求動點的軌跡方程
一、直譯法
如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系且這些幾何簡單明了且易于表達，那么只需把這些關(guān)系“翻譯”成含的等式，就可得到曲線的軌跡方程，由于這種求軌跡方程的過程不需要其他步驟，也不需要特殊的技巧，所以被稱為直譯法。
二、定義法
若動點的軌跡符合某一已知曲線（圓，橢圓，雙曲線，拋物線）的定義，則
可根據(jù)定義直接求出方程中的待定系數(shù)，故稱待定系數(shù)法。
三、相關(guān)點法（代入法）
有些問題中，所求軌跡上點的幾何條件是與另一個已知方程的曲線上點相關(guān)聯(lián)的，這時要通過建立這兩點之間關(guān)系，并用表示，再將代入已知曲線方程，即得關(guān)系式。
【典型例題】
例1．（2024·山東泰安·一模）在平面內(nèi)，是兩個定點，是動點，若，則點的軌跡為（ ）
A．橢圓B．拋物線C．直線D．圓
例2．（2024·高二·四川涼山·期末）已知點，，動點滿足條件，則動點的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2024·高二·江蘇常州·期中）若動點滿足方程，則動點的軌跡方程為（ ）
A．B．C．D．
例4．（2024·高二·甘肅臨夏·期中）已知圓，直線l過點.線段的端點B在圓上運動，則線段的中點M的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
例5．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，一動圓與軸切于點，分別過點作圓的切線并交于點(點不在軸上)，則點的軌跡方程為（ ）
A．
B．
C．或
D．
例6．（2024·廣西梧州·模擬預(yù)測）若圓與圓關(guān)于直線對稱，過點的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
例7．（2024·高二·全國·課時練習(xí)）等腰三角形ABC中，若底邊的兩個頂點的坐標分別為，則第三個頂點C的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
例8．（2024·高二·上海浦東新·期末）當點在橢圓上運動時，連接點與定點，則的中點的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
例9．（2024·高二·廣東深圳·期末）已知點，，動點滿足，則點的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
例10．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）過點且與直線相切的動圓圓心的軌跡方程為 ．
例11．（2024·高三·全國·專題練習(xí)） 已知，是圓上一動點，線段的垂直平分線交于點，則動點的軌跡方程為 .
例12．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）若，，點P到，的距離之和為10，則點P的軌跡方程是
例13．（2024·高三·廣東東莞·階段練習(xí)）已知圓，圓，動圓與圓外切并與圓內(nèi)切，則圓心的軌跡方程為
例14．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知點與點，是動點，且直線與的斜率之積等于求動點的軌跡方程;
例15．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知圓，直線過點且與圓交于點B，C，線段的中點為D，過的中點E且平行于的直線交于點P．求動點P的軌跡方程.
例16．（2024·高二·全國·課堂例題）已知，動點P滿足，求動點P的軌跡方程．
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2024·高三·江西·開學(xué)考試）已知面積為的正方形的頂點、分別在軸和軸上滑動，為坐標原點，，則動點的軌跡方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·高二·黑龍江哈爾濱·期末）已知點是橢圓上的動點，于點，若，則點的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·高三·江西南昌·階段練習(xí)）一動圓與圓外切，與圓內(nèi)切，則動圓圓心點的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題
4．（2024·高三·山東煙臺·階段練習(xí)）已知定點B（3,0），點A在圓x2＋y2＝1上運動，∠AOB的平分線交線段AB于點M，則點M的軌跡方程是 ．
5．（2024·高三·北京房山·期末）已知平面直角坐標系中，動點到的距離比到軸的距離大2，則的軌跡方程是 .
6．（2024·高三·廣東揭陽·期中）設(shè)，兩點的坐標分別為，，直線、相交于點，且它們的斜率之積是，則點的軌跡方程是 .
7．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）直線l與橢圓交于A，B兩點，已知直線的斜率為1，則弦AB中點的軌跡方程是 ．
8．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知平面直角坐標系中有兩點，且曲線上的任意一點P都滿足．則曲線的軌跡方程為 .
9．（2024·高二·上海青浦·期中）已知定點和曲線上的動點，則線段的中點的軌跡方程為 ．
10．（2024·高三·全國·課時練習(xí)）已知點F（1，0），直線，若動點P到點F和到直線l的距離相等，則點P的軌跡方程是 .
11．（2024·高二·四川綿陽·期中）在平面坐標系中，動點P和點滿足，則動點的軌跡方程為 ．
12．（2024·高二·河南信陽·期末）圓與的位置關(guān)系為 ；與圓，都內(nèi)切的動圓圓心的軌跡方程為 ．
13．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知圓，圓，圓與圓、圓外切，則圓心的軌跡方程為 ．
三、解答題
14．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知圓：，點M為圓上任意一點，，的中垂線交于點E．求點E的軌跡方程．
15．（2024·高二·上?！ふn后作業(yè)）已知點、是距離為4的兩個定點，動點滿足，建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，并求動點的軌跡方程．
16．（2024·高一·福建莆田·階段練習(xí)）已知圓，O為坐標原點，動點P在圓C外，過P作圓C的切線，設(shè)切點為M.
(1)若點P運動到處，求此時切線l的方程；
(2)求滿足條件的點P的軌跡方程．
17．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)O為坐標原點，動點M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.求點P的軌跡方程；
18．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）在直角坐標系中，線段，且兩個端點、分別在軸和軸上滑動．求線段的中點的軌跡方程；
19．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，求圓心的軌跡方程
20．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知點，過點且與y軸垂直的直線為，軸，交于點N，直線l垂直平分FN，交于點M. 求點M的軌跡方程；
21．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知為坐標原點，定點，是圓內(nèi)一動點，圓與以線段為直徑的圓內(nèi)切．求動點的軌跡方程.
22．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知是圓內(nèi)的一點是圓上兩動點，且滿足，求矩形頂點Q的軌跡方程．
23．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）雙曲線有動點，是曲線的兩個焦點，求的重心的軌跡方程.
24．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知點P，Q是圓上的兩個動點，若直線OP與OQ的斜率都存在且滿足．當時，求PQ的中點M的軌跡方程；
25．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）在中，的對邊分別為（其中為定值），以所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立直角坐標系（如圖），請你給出適當?shù)臈l件，求出頂點的軌跡方程．

26．（2024·高二·上?！ふn時練習(xí)）若點與點的距離比它到直線的距離小2，求點的軌跡方程．
27．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知分別是雙曲線的左、右焦點，為雙曲線右支上除右頂點之外的一點．若該雙曲線與橢圓有共同的焦點且過點，求內(nèi)切圓圓心的軌跡方程．

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