知識(shí)點(diǎn)1、二項(xiàng)式展開(kāi)式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題
（1）二項(xiàng)式定理
一般地，對(duì)于任意正整數(shù)，都有：，
這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式．
式中的做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第項(xiàng)：，
其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，
（2）二項(xiàng)式的展開(kāi)式的特點(diǎn)：
①項(xiàng)數(shù)：共有項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；
②二項(xiàng)式系數(shù)：第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；
③次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到；字母升冪排列，次
數(shù)從到，每一項(xiàng)中，，次數(shù)和均為；
④項(xiàng)的系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)依次是，項(xiàng)的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項(xiàng)式系
數(shù)）．
（3）兩個(gè)常用的二項(xiàng)展開(kāi)式：
①（）
②
（4）二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式
二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)：
公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開(kāi)式的第項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；
②字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；
③與的次數(shù)之和為．
注意：①二項(xiàng)式的二項(xiàng)展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)和的二項(xiàng)展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)是有區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的和是不能隨便交換位置的．
②通項(xiàng)是針對(duì)在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)是（只需把看成代入二項(xiàng)式定理）．
2、二項(xiàng)式展開(kāi)式中的最值問(wèn)題
（1）二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①每一行兩端都是，即；其余每個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，即．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②對(duì)稱(chēng)性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③二項(xiàng)式系數(shù)和令，則二項(xiàng)式系數(shù)的和為，變形式．
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和在二項(xiàng)式定理中，令，
則，
從而得到：．
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤最大值：
如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；
如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)，的二項(xiàng)式系數(shù)，相等且最大．
（2）系數(shù)的最大項(xiàng)
求展開(kāi)式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)分別為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來(lái)．
知識(shí)點(diǎn)3、二項(xiàng)式展開(kāi)式中系數(shù)和有關(guān)問(wèn)題
常用賦值舉例：
（1）設(shè)，
二項(xiàng)式定理是一個(gè)恒等式，即對(duì)，的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問(wèn)題的需要靈活選取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假設(shè)為偶數(shù)），再結(jié)合①可得：
．
（2）若，則
①常數(shù)項(xiàng)：令，得．
②各項(xiàng)系數(shù)和：令，得．
③奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和
（i）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為；
偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為．
（可簡(jiǎn)記為：為偶數(shù)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配）
（ii）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為；
偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為．
（可簡(jiǎn)記為：為奇數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配）
若，同理可得．
注意：常見(jiàn)的賦值為令，或，然后通過(guò)加減運(yùn)算即可得到相應(yīng)的結(jié)果．
【典型例題】
例1．（北京市東城區(qū)2023-2024學(xué)年高三學(xué)期綜合練習(xí)（一）（一模）數(shù)學(xué)試題）已知，若，則的取值可以為（ ）
A．2B．1C．D．
例2．（2024屆北京市延慶區(qū)高考一模數(shù)學(xué)試題）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（ ）
A．B．
C．D．
例3．（云南省昆明市2024屆”三診一?！案呷龔?fù)習(xí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)是（ ）
A．16B．19C．21D．24
例4．（山東省菏澤第一中學(xué)八一路校區(qū)2023-2024學(xué)年高三學(xué)期三月份月考數(shù)學(xué)試題）的展開(kāi)式中的系數(shù)是，則實(shí)數(shù)的值為
（ ）
A．B．C．D．
例5．（廣東省江門(mén)市2024屆高三一模考試數(shù)學(xué)試卷）已知，則的值是（ ）
A．680B．C．1360D．
例6．（海南省海南華僑中學(xué)2023-2024學(xué)年高三學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題）若，則（ ）
A．B．
C．D．
例7．（重慶市南開(kāi)中學(xué)校2023-2024學(xué)年高三學(xué)期第七次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，則（ ）
A．4B．5C．6D．7
例8．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ）
A．55B．C．30D．
例9．（河南省TOP二十名校2023-2024學(xué)年高三學(xué)期質(zhì)檢二數(shù)學(xué)試題）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 .（填數(shù)字）
例10．（四川省百師聯(lián)盟2024屆高三沖刺卷（二）全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)試題）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為，則 ．
例11．（湖南省衡陽(yáng)市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三學(xué)期3月測(cè)試數(shù)學(xué)試題）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中僅有第5項(xiàng)系數(shù)最大，則它的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為 （用數(shù)字作答）
例12．（湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)2024屆高三學(xué)期月考（七）數(shù)學(xué)試題）的展開(kāi)式中的系數(shù)為 ．
例13．（2024年河南省普通高中畢業(yè)班高考適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試題）的展開(kāi)式中的系數(shù)為 ．
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（北京市懷柔區(qū)第一中學(xué)2024屆高三學(xué)期零模數(shù)學(xué)試卷）在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是（ ）
A．B．C．D．
2．（四川省遂寧市2024屆高三第二次診斷性考試數(shù)學(xué)試題）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ）
A．80B．40C．10D．
3．（河南省TOP二十名校2024屆高三學(xué)期質(zhì)檢一數(shù)學(xué)試題）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．28B．56C．70D．76
4．（福建省漳州市部分學(xué)校2024屆高三學(xué)期普通高考模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ）
A．48B．30C．60D．120
5．（內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題）已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中第六項(xiàng)的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)等于（ ）
A．B．C．D．1
6．（浙江省溫州市2024屆高三第二次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）在展開(kāi)式中，的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)和為（ ）
A．B．64C．D．32
7．（北京市北師大附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆高三學(xué)期3月零模數(shù)學(xué)試題）在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為（ ）
A．B．20C．D．40
8．（江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)2024屆高三學(xué)期教學(xué)情況調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試卷）設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
9．（北京第五中學(xué)2023-2024學(xué)年高三學(xué)期開(kāi)學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷）已知，則（ ）
A．B．2C．4D．12
10．（2024屆遼寧省高三二模數(shù)學(xué)試題）展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ）
A．15B．20C．75D．100
二、填空題
11．（2024年全國(guó)高考名校名師聯(lián)席命制數(shù)學(xué)押題卷（四））在的展開(kāi)式中，若的系數(shù)為，則 ．
12．（2024年全國(guó)高考名校名師聯(lián)席命制數(shù)學(xué)押題卷（五））展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為 ．
13．（天津市部分區(qū)2023-2024學(xué)年高三學(xué)期質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試卷（一））在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 .（結(jié)果用數(shù)字表示）
14．（河北省多校聯(lián)考2024屆高三學(xué)期適應(yīng)性測(cè)試數(shù)學(xué)試題）的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為 ．
15．（吉林省延邊部分學(xué)校2024年普通高校招生考試模擬卷（一）數(shù)學(xué)試題）的展開(kāi)式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）．
16．的展開(kāi)式中的系數(shù)為 .
17．若二項(xiàng)式的展開(kāi)式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，則展開(kāi)式中的系數(shù)為 .
18．（2024屆安徽省示范高中皖北協(xié)作區(qū)高三學(xué)期數(shù)學(xué)聯(lián)考試題）的展開(kāi)式中的系數(shù)是 ．
19．展開(kāi)式中的系數(shù)為，則的值為 ．
20．（山西省部分學(xué)校2024屆高三學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為 ．
21．（上海市浦東新區(qū)2024屆高三學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷）的二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為 .（用數(shù)值回答）
22．（湘豫名校聯(lián)考2024年2月高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題）在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 .
23．（江西省南昌市2024屆高三第一次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題）的展開(kāi)式中的系數(shù)是 .
24．（云南三校2024屆高三高考備考實(shí)用性聯(lián)考卷（七）數(shù)學(xué)試卷）已知多項(xiàng)式，則 .
25．（安徽省黃山市2024屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）的展開(kāi)式中的系數(shù)為 ．
26．（2024屆天津市河?xùn)|區(qū)高考一模數(shù)學(xué)試卷）在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是 ．（用數(shù)字作答）
27．（天津市紅橋區(qū)2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題）已知二項(xiàng)式，則其展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為 ．
28．（貴州省畢節(jié)市2024屆高三第二次診斷性考試數(shù)學(xué)試題）的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為 （用數(shù)字作答）.
29．（四川省綿陽(yáng)市南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024屆高三學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）的展開(kāi)式中的系數(shù)為 ．（用數(shù)字作答）
30．（山東省菏澤第一中學(xué)人民路校區(qū)2024屆高三學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）已知展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為280，則 .

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