一．求圓的方程
1．圓的定義：在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓．
2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1) 若圓的圓心為C(a,b),半徑為r，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．
(2) 方程表示圓心為C(a,b),半徑為r的圓．
3．圓的一般方程
(1)任意一個(gè)圓的方程都可化為：.這個(gè)方程就叫做圓的一般方程．
(2) 對(duì)方程：.
①若，則方程表示以，為圓心,為半徑的圓；
②若，則方程只表示一個(gè)點(diǎn)，；
③若，則方程不表示任何圖形．
4.點(diǎn)與⊙C的位置關(guān)系
(1)|AC|r?點(diǎn)A在圓外?.
二．圓與圓的位置關(guān)系
設(shè)兩圓的圓心分別為、，圓心距為，半徑分別為、().
(1)兩圓相離：無(wú)公共點(diǎn)；，方程組無(wú)解.
(2)兩圓外切：有一個(gè)公共點(diǎn)；，方程組有一組不同的解.
(3)兩圓相交：有兩個(gè)公共點(diǎn)；，方程組有兩組不同的解.
(4)兩圓內(nèi)切：有一公共點(diǎn)；，方程組有一組不同的解.
(5)兩圓內(nèi)含：無(wú)公共點(diǎn)；，方程組無(wú)解.特別地，時(shí)，為兩個(gè)同心圓.
三．直線與圓位置關(guān)系（或交點(diǎn)個(gè)數(shù)）的解題思路
把圓化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心和半徑r
利用點(diǎn)到直線到距離公式求圓心到直線的距離
d與r比較大小
四．直線與圓弦長(zhǎng)解題思路---垂定定理
（1）把圓化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心和半徑r
（2）利用點(diǎn)到直線到距離公式求圓心到直線的距離
（3）利用弦長(zhǎng)公式
五．圓上的點(diǎn)到直接距離最值的解題思路
（1）把圓化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心和半徑r
（2）利用點(diǎn)到直線到距離公式求圓心到直線的距離
（3）判斷位置關(guān)系
考向分析
考向一 圓的方程
【例1】（1）（2021·浙江杭州市·學(xué)軍中學(xué)）圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別是（ ）
A．(-1，0)，3B．(1，0)，3
C．D．
(2)（2021·河南洛陽(yáng)市）已知圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，，三點(diǎn)，則圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】（1）D(2）D
【解析】（1）根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，的圓心坐標(biāo)為，半徑為，故選：D.
（2）設(shè)圓的方程為，
把點(diǎn)，，代入得
， 解得，，，
所以圓的方程是．故選：D．
【舉一反三】
1．（2020·河北區(qū)）圓的圓心和半徑分別是（ ）
A．；1B．；
C．；1D．；
【答案】D
【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：，
所以圓的圓心和半徑分別是；.故選：D
2．（2021·河南周口市）圓的半徑和圓心坐標(biāo)分別為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】 半徑和圓心坐標(biāo)分別為,選D
3．（2021·全國(guó)課時(shí)練習(xí)）若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圓，則λ的取值范圍是（ ）
A．(1，＋∞)B．
C．(1，＋∞)∪D．R
【答案】A
【解析】因?yàn)榉匠蘹2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圓，所以D2＋E2―4F＞0，
即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范圍是(1，＋∞)．故選：A.
4．（2021·內(nèi)蒙古包頭市）頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．則外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，，
所以 解得 則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
故答案為：
考向二 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
【例2】（1）（2020·福建廈門(mén)市·大同中學(xué)）點(diǎn)與圓的的位置關(guān)系是（ ）
A．在圓外B．在圓內(nèi)C．在圓上D．不確定
（2）（2020·黑龍江哈爾濱市）已知圓，則圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）A（2）D
【解析】（1），因此，點(diǎn)在圓外.故選：A.
（2）由得：，圓心，半徑，
圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，
圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為.故選：D.
【舉一反三】
1．（2020·山東省濟(jì)南回民中學(xué)）若圓的方程是，則點(diǎn)（ ）
A．是圓心B．在圓上C．在圓內(nèi)D．在圓外
【答案】C
【解析】圓心，半徑，圓心到點(diǎn)距離，故點(diǎn)在圓內(nèi)，故選：C.
2．（2020·江蘇省蘇州中學(xué)園區(qū)校）點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由于，所以在圓外，
圓的圓心為，半徑，則的最大值為.
故選：C
3．（2021·四川宜賓市）若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________.
【答案】
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以，即，解得
故答案為：
考向三 直線與圓的位置關(guān)系
【例3】（1）（2021·天津高三月考）已知直線與圓相切，則正實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)__________.
（2）2021·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高三一模（文））直線：與圓：交于、兩點(diǎn)，則______.
【答案】（1）（2）
【解析】（1），，
圓心為，，直線與圓相切可得，
解得或，所以正實(shí)數(shù)k的值為故答案為：
（2）圓心到直線的距離為，故，故答案為：.
【舉一反三】
1．（2021·黑龍江哈爾濱市）若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意，易知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即
曲線表示圓心，半徑為1的圓，
圓心到直線的距離應(yīng)小于等于半徑，
，即，解得.故選：C.
2．（2020·林芝市第二高級(jí)中學(xué)）直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則的長(zhǎng)度等于__________.
【答案】
【解析】圓心，半徑為，
圓心到直線的距離為，
.故答案為：.
3．（2020·寧夏吳忠市·高三其他模擬（文））若直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)________.
【答案】或
【解析】直線與圓相交于兩點(diǎn)，
且，
圓心到直線的距離為：，
即，解得或.
故答案為：或
考向四 圓與圓的位置關(guān)系
【例4】（2021·沙坪壩區(qū)·重慶八中）圓與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．外切C．相交D．內(nèi)切
【答案】D
【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，
，因此，兩圓內(nèi)切.故選：D.
【舉一反三】
1．（2021·云南省大姚縣第一中學(xué)）圓與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相離C．內(nèi)含D．內(nèi)切
【答案】D
【解析】圓即，則圓心為 ，半徑為1
圓即，則圓心為 ，半徑為3
兩圓心間的距離，所以兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)切，故選：D．
2．（2021·重慶）已知圓和圓，那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．外切C．相交D．內(nèi)切
【答案】C
【解析】由已知的，
所以，，
所以，故兩圓相交.故選：C.
3．（2021·河南洛陽(yáng)市）已知圓，圓，兩圓公切線的條數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】圓，圓心，半徑，
圓，圓心，半徑，
圓心距，，所以兩圓相外切，公切線條數(shù)是3條.
故選：C
4．（2021·四川涼山彝族自治州）已知圓和圓，若圓和有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意可知，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，
所以，，由于兩圓有公共點(diǎn)，則，即，解得.
故選：C.
強(qiáng)化練習(xí)
1．（2020·江蘇）若直線與曲線有公共點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由可得，表示圓心 的半圓，
當(dāng)經(jīng)過(guò)時(shí)，此時(shí)；
當(dāng)與此半圓相切時(shí)，，
作出半圓與直線的圖象如下，
由圖象可知，要使直線與曲線有公共點(diǎn)，則.故選：B
2．（2021·四川省大竹中學(xué)）圓的圓心和半徑分別是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得：
圓的圓心和半徑分別是故選: A.
3．（2021·浙江）將圓平分的直線是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為圓心為，因?yàn)樵谥本€，故選：A
4．（2021·全國(guó)課時(shí)練習(xí)）兩個(gè)點(diǎn)、與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓外 B．點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓內(nèi)
C．點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓內(nèi) D．點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外
【答案】D
【解析】將代入方程左邊得，
則點(diǎn)在圓內(nèi)，將代入方程左邊得，
則點(diǎn)在圓外，故選：D.
5．（2021·安徽蕪湖市）若直線經(jīng)過(guò)圓的圓心，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，
由題意可得，解得.故選：C.
6．（2020·江蘇）若直線與圓相交，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．在圓外B．在圓上C．在圓內(nèi)D．不能確定
【答案】A
【解析】因?yàn)橹本€與圓相交，故，
故，故點(diǎn)在圓的外部，故選：A.
7．（2020·綏化市第一中學(xué)）直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】B
【解析】曲線的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，半徑為的右半圓，
作出曲線的圖像，由圖可知與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
即為直線與半圓相交于一個(gè)點(diǎn)或與半圓相切兩種情況，
當(dāng)相交于一個(gè)交點(diǎn)時(shí)可得；直線與半圓相切時(shí)可得.
故選：B.
8．（2021·北京豐臺(tái)區(qū)·高三一模）若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則的值為（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【解析】圓的方程可化為，
可得圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
因?yàn)橹本€是圓的一條對(duì)稱軸，
所以，圓心在直線上，
可得，即的值為，
故選：B．
9．（2021·浙江）直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相切C．相離D．與a的大小有關(guān)
【答案】A
【解析】直線l：，即恒過(guò)，而，故點(diǎn)在圓內(nèi)，
故直線與圓必然相交．故選：A．
10．（2021·云南玉溪市）已知直線l：x+2y-3=0與圓交于A?B兩點(diǎn)，求線段AB的中垂線方程（ ）
A．2x-y-2=0B．2x-y-4=0
C．D．
【答案】B
【解析】線段的中垂線與直線垂直，所以設(shè)為，并且過(guò)圓心，
所以，即，所以.故選：B
11．（2021·云南省云天化中學(xué)）直線是圓的一條對(duì)稱軸，則（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】B
【解析】由，得，則圓心坐標(biāo)為，
又直線是圓的一條對(duì)稱軸，
由圓的對(duì)稱性可知，該圓的圓心在直線上，則，故選：B．
12．（2021·福建三明市）圓上動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵圓，∴圓心，半徑，
∴圓心到直線的距離，
∴圓上的點(diǎn)到
直線的距離最小值為，故選：A.
13．（2021·湖北高三月考）圓：與圓：的公切線條數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】依題意，圓的圓心，半徑R1=3, 圓的圓心，半徑R2=4,，故圓與相交，有2條公切線.故選:B.
14．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）若圓與圓外切，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】圓的圓心半徑
圓，則，則，所以
所以圓的圓心，半徑為，
兩圓外切，則，所以．
故選：C
15．（2021·山東聊城市）已知圓與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】圓的圓心為，圓的圓心為，半徑
圓心距
因?yàn)閮蓤A沒(méi)有公共點(diǎn)，所以兩圓的位置關(guān)系為外離或者內(nèi)含
則或，即或
解得或故選：C
16．（2021·山東棗莊市）已知：與：，則兩圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．相離C．外切D．內(nèi)切
【答案】A
【解析】，
故，兩圓半徑之和為3，半徑之差的絕對(duì)值為1，
而，故兩圓的位置關(guān)系是相交，故選：A.
17．（2021·內(nèi)蒙古高三月考（文））已知的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)，且被直線截得的弦長(zhǎng)為，則的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由題意，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則圓心到直線的距離為，
又由圓被直線截得的弦長(zhǎng)為，
可得，化簡(jiǎn)得，解得，
即圓的方程為.
故選：D.
18．（2021·安徽省泗縣第一中學(xué)）直線被圓截得的弦長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】圓的圓心到直線的距離為：．即圓心過(guò)直線直線被圓截得的弦長(zhǎng)等于圓的直徑：．故選：．
19．（2021·遼寧高三）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，
圓心到直線的距離為，，
由于為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最大值為，
因此，面積的最大值.故選：A.
20．（多選）（2021·福建漳州市）已知圓和圓交于P，Q兩點(diǎn)，則（ ）
A．兩圓有兩條公切線 B．垂直平分線段
C．直線的方程為 D．線段的長(zhǎng)為
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A：因?yàn)閳A和圓交于P，Q兩點(diǎn)，所以兩圓有兩條公切線，故正確；
對(duì)于B：數(shù)形結(jié)合可知垂直線段但不平分線段，故錯(cuò)誤；
對(duì)于C：圓和圓的方程相減得：，所以直線的方程為，故正確；
對(duì)于D:圓心到直線的距離為：，所以線段的長(zhǎng)為，故正確；
故選：ACD.
21．（多選）（2021·山東濟(jì)南市）已知圓和圓的公共點(diǎn)為，，則（ ）
A．B．直線的方程是
C．D．
【答案】ABD
【解析】圓的圓心是，半徑，圓，圓心，，
，故A正確；
兩圓相減就是直線的方程，兩圓相減得，故B正確；
，，，，所以不正確，故C不正確；
圓心到直線的距離，，故D正確.
故選：ABD
22．（2021·河南焦作市）已知方程表示的曲線是一個(gè)圓，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】方程可化為，所以，解得.
故答案為：.
23．（2021·湖北）若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】由題意得，，即，
解得或.
故答案為：
24．（2021·廣東肇慶市）在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓的方程為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】設(shè)圓的方程為，
因?yàn)閳A過(guò)三點(diǎn)，
所以得
所以圓的方程為.
故答案為：
25．（2021·全國(guó)）若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦長(zhǎng)為，則a＝________.
【答案】1
【解析】將兩圓的方程相減，得相交弦所在的直線方程為.
圓的圓心為，半徑為.
到直線的距離為：
，解得.
故答案為：
26（2021·全國(guó)課時(shí)練習(xí)）已知兩圓x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝10相交于A，B兩點(diǎn)，則直線AB的方程是________．
【答案】x＋3y－5＝0
【解析】?jī)蓚€(gè)圓方程可化為，，
兩式相減得，即.
故答案為：
27．（2020·湖北）直線與圓交于、兩點(diǎn)，則的面積是_________．
【答案】
【解析】圓，到直線的距離，
∴，
∴
故答案為：.

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（藝術(shù)生高考）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)版）考點(diǎn)04 復(fù)數(shù)（2份，原卷版+解析版）
（藝術(shù)生高考）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)版）考點(diǎn)03 集合（2份，原卷版+解析版）

（藝術(shù)生高考）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)版）考點(diǎn)03 集合（2份，原卷版+解析版）
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