【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點(diǎn)突破】13
【考點(diǎn)1】分組轉(zhuǎn)化求和13
【考點(diǎn)2】裂項(xiàng)相消法求和17
【考點(diǎn)3】錯(cuò)位相減法求和21
【分層檢測】25
【基礎(chǔ)篇】25
【能力篇】33
【培優(yōu)篇】35
考試要求：
1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.
2.掌握非等差數(shù)列，非等比數(shù)列求和的幾種常見方法.
知識梳理
1.特殊數(shù)列的求和公式
(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d.
(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))
2.數(shù)列求和的幾種常用方法
(1)分組轉(zhuǎn)化法
把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.
(2)裂項(xiàng)相消法
把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.
(3)錯(cuò)位相減法
如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法求解.
(4)倒序相加法
如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解.
1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq \f(n（n＋1）,2).
2.12＋22＋…＋n2＝eq \f(n（n＋1）（2n＋1）,6).
3.裂項(xiàng)求和常用的三種變形
(1)eq \f(1,n（n＋1）)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
(2)eq \f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
(3)eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
4.在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.
真題自測
一、解答題
1．（2024·全國·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
2．（2024·天津·高考真題）已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列．其前項(xiàng)和為．若．
(1)求數(shù)列前項(xiàng)和；
(2)設(shè)，．
（?。┊?dāng)時(shí)，求證：；
（ⅱ）求．
3．（2024·全國·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
4．（2023·全國·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
5．（2023·全國·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
6．（2022·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
7．（2022·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．
(1)求與的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；
(3)求．
8．（2021·全國·高考真題）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．
（1）求和的通項(xiàng)公式；
（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．
參考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項(xiàng)后可求通項(xiàng)；
（2）利用分組求和法即可求.
【詳解】（1）因?yàn)?故，
所以即故等比數(shù)列的公比為，
故，故，故.
（2）由等比數(shù)列求和公式得，
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和
.
2．(1)
(2)①證明見詳解；②
【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式分析求解；
（2）①根據(jù)題意分析可知，，利用作差法分析證明；②根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列求和公式可得，再結(jié)合裂項(xiàng)相消法分析求解.
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)?，即?br>可得，整理得，解得或（舍去），
所以.
（2）（i）由（1）可知，且，
當(dāng)時(shí)，則，即
可知，
，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
所以；
（ii）由（1）可知：，
若，則；
若，則，
當(dāng)時(shí)，，可知為等差數(shù)列，
可得，
所以，
且，符合上式，綜上所述：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1.分析可知當(dāng)時(shí)，，可知為等差數(shù)列；
2.根據(jù)等差數(shù)列求和分析可得.
3．(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求的通項(xiàng)公式．
（2）利用錯(cuò)位相減法可求.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得．
當(dāng)時(shí)，，所以即，
而，故，故，
∴數(shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
4．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)即可求出；
（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可解出．
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，所以，
化簡得：，當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)都滿足上式，所以．
（2）因?yàn)?，所以?br>，
兩式相減得，
，
，即，．
5．(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，并與作差比較作答.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，
則，
于是，解得，，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，因此，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，因此，
所以當(dāng)時(shí)，.
方法2：由（1）知，，，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，因此，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則
，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，因此，
所以當(dāng)時(shí)，.
6．(1)
(2)見解析
【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對于也成立，得到的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.
【詳解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差為的等差數(shù)列，
∴,∴,
∴當(dāng)時(shí)，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
顯然對于也成立，
∴的通項(xiàng)公式；
（2）
∴
7．(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行基本量運(yùn)算即可得解；
（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證；
（3）先求得，進(jìn)而由并項(xiàng)求和可得，再結(jié)合錯(cuò)位相減法可得解.
【詳解】（1）設(shè)公差為d，公比為，則，
由可得（舍去），
所以；
（2）證明：因?yàn)樗砸C，
即證，即證，
即證，
而顯然成立，所以；
（3）因?yàn)?br>，
所以
，
設(shè)
所以，
則，
作差得
，
所以，
所以.
8．（1），；（2）證明見解析.
【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、錯(cuò)位相減法分別求出，再作差比較即可.
【詳解】（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用錯(cuò)位相減法求和
，
，
．
設(shè)， ⑧
則． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯(cuò)位相減求和法
證明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：構(gòu)造裂項(xiàng)法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通過等式左右兩邊系數(shù)比對易得，所以．
則，下同方法二．
[方法四]：導(dǎo)函數(shù)法
設(shè)，
由于，
則．
又，
所以
，下同方法二．
【整體點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時(shí)采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡的更為簡潔.
（2）的方法一直接作差后利用錯(cuò)位相減法求其部分和，進(jìn)而證得結(jié)論；
方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，分別利用公式法和錯(cuò)位相減法求得,然后證得結(jié)論,為最優(yōu)解；
方法三采用構(gòu)造數(shù)列裂項(xiàng)求和的方法，關(guān)鍵是構(gòu)造，使，求得的表達(dá)式，這是錯(cuò)位相減法的一種替代方法，
方法四利用導(dǎo)數(shù)方法求和，也是代替錯(cuò)位相減求和法的一種方法.
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】分組轉(zhuǎn)化求和
一、解答題
1．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對任意，有
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求的前100項(xiàng)的和.
2．（23-24高二下·河南·期中）已知數(shù)列 的首項(xiàng) 且
(1)證明: 是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列 的前項(xiàng)和.
3．（2024·廣西·模擬預(yù)測）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對任意正整數(shù)n，有．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)對所有正整數(shù)m，若，則在和兩項(xiàng)中插入，由此得到一個(gè)新數(shù)列，求的前91項(xiàng)和．
4．（2024·陜西·三模）數(shù)列的前項(xiàng)的最大值記為，即；前項(xiàng)的最小值記為，即，令，并將數(shù)列稱為的“生成數(shù)列”．
(1)設(shè)數(shù)列的“生成數(shù)列”為，求證：；
(2)若，求其生成數(shù)列的前項(xiàng)和．
參考答案：
1．(1)；
(2)
【分析】（1）根據(jù)作差得到，從而得到，結(jié)合等差數(shù)列的定義計(jì)算可得；
（2）由（1）可得，記，則，利用并項(xiàng)求和法計(jì)算可得.
【詳解】（1）由，，
兩式相減得，即，
因?yàn)?，所以，即?br>故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以；
（2）由（1）知，
所以，
記，則，
2．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明即可；
（2）結(jié)合（1）中結(jié)論求得的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法及分組求和法即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以，，
顯然，則，
故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）知，，所以，
則，
令，
故，
上兩式相減得，，
所以，
所以.
3．(1).
(2)11563.
【分析】（1）利用時(shí)，；時(shí)，求解即可.
（2）先確定前91項(xiàng)的最后一項(xiàng)，然后分別對其中的和插入的進(jìn)行求和.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，．
又時(shí)，得，也滿足上式，
故．
（2）由，所以，
又，所以前91項(xiàng)中有87項(xiàng)來自，
所以
．
4．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由“生成數(shù)列”的定義證明即可；
（2）由分組求和求解即可.
【詳解】（1）由題意可知，
所以，因此，
即是單調(diào)遞增數(shù)列，且，
由“生成數(shù)列”的定義可得．
（2）當(dāng)時(shí)，．
，又，
，
當(dāng)時(shí)，．
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．則．
當(dāng)時(shí)，
又符合上式，所以．
反思提升：
1.若數(shù)列{cn}滿足cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.
2.若數(shù)列{cn}滿足cn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an，n為奇數(shù)，,bn，n為偶數(shù)，))其中數(shù)列{an}，{bn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求{cn}的前n項(xiàng)和.
【考點(diǎn)2】裂項(xiàng)相消法求和
一、解答題
1．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2．（2024·江蘇鹽城·一模）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)，證明：.
3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）在等差數(shù)列（）中，，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明.
4．（2024·福建泉州·二模）己知數(shù)列和的各項(xiàng)均為正，且，是公比3的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和滿足．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
參考答案：
1．(1)證明見解析，
(2).
【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；
（2）由（1）可得，再裂項(xiàng)相消可知，進(jìn)而求解二次不等式即可.
【詳解】（1）由題可知：，又，
故是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，即.
（2），
，且當(dāng)趨于時(shí)，趨近于1，
所以由恒成立，可知，解得.
2．(1)，；
(2)證明見解析
【分析】（1）由已知得，得到是以為公比的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式；
（2）求出，利用裂項(xiàng)相消法即可求證.
【詳解】（1）由，，
得，又，
則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，.
（2）證明：因?yàn)?br>，
所以
.
3．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求出等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，即可得解；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求出，進(jìn)而可得出結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，即，解得，
所以，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）∵，∴，
（方法一）
，
∴
化簡得：，
∴.
（方法二）
，
∴
.
4．(1)，
(2)
【分析】（1）利用遞推公式可證得數(shù)列是等差數(shù)列，可求出數(shù)列的通項(xiàng)；利用等比數(shù)列的性質(zhì)，可求出通項(xiàng)；
（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消和分組求和法求解即可；
【詳解】（1）由題設(shè)，當(dāng)時(shí)或（舍），
由，知，
兩式相減得，
（舍）或，即，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，．
又．
（2）
則
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，．
所以.
反思提升：
1.用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要對通項(xiàng)進(jìn)行變換，如：eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq \f(1,k)(eq \r(n＋k)－eq \r(n))，eq \f(1,n（n＋k）)＝eq \f(1,k)(eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋k))，裂項(xiàng)后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項(xiàng).
2.消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).
【考點(diǎn)3】錯(cuò)位相減法求和
一、解答題
1．（2024高三下·四川成都·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
3．（2024·河南·三模）已知數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且其前項(xiàng)和.
(1)證明：是等差數(shù)列，并求；
(2)如果，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
4．（2024·山西太原·三模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且也是等比數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
參考答案：
1．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由與的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求；
（2）由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得所求和．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，由，可得,
兩式相減得，所以，即，
又因?yàn)?，所以是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）由（1）知，，
所以數(shù)列 的前項(xiàng)和為，
可得，
兩式相減得，
所以．
2．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)公式得到方程組，解出即可；
（2）首先得到，再利用錯(cuò)位相減法求和即可得到答案.
【詳解】（1）設(shè)的公差為，則，，
解得，.
故.
（2）由（1）可得，
所以，①
則，②
①②，得
，
所以.
3．(1)證明見解析，
(2).
【分析】（1）借助與的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列定義計(jì)算即可得解；
（2）借助錯(cuò)位相減法計(jì)算即可得.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，或，
因?yàn)?，所以?br>，
兩式相減得，
因?yàn)?，所以?br>故是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，
；
（2）由（1）知，
，
，
則，
，
所以.
4．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)是等比數(shù)列得，利用等比數(shù)列求和公式基本量運(yùn)算求得，即可求出等比數(shù)列通項(xiàng)公式；
（2）利用對數(shù)運(yùn)算得，然后利用錯(cuò)位相減法求和即可.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，
由是等比數(shù)列得，
或(舍去)，
.
（2）由（1）得，所以，
，
，
兩式相減得，
.
反思提升：
(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，常采用錯(cuò)位相減法.
(2)錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：
①要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形.
②在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式.
③應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應(yīng)用公式Sn＝na1.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2020·內(nèi)蒙古包頭·二模）已知函數(shù)滿足，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為（ ）
A．100B．105C．110D．115
2．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·模擬預(yù)測）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》中，后人稱為“三角垛”，“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，…，設(shè)從上往下各層的球數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則（ ）

A．B．C．D．
3．（2024·浙江杭州·二模）設(shè)數(shù)列滿足．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)的和，則（ ）
A．110B．120C．288D．306
4．（2022高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}滿足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S2021=（ ）
A．3B．2C．1D．0
二、多選題
5．（21-22高二下·全國·單元測試）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)正確的為（ ）
A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為D．
6．（2023·遼寧·二模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，且，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則正確的選項(xiàng)是（ ）．
A．B．
C．D．
7．（2021·湖南衡陽·一模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若為常數(shù)，則稱數(shù)列為“吉祥數(shù)列”.則下列數(shù)列為“吉祥數(shù)列”的有（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
8．（2024·山東濟(jì)南·三模）數(shù)列滿足，若，，則數(shù)列的前20項(xiàng)的和為 ．
9．（2023·上海黃浦·三模）南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問題”，在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個(gè)，第二層放3個(gè)，第三層放6個(gè)，第四層放10個(gè)第n層放個(gè)物體堆成的堆垛，則 ．

10．（2022·上海·模擬預(yù)測）設(shè)是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線相切，對每一個(gè)正整數(shù)n，圓都與圓相互外切，以表示圓的半徑，已知為遞增數(shù)列，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為 ．
四、解答題
11．（2024·陜西渭南·三模）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，且滿足，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
12．（2024·黑龍江·三模）已知等差數(shù)列的公差，與的等差中項(xiàng)為5，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)求數(shù)列的前20項(xiàng)和.
參考答案：
1．D
【解析】根據(jù)函數(shù)滿足，利用倒序相加法求出，再求前20項(xiàng)和.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，
①，
②，
由①②可得，，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，其前20項(xiàng)和為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)及倒序相加法求和，屬于基礎(chǔ)題.
2．B
【分析】由題可得，后由裂項(xiàng)求和法可得答案.
【詳解】注意到，則.
則
.
故選：B
3．A
【分析】利用分組求和法，結(jié)合已知，可得答案.
【詳解】
.
故選：A.
4．C
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式得出數(shù)列是周期為6的周期數(shù)列，利用周期性即可求解.
【詳解】∵an+1=an-an-1，a1=1，a2=2，∴a3=1，a4=-1，a5=-2，a6=-1，a7=1，a8=2，…，
故數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列，且每連續(xù)6項(xiàng)的和為0，
故S2021=336×0+a2017+a2018+…+a2021=a1+a2+a3+a4+a5=1+2+1+（-1）+（-2）=1.
故選：C.
5．BCD
【分析】由數(shù)列的遞推式可得，兩邊加1后，運(yùn)用等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得，由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和可得.
【詳解】解：由即為，可化為，由，可得數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則，即，
又，可得
故選：BCD
6．BC
【分析】運(yùn)用累和法、裂項(xiàng)相消法，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式逐一判斷即可.
【詳解】由題意可知：，于是有，
顯然可得：， ，因此選項(xiàng)A不正確，選項(xiàng)B正確；
當(dāng) 時(shí)，，
顯然適合上式，，因此選項(xiàng)D不正確；
，
，因此選項(xiàng)C正確，
故選：BC
7．BC
【分析】按照求和方法對各個(gè)選項(xiàng)逐一求和驗(yàn)證即可得出結(jié)論.
【詳解】對于A，，，，
所以不為常數(shù)，故A不正確；
對于B，由并項(xiàng)求和法知：，，，故B正確；
對于C，，，，
所以，故C正確；
對于D，，，，
所以不為常數(shù)，故D錯(cuò)誤；
故選：BC.
8．210
【分析】數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都是等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列求和公式、分組求和法即可得解.
【詳解】數(shù)列滿足，若，，則，
所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以1，2為首項(xiàng)，公差均為2的等差數(shù)列
所以數(shù)列的前20項(xiàng)的和為
.
故答案為：210.
9．/
【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的遞推關(guān)系，利用累加法求出通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)相消法求和作答.
【詳解】依題意，在數(shù)列中，，
當(dāng)時(shí)，，滿足上式，
因此，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則，
所以.
故答案為：
10．
【分析】根據(jù)圖像結(jié)合幾何知識可證，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【詳解】的傾斜角，設(shè)圓、與直線的切點(diǎn)分別為，連接，過作，垂足為，
則
∵，整理得
數(shù)列是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，即
∴，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則有：
兩式相減得：
即
故答案為：．
11．(1)
(2)．
【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知條件和等比數(shù)列基本量的計(jì)算，求出數(shù)列首項(xiàng)和公比，得通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法可得數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，
∵，，
∴，
即，∴（舍去），
∴，即，
∴．
（2）∵，∴．
∴，
，
兩式相減得，
∴．
12．(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
(2)數(shù)列的前20項(xiàng)和為.
【分析】（1）根據(jù)等差中項(xiàng)求出，再根據(jù)求出公差，最后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出的通項(xiàng)公式；
（2）先寫出，對為偶數(shù)的情況進(jìn)行裂項(xiàng)，再用分組求和法求出.
【詳解】（1）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且與的等差中項(xiàng)為5，
所以，解得，
因?yàn)椋?br>所以，解得，
因?yàn)?，所以?br>所以，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）由題知，
即
所以
，
故數(shù)列的前20項(xiàng)和為.
【能力篇】
一、單選題
1．（2022·安徽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，，現(xiàn)從數(shù)列中剔除與的公共項(xiàng)后，將余下的項(xiàng)按照從小到大的順序進(jìn)行排列，得到新的數(shù)列，則數(shù)列的前150項(xiàng)之和為（ ）
A．23804B．23946C．24100D．24612
二、多選題
2．（2024·江西·三模）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列
C．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為D．能被3整除
三、填空題
3．（2024·云南昆明·一模）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知?jiǎng)t ．
四、解答題
4．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知數(shù)列滿足.
①求數(shù)列的前n項(xiàng)和；
②若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案：
1．D
【分析】易得數(shù)列為偶數(shù)列，為數(shù)列，故只需分析偶數(shù)列中的項(xiàng)即可
【詳解】因?yàn)椋?，，故?shù)列的前項(xiàng)中包含的前項(xiàng)，故數(shù)列的前150項(xiàng)包含的前項(xiàng)排除與公共的8項(xiàng).
記數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，
故選：D.
2．BCD
【分析】利用構(gòu)造法得到數(shù)列是等比數(shù)列，從而求得通項(xiàng)，就可以判斷選項(xiàng)，對于數(shù)列求和，可以用分組求和法，等比數(shù)列公式求和完成，對于冪的整除性問題可以轉(zhuǎn)化為用二項(xiàng)式定理展開后，再加以證明.
【詳解】由可得：，所以數(shù)列是等比數(shù)列，即，
則顯然有，所以不成等比數(shù)列，故選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的；
由數(shù)列是等比數(shù)列可得：，即，故選項(xiàng)B是正確的；
由可得：前項(xiàng)和，故選項(xiàng)C是正確的；
由
，故選項(xiàng)D是正確的；
方法二：由，1024除以3余數(shù)是1，所以除以3的余數(shù)還是1，從而可得能補(bǔ)3整除，故選項(xiàng)D是正確的；
故選：BCD．
3．
【分析】注意到，進(jìn)一步由裂項(xiàng)相消法即可求解.
【詳解】由題意，
所以
.
故答案為：.
4．(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系求的通項(xiàng)公式；
（2）①利用錯(cuò)位相減求和即可；②設(shè)，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，分n為偶數(shù)、為奇數(shù)討論可得答案.
【詳解】（1）因?yàn)棰伲?br>當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，②，
得，即；因?yàn)榉?，所以?br>（2）①，由（1）知，所以，，
所以，兩式相減得，
，
所以；
②，由①得，
設(shè)，則數(shù)列是遞增數(shù)列.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，恒成立，所以；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，恒成立，所以即.
綜上，的取值范圍是.
【培優(yōu)篇】
一、解答題
1．（2024·天津·二模）設(shè)是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和，是等比數(shù)列，且，，.
(1)求與的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(3)若對于任意的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2．（2024·湖南衡陽·三模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng).
(1)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若函數(shù)，正項(xiàng)數(shù)列滿足：.
（i）證明：；
（ii）證明：.
3．（2024·河北秦皇島·三模）將保護(hù)區(qū)分為面積大小相近的多個(gè)區(qū)域，用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取其中15個(gè)區(qū)域進(jìn)行編號，統(tǒng)計(jì)抽取到的每個(gè)區(qū)域的某種水源指標(biāo)和區(qū)域內(nèi)該植物分布的數(shù)量，得到數(shù)組.已知，，.
(1)求樣本的樣本相關(guān)系數(shù)；
(2)假設(shè)該植物的壽命為隨機(jī)變量（可取任意正整數(shù)），研究人員統(tǒng)計(jì)大量數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)，對于任意的，壽命為的樣本在壽命超過的樣本里的數(shù)量占比與壽命為1的樣本在全體樣本中的數(shù)量占比相同，均為0.1，這種現(xiàn)象被稱為“幾何分布的無記憶性”.
（i）求的表達(dá)式；
（ii）推導(dǎo)該植物壽命期望的值（用表示，取遍），并求當(dāng)足夠大時(shí)，的值.
附：樣本相關(guān)系數(shù)；當(dāng)足夠大時(shí)，.
參考答案：
1．(1)，
(2)
(3).
【分析】（1）結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解；
（2）可以采取分組求和的方式，即將奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的和分開求解，再利用錯(cuò)位相減法以及裂項(xiàng)相消法分別求和；
（3）對于求參數(shù)的范圍，一般可以采用分離參數(shù)的方法，對于求后面式子的最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分析求解．
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
由，，又，，，
由，，又，，，
，，
即，．
（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，
記，則有
，
，
得：
，
，
，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
記，
，
．
（3）由與恒成立，
可得恒成立，
恒成立，即求的最大值，
設(shè)，
，
單調(diào)遞增，
又，
，
．
2．(1)
(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合變形，再利用等差數(shù)列求出通項(xiàng).
（2）（i）利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，由此放縮各，再利用分組求和法求解即得；（ii）由（i）推理證得及，再利用裂項(xiàng)相消法求和推理即得.
【詳解】（1）正項(xiàng)數(shù)列中，，，，當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，即，
而，則，因此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）（i）令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，
于是，
即，即，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，因此，
所以
（ii）由已知，所以，得，
當(dāng)時(shí)，，于是，
當(dāng)時(shí)，，
又，所以，恒有，當(dāng)時(shí)，，
由，得當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，
從而
，
于是，
所以.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：給出與的遞推關(guān)系，求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與n之間的關(guān)系，再求.
3．(1)0.8
(2)（i）；（ii），10
【分析】（1）利用相關(guān)系公式計(jì)算即可；
（2）（i）由題意可得，進(jìn)而可得，可得；
（ii）由定義知，，由錯(cuò)位相減法可得，可求足夠大時(shí)，的值.
【詳解】（1）由，，.
得樣本相關(guān)系數(shù)，.
（2）（i）依題意，，
又，
則，
當(dāng)時(shí)，把換成，
則，
兩式相減得，
即，
又，
所以對任意都成立，
從而是首項(xiàng)為0.1，公比為0.9的等比數(shù)列，
所以.
（ii）由定義知，，
而，，
顯然，
于是，
兩式相減得，
因此，
當(dāng)足夠大時(shí)，，
則，可認(rèn)為，
所以該植物壽命期望的值是10.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解
成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動更新永不過期

相關(guān)試卷

專題32 數(shù)列的概念與簡單表示法-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）解析版：

這是一份專題32 數(shù)列的概念與簡單表示法-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）解析版，共42頁。

專題31 復(fù)數(shù)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）解析版：

這是一份專題31 復(fù)數(shù)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）解析版，共30頁。

專題01 集合-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）解析版：

這是一份專題01 集合-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）解析版，共31頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

專題35 數(shù)列求和-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）

專題35 數(shù)列求和-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）
2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測)專題35數(shù)列求和(新高考專用)(原卷版+解析)

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測)專題35數(shù)列求和(新高考專用)(原卷版+解析)
第44講 數(shù)列求和 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）

第44講 數(shù)列求和 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）
專題01 集合-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）

專題01 集合-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部