知識點一：極值與最值
1、函數(shù)的極值
函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，記作．如果對附近的所有點都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點．
求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟
（1）先確定函數(shù)的定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù)；
（3）求方程的根；
（4）檢驗在方程的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值.
注①可導(dǎo)函數(shù)在點處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號零點，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號導(dǎo)號.
②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點.另外，極值點也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點；但為的極值點.
2、函數(shù)的最值
函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點之間的最小者．
導(dǎo)函數(shù)為
（1）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．
（2）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．
一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進行：
（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；
（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．
注①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；
②函數(shù)的極值點必是開區(qū)間的點，不能是區(qū)間的端點；
③函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得.
【方法技巧與總結(jié)】
（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值域為，則
不等式在區(qū)間D上恒成立．
不等式在區(qū)間D上恒成立．
（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲担缰涤驗?，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解
不等式在區(qū)間D上有解
（5）對于任意的，總存在，使得；
（6）對于任意的，總存在，使得；
（7）若存在，對于任意的，使得；
（8）若存在，對于任意的，使得；
（9）對于任意的，使得；
（10）對于任意的，使得；
（11）若存在，總存在，使得
（12）若存在，總存在，使得．
【典例例題】
例1．（2024·江蘇南通·二模）若函數(shù)有大于零的極值點，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函數(shù)，
可得，
若，此時單調(diào)遞增，無極值點，
故，令，解得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故是的極值點
由于函數(shù)有大于零的極值點，
，解得．
故選：C．
例2．（2024·高三·陜西·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（ ）
A．有2個極值點B．在處取得極小值
C．有極大值，沒有極小值D．在上單調(diào)遞減
【答案】C
【解析】由題意及圖得，當(dāng)時，；當(dāng)時 ，；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則有一個極大值，沒有極小值，故ABD錯誤，C正確，
故選：C.
例3．（2024·高三·江西·開學(xué)考試）已知函數(shù)沒有極值點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，是開口向上的二次函數(shù)，
因為函數(shù)沒有極值點，則，
所以，解得，
所以的取值范圍是.
故選：B.
例4．（2024·高二·湖北黃岡·期末）已知函數(shù)在處有極小值，則常數(shù)的值為 （ ）
A．1B．2或6C．2D．6
【答案】C
【解析】，
由題意得，即，解得或6，
當(dāng)時，，
當(dāng)或時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
故函數(shù)在處有極小值，滿足要求，
當(dāng)時，，
當(dāng)或時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
故函數(shù)在處有極大值，不合要求，
故常數(shù)的值為2.
故選：C
例5．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1，則實數(shù)a的值為（ ）
A．-2B．2C．-1D．1
【答案】D
【解析】由題意可知：，
所以當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，
所以.
故選：D.
例6．（2024·江西上饒·一模）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的導(dǎo)函數(shù)為B．在上單調(diào)遞減
C．的最小值為D．的圖象在處的切線方程為
【答案】C
【解析】A：，因此本選項不正確；
B：由上可知：，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，因此本選項不正確；
C：由上可知：，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，因此本選項正確；
D：由上可知，因為，
所以的圖象在處的切線方程為，因此本選項不正確，
故選：C
例7．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)e為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)在處取得極值，則實數(shù)a的值為 ．
【答案】
【解析】因為，所以．所以．所以．
又當(dāng)時，，
令，得，令，得，符合函數(shù)在處取得極值
故答案為：.
例8．（2024·高三·河北·期末）已知函數(shù)的最小值為0，則 .
【答案】
【解析】因為，所以.
若，則在上單調(diào)遞減，無最小值.
若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得.
故答案為：
例9．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知奇函數(shù)在處取得極大值2.
(1)求的解析式；
(2)求在上的最值.
【解析】（1）易知函數(shù)的定義域為，
因為是奇函數(shù)，所以，則.
由，得.
因為在上取得極大值2，
所以解得
經(jīng)經(jīng)檢驗當(dāng)時，在處取得極大值2，
故.
（2）由（1）可知，，
當(dāng)時，單調(diào)遞增；
當(dāng)和時，單調(diào)遞減；
即函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值；
又因為，
所以在上的最大值為52，最小值為.
例10．（2024·高三·山東德州·期中）記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，已知，．
(1)求實數(shù)的值；
(2)求函數(shù)在上的值域．
【解析】（1）
因為，所以，解得
（2）由（1）可知
由，解得或；由，解得
所以函數(shù)在，單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減
又，，，．
所以，，
所以函數(shù)在上的值域為．
例11．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，．討論函數(shù)的最值；
【解析】由函數(shù)，可得其定義域為，且，
當(dāng)時，可得，在上單調(diào)遞增，無最值；
當(dāng)時，令，可得，所以在上單調(diào)遞減；
令，可得，所以在單調(diào)遞增，
所以的最小值為，無最大值．
綜上可得：
當(dāng)時，無最值；當(dāng)時，的最小值為，無最大值．
例12．（2024·高三·天津·期中）已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間與極值；
(2)求在區(qū)間上的最大值與最小值.
【解析】（1）由題設(shè)，令，得或，
當(dāng)時，即，解得或，單調(diào)遞增區(qū)間為和.
當(dāng)時，即，解得，單調(diào)遞減區(qū)間為.
函數(shù)的極大值為，極小值為.
（2）由，，，則
且在區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大值為54，最小值為.
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，有大于零的極值點，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由題意有正根，即方程有正根，
而當(dāng)時，，所以的取值范圍為.
故選：D.
2．（2024·高三·河南焦作·期末）已知函數(shù)有兩個極值點p，q，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依題意，，則，
因為，所以，
顯然，，兩式相除得，則，
代入中，解得，則．
故選：D
3．（2024·廣西·模擬預(yù)測）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使為函數(shù)的極大值點，則：
當(dāng)時，函數(shù)大致圖象如圖（1）所示，則，此時；
當(dāng)時，函數(shù)大致圖象如圖（2）所示，則，此時.
綜上：.
故選：C.
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，，則（ ）
A．的極大值為，無極小值
B．的極小值為，無極大值
C．的極大值為，無極小值
D．的極小值為，無極大值
【答案】C
【解析】的定義域為，，
所以，
求導(dǎo)得，令，得，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，取得極大值，無極小值．
故選：C．
5．（2024·高三·黑龍江齊齊哈爾·期末）若為函數(shù)的極值點，則函數(shù)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
因為是函數(shù)的極值點，
所以，則，
所以，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以．
故選：C
二、多選題
6．（2024·高二·江蘇連云港·期末）已知函數(shù)的定義域為R且導(dǎo)函數(shù)為，如圖是函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)的減區(qū)間是，
B．函數(shù)的減區(qū)間是，
C．是函數(shù)的極小值點
D．是函數(shù)的極小值點
【答案】BC
【解析】觀察圖象，由，得或，顯然當(dāng)時，，當(dāng)，，
由，得或，顯然當(dāng)時，，當(dāng)時，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，A錯誤，B正確；
函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值，C正確，D錯誤.
故選：BC
7．（2024·高三·云南楚雄·階段練習(xí)）已知定義域為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且的圖象如圖所示，則（ ）

A．在上單調(diào)遞減B．有極小值
C．有2個極值點D．在處取得最大值
【答案】AB
【解析】由的圖象可知或時，，則單調(diào)遞減，故A正確；
又或時，，則單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，有極小值，故B正確；
由的圖象結(jié)合單調(diào)性可知，2，4時，有極值，所以有3個極值點，故C錯誤；
當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，
所以，在處不能取得最大值，故D錯誤．
故選：AB．
8．（2024·高二·江蘇常州·期末）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（ ）
A．是函數(shù)的極值點B．3是函數(shù)的極大值點
C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．1是函數(shù)的極小值點
【答案】AC
【解析】對于A項，由圖象可知，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減.
所以，在處取得極大值.故A正確；
對于B項，由圖象可知，
當(dāng)時，恒成立，且不恒為0，所以在上單調(diào)遞減.
所以，3不是函數(shù)的極大值點.故B錯誤；
對于C項，由B可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減.故C正確；
對于D項，由B可知，在上單調(diào)遞減.
所以，1不是函數(shù)的極小值點.故D錯誤.
故選：AC.
三、填空題
9．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)在處有極值8，則等于 ．
【答案】
【解析】
若函數(shù)在處有極值8，則即
解得：或，
當(dāng)時，，此時不是極值點，故舍去；
當(dāng)時，，
當(dāng)或時，，當(dāng)，故是極值點，
故符合題意，
故，
故.
故答案為：.
10．（2024·高三·浙江紹興·期末）已知函數(shù)在上存在極值點，則正整數(shù)的值是
【答案】5
【解析】，
時，或，
因為函數(shù)定義域為，在左端點處無法取到極值，
，而，所以，，經(jīng)檢驗滿足題意，
故答案為：5.
11．（2024·高三·四川·期末）函數(shù)的極大值為 ．
【答案】/
【解析】，當(dāng)時，，當(dāng)時，．
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的極大值為．
故答案為：
12．（2024·高三·陜西西安·期中）等差數(shù)列中的是函數(shù)的極值點，則 .
【答案】
【解析】由函數(shù)，可得，
因為是函數(shù)的極值點，即是方程的兩個根，
可得，又由，所以.
故答案為：.
13．（2024·高三·四川南充·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為 ．
【答案】
【解析】，
則．
令 ， 解得(舍去)，或．
所以
故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
，
又，
所以．
故答案為：
四、解答題
14．（2024·湖南衡陽·二模）已知函數(shù)，當(dāng)時，取得極值．
(1)求的解析式；
(2)求在區(qū)間上的最值．
【解析】（1）依題意可得，
又當(dāng)時，取得極值，所以，即；
解得；
所以；
（2）由（1）可知，
令，可得或，
當(dāng)變化時，的變化情況如下表所示：
因此，在區(qū)間上，的最小值為，最大值為.
15．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù) 在時取得極值.
(1)求實數(shù)；
(2)若，求的單調(diào)區(qū)間和極值.
【解析】（1）因為，所以，
由題意得，
即，解得，經(jīng)檢驗符合題意；
（2）由（1）得，，
則，
由得或，得，
即的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，
所以的極大值為，極小值為
16．（2024·高三·江西·開學(xué)考試）已知函數(shù)（、為實數(shù)）的圖象在點處的切線方程為．
(1)求實數(shù)、的值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．
【解析】（1）因為，該函數(shù)的定義域為，，
因為函數(shù)（、為實數(shù)）的圖象在點處的切線方程為，
則，解得.
（2）由（1）可得，該函數(shù)的定義域為，，
由可得，列表如下：
所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值.
17．（2024·高三·河南·專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)若函數(shù)在處取到極小值，求實數(shù)m的取值范圍．
【解析】（1）由題意，，則，
又，故所求的切線方程為．
（2）由題意，，故．
若，則，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故當(dāng)時，函數(shù)取到極小值；
若，則令，解得或，
要使函數(shù)在處取到極小值，則需，即，
此時當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，滿足條件．
綜上，實數(shù)m的取值范圍為．
18．（2024·高二·江蘇揚州·期末）已知函數(shù)在處取得極小值5．
(1)求實數(shù)a，b的值；
(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最小值．
【解析】（1），
因為在處取極小值5，所以，得，
此時
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
所以在時取極小值，符合題意
所以，．
又，所以．
（2），所以
列表如下：
由于，故時，．
19．（2024·高二·山西大同·期末）已知函數(shù)在時取得極值．
(1)求實數(shù)的值；
(2)若對于任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）易知，
依題意，解得，
此時，
當(dāng)或時，；當(dāng)時，，
即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因此函數(shù)在時取得極值，
所以．
（2）由（1）得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
所以，
由題意可得，解得，
所以的取值范圍為．
20．（2024·高二·安徽滁州·開學(xué)考試）已知函數(shù)在處有極值.
(1)求、的值；
(2)求出的單調(diào)區(qū)間，并求極值.
【解析】（1）因為，該函數(shù)的定義域為，，
則，解得，此時，，
經(jīng)檢驗，，合乎題意.
因此，，.
（2）因為，該函數(shù)的定義域為，，
令，可得，列表如下：
所以，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，
函數(shù)的極小值為，無極大值.
21．（2024·高三·貴州安順·期末）已知函數(shù)
(1)求的單調(diào)增區(qū)間；
(2)方程在有解，求實數(shù)m的范圍.
【解析】（1）的定義域為R，
，
當(dāng)時，；時，；
故單調(diào)增區(qū)間為，；
（2）由（1）知，函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∵，，，，
∴，，
故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，最小值為1，
∴，
∴.
22．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），.
(1)求證：；
(2)當(dāng)時，求證：.
【解析】（1）因為，所以.
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，
所以，所以.
（2）令，則.
由（1）可得，所以，
所以函數(shù)在上是增函數(shù)．
因為，所以，所以．
23．（2024·高二·河南·期中）已知函數(shù)在點處的切線方程為．
(1)求實數(shù)和的值；
(2)求在上的最大值（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）．
【解析】（1）
因為
所以，
由題意可得，，
解得:，.
（2）由(1)可得，
所以，且，
易得，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
又，，且，
即最大值為：.
24．（2024·高三·浙江溫州·期末）已知函數(shù)，．
(1)若不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若的最小值為，求實數(shù)a的取值范圍．
【解析】（1），
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又∵在上不單調(diào)，∴；
（2）由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，不符合題意，
當(dāng)時，，
所以實數(shù)a的取值范圍為.
25．（2024·高二·浙江寧波·期末）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時，求函數(shù)的最大值．
【解析】（1）的定義域為，
當(dāng)時，，，
當(dāng)，解得：，
當(dāng)，解得：．
在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；
（2）的定義域為，
，
當(dāng)時，令，得，令時，得，
的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．
.
26．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，求的最小值.
【解析】由已知可得，定義域為，
且.
當(dāng)時，有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
所以，在處取得唯一極小值，也是最小值.
27．（2024·高三·山東青島·期中）已知函數(shù)．
(1)若是函數(shù)的極值點，求在處的切線方程．
(2)若，求在區(qū)間上最大值．
【解析】（1），
又是函數(shù)的極值點，
∴，即
∴，
∴，
在處的切線方程為，即，
所以在處的切線方程是
（2），令，得，
∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增
而，
①當(dāng)，即時，
②當(dāng)，即時，
綜上，當(dāng)時，；
當(dāng)時，
單調(diào)遞增
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增
減
極小值
增
0
1
2
3
0
0
1
↗
極大值6
↘
極小值5
↗
10
減
極小值
增

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