1.在現(xiàn)實(shí)背景中，理解有理數(shù)乘方的意義.2.正確理解乘方、冪、指數(shù)、底數(shù)等概念.3.掌握有理數(shù)乘方的運(yùn)算方法.
你知道世界上最高的山峰是什么山峰嗎？
假如有一張厚度是0.1mm的紙，連續(xù)對折30次，它的厚度能超過珠穆 朗瑪峰嗎？
事實(shí)上是可以的，到底是怎么回事呢？讓我們一起來探究一下吧！
如圖，某種細(xì)胞每過 30 min 便由 1 個分裂成 2 個。經(jīng)過 5 h，這種細(xì)胞能由 1 個分裂成多少個？
30 min 2 個
1 h 2×2 個
1.5 h 2×2×2 個
… ……
5 h 2×2×…×2×2 個 =1024個
一般地，n個相同的因數(shù)a相乘，記作an
為了簡便，可以將2×2×…×2×2 記為 210
這種求n個相同因數(shù)a的積的運(yùn)算叫作乘方， 乘方的結(jié)果叫作冪，a叫作底數(shù)，n叫作指數(shù).
an可以讀作a的n次方，也可讀作a的n次冪.
例1 計(jì)算：(1) 53； (2) (-3)4； (3) ； (4) -(-2)3。
解：（1）53 = 5×5×5 = 125；
（2）(-3)4 = (-3)×(-3)×(-3)×(-3) = 81；
（4）-(-2)3 = -[(-2)×(-2)×(-2)] = -(-8) = 8。
有一張厚度為0.1mm的紙，將它對折1次后，厚度為2x0.1mm。(1)將這張紙對折2次后，厚度為多少毫米?(2)假設(shè)可以將這張紙對折20次，那么對折20次后厚度為多少毫米?
每層樓的平均高度為3m，這張紙對折20次后大約有多少層樓高?
解：（1） 22×0.1= 0.4（mm） 因此，將這張紙對折2次后，厚度為 0.4 mm 。
（2）220×0.1= 104 857.6（mm）因此，這張紙對折20次后厚度為 104 857.6 mm 。
220×0.1= 104 857.6（mm）≈105（m）105÷3=35（層）因此，這張紙對折20次后大約有35層樓高。
1.（1）在 74 中，底數(shù)是____，指數(shù)是_____；
（2）在 中，底數(shù)是____，指數(shù)是____。
2.計(jì)算： （1）(-3)3； （2）(-1.5)2；（3） ；
（4）-(-3)2；（5） 。
解：(1)原式=-27
(2)原式=-2.25
知識點(diǎn)1　乘方的定義1. 求 n 個相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫作 ，乘方的結(jié)果叫作 .在 an 中， a 叫作 ， n 叫作 ， an 讀作 或 ?.
2. (－2)5的意義是(　D　)
3. 下列說法正確的是(　D　)
知識點(diǎn)2　乘方的運(yùn)算4. 計(jì)算(－2)2的結(jié)果是(　A　)
5. [2024棗莊]下列數(shù)中，平方最大的數(shù)是(　A　)
(3)－(－0.3)3；
知識點(diǎn)3　有理數(shù)乘方的實(shí)際應(yīng)用7. 某種細(xì)胞每過30分鐘便由1個分裂成2個，則這種細(xì)胞由1個分裂成212個需經(jīng)過(　A　)
8. [教材P62習(xí)題T7變式]你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅，用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反復(fù)幾次，就把這根很粗的面條拉成了許多細(xì)的面條.如圖所示：這樣捏合到第六次后可拉出幾根面條？
解：根據(jù)題意得，這樣捏合到第六次后可拉出26＝64(根)面條.
9. 已知 a ， b 都是整數(shù)，若( a ＋2)2＋｜ b －1｜＝0，則( a ＋ b )2 025的值是(　B　)
10. 我國古代典籍《莊子·天下篇》中曾有：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”.現(xiàn)有一根長為1尺的木桿，第1次截取其長度的一半，第2次截取其第1次剩下長度的一半，第3次截取其第2次剩下長度的一半，…，如此反復(fù)，則第100次截取后，此木桿剩下的長度為(　B　)
11. 【新視角·新定義題】我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了“乘方”運(yùn)算，下面給同學(xué)們介紹一種新的運(yùn)算，即對數(shù)運(yùn)算.定義：如果 ab ＝ N ( a ＞0， a ≠1， N ＞0)，則 b 叫作以 a 為底 N 的對數(shù)，記作lg aN ＝ b .例如：因?yàn)?3＝125，所以lg5125＝3；因?yàn)?12＝121，所以lg11121＝2，如果lg2( M －2)＝3，則 M ＝ ?.
12. 【新考法·操作實(shí)踐法】當(dāng)你把紙對折1次時，就得到2層；對折2次時，就得到4層……照這樣對折下去(最多對折7次).(1)你能發(fā)現(xiàn)層數(shù)和對折的次數(shù)有什么關(guān)系嗎？
解：(1)設(shè)對折的次數(shù)是 n ，則折得的層數(shù)是2 n (1≤ n ≤7且 n 為正整數(shù)).
(2)對折6次時，層數(shù)是多少？
解：(2)對折6次時，層數(shù)為26＝64.
(3)如果紙的厚度是0.1 mm，求對折7次時，總厚度是多少.
解：(3)對折7次時，總厚度為0.1×27＝0.1×128＝12.8(mm).
13. 【新考法猜想歸納法2024杭州拱墅區(qū)期中】你能比較2 0242 025和2 0252 024的大小嗎？為了解決這個問題，我們先把它抽象成數(shù)學(xué)問題，寫出它的一般形式，即比較 nn＋1和( n ＋1) n 的大小( n 為正整數(shù))，我們從 n ＝1， n ＝2， n ＝3…這些簡單的情況入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納，猜出結(jié)論.(1)通過計(jì)算，比較下列各組數(shù)的大?。?br/>①12 21；②23 32；③34 43；④45 54；⑤56 65；⑥67 76.…
(2)將第(1)題的結(jié)果進(jìn)行歸納，你能得出什么結(jié)論？
解：(2)把第(1)題的結(jié)果經(jīng)過歸納得出：當(dāng)1≤ n ≤2時， nn＋1＜( n ＋1) n ；當(dāng) n ＞2時， nn＋1＞( n ＋1) n .
(3)根據(jù)上面的歸納猜想得到的結(jié)論，試比較下面兩個數(shù)的大小：2 0242 025 2 0252 024(填“＞”“＜”或“＝”).
14. 【新考法·閱讀類比法】閱讀材料：求1＋2＋22＋23＋24＋…＋299＋2100的值.解：令 S ＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋299＋2100.①將等式①兩邊同時乘2，得2 S ＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋2100＋2101.②
②－①，得2 S － S ＝2101－1，即 S ＝2101－1.所以1＋2＋22＋23＋24＋…＋299＋2100＝2101－1.請你根據(jù)上述材料，解答下列問題：
(1)計(jì)算：1＋3＋32＋33＋34＋…＋32 024＋32 025.
(2)已知數(shù)列：－1，9，－92，93，－94，….①它的第100個數(shù)是多少？②求這列數(shù)中前100個數(shù)的和.
正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)， 負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)0的任何正整數(shù)次冪都是0

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4 有理數(shù)的乘方

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