在數(shù)學(xué)史上，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線. 在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積等于1，化簡(jiǎn)得曲線. 則的最大值為 .
例13．（2024·高二·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）過直線與直線的交點(diǎn)，且到點(diǎn)的距離為1的直線l的方程為 ．
例14．（2024·高二·江西新余·開學(xué)考試）若點(diǎn)到直線的距離為3，則 .
例15．（2024·高二·山東·階段練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形中，，點(diǎn)是邊上異于的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)發(fā)射后又回到原點(diǎn)，若光線經(jīng)過的重心，則 長(zhǎng)為 .

例16．（2024·高二·全國(guó)·單元測(cè)試）直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線方程是 ．
例17．（2024·高二·上海浦東新·階段練習(xí)）當(dāng)點(diǎn)到直線距離最大時(shí)，值為 ．
例18．（2024·高二·江西南昌·階段練習(xí)）過點(diǎn)P(3，0)有一條直線l，它夾在兩條直線l1：2x－y－2＝0與l2：x＋y＋3＝0之間的線段恰被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為 ．
例19．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對(duì)稱直線為，則直線的方程為 ．
【過關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2024·高二·福建漳州·期末）已知直線，若直線與垂直，則的傾斜角是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）“直線的傾斜角為銳角”是“直線的斜率不小于”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知直線的傾斜角為，則的值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·高三·山東聊城·期末）直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·高三·廣東深圳·期末）雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則離心率為（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·高二·安徽阜陽·階段練習(xí)）圖中的直線的斜率分別為，則（ ）

A．B．
C．D．
7．（2024·高二·四川遂寧·期末）直線的傾斜角的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2024·高二·河北邯鄲·階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·高二·山東臨沂·期末）設(shè)直線的方程為，則的傾斜角的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·高三·河南周口·階段練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．“直線與直線互相平行”是“”的充分不必要條件
B．直線的傾斜角的取值范圍是
C．過點(diǎn)的直線分別與軸，軸的正半軸交于兩點(diǎn)，若取最小值時(shí)，直線的方程為
D．已知，若直線與線段有公共點(diǎn)，則
11．（2024·高三·上海浦東新·期中）“”是“直線與直線平行”的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分又非必要條件
12．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·一模）已知直線：的傾斜角為，則（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·高二·河北邢臺(tái)·期末）已知經(jīng)過點(diǎn)的直線的一個(gè)方向向量為，則的方程為（ ）
A．B．
C．D．
14．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
15．（2024·高二·福建南平·階段練習(xí)）兩直線與平行，則它們之間的距離為（ ）
A．4B．C．D．
二、多選題
16．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列說法是錯(cuò)誤的為（ ）
A．直線的傾斜角越大，其斜率就越大
B．直線的斜率為tan α，則其傾斜角為α
C．斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等
D．經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線都可以用方程表示．
17．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，斜率為k的直線l過點(diǎn)，則下列斜率k的取值范圍能使直線l與線段相交的有（ ）
A．B．C．D．
18．（2024·高二·江蘇·專題練習(xí)）已知直線：和直線：，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．存在實(shí)數(shù)k，使得直線的傾斜角為
B．對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線與直線都有公共點(diǎn)
C．對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線與直線都不重合
D．對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線與直線都不垂直
三、填空題
19．（2024·安徽滁州·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，那么點(diǎn)坐標(biāo)為 ，若直線的傾斜角為，則其斜率為 ．
20．（2024·高二·四川遂寧·階段練習(xí)）已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，直線相交于點(diǎn)M，且直線的斜率與直線的斜率的商是2，點(diǎn)M的軌跡是
21．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，等邊三角形的邊所在直線斜率為，則邊所在直線斜率的一個(gè)可能值為 .
22．（2024·高三·上海浦東新·期末）直線與直線所成夾角的余弦值等于
23．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點(diǎn)在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為 ．
24．（2024·高二·上海長(zhǎng)寧·期末）直線和直線的夾角的大小為 .
25．（2024·高三·上?！るA段練習(xí)）直線與直線平行，則 ．
26．（2024·天津河?xùn)|·一模）已知過點(diǎn)的直線（不過原點(diǎn)）與圓相切，且在軸、軸上的截距相等，則的值為 .
27．（2024·高三·河北衡水·階段練習(xí)）已知斜率均為負(fù)的直線與直線平行，則兩條直線之間的距離為 ．
28．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）點(diǎn)到的距離是，則 ．
29．（2024·高三·全國(guó)·對(duì)口高考）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
30．（2024·高三·河北廊坊·階段練習(xí)）與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程為 .
31．（2024·高二·江西南昌·階段練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是
32．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A（－1，－2），則直線l關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的直線的方程為 .
33．（2024·高一·河北滄州·階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)和，在直線：上找一點(diǎn)，使取到最小值，則這個(gè)最小值為
34．（2024·高二·新疆·期末）已知不過原點(diǎn)的直線與直線平行，且直線與的距離為，則直線的一般式方程為 ．
35．（2024·高一·甘肅武威·階段練習(xí)）直線與直線的距離為，則實(shí)數(shù)a的值為 ．
四、解答題
36．（2024·高二·河南·階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過直線的交點(diǎn)．
(1)若直線經(jīng)過點(diǎn)，求直線的方程;
(2)若直線與直線垂直，求直線的方程．
兩直線方程
平行
垂直
（斜率存在）
（斜率不存在）
或
或中有一個(gè)為0，另一個(gè)不存在．

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